Математические действия с бесконечными рядами

При выполнении математических действий с бесконечными рядами необходимо соблюдать правила позиционной системы счисления.

Количество слагаемых

Количество слагаемых бесконечного ряда, представленных в видимой части ряда [1], необходимо рассматривать как аналог записи числа при помощи цифр в позиционной системе счисления. Количество слагаемых в видимой части ряда аналогично округлению обычной десятичной дроби с определенной точностью, то есть до определенного количества знаков после запятой.

При выполнении математических действий с бесконечными рядами, для каждого примера необходимо использовать одинаковое количество слагаемых в видимой части ряда . Если не соблюдать данное правило, это может приводить к ошибочному результату [1]. В математике не принято использовать в одном примере какое-либо число с разной точностью округления.

Сдвиг ряда

Сдвиг бесконечного ряда при выполнении математических действий автоматически приводит к неправильному результату. Это аналогично добавлению нулей в десятичную дробь сразу после запятой.

Рассмотрим пример. Если из любого ряда вычесть такой же ряд без сдвига, результат будет равен нулю. Если при вычитании использовать сдвиг и не учитывать компенсирующую группу слагаемых [1], то результат будет отличным от нуля. Пусть у нас есть ряд S . Запишем ряд –S и сложим эти два ряда. В результате должен получиться ноль. Выполнив сложение без сдвига, мы получаем правильный результат.

5= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...

-S = -l-2-3-4-5-6-...

0= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ...

Сдвиг на одну позицию приводит к неправильному результату.

5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...

-5= -1-2-3-4-5-...

0 = 1 + 1+1+1 + 1+1 + ...

Сдвиг на две позиции приводит к другому неправильному результату.

5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...

-5=    -1-2-3-4-...

0 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2+2 + ...

Сдвиги на произвольное количество позиций позволяют получить бесконечное множество неправильных результатов.

Соблюдение правила об одинаковом количестве слагаемых бесконечного ряда в одном примере и использование компенсирующей группы слагаемых (выделена фигурными скобками) позволяет избежать ошибки. Но в приведенных примерах этот способ более трудоемкий, чем отказ от сдвига.

5 = l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...-5= -1-2-3-4-5-6-...0 = 1 + 1+ 1+1+ l+l + {-6}+...

S = l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...-5=   -1-2-3-4-5-6-...0 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + {-5-6}+...

Проанализируем несколько наиболее известных примеров определения сумм бесконечных расходящихся рядов.

Сумма ряда Гранди

В приведенном примере сумма ряда Гранди [2] равна одной второй, что является не верным результатом.

S = 1 - 1 + 1 - 1 + ...

1 - S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ...) = 1 - 1 + 1 - 1 + ... = s

1 - s = s

1 = 2S

5 = 1

Во второй строке стоит знак равенства между двумя разными суммами: одна сумма состоит из пяти слагаемых, не равных нулю, вторая – из четырех. В этом примере использована оптическая иллюзия равенства разных сумм, если одно слагаемое спрятать за троеточие бесконечности.

Сумма знакопеременного ряда

Ниже приведен знакопеременный ряд [3] и решение по определению его суммы.

1 —2 + 3 —4+--- = j

4e =    (1 — 2 +3 — 4 +•--) + (1 — 2 + 3 — 4+ -• •)     + (1 -2 + 3-4 + --)     + (1 - 2 + 3 - 4 +• ■ •)

= (I - 2 + 3 - 4+ ■■) + ! +(-2+3 - 4 + 5 + -•-)+1+(—2 + 3 — 4+5 H----)+(1 - 2) + (3 - 4 + 5 - 6 • ■ •) =   (1-2 + 3 4+--) + l + (-2 + 3 4 + 5+-) + l + (-2 + 3-4 + 5 + -")-l+(3-4 + 5-6'--)

— 1+ (1 — 2 + 3 — 4 + •••)+ (—2 + 3- 4 + 5 + -)   + ( — 2 + 3 — 4 + 5 + -■ ■)   + (3 — 4 + 5 — 6 ■ ■ ■)

= !+[(!-2-2 + 3)    +(-2 + 3 + 3 -4)        +(3 4 4 + 5)         + (-4 + 5 + 5 6) + - • •]

= l+[ 0 + 0 + 0 + 0 + *'*] 4s = 1

S-4

В предлагаемом решении один и тот же ряд представлен разным количеством слагаемых: от четырех до шести. При выполнении математических действий и перестановке слагаемых игнорируется компенсирующая группа слагаемых. Не рассмотрены два других способа получения суммы 4s : сложение рядов без сдвига и умножение исходного ряда s на 4 . Оба эти способа дают одинаковый результат, что указывает на математическую точность выполненных вычислений.

Сумма натуральных чисел

Рассмотрим сумму бесконечного ряда натуральных чисел. Интуитивно, это расходящийся бесконечный ряд, который не может иметь конечного значения суммы. Но, вот пример вычисления суммы этого бесконечного ряда [4].

с = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + • • ■

4с =   4   +8 +12 4

с -4с-1-2 + 3- 4-85-6 4 -

-Зс = 1 - 2 + 3 - 4 + - - - =  = -

(1 + 1)24

с 12

Типичные ошибки этих вычислений приведены в примере выше. Не выполнена проверка решения: исходный ряд с , умноженный на минус три, равен:

-3-с = -3-6-9-12-15-18-...Вывод

Все приведенные выше способы нахождения суммы бесконечного ряда являются не чем иным, чем подгонкой решения под заданный результат. Никто не мешает математикам устанавливать собственные правила виртуальных игр в числа. Но применение подобных результатов «вычислений» в законах физики приводит к неправильному их пониманию. Например, числовой коэффициент, обусловленный каким-либо физическим параметром или просто поправочный коэффициент, трактуется как сумма какого-нибудь бесконечного ряда. Примером ошибочного истолкования числовых коэффициентов будет следующее утверждение: площадь прямоугольного треугольника равна сумме ряда Гранди, умноженному на произведение его катетов.