Математические модели и оптимальное управление процессами фильтрации и деформации

В связи с высоким темпом развития производства, и техники возникает все большая потребность в построении и изучении математических моделей, в частности, описывающих процессы упругости и фильтрации. Проведение натурных экспериментов дорого, поэтому возможность изучения процесса, при помощи математического моделирования достаточно актуальна. Большой класс математических моделей основан на. полулинейных неклассических уравнениях в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени. В современной научной литературе такие модели принято называть математическими моделями Соболевского типа.

Как правило, процессы, протекающие в механике, технике и производстве, управляемы. Особую роль играет исследование внешнего воздействия на. изучаемый процесс, при помощи которого мы можем добиться желаемого результата. Изучение задач оптимального управления носит несомненно практический характер.

В статье описываются разработанные автором методы, при помощи которых изучаются следующие математические модели: математическая модель Осколкова, нелинейной фильтрации, обобщенная математическая фильтрационная модель Буссинеска, обобщенная математическая модель деформации конструкции из двутавровых балок. Рассмотрим каждую отдельно.

• 1.    Математическая модель Осколкова нелинейной фильтрации. Пусть П С R n - ограниченная область с границей д П класса C'У В цилиндре П х R₊ рассмотрим условие Дирихле

• 2.    Обобщенная математическая фильтрационная модель Буссинеска. В цилиндре П х R+ рассмотрим условие Дирихле (1) для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска

• 3.    Обобщенная математическая модель деформации конструкции из двутавровых балок. Пусть G = G ( V ; E ) - конечный связный ориентированный граф, где V = {Vi}M ~ множеств о вершин, a E = {Ej }j =j - множество дуг. Мы предполагаем, что каждая дуга имеет длину lj >  0 и площадь поперечного сечения ребра dj >  0. На графе G рассмотрим уравнения

x ( s,t ) = 0 , ( s, t ) Е д П х (0 , T ) (1) для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации

( А — A) xt — a A x + |x|^{p 2} x = u.

Условие Дирихле (1) и уравнение (2) образуют модель Осколкова нелинейной фильтрации. Уравнение (1) моделирует процесс фильтрации вязкоупругой несжимаемой жидкости (например, нефти). Искомая функция x = x ( s,t ) соответствует давлению фильтрующейся жидкости; параметры a, А Е R+ характеризуют вязкие и упругие свойства жидкости соответственно; свободный член u = u ( s,t ) отвечает внешней нагрузке. Различные начальнокраевые задачи для уравнения (2) в разных аспектах были исследованы А.П. Осколковым и его учениками [1] в случае положительности параметра А . Однако экспериментально [2] было показано, что параметр А может принимать отрицательные значения. В работе [3] показано, что фазовым пространством уравнения (2) при а = 0 , p >  2 служит простое гладкое банахово многообразие.

( А — A) xt — A( |x|^{p- 2} x ) = u. (3)

Условие Дирихле (1) и уравнение (3) образуют обобщенную фильтрационную модель Буссинеска. Уравнение (3) является наиболее интересным частным случаем уравнения, полученного Е.С. Дзекцером [4]. Здесь искомая функция x = x ( s, t ) отвечает потенциалу скорости движения свободной поверхности фильтрующейся жидкости; параметры a Е R+ , А Е R характеризуют среду, причем параметр А может принимать отрицательные значения; свободный член u = u ( s, t ) соответствует внешней нагрузке, т.е. истокам и стокам жидкости. Исследование разрешимости неоднородной задачи было начато в [5].

j : —Аxjt — xjtss + ajjxj + ajxj + ... + ajxj^k- ¹ = uj, (4)

для всех s Е (0 ,lj ) , t Е R , j = 1 , N . Для уравнений (1) в каждой вершине Vi, i = 1 , M зададим краевые условия

У^     dr xrs ( lr ,t ) = 0 ,

r : Er ЕЕ ^ш ( Vi )

xj = Xj ( s, t ) показывает отклонение балки от вертикали под действием постоянной нагрузки А G R+. Пара метры aj Е R характеризуют свойства материала балки; свободный член Uj = Uj ( s,t ) соответствует внешней (боковой, в случае n = 1) наврузке на j-e ребро графа. В работе [7] показано, что фазовым пространством уравнений (4) в случае к = 1 при aj " ^а2 >  0 служит простое гладкое банахово многообразие. Впервые уравнения Хоффа на графах в случае к = 1 были изучены в [8].

Данные математические модели в подходящим образом подобранных функциональных банаховых пространствах X и U редуцируются к абстрактному полулинейному уравнению

k

L X + Mx + ^^ Nj ( x ) = u, ker L = { 0 }.                      (7)

j =1

К настоящему времени сложилась традиция, поддерживаемая работами как отечественных [9-16], так и зарубежных [17,18] математиков, называть уравнения вида (7) и их конкретные интерпретации (2) - (4) уравнениями Соболевского типа. Сегодня уравнения Соболевского типа составляют обширную область в неклассических уравнениях математической физики. Наше исследование примыкает к направлению, созданному и возглавляемому Г.А. Свиридюком. В основе данного направления лежит метод фазового пространства, основы которого были заложены в работах [19,20]. Основной упор в этих исследованиях делается на изучение морфологии фазового пространства уравнения (7), что позволяет найти условия существования решения задачи Коши x (0) = x о                                          (8)

для уравнения (7). Основной трудностью изучения задачи Коши является принципиальная неразрешимость задачи (7), (8) при x о , взятых пусть да же из плотного в X линеала. Другой успешный подход к изучению вырожденных уравнений представлен в [21].

Нашей целью является получение условий разрешимости задачи Коши (8) для уравнения (7). Наряду с условием Коши будем рассматривать условие Шоуолтера - Сидорова

L ( x (0) — x о) = 0 .                                        (9)

В [22] показано, что условие (9) для уравнения (7) является более естественным и позволяет избежать трудностей, связанных с изучением задачи Коши (7), (8). Условие Шоуолтера -Сидорова (9) является прямым обобщением условия Коши (8). Более общим начальным условием для линейных уравнений Соболевского типа, чем условие (9), является начальноконечное условие [23].

Рассмотрим оптимальное управление

J ( x, u ) ^ min                                    (10)

решениями задач (7), (8) и (7), (9). Здесь J(x,u) - некоторый специальным образом построенный функционал качества; управление и Е Uad, г де Uad - некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений U. Линейная задача оптимального управления для уравнения Соболевского типа с начальным условием Коши впервые была поставлена и изучена Г.А. Свиридюком и А.А. Ефремовым [24]. Развитие результатов Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова на случай (L,p)-радиального оператора с начальным условием Шоуолтера -Сидорова было сделано В.Е. Федоровым и М.В. Плехановой [25]. Далее задача оптимального управления для линейного уравнения Соболевского типа с начально-конечным условием была изучена в [26]. Приминение условия Шоуолтера - Сидорова (9) привело к упрощению численных исследований систем леонтьевского типа [27], а также задач оптимального управления для них [28]. В последнее время появивлись приложения задач оптимального управления для систем леонтьевского типа к проблемам динамических измерений [29,30]. В [31] начато изучение задач оптимального управления для уравнений Соболевского типа высокого порядка.

Для изучения вопроса существования решения задач (7), (8) и (7), (9) с самосопряженным, неотрицательно определенным, фредгольмовым оператором L и s -монотонным и р -коэрцитивным оператором M будем использовать метод монотонности. Построим приближенные решения посредством метода Валеркина - Петрова. Идейно наши результаты близки к [32-35]. Существование приближенных решений доказывается с помощью теоремы существования решения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для метода монотонности требуется построение априорных оценок. Наиболее простые априорные оценки проистекают из физических соображений и свойств операторов L и M. Доказательство единственности решения существенным образом опирается на свойство s -монотонности оператора M. Далее мы исследуем вопрос существования оптимального управления задачи (10) решениями задач (7), (8) и (7), (9).

1.    Разрешимость задачи Кошии задачи Шоуолтера - Сидорова

Динамический случай

Пусть H = ( H ; (•, •) ) - вещественное сепарабельное гильбертово пространство, отождествленное со своим сопряженным; (H, H * ) и ( B j, B * ) , j = 1 ,k,k Е N - дуальные (относительно двойственности (•, •) ) пары рефлексивных банаховых пространств, причем вложения

H ^ B к ^ ... ^ B 1 =^Н ^ B * ^ ...^ B к ^ H*             (И)

плотны и непрерывны. Пусть L Е L ( H ; H * ) - линейный, непрерывный, самосопряженный, неотрицательно определенный, фредгольмов оператор, чей ортонормальный (в смысле H) набор собственных векторов {фк} образует базис в пространстве H , a M Е L(H; H * ) - линейный, непрерывный, симметричный, 2-коэрцитивный оператор. Пусть Nj Е Cr ( B j ; B * ) , r >  1 , j = 1 , k - s-мопотоппые ii pj -коэртштнвпые операторы, где pj >  2 11 pk = max pj имеют j симметричную производную Фреше.

Рассмотрим задачу Коши (8) для полулинейного уравнения Соболевского типа (7). Ввиду самосопряженности и фредгольмовости оператора L отождествим H D ker L = coker L С H*. Поскольку coker L копечполiepiio. то H* = coker L ® im L. B к = coker L ® [im L П B к ]• Значит, существует проектор Q вдс).дь coker L ii a im L П B ф

Сделаем допущение, что

(I -Q ) u ne зависит от t Е (0 ,T ) ,                            (12)

и построим множество

k

M =

{x Е H : (I —Q ) Mx + (I —Q ) ^ Nj ( x ) = (I —Q ) u}, если ker L = { 0 } ; j =1

H,   ec. th   ker L = { 0 }.

Введем в рассмотрение множество coim L = {x Е H : Д ,ф) = 0 Уф Е ker L \ { 0 }}. Построим пространство X = {x| x Е L^ (0 , T ; coim L ) П Lpk (0 , T ; M ) , зс Е L 2(0 , T ; H ) }.

Определение 1. Слабым обобщенным решением уравнения (7) назовем вектор-функцию x G X, удовлетворяющую условию

Td                     k                  T f ф(t)   L—x, w) + (Mx, w( +52 (Nj(x), w) dt = / ф(t) (u, w) dt

0             ^dt                       j =1                    0

Vw G H, ^ф G L 2(0 ,T ) .

Решение уравнения (7) назовем решением задачи Коши, если оно удовлетворяет (8).

Система, {фк} собственных век торов оператора L тотальна в пространстве H. а титанит. в силу вложений (11) тоталвна в пространствах B к и H. Построим галеркинские приближения решения задачи (7), (8). Для этого выберем в H ортонормальнуто (в смысле H ) тотальную систему {ф_i} так, чтобы span {ф 1 , ф ₂ ,..., ф1} = ker L, dimker L = l. Построим галеркинские приближения решения задачи (7), (8) в виде

m xm(t) = ^ai(t)фi, m > l, i=1

где коэффициенты ai = ai ( t ) , i = 1 , ...,m определяются следующей задачей

Ldxm,фi^ + Mxx^m + £ Nj ( xm ) ,ф^ = (u, Фi) ,

(xm(0) - x0, фi) = 0, xm(0) ^ x0 сильно в нутостраистве H.

Уравнения (16) представляют собой вырожденную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть T_m G R+ , T_m = T_m ( x 0) , B mm = span {ф 1 , ф ₂ ,..., ф_т}.

Лемма 1. [36] При любых x 0 G M и m >  dimker L существует единственное локальное решение xm G Cr (0 ,T_m ;M) задачи (16). (17).

Теорема 1. [36] При любых x 0 G M , T G R+ , u G L ₂(0 , T ;H * ) таких, что выполнено (12), существует единственное решение x G X задачи (7), (8).

Перейдем к рассмотрению вопроса, сущестования решения задачи Шоуолтера. - Сидорова (9) для уравнения (7). Обозначим через P проектор пространства H вдоль ker L на coim L. Обозначим через x ¹ = Px. Построим пространство

X1 = {x| x G L^ (0 ,T ; coim L ) П Lpk (0 ,T ; B k ) , x ¹ 6 L 2(0 ,T ;coim L ) }.

Определение 2. Слабым обобщенным решением уравнения (7) назовем вектор-функцию x G X1 , удовлетворяющую условию (14). Решение уравнения (7) назовем решением задачи Шоуолтера - Сидорова, если оно удовлетворяет (9).

Построим галеркинские приближения решения задачи (7), (9). Аналогично задачи Коши выберем в H ортонормальнуто (в смысле H ) тотальную систему {ф Д так. ^тттобы span {ф 1 , ф ₂ ,..., ф1} = ker L, dimker L = l . Построим галеркинские приближения решения задачи (7), (9) в виде (15), где коэффициенты ai = ai ( t ) , i = 1 , ...,m определяются следующей задачей

(Lxm, фi) + (Mx^m, фi) + j N₃ ( xm ) ,ф^ = (u, фi),

(L ( xm (0) — x о) , ф_i) = 0 , i = 1 , ...,m.                              (20)

Lxm (0) ^ Lx о сильно в пол пространстве coim L.                 (21)

Уравнения (19) представляют собой вырожденную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть Tm Е R+ , Tm = Tm ( x о) , B mm = span {ф i , ф ₂ ,..., ф_т}.

Лемма 2. [37] При любых x о Е H и m >  dimker L существует единственное локальное решение xm Е Cr (0 , Tm ; B mm ) задачи (19). (20).

Теорема 2. [37] При любых x о Е H , T Е R+ , и Е L 2(0 ,T ; H * ) существует единственное решение x Е Xi задачи (7). (9).

Рассмотрим уравнение

k

L x + ^ Nj ( x ) = и.                              (22)

j =1

Аналогично предыдущим рассуждениям исследуем вопрос существования единственного слабого обобщенного решения задач (8), (22) и (9), (22).

Определение 3. Слабым обобщенным решением уравнения (22) назовем вектор-функцию x Е X, удовлетворяющую условию

Tdk                  T

J ф ( t )    L—x, w) + 52 (Nj ( x ) , w) dt = / Ф ( t ) (u, w) dt

о             ^dt          j =1                    о

^w Е H, Уф Е L 2(0 ,T ) .

Решение уравнения (22) назовем решением задачи Коши, если оно удовлетворяет (8). Решение уравнения (22) назовем решением задачи Шоуолтера - Сидорова, если оно удовлетворяет (9).

Построим галеркинские приближения решения задач (8), (22) в виде (15), где коэффициенты Qi = ai ( t ) , i = 1 , ...,m определяются следующей системой алгебро-дифференциальных уравнений

( ^Ldl г ^,Фi ) ⁺ ^^^ Nj ⁽ xm ) ,ф^ = ^(u,Фi⁾

и удовлетворяют (17), (18) или, соответственно, (20), (21).

Теорема 3.

существует

[36] При любых x о Е M , T Е R+ , и Е Lqk (0 , T ; B k ) таких, что выполнено (12), единственное решение x Е X задачи (8), (22).

Теорема 4. [37] При любых x о Е H , T Е R+ , и Е Lqk (0 , T ; B k ) существует единственное решение x Е Xi задачи (9). (22).

Эволюционный случай

Пусть H = ( H ; (•, •) ) - вещественное сепарабельное гильбертово пространство, отождествленное со своим сопряженным; (H , H * ) и (B , B * ) - дуальные (относительно двойственности (•, •) пары рефлексивных банаховых пространств, причем вложения

B k ^ ... ^ B1 ^ H =^Н ^ H* ^ B * ^ ... ,^ B k

плотны и непрерывны.

Рассмотрим задачу Коши (8) для полулинейного уравнения Соболевского типа (22). Пусть операторы L Е L (H; H * ) и Nj Е Cr (B j ; B * ) , j = 1 , k обладают всеми свойствами, введенными в начале параграфа.

Ввиду самосопряженности и фредгольмовости оператора L отождествим H D ker L = coker L С H * . Очевидыо. H * = coker L ф im L. Обозпачим через im L замы канне im L b топологии B к. тогда B к = coker L ф im L. Обозначим через Q проектор B к вдс).тв coker L на im L n аналогично динамическому случаю сделаем допущение, что

(I -Q ) и не зависит от t Е (0 ,T ) .                            (2G)

Аналогично динамическому случаю введем в рассмотрение множества

k

M =

{х Е B к : (I —Q ) Mx + (I —Q ) £ Nj ( х ) = (I —Q ) и}, если ker L = { 0 } ; j =1

B к, ec. th ker L = { 0}, coim L = {и Е H : (и, v) = 0, Vv Е ker L\{0}}.

Обозначим через; P проектоp вдоль ker L ii a coim L П B к = B к.

Теорема 5. [36] При любых х о Е M , T Е R+ , и Е Lqk (0 , T ; B к ) таких, что выполнено (26), существует единственное решение х Е X задачи (8), (22).

Теорема 6. [37] При любых х о Е B к, T Е R+ , и Е Lqk (0 ,T ; B к ) существует единственное решение х Е Х₁ задачи (9). (22).

2.    Оптимальное управление

Пусть H = ( H ; (•, •) ) - вещественное сепарабельное гильбертово пространство, отождествленное со своим сопряженным; (H , H* ) и (B j, B * ) ,j = 1 ,k,k Е N - дуальные (относительно двойственности (•, •) ) пары рефлексивных банаховых пространств, причем вложения

H ^ B к ^ ... ^ Bi ^ H ^ B * ^ ... ^ B к ^ H*

плотны и непрерывны, а вложение

HbH компактно. Пусть операторы L Е L(H; H*), M Е L(H; H*) и Nj Е Cr(Bj; B*), r > 1 ,j = 1, k обладают свойствами и. 1.

Построим пространство U1 = L 2(0 , T ; H* ) и определим в пространстве U1 непустое замкнутое и выпуклое множество U ad. Рассмотрим задачу оптимального управления

k

L а. + Мх + ^^ Nj ( х ) = и, L ( х (0) — х о) = 0 ,                    (30)

j =1

J ( х,и ) ^ inf , и Е Uad,                                  (31)

где функционал штрафа задается формулой

T

J ^{( х,и} ) = ^а j ||^{х (} t ) ^— zd ⁽ t ) | |B kk о

T dt + ej 0« (t)1H dt. о

а + в — 1 ,

где Zd = Zd ( t ) - желаемое состояние.

Определение 4. Пару ( x, u) G X₁ хUad назовем решением задачи оптимального управления (30), (31), если

J ( x, U ) = inf J ( x,u ) ,

( x,u )

где пары ( x,u ) G X₁ х U^d удовлетворяют (30) в смысле onеределения 2; вектор-функцию u назовем оптимальным управлением в задаче (30), (31).

Замечание 1. Допустимым элементом задачи (30), (31) назовем пару ( x,u ) G X₁ х Uad, удовлетворяющую задаче (30), для которой

J ( x, й ) <  + то.

Поскольку множество U ad = 0, то для любого u G U ad С Ui в силу теоремы 2 существует единственное решение x = x ( u ) задачи (30).

Теорема 7. [37] При любых x о G H , T G R+ существует решение задачи (30), (31).

Перейдем к рассмотрению задачи оптимального управления решениями задачи Коши для полулинейного уравнения Соболевского типа. Построим пространство U = {u G L ₂(0 ,T ; H* ) : (I — Q ) u = 0 , t G (0 ,T ) } 11 определим в пространстве U непустое 'замкнутое ii выпуклое множество Uad. Рассмотрим задачу оптимального управления

k

L x + Mx + ^ Nj ( x )= u, x (0) = x 0 ,                    (33)

j =1

J ( x,u ) ^ inf , u G Uad,                                  (34)

где функционал штрафа задается формулой (32).

Определение 5. Пару ( x, u ) G X хUad назовем решением задачи оптимального управления (33), (34), если

J ( x, u ) = inf J ( x,u ) ,

( x,u )

где пары ( x,u ) G X х Uad удовлетворяют (34) в смысле о переделения 1: вектор-фупкппто u назовем оптимальным управлением в задаче (33), (34).

Теорема 8. [36] При любых x о G M , T G R+ существует решение задачи (33), (ЗД.

Построим пространство U2 = Lqk (0 , T ; B к ) и определим в пространстве U2 непустое замкнутое и выпуклое множество Uad. Рассмотрим задачу оптимального управления

k

L x + ^^ Nj ( x ) = u, L ( x (0) — x 0) = 0 ,                        (35)

j =1

T

^{J ( x,u} ) = а У || x ⁽ t ) ^— zd ⁽ t ) | |B kk

T dt+в J iu(t) hb^ 0

dt ^ inf , u G U ad.

Построим пространство U3 = {u G Lqk (0 , T ; B к : (I — Q ) u = 0 , t G (0 , T ) } и определим в пространстве U3 непустое замкнутое и выпуклое множество Uad. Рассмотрим задачу оптимального управления

k

L зс + ^2 Nj ( x ) = u, x (0) = x 0 ,                           (37)

j =1

T

J ^{( x,}u ) = ^а j ||x ⁽ t ) - zd ⁽ t ) | |B _fc

T dt + ej |u(t) IB

dt ^ inf , u G Uad,

где а + в = 1, Zd = Zd(t) _ желаемое состояние. Аналогично предыдущим построениям справедливы следующие теоремы.

Теорема 9. [37] При любых x о G H , T G R+ существует решение задачи (35), (36).

Теорема 10. [36] При любых x о G M , T G R+ существует решение задачи (35), (38).

3.    Математическая модель Осколкова нелинейной фильтрации

В цилиндре И х R+ рассмотрим условие Дирихле (1) для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации (2). Рассмотрим условие Шоуолтера - Сидорова

( А — А)( x ( s, 0) — x о( s )) = 0 , s G И

или условие Коши

x ( s, 0) = x о( s ) , s G И                                      (10)

для модели (1), (2).

о

Обозначим через H = W 2(И). B = Lp (И). H = L ₂(И). Обозначим через {фк} последовательность собственных функций однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа ( — А) в области И, а через {Ак} - соответствующую последовательность собственных значений, занумерованную по неубыванию с учетом кратности. Построим множества

M=

I

H, если А > —А 1;

{x G H : /( —а А x + |x|p ² x ) ф 1 ds = J иф 1 ds}, если А = —А 1 ,

ΩΩ

	H , если А > —А i; coim L = {x G H : (x, ф 1 ) = 0 }, если А = —А 1 ,
и проектор	п = J     I , если А > —А 1; [ I — (•, ф 1 ) , если А = —А 1 .

Построим пространство

X = {x| x G L^ (0 ,T ; coim L ) П Lpk (0 ,T ; M) , x G L 2(0 ,T ; H) }.

Определение 6. Слабым обобщенным решением уравнения (2) назовем вектор-функцию x G X, удовлетворяющую условию j ф (t) [ / ((А — А) xtw — а А xw + |x|p 2 xw) ds] dt =

= j ф ( t ) / uwds dt, ^w G L ₂(И) , ^ф G L2 (0 , T ) .

0Ω

Решение уравнения (2) назовем решением задачи Коши, если оно удовлетворяет (40).

Построим пространство

X1 = {x| x G L^ (0 ,T ; coim L ) П Lp (0 ,T ; B) , x ¹ G L 2(0 ,T ;coim L ) }.

Определение 7. Слабим обобщенным решением уравнения (2) назовем вектор-функцию x Е X1, удовлетворяющую условию (41). Решение уравнения (2) назовем решением задачи Шоуолтера - Сидорова, если оно удовлетворяет (39).

Система {фк} собственных век торов оператора L в силу вложений (25) образует базис в ° ° пространстве W2(П). Выберем в W2(П) ортопормалт>иуто систему {фi} так. тгтобы span{ф 1, ф2,..., ф1} = ker L, dimker L = l. Построим галеркинские приближения решений задачи (1), (2), (39) и задачи (1), (2), (40) в виде (15), где коэффициенты ai = ai(t), i = 1 ,...,m определяются системой уравнений

J (( А — А) x^i — а А xф_i + |x|^{p 2} xф_i ) ds = J uф_ids, ΩΩ

в случае условия Шоуолтера - Сидорова (39) - условием j (А — А) (Xm(s, 0) — xо(s))фi(s)ds = 0, Ω

• а. в случае условия Коши (40) - условием

j ( Xm ( s, 0) — X о( s )) фi ( s ) ds = 0 . Ω

Уравнения (42) представляют собой вырожденную систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теорема 11. [38] Пусти А > —А 1 , а Е R+ и n >  2, 2 < p <  2 + n—2 и ли n = 2, p Е (1 , + то ), тогда при любых x о Е M , T Е R+ , и Е L 2(0 , T ; H * ) таких, что выполнено (12), существует единственное решение x Е X задачи (1), (2), (40).

Теорема 12. [38] Пусти А > —А 1 , а Е R+ и n >  2, 2 < p <  2 + n⁴ 2 и ли n = 2, p Е (1 , + то ), тогда при любых x о Е H , T Е R+ , и Е L 2(0 , T ; H * ) существует единственное решение x Е X1 задачи (1). (2). (39).

В цилиндре Q t = П х (0 , T ) зададим функционал качества

TT

J ^{( x,u} ) = ~   ll ^{x —} zd^2= _1/n tit + —    ||un²_W- i_(Q) dt ^ ^inf                (15)

• ² J              W 2 (‘t)        ^{2             2}

и перейдем к рассмотрению задачи оптимального управления для модели Осколкова нелинейной фильтрации (1), (2) с условием Коши (40). Выберем Uad С L 2(0 ,T ; W- 1(П)) - непустое, замкнутое, выпуклое множество, для которого выполнено (I — Q ) и = 0.

Теорема 13. [38] Пусти А > —А 1 , а Е R+, n > 2 и 2 < p <  2 + n- 2 и ли n = 2, p Е (1 , + то ), тогда при любых x о Е M , T Е R+ существует оптималиное управление решениями задачи (1), (2), (40), (45).

Перейдем к рассмотрению задачи оптимального управления для модели Осколкова нелинейной фильтрации (1), (2) с условием Шоуолтера - Сидорова (39). Введем пространство управлений U = L 2(0 , T ; W— (П)) и выберем непустое, замкнутое, выпуклое множество Uad, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 14. [38] Пусть А > —А 1 , a E R+, n >  2 и 2 < p <  2 + n- 2 и ли n = 2, p E (1 , + то ), тогда при любых x о E H , T E R+ существует оптимальное управление решениями задачи (1), (2), (39), (45).

Приведем теперь необходимые условия, которым удовлетворяет любое оптимальное управление и решениями задачи (1), (2), (39).

Теорема 15. [37] Пусть А > —А 1 , a E R+ ii n >  2.2 < p <  2+ n-2 шга n = 2. p E (1 , + то ). если и - оптимальное управление задачи (1), (2), (39), (45), то существует вектор-функция y E L^ (0 ,T ; coim L ) П L ₂(0 ,T ; H ) такая, что

( А — А) xt — a А x + |x|^{p- 2} x = u,

^{( —А + A)} yt ^{— a А} У ^{+ ( p —} 1) ^{|x|p 2} y = ^{( — А)( x (} u ) ^— zd ) , ⁽ s, t ) ^{E q} t ,

x ( s, t ) = y ( s, t ) = 0 , ( s, t ) E д И х (0 , T ) ,

( А — А)( x ( s, 0) — x o( s )) = 0 , ( —А + А) y ( s, T ) = 0 , s E И , j ( y + N ( — А) ^- 1( и ))( v — и ) dsdt >  0 , -v E Uad.

QT

(1),

Обобщенная математическая фильтрационная модель Буссинеска

В цилиндре И х R+ рассмотрим математическую фильтрационную модель Буссинеска (3). Для модели (1), (3) рассмотрим начальное условие Шоуолтера - Сидорова

( А — А)( x ( s, 0) — x о( s )) = 0 , s E И

или

условие Коши

x ( s, 0) = x о( s ) , s E И.

Положим H = W- 1(И) , H = L ₂(И) , B = Lp (И). Определим в H скалярное произведение формулой

= Jxyds -xy ^EH

Ω где y - обобщенное решение однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа (—А) в области И. Поло жим B * = (Lp (И)) * и H * = (L 2(И)) *, г де (Lp (И)) * - сопряженное относительно двойственности (48) пространство. Построим множества

H, если А > —А 1;

coim L =

{x E H : (x, ф 1 ) = 0 }, если А = —А 1 ,

M=1 {

B , если А > —А 1;

x E B : / |x|^p- ² xф 1 ds = J иф1 ds}}, если А = —А 1 ,

Ω

Ω

и проектор

Q = {

Определение 8. Слабым обобщенным решением уравнения (3) назовем функцию x Е X, удовлетворяющую условию

J ф(t) (Xxtw + xtw + a|x|p 2xw)ds dt = о q

T

= J ф ( t ) J uwds dt, He Е L ₂(П) , ^ф Е L ₂(0 , T ) .

о

Q

Решение уравнения (3) назовем решением задачи Коши, если оно удовлетворяет (47).

Построим пространство

X 1 = {x| x Е L^ (0 , T ; coim L ) О Lp (0 , T ; Lp (П)) , dx Е L ₂(0 , T ; coim L ) .

Определение 9. Слабым обобщенным решением уравнения (3) назовем функцию x Е X1, удовлетворяющую условию (49). Решение уравнения (3) назовем решением задачи Шоуолтера - Сидорова, если оно удовлетворяет (46).

Система {фк} собственных век торов оператора L в силу вложений (25) образует базис в пространстве W- 1(П). Выберем в W- 1(П) ортопормалвнуто систему {ф_i} так. чтобы span {ф 1 , ф ₂ ,..., ф1} = ker L, dimker L = l. Построим галеркинские приближения решения задачи (1), (3), (46) и задачи (1), (3), (47) в виде (15), где коэффициенты ai = ai ( t ) , i = 1 , ...,m определяются системой уравнений

J ( Xxtфi + xtфi + a|x|^{p- 2} xфi ) ds = J ифids, Q                              Q

в случае условия Шоуолтера - Сидорова (46) - условием j [(X (xm(0) - xо) фi + (xm(s, 0) - xo(8)) фi (8)] ds = 0, Q а в случае условия Коши (47) - условием j (xm(s, 0) - xо(s)) фi(s)ds = 0. Q

Уравнения (50) представляют собой вырожденную систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теорема 16. [39] Пусть p > n+2, X > —X i. тогда щхи любых x о Е B , T Е R+ , и Е Lq (0 ,T ; B * ) существует единственное решение x Е X1 задачи (1). (3). (Дб).

Теорема 17. [39] Пусть p > ПП, X > —X 1, тогда при любых x о Е M , T Е R+ , и Е Lq (0 ,T ; B * ) таких, что сыполисио (36Х супщствуст единственное решение- x Е X задачи (1), (з), ШУ

Перейдем к рассмотрению задачи оптимального управления для обобщенной фильтрационной модели Буссинеска (1), (3) с условием Коши (47). В цилиндре Q t = П х (0 , T ) рассмотрим задачу оптимального управления

J ( x, U ) = - ||x

-

T pNq zdlLp(q)+ q J |u|(lp(q))*dt, J(x,u) ^inf. о

Наконец, выберем Uad С Lq (0 , T ; ( Lp (Н)) * ) - замкнутое, выпуклое множество, для которого выполнено (I — Q ) u ( t ) = 0.

Теорема 18. [39] Пусть p > _/ 2"2 , А > —Л 1, тогда при любых x о Е M существует оптимальное управление в задаче (1), (3), (45), (53).

Перейдем к рассмотрению задачи оптимального управления для обобщенной фильтрационной модели Буссинеска (1), (3) с условием Шоуолтера - Сидорова (46). Выберем Uad С Lq (0 , T ; ( Lp (Н)) * ) - непустое, замкнутое, выпуклое множество.

Теорема 19. [39] Пусть p > ПП, Л > —Л 1. тогда щш любых x о Е B существует оптимальное управление в задаче (1), (3), (46), (53).

Приведем теперь необходимые условия, которым удовлетворяет любое оптимальное управление и решениями обобщенной фильтрационной модели Буссинеска.

Теорема 20. [37] Пусть p > ПП, Л > —Л 1, если и - оптимальное управление задачи (53), то существует вектор у Е L^ (0 , T ; coim L ) П Lp (0 , T ; B) такой, что

( Л — A) x_t — A( |x|p ² x ) = и,

( —Л + A) yt — A(( p — 1) |x|p ² у ) = ( — A)( |x — zd\^p 1sign( x — Zd )) , ( s,t ) Е Q,

x ( s, t ) = у ( s, t ) = 0 , ( s, t ) Е д Н x (0 , T ) ,

( Л — A)( x ( s, 0) — x o( s )) = 0 , ( Л — A) у ( s,T ) = 0 , s Е Н ,

T

j ( v — и ) у dsdt + ^

QT

N I M IB s* 1(1 Ы 1B * ) U )( v — и ) dt >  0 , Vv Е Uad.

5.    Обобщенная математическая модель деформации конструкции из двутавровых балок

Пусть G = G(V; E) - конечный связный ориентированный граф, где V = {Vi}Mi - множество вершин, a E = {Ej}Д1 - множество дуг. На графе G рассмотрим модель деформации конструкции из двутавровых балок (4) - (6). Для модели (4) - (6) рассмотрим начальные условия Коши j : xj(s, 0) = xоj(s), для всех s Е (0,lj),                           (54)

или начальные условия Шоуолтера - Сидорова j : (Л + A)(xj (s, 0) — xоj (s)) = 0, для всех s Е (0, lj).

Пусть H = L2(G) = {g = (g 1, g2,...,gj,...) : gj Е L2(0,lj)}. Множество L2(G) является гильбертовым пространством co скалярным произведением lj

• < g,h >  = ^2 dj / gj ( s ) hj ( s ) ds.

Ej ∈ E   ₀

Положим H = {x = (x 1, x2, ...,xj,...) : xj Е Ш21(0,lj) и выпотиет) условие (G)}. Bn = L2n(G). Формулой lj

< Cx, z >  = У2 dj / ( xjs ( s ) Zjs ( s ) + axj ( s ) Zj ( s )) ds,

Ej ∈ E   ₀

где a > 0, x,z G H зададим оператор, определенный на пространстве H. Спектр оператора C вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к + то, а его собственные функции образуют базис в пространстве H [40]. Обозначим через {p^} последовательность собственных функций однородной задачи Дирихле для оператора C на графе G, а через {цг} - соответствующую последовательность собственных значений, занумерованную по неубыванию с учетом их кратности. Построим множества coim L = {x G H : (х,ф) = 0, Vp G ker L \ {0}},

M =

{x G L 2 k (G): E dj J(aj Ej ∈ E

^L 2 k (^G) , ^{A +} a < Ц 1^; lj

xj + aj xj + ajxj + ... + a¹

k- 1 2 k- 3

j  ^xj   ⁺

+ aj xjk +1) Ф 1 i ds =

lj

E dj / Uj Ф 1 i ds}, i = 1 ,r, A + a = ц 1 ,

Ej ∈ E   0

и проектор

Q = |

I , A + a < ц i;

I -

E  b p i i) •

λ+a=µ 1

Построим пространство

X = {x| x G L^ (0 ,T ; coim L ) П L 2 _k (0 ,T ; M)) , dx G L 2(0 ,T ; H) }.

Определение 10. Слабим обобщенным решением уравнения (4) назовем вектор-функцию x G X, удовлетворяющую условию

T                     lj f ф(t) Е dj } ((-A - Д)dj

0        Ej ∈ E 0

+ ajxj + ajxj + ajxj^k 1) wjds

dt =

T                     lj

= / p ⁽ t ) E dj fuj wj ds

0        Ej ∈ E   0

dt, Vw G H, Vp G L 2(0 ,T ) .

Решение уравнения (4) назовем решением задачи Коши, если оно удовлетворяет (54).

Построим пространство dx

X1 = {x G L _х (0 , T ; coim L ) П L 2 k (0 , T ; L 2 k (G)) , — G L 2(0 , T ; coim L ) }.

Определение 11. Слабим обобщенным решением уравнения (4) назовем вектор-функцию x G X1, удовлетворяющую условию (57). Решение уравнения (4) назовем решением задачи Шоуолтера - Сидорова, если оно удовлетворяет (55).

Система {pk} собственных век торов оператора L в силу вложений (11) образует базис в пространстве L2(G). Выберем в L2(G) ортонормальную систему {рг = (рг1, p2, ...,pj,...)} так, чтобы span{p1, p2,..., p1} = ker L, dimker L = l. Построим галеркинские приближения решений задачи (4) - (6), (54) и задачи (4) - (6), (55) в виде (15), где коэффициенты аг = аг(t), i = 1, ...,m определяются системой уравнений dj Ej∈E

^lj              dx_j^m                     _{3           5}

j ( ( —A — А)———+ a 1 xj + a 2( xj )³ + a j( xj )⁵ + ... +

₀                dt

+ ak- 1( xm )^{2 k 3} + ak ( xm )^{2 k} 1^ pjds

lj

= E dj / Ujpjds,

Ej ∈ E   0

в случае условия Шоуолтера - Сидорова (55) - условием lj

^ dj I ( A + A) ( xj™ ( s, 0) — x о j ( s )) фj ( s ) ds = 0 ,

Ej G ^E   0

а в случае условия Коши (54) - условием lj

^ dj I xC™¹ ( s, 0) — x 0 j ( s )) ф) ( s ) ds = 0 .

Ej ^{G E}   0

Уравнения (58) представляют собой вырожденную систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теорема 21. [41] Пусть A + a < ц 1 и an Е R+, n = 1 ,..., к. Тогда при любых x о Е Ми и Е L 2 к (0 ,T ; B *_к) су и чествует единствеппое решение x Е X задачи (4) - (64 (544 2 k- 1

Теорема 22. [41] Пусть A + a < ц 1. aj Е R+ ii an Е R+. n = 1 , ...,k. Тогда при любых x о Е H 11 и Е L 2 к (0 , T ; B _к ) сушуствует единствсинос решение' x Е X1 задачи (4) - (6). 2 k- 1

Перейдем к рассмотрению задачи оптимального управления для математической модели деформации конструкции из двутавровых балок (4) - (6). Рассмотрим задачу оптимального управления

1                                     2к

J(x,u)= ^x — zd^1 к(0T;L2к(G)) +   - 1 ^L2к (0T;L 2к (G)) ^ inf ‘

2k-12

Определение 12. Пару ( x, U ) Е X x Uad назовем решением задачи оптимального управления (4) - (6), (55), (61), если

J ( x, U ) = inf J ( x,u ) ,

( x,u )

где пары ( x,u ) Е X x Uad удовлетворяют (4) - (6), (55); вектор-функцию U назовем оптимальным управлением в задаче (4) - (6), (55).

Выберем Uad С L 2 к (0 , T ; L_ 2 к (G) - непустое, замкнутое, выпуклое множество. Тогда 2 k- 1            2 k- 1

справедлива следующая теорема.

Теорема 23. [41] Пусть A < A 1 , an Е R+. n = 1 ,..., к. тогда при любых x 0 Е H сушуствует оптимальное управление в задаче (4) - (6), (55), (61).

Перейдем к рассмотрению задачи оптимального управления для математической модели деформации конструкции из двутавровых балок (4) - (6) с условием Коши (54). Выберем U1_d С L 2 к (G) - непустое, замкнутое. выпуклое множество, для которого выполнено (I — 2 k- 1

Q ) и = 0.

Теорема 24. [41] Пусть A < A 1 , an Е R+, n = 1 ,..., к, тогда при любых x 0 Е М суиуествует оптимальное управление в задаче (4) - (6), (54), (61).

Автор вырамсает свою искреннюю признательность профессору Г.А. Свиридюку за постановку задачи, интерес к работе и предоставленные возмомсности.