Математические модели центров равнодавлений в звездных системах

Звезды в галактике, излучая материальную субстанцию, образуют центры равнодав-лений, в которых рождаются макротела.

В работе [1] дано следующее определение центра равнодавления: "Центр равнодав-ления – это точка в пространстве, где равнодействующая сил, порожденная давлением материальной субстанции, излучаемой другими точками (звездами), равна нулю".

Принцип формирования центров равно-давлений звездами в интервале 5, 10 и 15 световых лет показан на рисунке.

В работах [2–4] исследован процесс образования центров равнодавления и приведены иллюстрации образования центров равно-давлений в звездных системах.

В статье [5] приведен пример, показывающий, что центров равнодавлений в одной и той же звездной системе может быть несколько.

В настоящей статье предлагаются математические модели, позволяющие вычислять координаты центров равнодавлений в звездных системах, исходя из известных координат излучающих материальную субстанцию звезд (прямая задача), а также описан способ вычисления координат излучающих материальную субстанцию звезд, исходя из известных координат центра равнодавления (обратная задача).

Заметим, что существует множество систем координат, позволяющих описывать расположение макротел во Вселенной [6].

В дальнейшем для простоты математической формализации мы будем использовать декартову систему координат с центром координат аналогичным эклиптической системе [7].

Использование декартовой системы нисколько не умаляет общность решаемых ниже задач, так как существующие координаты звезд легко переводятся из одной системы координат в другую.

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ЗВЁЗД В ИНТЕРВАЛЕ 5,10 И 15 СВЕТОВЫХ ЛЕТ

Бернарда

Обозначения

к , • • •, к_т е R ¹ — коэффициенты пропорцио-

Введем следующие обозначения.

Пусть

v = V2

V v3 )

е R3 -

центр равнодавления (центр);

нальности;

v ₂

( v ^

V v3 J

=Z uv i=1

—

символ ска-

лярного произведения векторов u , v е R ³;

II u — v|l = V (u — v, u — v

Z ( u— rf

= 1

—

P о R ³ — область возможного положения центра;

< (1Л u (  (") щ 7 u<" = u ? ,-, u1" ) = (") u2 е R — источни- (0 u V 3 ) (") u V 3  ) ки излучения материальной  субстанции;

норма разности векторов u , v е R ³;

IIF (v )||=    ^ 2,i'MV", "} — v — u

величина

силы, действующая со стороны i — го источника на точку, находящуюся в центре v е R ³;

e i ^{( v} ) = II ^v ^11 ’ i ^{e{ 1}’’”’ ^{m } —}

Iv -u II вектор, направленный от i — го центру v g R3;

единичный источника к

^ min,

u G P o R ³.

F ( ^v ) = l I F ( ^v )|| - ^e i ( ^v ) = I

1                             (i)( k     v—u

-----i—- • 7-----— = k.--. i

II v — u^\2 |v — u“|   i |v — u "f

-, m } -

вектор силы со стороны i — го источника, действующей на точку, помещенную в центр v g R ³;

Нулевое значение целевой функции на оптимальном векторе v0 g R3 будет означать, что прямая задача решена и вектор v0 g R3 представляет собой радиус-вектор искомого центра. Заметим, что в случае отсутствия ограничений, т. е. когда P = R3, у задачи все гда имеется решение v0 = ^

mm

F ( v ) = E F i ( v ) = E k i • i = 1                   i = 1

—

вектор равнодействующей всех сил со стороны источников, приложенных к точке, помещенной в центр v g R ³.

Прямая задача (задача 1)

Пример 1

Дано:

( 1 '

m = 4, u ^{( 1 )} = 0

0 k ^о J

( 1 Л

( 0 Л

( о Л

Дано:

и ( 1 )- u

Л (1)Л ^u1

u ^{( 1 )}

u ^{( 1 )} k ³ J

g R ³,---, u^(m ) —

, ,F= 1

, u '”=   0

_k о J

k ¹ J

, u ^{( 4 )} =   1  , k 1 = k 2 = k 3 = k 4 = 1 ,

k 1 J

P Ч

Х_г , X ₂, X ₃ G

, ,

( m ) ^ui

u

u k -

' ( m )

, ( m )

³ J

g r ³, v-

k m G R 1 , P О R ³ .

v ₁

x

Вектор равнодействующей записывается в виде

F ( v ) = E F i ( v ) = E k i'

Найти центр v ⁰

v 2 ⁰

G P

( i ) v — u ’

I v — u ^{( i} )|

v =

из условия

равенства нулю равнодействующей F ( v ) .

Целевая функция имеет вид

All² _ / V ^{v — u}i  V ^{v — u}i

I ^{v — u}i lf’ i =1 l ^{v — u}-|³

x ₁

k x 3 J

.

.

Решение:

Вектор v⁰ g R ³ будем искать как решение следующей задачи математического программирования на условный экстремум:

mm

II F ( v )ll =te F ( v ) • E F ( v )) =

\ i — 1               i = 1            /

Пример решался в среде пакета "Mathe-matica".

Для решения задачи математического программирования применялась команда

NMinimize[{ F [x1,x2,x3],-1

Результаты расчетов:

{2.90892*10Л-30, {x1 -> 0.5, x2 -> 0.5, x3 -> 0.5}}.

Как видно из приведенных расчетов, значение целевой функции в найденной точке

mm

IF ( v ” )| — ZF ( v" ),ZF( v ”) —

i=1

i=1

v⁰

' 0.5 '

0.5

. 0.5,

равно 2.90892 x10 ³⁰, т. е прак-

m

ZV i—1

0        (i)

v — w’

I v⁰ — и⁽‘)

m

p Z V i —1

v0 — и 1)  \       .

------- ^ min, Iv⁰ — U «I

тически

ноль. Следовательно, точка

v⁰

^Л0.5 ^

0.5

совпадающей с целевой функцией прямой задачи. Однако здесь ее переменными явля-

является искомым центром.

0.5

ются

Обратная задача (задача 2)

Используя обозначения предыдущего пункта, сформулируем задачу, обратную к задаче 1.

Дано:

и (1) -и

(и u		( (—) А U
и (’) u	,-, и-) —	(—) U
(1) и		(—) U
V 3J		V 3J

, а пара- v

v

v⁰

v

v

€ R³, k,•••,k_m € R\ p c R³, i e{1,---,—}.

Найти:

(1) и\⁷

u (1) = и

u

u

V -

•S’

-(1)

³J

п        (—)

€ P,---,U 1 —

для которых mm

F (v 0) —Z F (v 0) —Z kr

метры v⁰

v

v

€ R³считаются известными.

Ограничения на переменные имеют вид

и (1) = и—

(—)

U1

u

u

V

< m

■ 3-)J

^{€ P}m ,

0        (i)

v — w^}

I v0 — u 2 ‘)

я — 0.

Здесь p c R³, i €{1, • • •, —} — области предположительного расположения источников. Очевидно, что если допустить свободное расположение источников во всем пространстве R³, то задача 2 будет иметь бесконечно много легко строящихся решений.

Решение:

Вектора

U1

( (—) A

^U1

и (1) -и

u

u

v ■

'(1)

³J

(—)

€ P,---,U ’ —

u

u

V

' 2^m)

, (m)

'³   J

^GPm  будем

искать как решение задачи математического программирования на условный экстремум, с целевой функцией

U1

(—)

U1

u

u

V

'(1)

' (1)'3 J

(—)

€ P,---,U 1 —

u

u

V

, 2-) ■ 3■)

€ P— -

Задача 2 считается решенной, если оптимальное значение целевой функции равно нулю.

Пример 2

Дано:

v⁰

^Л0.5

0.5  €R³, p,---,P4 cR³,

. 0.5,

^U11

^{P —} ’ ^U12  ^(U1

P2—^

p 4

—

1)2 + (и» )2 +(U13 )2 < 14,

V ^U13 J

u₂₁ u22 ^u

^{( U} 21 ) ^{+( U} 22

—

u₃₁ u₃₂ ^u

(^U31 )^{2 +}(^U32 )^{2 +}(^U33

—

( u 41

- 1) ⁺⁽u42 - 1) ⁺⁽u43 - 1) - 12 ’

Представляет интерес решение прямой задачи, в которой положение источников определяется векторами

_ (10) (20)   (30)   (40)                                 _ u ,u , u ,u , найденными как реше-

Вектор равнодействующей записывает-

а множество

ся в виде

F (v0) = Z k.

i—1

0        (i)

v — u

I v 0 — u «IГ

ние обратной задачи,

совпадает с

u 0 = u

( ah u⁽ )

f (4 h ^u1

u (1) u₂

u (4) —

U (⁴) u₂

u У к 3 7

u 5⁴)

к 3  7

Целевая функция имеет вид

Пример решался в среде пакета "Mathe-matica".

ограничениями исходной задачи 1.

Результаты расчетов:

{1.51618*10^-20,  {x1  -> 0.500006, x2  ->

0.500002, x3 -> 0.5}}.

Как видно из расчетов, значение целевой функции в найденной точке

(0.500006

v⁰ — 0.500002

0.5

Для решения задачи математического программирования применялась команда

NMini- mize[{F[u11,u12,u13,u21,u22,u23,u31,u32,u33,u

41,u42,u43]

равно

1.51618х10 ²⁰ , т. е. практически ноль.

Легко видеть, что имеет место совпадение полученных координат центра с теми, которые были вычислены при решении исходной прямой задачи в примере 1.

Результаты расчетов:

{3.62867*10^-16, {u11 -> 1.17403, u12 ->

0.102601, u13 -> 0.556784, u21 -> -0.571177, u22 -> 0.885622, u23 ->

0.786926, u31 -> 0.14806, u32 -> -0.411013, u33 -> 0.401974, u41 ->

0.321408, u42 -> 1.26398, u43 -> 0.405633}}.

Как	видно из расчетов,	значение целе-
вой функции в найденных точках
	^ 1.17403 Л        '	—0.571177^
и (10) -u  —	0.102601 , u(20) —	0.885622  ,
	к0.556784J       к	0.786926 7
	^ 0.14806 Л	" 0.321408^
u(30) —	—0.411013 . u(40) —	1.26398
	к0.401974 J	к 0.405633J

равно 3.62867 х10 ¹⁶ 3.62867*10^Л-16, т. е практически ноль. Следовательно, точки

(10)    (20)    (30) (40)

u ,u ,u u являются искомыми источниками. Найденные точки не совпадают с теми, которые фигурировали в условиях прямой задачи примера 1. Отсюда следует не единственность решения обратной задачи.

Заключение

Таким образом, в настоящей статье впервые предложены математические модели, позволяющие решать прямую и обратную задачи определения координат центров равно-давлений и источников формирования центров равнодавлений.

Другие группы звезд образуют другие центры равнодавлений. Звезды могут входить одновременно в другие группы звезд, образуя другие центры равнодавлений.