Математические модели соболевского типа высокого порядка
Бесплатный доступ
Статья содержит обзор результатов автора в области математических моделей на основе уравнений соболевского типа высокого порядка. Теория построена на основе известных фактов по разрешимости начальных (начально-конечных) задач для уравнений соболевского типа первого порядка. Идея базируется на обобщении теории вырожденных (полу)групп операторов на случай уравнений соболевсого типа высокого порядка: расщеплении пространств, действий всех операторов, построении пропагаторов и фазового пространства однородного уравнения, а также множества допустимых начальных значений для неоднородного уравнения. Мы используем уже хорошо зарекомендовавший себя при решении уравнений соболевского типа метод фазового пространства, заключающийся в редукции сингулярного уравнения к регулярному, определенному на некотором подпространстве исходного пространства. В работе проводится редукция математических моделей к начальным (начально-конечным) задачам для абстрактного уравнения соболевского типа высокого порядка. Полученные результаты могут найти дальнейшее применение при исследовании задач оптимального управления, нелинейных математических моделей, а также для построения теории уравнений соболевского типа высокого порядка в квазибанаховых пространствах.
Уравнения соболевского типа высокого порядка, фазовое пространство, пропагаторы, начально-конечная задача, относительный спектр
Короткий адрес: https://sciup.org/147159264
IDR: 147159264 | DOI: 10.14529/mmp140201
Текст обзорной статьи Математические модели соболевского типа высокого порядка
Актуальность изучения математических моделей на. основе уравнений соблевского типа, высокого порядка, обусловлена, необходимостью исследования важных прикладных задач, в частности, в области физики атмосферы, физики плазмы, теории электрических цепей, теории ползучести металлов, динамики колебаний стратифицированной жидкости, теории фильтрации, биологии и других. Именно развитие теории уравнений Соболевского типа. [1] позволило поставить вопрос об аналитическом и численном исследовании как существующих задач, так и новых в рамках сложившихся направлений математического моделирования, например, в теории звуковых и молекулярных волн, гидродинамике, теории упругости и других, описываемых уравнениями высокого порядка. [2-8].
Несмотря на. то, что первые исследования уравнений неразрешенных относительно старшей производной по времени появились еще в работах А. Пуанкаре в 1885 году [9], а. систематическое изучение начально-краевых задач для таких уравнений началось в 40-х годах прошлого столетия с работ С.Л. Соболева. [10], в настоящее время теория уравнений Соболевского типа, активно развивается и переживает пору бурного расцвета. Сформировались научные направления, вокруг которых сложились научные школы [11-17].
Данная работа, проведена, в рамках направления, возглавляемого Г.А. Свиридюком, и посвящена, исследованию математических моделей на. основе неклассических уравнений математической физики высокого порядка. В статье описываются разработанные автором абстрактные методы [18, 20], которые применяются к исследованию следующих математических моделей:
Математическая модель Деэюен линейных волн в смектиках. Уравнение линейных волн в смектиках [21], впервые полученное P.G. de Gennes, имеет вид
d 2 d 2
dt2 Да u = a i dz ^ Д2 u, а 1 > 0 ,
где Да = Д2 + Э^, сти по переменным смектике
= д
2 Эх 1
+ dx y • Исходная модель имеет смысл в цилиндрической обла-
{z,x i , x 2 } € [ a,b ] x Q. В случае установившихся звуковых колебаний в
u ( x 1 , x 2 , z, t ) = v ( x i , x 2 , z ) exp( —iwt ) ,
исходное уравнение
примет вид
д 2
—г (Д2 v + а 2 v ) + а 2Д2 v = 0 , а 2 = ш 2 а- 1 • dz 2
Дополним это уравнение начально-краевыми условиями
v ( x, 0) = v о( x ) , vz ( x, 0) = v i( x ) , x = ( x 1 , x 2) € Q ,
v ( x, z ) = 0 , ( x, z ) € д Q x R .
Линеаризованная математическая модель Веппеу - Luke. В цилиндре [0 , l ] x R рассмотрим линеаризованное уравнение Веппеу - Luke [22].
Utt - Uxx + aUxxxx
- buxxtt = 0 ,
с краевыми условиями Бенара
u (0 , t ) = uxx (0 , t ) = u ( l, t ) = uxx ( l, t ) = 0 .
Математическая модель (4), (5) с тем или иным начальным условием описывает двустороннее распространение длинных волн на мелкой воде с учетом поверхностного натяжения.
Математическая модель колебаний в конструкции. Пусть G = G ( V ; E ) - конечный связный ориентированный граф, где V = {Vi}m=1 - множеств о вершин, a E = {Ej }n =1 -множество дуг. Мы предполагаем, что каждая дуга имеет длину lj > 0 и толщину dj > 0. На графе G рассмотрим уравнения Буссинеска - Лява [23]
Xujtt ujxxtt а ( ujxxt Xujt ) + в ( ujxx X uj ) , x € (0 ,lj ) , t € R ,j 1 ,n.
Для уравнений (6) в каждой вершине Vi, i = 1 , m зададим краевые условия
djujx (0 , t ) -j : Ej EE“ ( Vi )
У^ dk Ukx ( lk ,t ) = 0 ,
k : EkEE^ ( Vi )
us (0 , t ) — uj (0 , t ) — uk ( lk, t ) — um ( lm ,t ) , ( b ) для всех Es,Ej € Ea ( Vi ) , Ek,Em € Eш ( Vi ) • Здесь через Ea ( ш )( Vi ) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине Vi. Если дополнить (7), (8) начальными условиями
Uj ( x, 0) = u о j ( x ) , Ujt ( x, 0) = u 1 j ( x ) , для всех x € (0 ,lj ) , j = 1 , n,
то получим математическую модель, представляющую процессы колебаний в конструкции из тонких упругих стержней. Функции uj(x,t) определяют продольное смещение в точке x в момент времени t на j-м элементе конструкции. Параметры X, X', А", айв характеризуют материал, из которого изготовлены стержни.
Математические модели (2), (3) и (4), (5) с тем или иным начальным (начальноконечным) условием в подходящих банаховых пространствах могут быть редуцированы к соответствующим задачам для неполного уравнения Соболевского типа высокого порядка
Lu(n) = Mu + f(10)
с относительно р -ограниченным или относительно р -секториальным оператором в правой части.
Разработанная автором теория полных уравнений Соболевского типа высокого порядка
Au(n) = Bn-1 u(n- 1) + ... + B о u + f(11)
с относительно полиномиально ограниченным пучком операторов позволяет исследовать математическую модель (6)-(9).
Стандартной задачей для уравнений (10), (11) является задача Коши
u(m)(0) = um, m = 0,... ,n — 1.(12)
Наряду с задачей (12) для уравнений Соболевского типа ставится условие Шоуолтера -Сидорова [24]
L(u(m)(0) — um) = 0, m = 0,..., n — 1.(13)
Обе задачи в зависимости от методов исследования могут пониматься в различных смыслах (классическом, обобщенном, ослабленном, сильном и т.д.), однако очевидно, что задача (13) более общая, нежели (12). В тривиальном случае (существование обратного оператора L ) обе задачи совпадают, а значит, совпадают и их решения. Однако, задача Шоуолтера - Сидорова для уравнений Соболевского типа более естественна, нежели задача Коши. В данной работе рассматривается задача Шоуолтера - Сидорова в более общей постановке:
P ( u ( m )(0) — um ) = 0 , m = 0 ,..., n — 1 , (14)
где P - спектральный проектор. При проведении вычислительных экспериментов условия Шоуолтера - Сидорова предпочтительнее, нежели условия Коши, так как не возникает необходимости проверки принадлежности начальных значений фазовому пространству уравнения.
Естественным обобщением задачи (14) является начально-конечная задача [25]
Pin ( u ( m )(0) — um ) = 0 , Pfin ( u ( m )( T ) — um ) = 0 , m = 0 ,...,n — 1 . (15)
Здесь Pin и Pfin - специальным образом построенные относительно спектральные проекторы. Термин « начально-конечная задача » появился относительно недавно и отражает тот факт, что для уравнения (10) или (11) часть данных задается в начале временного промежутка [0,Т], а другая часть - в конце. Первоначально она называлась « задачей сопряжения » и рассматривалась как обобщение задачи с данными на свободной поверхности. Именно в этом контексте была построена теория таких задач для линейных уравнений Соболевского типа первого порядка, и разработаны приложения этой теории.В данной работе эти идеи и методы распространены на случай уравнений Соболевского типа высокого порядка. Необходимо отметить, что в настоящее время начально-конечные задачи для неклассических уравнений математической физики активно изучаются, в том числе и на множествах различной геометрической структуры [26].
Наш подход основан на концепции относительного спектра, предложенной Г.А. Сви-ридюком [1, 27], и развитой его учениками [28-30]. Кроме того, методы, предложенные Г.А. Свиридюком, легли в основу теории оптимального управления [43, 32], стали фундаментом алгоритмов численного решения уравнений леонтьевского типа (т.е. конечномерных уравнений Соболевского типа) [33], которые в свою очередь сыграли важную роль в численных исследованиях экономических [34, 35] и технических моделей [36, 37].
Результаты, представленные автором, легли в основу аналитических и численных исследований полулинейных уравнений Соболевского типа второго порядка [38, 44], находят свое применение при исследовании стохастических уравнений [40, 41].
Статья кроме вводной части и списка литературы содержит шесть параграфов. Первый параграф посвящен изучению абстрактной задачи Коши для уравнения Соболевского типа высокого порядка с относительно р -ограниченным оператором [19]. Эти результаты применяются во втором параграфе для исследования математической модели линейных волн в смектиках [42]. В-третьем параграфе рассматривается задача Коши и начальноконечная задача для уравнения Соболевского типа высокого порядка (10) в случае ( L,n,p )-секториальности оператора M. Данные абстрактные результаты проиллюстрированы конкретным примером, приведенным в четвертом параграфе. Здесь исследуется математическая модель Бенни - Люка с начальным (начально-конечным) условием [43]. В пятом параграфе приводится разработанная автором теория относительно полиномиально ограниченных пучков операторов [29], которая используется в шестом параграфе при исследовании математической модели продольных колебаний в конструкции на основе уравнений Буссинеска - Лява на конечном связном ориентированном графе, результаты которой опубликованы в [44].
Наконец заметим, что все рассмотрения проводятся в вещественных банаховых пространствах, однако при рассмотрении « спектральных вопросов » вводится их естественная комплексификация. Все контуры ориентированны движением против часовой стрелки и ограничивают области, лежащие слева при таком движении.
1. Относительно ^-ограниченные операторы
Пусть U, F - банаховы пространства и операторы L, M Е L (U; F) (линейны и непрерывны).
Определение 1. Множество pL (M) = {ц Е C : (pL - M) -1 Е L(F; U)} называется резольвентным множеством оператора M относительно оператора L (короне. L-рсзольвсптпым множеством оператора M). Мнозicecmeo C\pL(M) = ctl(M) называется спектром оператора M относительно оператора L (короче, L-спектром оператора M).
Замечание 1. L-резольвентное множество оператора M всегда открыто, и, следовательно. L-спсктр оператора M всегда замкнут.
Определение 2. Оператор-функции
( pL - M ) - 1 , RL = ( pL - M ) - 1 L, LL = L ( ^L - M ) - 1
с областью определения pL ( M ) называются соответственно резольвентой, правой резольвентой, левой резольвентой оператора M относительно оператора L (короче, L-резольвентой, правой L-резольвентой, левой L-резольвентой оператора М).
Теорема 1. [1] L-резольвента, правая и левая L-резольвента оператора аналитичны в своей области определения.
Определение 3. Оператор M навивается спектрально ограниченным относительно оператора L (корочс. ( L,y^ограниченным). если
За > 0 Уд Е C : ( |д| > а ) ^ ( д Е pL ( M )) .
Замечание 2. Пусть суиуествует оператор L 1 Е L (F , U). Оператор M ( Ь,а ) —ограничен точно тогда, когда ограничен оператор L- 1 M ( или ML- 1/
Лемма 1. [1] Пусть оператор M ( Ь,а^-ограничен. Тогда операторы
P =
/ rL ( M ) dX и Q = 2 ni J
[ lL ( M ) dX 2 ni J
Γ
Γ являются проекторами, причем P : U ^ U и Q : F ^ F. Здесь Г = {X Е C : |X| = r > a}.
Положим U0 = ker P. F0 = ker Q. U1 = im P. F1 = im Q. Обозначим через Lk ( Mk ) сужение оператора L ( M ) на подпроетраиетво Uk. k = 0 , 1.
Теорема 2. [1] Пусть оператор M ( L,a^-ограничен. Тогда
-
(г) операторы Lk, Mk : U k ^ F k, k = 0 , 1;
-
(ii ) существует оператор M- 1 Е L (F0 , U0);
(Hi) существует оператор L- 1 Е L (F1 , U1);
(in) оператор M 1 Е L (U1 , F1) .
Тогда
В условиях теоремы 2 построим операторы H = M о 1 L о Е L (U0) и S = L- 1 M 1 Е L (U1).
( дL — M ) - 1
-
∞
µkHk k=0
M- 1(I — Q ) + ^ д-k S k- 1 L - 1 Q.
k =1
Определение 4. Бесконечно удаленная точка L-резольвенты оператора M называется
-
(i) устранимой особой точкой, если H = O;
(И) полюсом порядка, если Hp = O , Hp +1 = O; p Е N,
(Hi) сугцественно особой точкой, если Hq = O, Vq Е N.
Далее устранимую особую точку так же будем называть полюсом порядка нуль.
Замечание 3. В дальнейшем ( L,a)-ограниченньш оператор M, будем называть ( L,p )- ограниченным, если точка то является пол юсом порядка p Е { 0 } U N е го L-резольвенты.
Определение 5. Обозначим через ф о Е ker L\{ 0 } собственный еектор оператора L. Упорядоченное мномсество {ф 1 ,ф 2 ,...} С im L называется цепочкой M-присоединенных векторов собственного вектора ф о, если
Lфq +1 = Mфq, q = 0 , 1 , 2 ..., фq Е ker L при q = 1 , 2 ,...
Говорят, что цепочка конечна, если существует такой M -присоединенный вектор фр , что либо фр Е dom M , либо Mфp Е im L. Мощность конечной цепочки называется ее длиной.
Линейная оболочка всех собственных и M -присоединенный векторов оператора L называется M -корневым линеалом оператора L.
Теорема 3. [1] Пусть оператор L - фредголъмов (т.е. ind L = 0/ Тогда следуют/ие утверждения эквивалентны
-
(г) оператор M ( L,p^-ограничен:
-
(и) любой собственный вектор оператора L не имеет M-присоединенных векторов высоты больше р.
Определение 6. Оператор-функцию V• Е C^ (R; L (U)) будем называть пропагатором однородного уравнения (10), если для любого v Е U вектор-функция u ( t ) = Vtv будет решением этого уравнения.
Теорема 4. Пусть оператор M ( L,a^-ограничен. Тогда формулы
Um = ^/^—m— 1(^ " M ) - 1 L^’ (17)
г где контур Г = {ц Е C : |ц| = R > а}, определяют пропагаторы уравнения (10) при всех t Е R.
Лемма 2. (г) Um Е C~ (R; L (U;U1)) , (Um ) (l ) = Um-l, гдет = 0 , 1 ,...,n — 1, l = 0 , 1 ,...,m;
-
(ii) (Um )( l )l = O npu m = l, Um ) ( m )l = U q = P. (Напомним, что проектор P Е L (U) определен о лемме 1).
Определение 7. Подпространство P С U называется фазовым пространством однородного уравнения (10), если
-
(i) любое решение u = u ( t ) уравнения (10) лежит в P. т.е. u ( t ) Е P Vt Е R.
-
(ii) при любых um,m = 0 , ...,n — 1 Е P существует единственное решение задачи (10), (12).
Замечание 4. Если существует оператор L- 1 Е L (U), то в силу непрерывности оператора M фггзовым пространством уравнен ня (10) служит все пространство U.
Теорема 5. Пусть оператор M ( L,p)-ограничен, р Е { 0 } U N. Тогда подпространство U1 является фазовым пространством однородного уравнения (10).
Рассмотрим задачу Коши (12) для неоднородного неполного уравнения Соболевского типа (10), где вектор-функцию f : ( — t,t ) ^ F определим позже.
Пусть оператор M ( L,p )-ограничен, тогда в силу теоремы 2 задача (10), (12) распадается на две независимые задачи
H ( u 0)( n ) = u 0 + Mq 1 f 0 , ( u 0)( m )(0) = um, m = 0 , 1 ,...,n — 1 , (18)
( u 1)( n ) = Su 1 + L- 1 f 1 , ( u 1)( m )(0) = um, m = 0 , 1 , ...,n — 1 , (19)
где операторы H = M— 1 L q Е L (U0). S = L- 1 M 1 Е L (U1): вектор-<функции u 0 = ( I — P ) u. f 0 = ( I — Q ) f. u 1 = Pu. f 1 = Qf ; векторы um Е Uk, k = 0 , 1 , m = 0 ,..., n — 1.
Рассмотрим сначала задачу (18). Пусть f 0 Е Cn ( p +1)(( — t, t ); F0), тогда простой подстановкой можно убедиться, что вектор-функция
p u0 (t) = —£ HqMq 1(I — Q) f(qn)(t) (20)
q =0
является решением уравнения (18). Если вдобавок p dnq+m um = — HqM—1 , 9 , f0(0),m = 0,... ,n — 1, (21)
-
m / -v 0 dt 2 q + m
то вектор-функция (20) служит решением задачи (18).
Перейдем к задаче (19). Пусть вектор-функция f1 € C((—т, т); F1), тогда вектор-функция п—1
u 1(t) = ^ Vtum + / Vt-sL—1 Qf (s)ds,t € (—т,т) m mn-
m=00
будет решением задачи (19).
Теорема 6. Пусть оператор M (L,p )-ограп ичен, p € {0} U N. Пусть век тор-функция f : (—т, т) ^ F таков а. что f0 € Cn(p+1)((—т,т);F0). и f1 € C((—т,т);F1). Пусть начальные значения удовлетворяют соотношениям p dnQ+m
( I — U 0) Um = — £ HqM- 1 df 0 (0) , m = 0 , 1 ,...,n — 1 .
Тогда существует единственное решение задачи (10), (12), которое момсно представить в ваде u ( t ) = u 0( t ) + u 1( t ). г де. u 0( t ) определено фо^ умулой (20). a u 1( t ) - формулой (22).
2. Математическая модель Дежен линейных волн в смектиках
Начально-краевую задачу для уравнения (2) можно описать в терминах задачи (12) для уравнения (10). Редуцируя математическую модель (2), (3) к задаче (10), (12), положим
U = {v € Wlq +2(П): v ( x )=0 ,x € д П }, F = W^ (П)
ИЛИ и = {v € Cl+2+Y (П) : v(x) = 0,x € дП}, F = Cl+Y(П), где Wl(П) - пространства Соболева 2 < q < то, Cl+Y(П) - пространства Гельдера 0 < y < 1, l = 0, 1,... . Положим для удобства а = —а2. А = А2. Операторы L и M зададим формулами L = А — а. M = а А. При . тюбом l € {0} U N опера торы L,M € L (U; F).
Обозначим через {Xk} множество собственных значений однородной задачи Дирихле в области П для оператора Лапласа А, занумерованное по невозрастанию с учетом кратности, а через {фк} - семейство соответствующих собственных функций, ортонормированных относительно скалярного произведения < •, • > из L 2(П).
Лемма 3. Пусть а € R. Тогда оператор M ( L, 0)-ограничен.
Итак, в силу теоремы 6 справедлива
Теорема 7. (г) Пусть а € а (А). Тогда пр и любых v 0 , v 1 € U существует единственное решение задачи (2), (3), которое к тому снсе имеет вид
v
( z ) = 52 < v 0 ,фк > фкch α<λk
αλk λk - α
+ 52
αλk α-λk
z +
λk - α αλk
-
1 , фк > фк А ---—sh\ ----z +
αλk λk - α
α<λk
α - λk αλk
-
1 , фк > фк\ .—svn\ ----—z.
αλk α - λk
α>λk
(и) Пусть a E а (А). Тогда при любых
3. Относительно р-секториальные операторы
v0, v 1 E U1 = {v E U :< v, фк > = 0, A = Ak} существует единственное решение задачи (3),(2), имеющее вид (23).
Замечание 5. Результаты этой теоремы легко транскрибируются в терминах исходного уравнения (1), если учесть связь между функциями u и v.
Основы теории относительно р -секториальных операторов были заложены ГА. Свири-дюком и развиты в работах его учеников. Мы распространим эти идеи и методы на случай уравнения произвольного порядка. Пусть U и F - банаховы пространства, операторы L E L (U; F), M E Cl (U; F) (линеен, замкнут, плотно определен в U). Построим множества aL ( M ) = {p E C : pn E aL ( M ) }, pL ( M ) = C \ aL ( M ).
Определение 8. Оператор M назовем ( n, р )-секториальным относительно оператора L или ( L,n,p )-секториальным, если существуют константы K > 0, 9 E ( п/ 2 , п ) такие, что множество
SLn ( M ) = {p E C : | arg( pn ) | <9, р = 0 } С pL ( M ) , (24)
причем max {\\R^,р)(M)||£(я), \\Ll^)(M)||£m| < , K Vpk e SLn(M), k = 0Д. (25)
П KI к =0
Лемма 4. [1] Пусть оператор M ( L,n,p)-секториален. Тогда длины всех цепочек M-присоединенных векторов ограничены числом р.
Возьмем a E pL ( M ) и редуцируем однородное уравнение (10) к паре эквивалентных ему уравнений
RL ( M ) u ( n ) = ( aL - M ) “ 1 Mu, ( 26 )
LL ( M ) f ( n ) = M ( aL - M ) - 1 f. (27)
Операторы в правых частях (26), (27) можно отождествить с непрерывными операторами, определенными на пространствах U и F соответственно. Поэтому уравнения (26), (27) удобно рассматривать как конкретные интерпретации уравнения
Av ( n ) = Bv, (28)
определенного на банаховом пространстве V, причем операторы A,B E L (V). Вектор-функцию v E Cn (R+; V), удовлетворяющую уравнению (28), будем называть решением этого уравнения.
Определение 9. Оператор-функцию V* E C^ (R+; L (V)) будем называть пропагатором уравнения (28), если для любого v E V вектор-функция v ( t ) = Vtv будет решением этого уравнения.
Лемма 5. Пусть оператор M ( L,n,pУсекториален. Тогда интегралы типа Данфорда-
Шварца
Um = ^ [ Pn^m 1( PnL — M ) - 1 Le^^dp, 2 ni
γ t m
— I'n- - 1 L ( pnL — M ) - 1 е^д, 2 ni
γ
где t G R+ , m = 0 , 1 ,..., n — 1, a y C pL ( M)-контур, образованный лучами, выходящими из начала координат под углами 9 и —9, определяют пропагаторы однородного уравнения (26) и (27) соответственно.
n- 1 n- 1 n- 1 n- 1
Положим U0 = Q ker U— = Q {ф G U : и 0 ф = 0 3t G R+ } , F0 = Q ker F* = Q {c G — =0 — =0 — =0 — =0
F : F q ^ = 0 3t G R } + 11 через L 0 ( M 0) обозначим сужeiine оператора L (M ) 1 ia U0 (U0 О dom M
Следствие 1. В условиях леммы 5 операторы L о G L (U0; F0), M о G Cl (U0; F0), причем существует оператор M- 1 G L (F0; U0).
Положим U1 = im U** = {u G U : lim Utu = u} . F1 = im F* = {f G F : lim Ftf = f} tM 0+ 0 0 tM 0+
через L 1 ( M 1) обозначим сужешге оператора L (M ) 1 ia U1 (U1 О dom M).
Следствие 2. В условиях леммы 5 операторы L 1 G L (U1;F1), M । G Cl (U1;F1).
Очевидно. U0 ф U1 C U и F0 ф F1 C F. В дальнейшем нам потребуются две гипотезы:
U0 ф U1 = U (F0 ф F1 = F) ,
существует оператор L 11 G L (F1; U1) .
и
Гипотеза (31) имеет место, например, в случае рефлексивности пространства U (F) (теорема Яги - Федорова [45]). Гипотеза (32) справедлива, если выполнено (31) и im L 1 = F1 (теорема
Банаха). Заметим еще, что из (31) вытекает существование проекторов P = s
-
lim Ut 11
tM 0+ 0
Q = s
— ^m F q b пространствах U, F соответственно.
Следствие 3. Пусть оператор M (L,n,pУсекториален, причем выполнены (31), (32). То гда оператор H = Mq 1Lо G L(U0) пильпотегнпген степени р.
Теперь у нас все готово для исследования однозначной разрешимости задачи Коши lim u(—)(t) = u—, m = 0, 1,..., n — 1 tM0+
для уравнения (10), которое в силу ( L,n,p )-секториальности оператора M , условий (31), (32) редуцируется к виду
H ( u 0)( n ) = и 0 + M0 1 f 0 , (34)
( и 1)( n ) = Su 1 + L-п f 1 , (35)
где f 0 = (I — Q ) f. f 1 = Qf. u 0 = (I — P ) u. u 1 = Pu.
Пусть вектор-функция f 0 G Cn (p +1)([0
F0) ,
t ];
тогда существует единственное решение уравнения (34), которое к тому же имеет вид
p u0 (t) = —^ Hq M-1 f 0( nq)(t).
q =0
Отсюда непосредственно следует, что начальные значения um с необходимостью должны принадлежать множествам
Mk = {и g и : (I -P ) u = - ]Д Hq M0- 1 f 0( nq + k ) (0) }, k = 0 ,...,n — 1 . (36)
q =0
Перейдем к уравнению (35). Можно показать, что для любых иmm G U1, m = 0, ...,n — 1 и f1 G C([0, T];F1) существует единственное решение задачи Коши для уравнения (35), которое к тому же имеет вид n-1
и 1( t) = ^ Vm vm m=0
t
+ / VtSL- 1 f 1(s ) ds.
Таким образом имеет место
Теорема 8. Пусть оператор M ( L,n,pУсекториален, выполнены условия (31), (32). Тогда для любых Uk G Mf ,k = 0 , ...,n — 1 и вектор -фуикиуш f = f ( t ). t G [0 , T ]. указанной выше, существует единственное решение задачи (34), (35), которое к тому же имеет вид и ( t ) = и 0( t ) + и 1 ( t ).
Перейдем к рассмотрению начально-конечной задачи для уравнения Соболевского типа высокого порядка с относительно ( n,p )-секториальным оператором.
Теорема 9. Пусть cL ( M ) = ain ( M ) U aLn ( M ), при чем afin ( M ) содержится в ограниченной области П С C с кусочно гладкой границей д П гt д П П ctl ( M ) = 0. Тогда существуют проекторы Pfin G L (U) zz Qfin G L (F) такие, что операторы L G L (ker Pfin ; ker Qfin ) П L (im Pfin ;im Qfin ) z i M G Cl (ker Pfin ;ker Qfin ) ПС1 (im Pfin ;im Qfin ).
Положим Pin = P — Pfin. очевидыо. Pin G L(U) - проекто]). Возьмем T G R+- иm. ит G U и рассмотрим задачу lim Pin (и(m)(t) — и m )=0, Pfin (и(m)(T) — ит ) = 0 m = 0 ,...,n — 1 (37)
для линейного уравнения Соболевского типа (10).
Теперь пусть оператор M ( L,n,p )-секториален, выполнены условия (31), (32) и условия теоремы 9. Тогда Umm = P^Umm + PinUm, = Umm ( fin ) + Umm ( in ). Fm = QfinFmm + QinFmm = Fm ( fin ) + Fm ( in)■ HP11чем Um ( fin ) 11 Fm ( fin ) можпо представить в виде
U‘„(fin) = 2ni Г Kn--1RL- (M)eM^. Ffin = F Г Kn--1LL2 (M)еЫ1^, OS где контур Г = дП.
Далее. ПОЛОЖИМ im Pfin ( in ) = U fin ( in )• im Qfin ( in ) = Ffin ( in )• ПО ПОСТpoeiHITO U fin ®Uin = U111F fin® F in = F1- Обозпачим через Lfin ( in ) Mffnn ( in )) сужение оператора L (M ) iia Ufin ( in ) (dom M П Ufin ( in )). Аналогично следствию 2 пет]нудно показать, что операторы Lfin ( in ) G L (U fin ( in );F fin ( in ))• Mfin ( in ) G Cl (U fin ( in );F fin ( in ))■ причем супщствует оператор L—n ( in ) G L (F fin ( in ); Ufin ( in ))• a oneратор Sin = L— Min G Cl (U in ) будет n -секториальным, а оператор Sfin = L-inM/in : Ufin ^ Ufin - ограниченным.
Теперь у нас все готово для исследования однозначной разрешимости задачи (37) для уравнения (10), которое в силу ( L,n,p )-секториальности оператора M, условий (31), (32) и условий теоремы 9 редуцируется к виду
H (и 0)( n) = и0 + M- 1 f0,(39)
(ufin)(n) = S^fi + L-^f fin,(TO)
(uin)(n) = Sinuin + L-fin,(Ц)
где f 0 = (I - Q ) f. f fin ( in ) = Qfin ( in ) f. и 0 = (I - P ) u. ufin ( in ) = Pfin ( in ) u.
Теорема 10. Пусть оператор M ( L,n,pУсекториален, выполнены условия (31), (32) и условия теоремы 9. Тогда для любых u m,um Е U и вектор -функции f = f ( t ), t E [0 , T ], существует единственное решение задачи (37), (10), которое имеет вид u ( t ) = u 0( t ) + ufin ( t ) + uin ( t )
u 0( t ) = - E p =0 HqM- 1 f 0( nq )( t ) - решение уравнения (39);
ufin ( t ) = E Vm-f'Tin ) vm - JT Vt-s nx fin ) Lfin ) f fin ( s ) ds - решение уравнения (40) с конеч-m =0
нмм условием ufin ( m )( T ) = Pfin ( uTm ):
uin ( t ) = E vm ( in ) vm + ft Vn-s 1)( in ) L- (1 n ) fin ( s ) ds - решение уравнения (41) с начальным условием uin ( m ) (0) = Pin ( um ).
4. Линеаризованная модель Бенни - Люка
Редуцируем математическую модель (4), (5) к уравнению Соболевского типа (10) второго порядка. Положим U = {v Е W^(0,l ) : v (0 , t ) = v ( l,t ) = 0 } . F = L 2(Н): опер;гторы L n M зададим формулами:
д 2 d 2 д 4
= I -ьдЙ?, = dX 2 - adx4
соответствешю. dom M = {v E W 24(0 ,l ) : v (0 , t ) = vxx (0 , t ) = v ( l,t ) = vxx ( l,t ) = 0 } Очевидно, оператор L E L (U;F). a oneратор M E Cl (U;F).
Лемма 6. При любых a,b E R, оператор M ( L, 2 , 0)-секториален, причем выполнены условия (31), (32).
Доказательство. Введем в рассмотрение собственные функции однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа А = д^, определенно го в области Н = [0 ,1 ]. Обозначим через Фк = sin nkkx собственные (рупкщш. соответствутотнне собственным "шанеиням Xk = - (nk )2.
L -спектр оператора M имеет вид
CT L ( M ) = ^pk =
Xk - aX"k 1 - bXk
,k e N \{l : Xi = X} j> .
Поскольку Xk ~ -k 2 пр и k ^ то, to значит, во-первых, существует сектор требуемого раствора, содержащий ctl ( M ), и следовательно, множество
SL 2( M ) = {ц Е C : I arg( ц 2) | < 9, ц = 0 } С рL ( M ) .
Во-вторых, при достаточных больших |ц| , лежащих вне этого множества, имеем max { HRL 2( M ) Hr (u) , HLL 2( M ) Hr (F)} < const |ц|- 2
V e SL, 2( M ) .
Следовательно, оператор M ( L, 2 , 0)-секториален.
Выясним, выполняются ли условия (31), (32). Поскольку пространства U и F рефлексивны, то в силу леммы 6 и теоремы Яги - Федорова [45] условия (31) выполняются, причем
-
( i ) U0 = F0 = { 0 } , U1 = U, F1 = F, если 1 — bXk = 0;
-
( ii ) U0 = F0 = ker L = span {фj} . U1 = {u e U : (u, фj) = 0 }.
F1 = {f e F : (f, фj) = 0 } = im L. если 1 — bXj = 0.
Условие (32) тоже выполняется, причем оператор L- 1 можно представить в виде
-
- 1 _ ^ ‘ V, фк) фк
-
1 = (1 — bXk ) •
Штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемых, для которых 1 — bXk = 0. Таким образом, лемма доказана. □
Теорема 11. При любых a,b e R, T e R+, Uk e U1, существует единственное решение задачи
u ( k ) (0) = uk, k = 0 , 1
для уравнения (4) с краевыми условиями (5).
В силу дискретности L -спектра aL ( M ) оператора M условия теоремы 9 тоже выполняются, причем для любого замкнутого контура 7 e C, ограничивающего область, содержащую конечное множество точек из aL ( M ), и не Пересе кающегося с aL ( M ). Итак, все условия теоремы 10 выполнены, и поэтому справедлива
Теорема 12. При любых a,b e R, T e R+, um, um e U, m = 0, 1 существует единственное решение u e C2((0,T);U) П C1 ([0,T];U)
задачи
Pin ( u ( m ) (0) — um ) = 0 , Pfin ( u ( m )( T ) — um ) = 0 , m = 0 , 1
для уравнения (4) с краевыми условиями (5).
5. Относительно полиномиально ограниченныепучки операторов
Пусть U, F - банаховы простраиства. операторы A, B 0 ,...,Bn-1 e L (U; F). Обозначим → через B пучок операторов Bn- 1,... ,B0.
Определение 10. Множества
PA ( B ) = {д e C : ( цпA — цп 1 Bn- 1 — ... — дв 1 — B 0) 1 e L (F;U) }
→→ и cta(B) = C \ pA(B) будем называть, соответственно, A - резольвентным мноэюеством и
→
A - спектром, пучка B.
Определение 11. Оператор-функцию комплексной переменной RA(B) = (дпА — дп-1 Bn- 1 —... — ^B 1 — B0)-1 с областью (эпределепия pA(B) будем иазывать Арезолъвептой → пучка B.
Лемма 7. Пусть операторы A, Bn- 1 ,..., B о G L (U; F). Тогда A-резольвентное множество
→→ → пучка операторов B pA(B) открыто, A-спектр пучка B всегда замкнут.
Теорема 13. R^ ( B ) аналитична в своей области определения.
→
Определение 12. Пучок операторов B называется полиномиально ограниченным относительно оператора A (или просто полиномиально A-ограниченным), если
3a G R+ Vp G C ( |p| >a ) ^ ( R^ ( В ) GL (F;U)) .
→
Пусть пучок В полиномиально A -ограничен. Введем одно важное в дальнейшем условие:
j ДRA ( В ) dp = O , k = 0 , 1 , ...,n — 2 , ( A )
γ где контур y = {p G C : |p| = r > a}.
Замечание 6. Пусть существует оператор A- 1 G L (F; U), тогда условие ( A ) выполняется.
→
Лемма 8. Пусть пучок В полиномиально A-ограничен, и вы полнено условие ( A ). Тогда операторы
P = 2 П / RA ( ^ ) Pn- 1 Adp, Q = 2 П j pn- 1 ARA ( в ) dp (13)
γγ являются проекторами в пространствах U и F соответственно.
Положим U0 = ker P, F0 = ker Q, U1 = im P, F1 = im Q. Из предыдущей леммы следует, что и = U0 Ф U1, F = F ф F1 . Через Ak ( Bk ) обозначим сужешге оператора A ( Bi ) на Uk, k = 0 , 1; l = 0 , 1 ,...,n - 1 .
→
Теорема 14. Пусть пучок B полиномиально A-ограничен, и вы полнено условие ( A ). Тогда действия операторов расщепляются:
-
(г) Ak gL (U k ;F k ) , k = 0 , 1;
-
(u) Bk GL (U k ; F k ) , k = 0 , 1 , l = 0 , 1 ,...,n - 1:
(ггг) существует оператор ( A 1) - 1 G L (F1;U1).
(in) существует оператор ( B 0) - 1 G L (F0;U0).
Обозначим H 0 = ( B0)- 1 A 0 , Hk = ( B 0) - 1 B^)-k, k = 1 , n — 1 , Sk = ( A 1) - 1 Bk, k = 0 , n — 1.
→
Следствие 4. Пусть пучок B полиномиально A-ограничен, и выполнено ( A ). Тогда существует константа b G R+ ( b > a ) Vp G C ( |p| > b ) ^
∞∞
RA ( в ) = — E( pnH 0 —... — pHn- 1) k ( B 0) - 1 (I —Q )+ p-n E( p- 1 Sn- 1 + ... + p-nS 0) k ( A 1) - 1 Q. k =0 k =0
Замечание 7. При n = 1 представление (44) совпадает с разложением относительной резольвенты оператора в ряд Лорана (16).
Определение 13. Пусть ker А = { 0 } , век тор ф о G ker А \ { 0 } будем называть собственным вектором оператора А. Упорядоченное mi южество векторов {ф 1 , ф 2 ,...} называется цепочкой -В -присоедипеппых векторов собственного вектора ф о. если
Аф о = 0;
Аф 1 = Bn- 1 ф о;
Аф 2 = Bn— 1 ф i + Bn— 2 ф о;
Афп = Bn- 1 фп- 1 + Bn- 2 фп- 2 + ... + В 1 ф 1 + В о ф о;
-
Афп + q = Bn- 1 фп + q- 1 + Bn- 2 фп + q- 2 + ... + B 1 фq +1 + B о фq ;
q = 1 , 2 .., ф1 G ker А \ { 0 }, l = 1 , 2 ,... (15)
Для присоединенного вектора фq определим высоту, равной порядковому номеру вектора в цепочке. Линейную оболочку всех собственных и B -присоединенных векторов one-ратора А назовем его B -корневым линеалом. B- корневым пространством будем называть замкнутый. B -кориевоп линеал оператора А.
Цепочка B-присоединенных векторов может быть бесконечной. В частности, она может быть заполнена нулями, если фо G ker А П ker Bn- 1 П ker Bn-2 П ... П ker B 1 П ker Bо. Но она будет конечной в случае существования такого .^-присоединенного вектора ф^ что Bn- 1 фq + Bn-2фq-1+...+Bофq-n+1 G imА- Высоту q последнего .^-присоединенного вектора в конечной цепочке {ф 1, ф2, ...,фq} будем называть длиной этой цепочки.
Теорема 15. Пусть операторы А, Bn- 1 ,...,B о G L (U , F), причем оператор А фредгольмов. Тогда следующие утверждения эквивалентны.
→
-
(1) Длины всех цепочек Б-присосдипсппых векторов оператора А ограничены числом p G { 0 }U N.
→
-
(и) Пучок операторов B полиномиально А-ограничен, причем точка то является по-→
люсом порядка не более p А-резольвенты пучка операторов B.
Определение 14. Определим семейство операторов {Kq, Kq,..., Kq)} следующим образом:
K о = O ,s = n, кn = I
K 1 = H о , K 2 = —Hn- 1 ,..., K 1 s = -Hn +1 -,..., k n = —H 1
1 n 2 1 n s s- 1 n
Kq = K q- 1 H о , Kq = K q- 1 — Kq- 1 Hn- 1 , „., Kq = K q- 1 — K q- 1 Hn +1 -s, • • • ,
Kq = Kn- -Kq- 1 h 1 ,q = 1 , 2 ,... Мб)
Определение 15. Точка то называется
→
-
(i) устранимой особой точкой А -резольвенты пучка B , если K^ = K 2 = ... = Kр = O;
→
-
(ii) полюсом порядка p G N А -резольвенты пучка B, если Kp = O, при не котором s, но Kp +1 = O. при лтобом s:
→
-
(iii) существенно особой точкой А -резольвенты пучка B, если K^^ = O при любом p G N.
→
Теорема 16. Пусть пучок B полиномиально А-ограничен, и точка то является
→→
-
(г) устранимой особой точкой функции R^ ( B )• Тогда оператор А не имеет B-присоединенных векторов высоты q > n — 1, ker А = ио, im А = F1.
→→
-
(и) полюсом порядка p G N функции RA ( B ). Тогда длина любой цепочки B-присоединенных векторов оператора А ограничена числом p + n — 1 (цепочки длины p + n — 1 при этом существуют), и B-корневой линеал оператора А совпадает с под пространством ио.
→
Пусть пучок Б полиномиально А-ограиичеи и выполняется (А). Фиксируем контур у = {ц Е C : |ц| = r > а} и рассмотрим семейства операторов vt = Д [ RA (В)(yn k1А — (Г k2 Бп-1 — ... — Bk+1) e^d^, k = 0,1 ,...,n — 1, t Е R . (47)
2 ni γ
Лемма 9. (г) При любом k = 0, 1, ...,n — 1 оператор -функция Vt является пропагатором уравнения (11).
-
(и) При любом k = 0 , 1 ,... ,n — 1 оператор -функция Vt является целой функцией.
(ill)
£ V t = f P, l = k ;
dtl kt =0 I O , l = k ;
при всех k = 0 , 1 ,..., n - 1 , l = 0 , 1 ,....
→
Теорема 17. Пусть пучок Б полиномиально A-ограничен и выполняется ( А ), при чем то -полюс порядка p Е { 0 } U N е го А-резольвенты. Тогда фазовое пространство уравнения (11) совпадает с образом проектора Р.
Перейдем к исследованию задачи Коши (12) неоднородного уравнения (11). Вектор-функцию и Е Cn((-т,т);U) назовем решением задачи (И), (12), если она удовлетворяет → равенствам (11), (12). Пусть пучок операторов Б полиномиально A-ограничен и выполняется условие (А), тогда, в силу теоремы 14, задача (11), (12) распадается на две независимые задачи
Н о и ( n ) = Hn- 1 и ( n- 1) + Hn- 2 и ( n- 2) + ... + H 1 и + и + ( Б 0) - 1 f 0 , (18)
и (0) = v 0 ,и' (0) = v 0 ,...,и ( n 1)(0) = v^ - 1
w ( n ) = Sn- 1 w ( n- 1) + Sn- 2 w ( n- 2) + ... + S 0 w + ( А 1) - 1 f 1 , (19)
w (0) = v 0 ,w (0) = v 1 , ...,w ( n 1)(0) = vn- 1
где операторы H 0 = ( Б 0) 1 А 0 , Н 1 = ( Б 0) 1 Б 0 ,...,Hn- 1 = ( Б 0) 1 Bn - 1 Е L ( U 0). S 0 = ( А 1) - 1 Б 0 , S 1 = ( А 1) - 1 Б 1 ,..., Sn- 1 = ( А 1) - 1 БП- 1 Е L ( U 1); вектор-функции и = ( I — Р ) vf 0 = ( I — Q ) f. w = Ри. f 1 = Qf векторы vk Е U k, k, l = 0 , 1 ,... ,n — 1.
Рассмотрим сначала задачу (48). Пусть то - полюс порядка p Е {0} U N резольвенты RA(Б), тогда, в силу определения 15, операторы Kps+1 = O Vs. Пусть f0 Е Cp+n((—т,т); F0). Тогда вектор-функция pq и (t ) = — E Kn (Б01)-1 dq f °(t) q=0
является решением уравнения (48). Действительно, продифференцируем уравнение (48) (p — 1) раз, учитывая, что и(k) = Н0 и(n+k) — Hn- 1 и((n+k- 1) — ... — Н 1 и(k+1) — (Б 0)-1 dtf 0( t).
Получим p-1 q
и ( t ) = кр,и ( p + n- 1) + Kpи ( p + n- 2) + ... + Kpnnp — Kqn ( Б 0) - 1 dtqf 0( t ) .
q =0
Продифференцировав последнее равенство по t , учитывая, что операторы Kps+1 = O , Vs, получим требуемое.
Если
p q + k
« 0 = - E КП ( B 0) -1ditq+k f».
q =0
то вектор-функция (50) служит решением задачи (48).
Таким образом, доказана
→
Лемма 10. Пусть пучок операторов B полиномиально A-ограничен, и выполнено условие →
( A ), при чем то - полюс порядка p Е { 0 }U N A-резольвенты пучка B. Пусть вектор-функция f 0 Е Cp + n (( —т, т ); F0). а начальньic значения «к Е U0 удовлетворяют (51) k = 0 , 1 ,..., n — 1. Тогда существует решение и Е Cn (( —т, т );U0) задачи (48), которое момсно представить в виде (50).
Перейдем к задаче (49). Пусть вектор-функция f1 Е C([—т,т];F1), функция n-1
w(t) = E Vtvk + k=0
t j VTs(A 1)-1 f 1(s)ds,t Е (—т,т)
тогда вектор-
будет решением задачи (49).
→
Лемма 11. Пусть пучок операторов B полиномиально A-ограничен, выполнено ( A ) и вектор-функция f 1 Е C (( —т, т ); F1). Тогда существует решение задачи (49), которое можно представить в виде (52).
Рассмотрим множества p l+k
Mf = {v Е U : (I — P ) v = — ^ КП ( B 0) - 1 да (I — Q ) f (0) }, k = 0 , 1 ,...,n — 1 .
dtl+k l=0
→
Теорема 18. Пусть пучок операторов B полиномиально A-ограничен, выполнено (A), при-→ чем то - полюс порядка p Е {0} U N A-резольвенты пучка B. Пусть вектор-функция f : (—т,т) ^ F таков а. что f0 Е Cp+n ((—т,т); F0). и f1 Е C ((—т,т); F1). Тогда при любые «к Е Mf, k = 0, 1 ,...,n — 1 существует единственное решение задачи (12), (И), которое можно представить в виде v (t) = и (t) + w (t), г де и (t) определено формулой (50), a w (t) -формулой (52).
6. Математическая модель продольных колебанийв конструкции
Проведем редукцию задачи (7) - (9) для уравнений (6) к задаче Коши и (0) = и о, и' (0) = и 1 (53)
для линейного уравнения Соболевского типа второго порядка
Au" = B 1 и' + B 0 и. (54)
Через L 2( G ) обо:зиачим множество
L 2( G ) = {g = ( g 1 ,g 2 , ...,gj,... ): gj Е L 2(0 , lj ) }.
Множество L2(G) является гильбертовым пространством со скалярным произведением lj
< g,h> = 55 dj J gj ( x ) hj ( x ) dX"
Ej ∈ E 0
Через U обозначим множество U = {u = (u 1, u2,...,uj,...) : uj E W21(0,lj), ii выполнено условие (8)}. Множество U является банаховым пространством с нормой lj
||u||U = 52 dj / ( ujx ( x ) + uj(x )) dX"
Ej ∈ E 0
В силу теорем вложения Соболева пространство ^ 1(0 ,lj ) состоит из абсолютно непрерывных функций, а значит, U корректно определено, плот но и компактно вложено в L 2( G ). Отождествим L 2( G ) со своим сопряженным, и через F обозначим сопряженное относительно двойственности < •, • > пространство к U. Очевидно, F - банахово пространство, причем вложение U в F компактно.
Формулой lj
< Du,v > = ^ dj [ ( ujx ( x ) Vjx ( x ) + auj ( x ) Vj ( x )) dx,
Ej ∈ E 0
где a > 0 , u, v E U. зададим оператор, определенный на пространстве U. Фикс прием а, в > 0 и X, X' , X" E R и построим операторы
A = ( X - a ) I + D, В i = а (( a - X' ) I + D ) , В о = в (( a - X" ) I + D ) .
Теорема 19. Операторы A, В 1 , В о E L (U; F), причем спектр ст ( A ) опера тора A вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к + то.
Итак, редукция задачи (6) - (9) к задаче (53) - (54) закончена.
Из теоремы 19 вытекает, что оператор A - фредгольмов, причем kerA = { 0 }, если 0 E ст ( A )■
Лемма 12. Пусть параметры a,X,X',X" E R \{ 0 }, тогда пучок операторов В полиномиально A-ограничс'!и причем то является несут,сствсииои особой точкой A-рсзолъвспты пучка В.
Замечание 8. Как нетрудно видеть, в случае 0 E ст ( A ) и X = X' = X" пучок операторов В не будет полиномиально A -ограничен.
Замечание 9. В случае 0 E ст(A) или (0 E ст(A)) Л (X = X' = X'') имеет место выполнение условия j (ц2 A - цВ 1 - В0) -1 dц = 0,
( A )
γ где y = {|ц| = r > a}, a ~ константа из определения полиномиальной A-ограниченности. Это условие является необходимым и достаточным при построении фазового пространства.
В случае (0 E ст ( A )) Л ( X = X' )
У (ц 2 A - цВ 1 - В о)-1 dц = 0, γ поэтому он исключается из дальнейших рассмотрений.
Пусть {Xk} - собственные значения оператора D, занумерованные по неубыванию с учетом их кратности, а {фк} - соответствующие им ортонормированные в смысле L 2( G ) функции. Построим проекторы
P ■{
Q = |
I, 0 € ст ( A );
I — ^ < -,фк > фк, 0 € ст ( A );
λk = λ-a
I, 0 € ст ( A );
I — ^ < -, фк > фк, 0 € ст ( A ) ,
λk=λ-a определенные на пространствах U и F соответственно, и пропагаторы уравнения (54)
V0 — 7)—• /( М A — MB 1 — B 0) ( MA — B 1) e^ dM — 2 ni
γ
_ у ‘ [ Мк ( X — ( a + Xk )) + а ( X' — ( a + Xk )) цkt , L ( X — ( a + Хк ))( м к — Мк ) e +
, М 2( Х — ( a + Хк )) + а ( Х‘ — ( a + Хк )) м2Я /
+------( X — ( а + Хк ))( МI — Мк )------ e 1 < '■ фк > фк ;
vt ( t ) — Л / ( М 2 A — MB I — B о) " 1 Ae^tdM — У 2 ni J z-^
γ где стА(B) — {m,22 : к € N}. а m,2, ~ корпи уравнения
‘ e^kt — e^kt
( м к— м к )
< •ф > фк,
( X — ( a + Хк )) M 2 + a ( X' — ( a + Хк )) M + в ( X‘ — ( a + Хк )) — 0 •
Здесь штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемых с номерами к такими, что X — a + Хк.
Отсюда справедлива
Теорема 20. Пусть а,Х,Х\Х” € R \ { 0 } и ^ 0 € ст ( A ). Тогда фазовым пространством уравнений (54) является все пространство U, т.е. для любых и о , u 1 € U существует единственное решение и € C 2(R;U) задачи (7) - (9) для уравнений (6), которое имеет вид и ( t ) — V0tu о + V-tu 1.
(гг) 0 € ст ( A ) и X — X' , но Х^Х Xм. Тогда фазовым пространством уравнений (6) является подпространство U1 — {u € U : < и,фк > — 0 , при Xk — X — a}, т.е. дл я любых и о , и 1 € U1 существует единственное решение и € C 2(R;U1) задачи ((7) - (9) для уравнений (6), которое имеет вид и ( t ) — V о tu о + V^u 1.
Автор вырамсает свою искреннюю признательность профессору Г.А. Свиридюку за постановку задачи, интерес к работе и предоставленные возмомсности.
Список литературы Математические модели соболевского типа высокого порядка
- Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators/G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. -Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2003. -179 p.
- Cristiansen, P.L. On a Toda Lattice Model with a Transversal Degree of Freedom/P.L. Cristiansen, V. Muto, P.S. Lomdahl//Nonlinearity. -1990. -№ 4. -P. 477-501.
- Boussinesq, J.V. Essai sur la théorie des eaux courantes. -Mém. Pésentés Divers Savants Acad. Sci. Inst. France. -1877. -№ 23. -P. 1-680.
- Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости/О.А. Ладыженская. -М.: Физматгиз, 1961. -204 с.
- Темам, Р. Уравнения Навье -Стокса. Теория и численный анализ/Р. Темам. -М.: Мир, 1981. -408 с.
- Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах/Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина//Прикладная математика и механика. -1960. -Т. 24, № 5. -С. 852-864.
- Chen, P.J. On a Theory of Heat Conduction Involving Two Temperatures/P.J. Chen, M.E. Gurtin//Z. Angew. Math. Phys. -1968. -V. 19. -P. 614-627.
- Осколков, А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева/Осколков А.П.//Зап. науч. сем. ЛОМИ. -1991. -Т. 198. -С. 31-48.
- Poincar, H. Sur l'equilibre d'une mass fluide anime d'un mouvement de rotation/H. Poincar//Acta Math. -1885. -V. 7. -P. 259-380.
- Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математической физики/С.Л. Соболев//Изв. АН СССР, серия Математика. -1954. -Т. 18, вып. 1. -С. 3-50.
- Demidenko, G.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest Order Derivative/G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. -N.Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003. -632 p.
- Showalter, R.E. Hilbert Space Methods for Partial Differential Equations/R.E. Showalter. -Pitman; London; San Francisco; Melbourne, 1977.
- Favini A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces/A. Favini, A. Yagi. -N.Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999. -336 p.
- Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications/N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev. -Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 2002. -548 p.
- Al'shin, A.B. Blow-up in Nonlinear Sobolev Type Equations/A.B. Al'shin, M.O. Korpusov, A.G. Sveshnikov. -Series in nonlinear analisys and applications, 15, De Gruyter, 2011.
- Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка/А.И. Кожанов. -Новосибирск: НГУ, 1990. -130 с.
- Pyatkov, S.G. Operator Theory. Nonclassical Problems/S.G. Pyatkov. -Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2002. -348 p.
- Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка/Г.А. Свиридюк, А.А. Замышляева//Дифференциальные уравнения. -2006. -Т. 42, № 2. -С. 252-260.
- Замышляева, А.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка/А.А. Замышляева//Вычислительные технологии. -2003. -Т. 8, № 4. -C. 45-54.
- Замышляева, А.А. Фазовое пространство уравнения соболевского типа высокого порядка/А.А. Замышляева//Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. -2011. -Т. 4, № 4. -С. 45-57.
- Габов, С.А. Новые задачи математической теории волн/С.А. Габов. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 1998. -448 с.
- Benney, D.J. Interactions of Permanent Waves of Finite Amplitude/D.J. Benney, J.C. Luke//J. Math. Phys. -1964. -№ 43. -P. 309-313.
- Ляв, А. Математическая теория упругости/А. Ляв; пер. с англ. Б.В. Булгаков, В.Я. Натанзон. -М.; Л.: ОНТИ, 1935. -674 с.
- Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера -Сидорова как феномен уравнений соболевского типа/Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина//Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. -2010. -Т. 3, № 1. -С. 104-125.
- Загребина, С.А. Начально-конечная задача для уравнений соболевского типа с сильно -радиальным оператором/С.А. Загребина//Математические заметки ЯГУ. -2012. -Т. 19, № 2. -С. 39-48.
- Свиридюк, Г.А. Уравнения Баренблатта -Желтова -Кочиной на графе/Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова//Вестник МаГУ. Серия: Математика. -Магнитогорск, 2003. -Вып. 4. -С. 129-139.
- Свиридюк, Г.А. Об одной модели динамики слабосжимаемой вязкоупругой жидкости/Г.А. Свиридюк//Известия вузов. Математика. -1994. -№ 1. -C. 62-70.
- Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши -Дирихле для одного неклассического уравнения/Г.А. Свиридюк, А.В. Анкудинов//Дифференциальные уравнения. -2003. -Т. 39, № 11. -С. 1556-1561.
- Замышляева, А.А. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка: моногр./А.А. Замышляева. -Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012. -107 с.
- Сагадеева, М.А. Дихотомии решений линейных уравнений соболевского типа: моногр./М.А. Сагадеева. -Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012. -107 с.
- Замышляева, А.А. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера -Сидорова -Дирихле для уравнения Буссинеска -Лява/А.А. Замышляева, О.Н. Цыпленкова//Дифференциальные уравнения. -2013. -Т. 49. -№ 11. -С. 1390-1398.
- Манакова, Н.А. Задачи оптимального управления для полулинейных уравнений соболевского типа: моногр./Н.А. Манакова. -Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2012. -88 с.
- Келлер, А.В. Задача оптимального измерения: численное решение, алгоритм программы/Келлер А.В., Назарова Е.И.//Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. -2011. -№ 3. -С. 74-82.
- Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа/Г.А. Свиридюк, С.В. Брычев//Известия вузов. Математика. -2003. -№ 8. -С. 46-52.
- Свиридюк, Г.А. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами/Г.А. Свиридюк, И.В. Бурлачко//Журнал вычислительной математики и математической физики. -2003. -Т. 43, № 11. -С. 1677-1683.
- Шестаков, А.Л. Динамические измерения как задача оптимального управления//А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк, Е.В. Захарова/Обозрение прикладной и промышленной математики. -2009. -Т. 16, № 4. -С. 732.
- Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения/А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова//Автоматика и телемеханика. -2012. -№ 1. -C. 107-115.
- Замышляева, А.А. О численном исследовании математической модели распространения волн на мелкой воде/А.А. Замышляева, Е.В. Бычков//Математические заметки ЯГУ. -2013. -Т. 20, № 1. -С. 27-34.
- Замышляева, А.А. Об алгоритме численного моделирования волн Буссинеска -Лява/А.А. Замышляева//Вестник ЮУрГУ. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. -2013. -Т. 13, № 4. -С. 24-29.
- Замышляева, А.А. Аналитическое исследование математической модели Буссинеска -Лява с аддитивным белым шумом/А.А. Замышляева//Глобальный научный потенциал (Раздел математические методы и модели). -2013. -№ 7 (28). -С. 44-50.
- Замышляева, А.А. Стохастическая математическая модель ионно-звуковых волн в плазме/А.А. Замышляева//Естественные и технические науки (Раздел математическое моделирование, численные методы и комплексы программ). -2013. -№ 4. -C. 284-292.
- Замышляева, А.А. Уравнение de Gennes звуковых волн в смектиках/А.А. Замышляева//Обозрение прикладной и промышленной математики. -2009. -Т. 16, вып. 4. -С. 655-656.
- Замышляева, А.А. Об аналитическом исследовании линеаризованной математической модели Бенни -Люка/А.А. Замышляева//Математические заметки ЯГУ. -2013. -Т. 20, № 2. -С. 57-65.
- Замышляева, А.А. Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска -Лява на графе/А.А. Замышляева, А.В. Юзеева//Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. -2010. -Т. 3, № 2. -С. 18-29.
- Федоров, В.Е. О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп операторов//Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. -2008. -№ 15 (115), вып. 1. -С. 89-99.