Математические модели соболевского типа высокого порядка

Актуальность изучения математических моделей на. основе уравнений соблевского типа, высокого порядка, обусловлена, необходимостью исследования важных прикладных задач, в частности, в области физики атмосферы, физики плазмы, теории электрических цепей, теории ползучести металлов, динамики колебаний стратифицированной жидкости, теории фильтрации, биологии и других. Именно развитие теории уравнений Соболевского типа. [1] позволило поставить вопрос об аналитическом и численном исследовании как существующих задач, так и новых в рамках сложившихся направлений математического моделирования, например, в теории звуковых и молекулярных волн, гидродинамике, теории упругости и других, описываемых уравнениями высокого порядка. [2-8].

Несмотря на. то, что первые исследования уравнений неразрешенных относительно старшей производной по времени появились еще в работах А. Пуанкаре в 1885 году [9], а. систематическое изучение начально-краевых задач для таких уравнений началось в 40-х годах прошлого столетия с работ С.Л. Соболева. [10], в настоящее время теория уравнений Соболевского типа, активно развивается и переживает пору бурного расцвета. Сформировались научные направления, вокруг которых сложились научные школы [11-17].

Данная работа, проведена, в рамках направления, возглавляемого Г.А. Свиридюком, и посвящена, исследованию математических моделей на. основе неклассических уравнений математической физики высокого порядка. В статье описываются разработанные автором абстрактные методы [18, 20], которые применяются к исследованию следующих математических моделей:

Математическая модель Деэюен линейных волн в смектиках. Уравнение линейных волн в смектиках [21], впервые полученное P.G. de Gennes, имеет вид

^{d 2            d 2}

dt2 Да u = a i dz ^ Д2 u, а 1 >  0 ,

где Да = Д2 + Э^, сти по переменным смектике

= д

²     Эх 1

+ dx y • Исходная модель имеет смысл в цилиндрической обла-

{z,x i , x 2 } € [ a,b ] x Q. В случае установившихся звуковых колебаний в

u ( x 1 , x 2 , z, t ) = v ( x i , x 2 , z ) exp( —iwt ) ,

исходное уравнение

примет вид

д 2

—г (Д2 v + а 2 v ) + а 2Д2 v = 0 , а 2 = ш ² а- ¹ • dz ²

Дополним это уравнение начально-краевыми условиями

v ( x, 0) = v о( x ) ,   v_z ( x, 0) = v i( x ) ,   x = ( x 1 , x 2) € Q ,

v ( x, z ) = 0 , ( x, z ) € д Q x R .

Линеаризованная математическая модель Веппеу - Luke. В цилиндре [0 , l ] x R рассмотрим линеаризованное уравнение Веппеу - Luke [22].

Utt - Uxx + aUxxxx

- bu_xxtt = 0 ,

с краевыми условиями Бенара

u (0 , t ) = u_xx (0 , t ) = u ( l, t ) = u_xx ( l, t ) = 0 .

Математическая модель (4), (5) с тем или иным начальным условием описывает двустороннее распространение длинных волн на мелкой воде с учетом поверхностного натяжения.

Математическая модель колебаний в конструкции. Пусть G = G ( V ; E ) - конечный связный ориентированный граф, где V = {Vi}m=₁ - множеств о вершин, a E = {Ej }ⁿ ₌₁ -множество дуг. Мы предполагаем, что каждая дуга имеет длину lj >  0 и толщину dj >  0. На графе G рассмотрим уравнения Буссинеска - Лява [23]

Xujtt   ujxxtt   ^{а (} ujxxt   ^Xujt ) ^{+ в (} ujxx   X ^uj ) , x ^{€ (0 ,l}j ) , t ^{€ R ,j}   1 ,n.

Для уравнений (6) в каждой вершине Vi, i = 1 , m зададим краевые условия

djujx (0 , t ) -j : Ej EE“ ( Vi )

У^     dk Ukx ( lk ,t ) = 0 ,

k : EkEE^ ( Vi )

us ⁽⁰ , t ) — uj ⁽⁰ , t ) — ^uk ⁽ lk, t ) — ^um ⁽ lm ,t ) , ( b ) для всех E_s,Ej € E^a ( Vi ) , Ek,E_m € E^ш ( Vi ) • Здесь через E^{a ( ш} )( Vi ) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине Vi. Если дополнить (7), (8) начальными условиями

Uj ( x, 0) = u о j ( x ) , Ujt ( x, 0) = u 1 j ( x ) , для всех x € (0 ,lj ) , j = 1 , n,

то получим математическую модель, представляющую процессы колебаний в конструкции из тонких упругих стержней. Функции uj(x,t) определяют продольное смещение в точке x в момент времени t на j-м элементе конструкции. Параметры X, X', А", айв характеризуют материал, из которого изготовлены стержни.

Математические модели (2), (3) и (4), (5) с тем или иным начальным (начальноконечным) условием в подходящих банаховых пространствах могут быть редуцированы к соответствующим задачам для неполного уравнения Соболевского типа высокого порядка

Lu(n) = Mu + f(10)

с относительно р -ограниченным или относительно р -секториальным оператором в правой части.

Разработанная автором теория полных уравнений Соболевского типа высокого порядка

Au(n) = Bn-1 u(n- 1) + ... + B о u + f(11)

с относительно полиномиально ограниченным пучком операторов позволяет исследовать математическую модель (6)-(9).

Стандартной задачей для уравнений (10), (11) является задача Коши

u(m)(0) = um, m = 0,... ,n — 1.(12)

Наряду с задачей (12) для уравнений Соболевского типа ставится условие Шоуолтера -Сидорова [24]

L(u(m)(0) — um) = 0, m = 0,..., n — 1.(13)

Обе задачи в зависимости от методов исследования могут пониматься в различных смыслах (классическом, обобщенном, ослабленном, сильном и т.д.), однако очевидно, что задача (13) более общая, нежели (12). В тривиальном случае (существование обратного оператора L ) обе задачи совпадают, а значит, совпадают и их решения. Однако, задача Шоуолтера - Сидорова для уравнений Соболевского типа более естественна, нежели задача Коши. В данной работе рассматривается задача Шоуолтера - Сидорова в более общей постановке:

P ( u ^{( m} )(0) — um ) = 0 , m = 0 ,..., n — 1 ,                            (14)

где P - спектральный проектор. При проведении вычислительных экспериментов условия Шоуолтера - Сидорова предпочтительнее, нежели условия Коши, так как не возникает необходимости проверки принадлежности начальных значений фазовому пространству уравнения.

Естественным обобщением задачи (14) является начально-конечная задача [25]

Pin ( u ⁽ m )(0) — um ) = 0 , Pfin ( u ^{( m} )( T ) — um ) = 0 , m = 0 ,...,n — 1 .           (15)

Здесь Pin и Pfin - специальным образом построенные относительно спектральные проекторы. Термин « начально-конечная задача » появился относительно недавно и отражает тот факт, что для уравнения (10) или (11) часть данных задается в начале временного промежутка [0,Т], а другая часть - в конце. Первоначально она называлась « задачей сопряжения » и рассматривалась как обобщение задачи с данными на свободной поверхности. Именно в этом контексте была построена теория таких задач для линейных уравнений Соболевского типа первого порядка, и разработаны приложения этой теории.В данной работе эти идеи и методы распространены на случай уравнений Соболевского типа высокого порядка. Необходимо отметить, что в настоящее время начально-конечные задачи для неклассических уравнений математической физики активно изучаются, в том числе и на множествах различной геометрической структуры [26].

Наш подход основан на концепции относительного спектра, предложенной Г.А. Сви-ридюком [1, 27], и развитой его учениками [28-30]. Кроме того, методы, предложенные Г.А. Свиридюком, легли в основу теории оптимального управления [43, 32], стали фундаментом алгоритмов численного решения уравнений леонтьевского типа (т.е. конечномерных уравнений Соболевского типа) [33], которые в свою очередь сыграли важную роль в численных исследованиях экономических [34, 35] и технических моделей [36, 37].

Результаты, представленные автором, легли в основу аналитических и численных исследований полулинейных уравнений Соболевского типа второго порядка [38, 44], находят свое применение при исследовании стохастических уравнений [40, 41].

Статья кроме вводной части и списка литературы содержит шесть параграфов. Первый параграф посвящен изучению абстрактной задачи Коши для уравнения Соболевского типа высокого порядка с относительно р -ограниченным оператором [19]. Эти результаты применяются во втором параграфе для исследования математической модели линейных волн в смектиках [42]. В-третьем параграфе рассматривается задача Коши и начальноконечная задача для уравнения Соболевского типа высокого порядка (10) в случае ( L,n,p )-секториальности оператора M. Данные абстрактные результаты проиллюстрированы конкретным примером, приведенным в четвертом параграфе. Здесь исследуется математическая модель Бенни - Люка с начальным (начально-конечным) условием [43]. В пятом параграфе приводится разработанная автором теория относительно полиномиально ограниченных пучков операторов [29], которая используется в шестом параграфе при исследовании математической модели продольных колебаний в конструкции на основе уравнений Буссинеска - Лява на конечном связном ориентированном графе, результаты которой опубликованы в [44].

Наконец заметим, что все рассмотрения проводятся в вещественных банаховых пространствах, однако при рассмотрении « спектральных вопросов » вводится их естественная комплексификация. Все контуры ориентированны движением против часовой стрелки и ограничивают области, лежащие слева при таком движении.

1.    Относительно ^-ограниченные операторы

Пусть U, F - банаховы пространства и операторы L, M Е L (U; F) (линейны и непрерывны).

Определение 1. Множество pL (M) = {ц Е C : (pL - M) -1 Е L(F; U)} называется резольвентным множеством оператора M относительно оператора L (короне. L-рсзольвсптпым множеством оператора M). Мнозicecmeo C\pL(M) = ctl(M) называется спектром оператора M относительно оператора L (короче, L-спектром оператора M).

Замечание 1. L-резольвентное множество оператора M всегда открыто, и, следовательно. L-спсктр оператора M всегда замкнут.

Определение 2. Оператор-функции

( pL - M ) ^{- 1} , RL = ( pL - M ) ^{- 1} L, LL = L ( ^L - M ) ^{- 1}

с областью определения p^L ( M ) называются соответственно резольвентой, правой резольвентой, левой резольвентой оператора M относительно оператора L (короче, L-резольвентой, правой L-резольвентой, левой L-резольвентой оператора М).

Теорема 1. [1] L-резольвента, правая и левая L-резольвента оператора аналитичны в своей области определения.

Определение 3. Оператор M навивается спектрально ограниченным относительно оператора L (корочс. ( L,y^ограниченным). если

За >  0 Уд Е C : ( |д| > а ) ^ ( д Е pL ( M )) .

Замечание 2. Пусть суиуествует оператор L ¹ Е L (F , U). Оператор M ( Ь,а ) —ограничен точно тогда, когда ограничен оператор L^{- 1} M ( или ML^{- 1}/

Лемма 1. [1] Пусть оператор M ( Ь,а^-ограничен. Тогда операторы

P =

/ rL ( M ) dX и Q = 2 ni J

[ lL ( M ) dX 2 ni J

Γ

Γ являются проекторами, причем P : U ^ U и Q : F ^ F. Здесь Г = {X Е C : |X| = r > a}.

Положим U⁰ = ker P. F⁰ = ker Q. U¹ = im P. F¹ = im Q. Обозначим через Lk ( Mk ) сужение оператора L ( M ) на подпроетраиетво U^k. k = 0 , 1.

Теорема 2. [1] Пусть оператор M ( L,a^-ограничен. Тогда

• (г) операторы Lk, Mk : U ^k ^ F ^k, k = 0 , 1;

• (ii ) существует оператор M- ¹ Е L (F⁰ , U⁰);

(Hi) существует оператор L- ¹ Е L (F¹ , U¹);

(in) оператор M ₁ Е L (U¹ , F¹) .

Тогда

В условиях теоремы 2 построим операторы H = M о ¹ L о Е L (U⁰) и S = L- ¹ M 1 Е L (U¹).

( дL — M ) - ¹

-

∞

µkHk k=0

M- ¹(I — Q ) + ^ д-k S ^{k- 1} L - ¹ Q.

k =1

Определение 4. Бесконечно удаленная точка L-резольвенты оператора M называется

• (i)    устранимой особой точкой, если H = O;

(И) полюсом порядка, если H^p = O , H^{p +1} = O; p Е N,

(Hi) сугцественно особой точкой, если Hq = O, Vq Е N.

Далее устранимую особую точку так же будем называть полюсом порядка нуль.

Замечание 3. В дальнейшем ( L,a)-ограниченньш оператор M, будем называть ( L,p )- ограниченным, если точка то является пол юсом порядка p Е { 0 } U N е го L-резольвенты.

Определение 5. Обозначим через ф о Е ker L\{ 0 } собственный еектор оператора L. Упорядоченное мномсество {ф ₁ ,ф 2 ,...} С im L называется цепочкой M-присоединенных векторов собственного вектора ф о, если

Lф_q +1 = Mф_q, q = 0 , 1 , 2 ..., ф_q Е ker L при q = 1 , 2 ,...

Говорят, что цепочка конечна, если существует такой M -присоединенный вектор ф_р , что либо ф_р Е dom M , либо Mф_p Е im L. Мощность конечной цепочки называется ее длиной.

Линейная оболочка всех собственных и M -присоединенный векторов оператора L называется M -корневым линеалом оператора L.

Теорема 3. [1] Пусть оператор L - фредголъмов (т.е. ind L = 0/ Тогда следуют/ие утверждения эквивалентны

• (г) оператор M ( L,p^-ограничен:

• (и) любой собственный вектор оператора L не имеет M-присоединенных векторов высоты больше р.

Определение 6. Оператор-функцию V• Е C^ (R; L (U)) будем называть пропагатором однородного уравнения (10), если для любого v Е U вектор-функция u ( t ) = Vtv будет решением этого уравнения.

Теорема 4. Пусть оператор M ( L,a^-ограничен. Тогда формулы

Um = ^/^—m— ¹⁽^ " M ) - ¹ L^’             ⁽¹⁷⁾

г где контур Г = {ц Е C : |ц| = R > а}, определяют пропагаторы уравнения (10) при всех t Е R.

Лемма 2. (г) Um Е C~ (R; L (U;U¹)) , (Um ) (^l ) = Um-l, гдет = 0 , 1 ,...,n — 1, l = 0 , 1 ,...,m;

• (ii)    (Um )⁽ l )l = O npu m = l, Um ) ⁽ m )l = U q = P. (Напомним, что проектор P Е L (U) определен о лемме 1).

Определение 7. Подпространство P С U называется фазовым пространством однородного уравнения (10), если

• (i)    любое решение u = u ( t ) уравнения (10) лежит в P. т.е. u ( t ) Е P Vt Е R.

• (ii)    при любых u_m,m = 0 , ...,n — 1 Е P существует единственное решение задачи (10), (12).

Замечание 4. Если существует оператор L^{- 1} Е L (U), то в силу непрерывности оператора M фггзовым пространством уравнен ня (10) служит все пространство U.

Теорема 5. Пусть оператор M ( L,p)-ограничен, р Е { 0 } U N. Тогда подпространство U¹ является фазовым пространством однородного уравнения (10).

Рассмотрим задачу Коши (12) для неоднородного неполного уравнения Соболевского типа (10), где вектор-функцию f : ( — t,t ) ^ F определим позже.

Пусть оператор M ( L,p )-ограничен, тогда в силу теоремы 2 задача (10), (12) распадается на две независимые задачи

H ( u ⁰)^{( n} ) = u ⁰ + M_q ¹ f ⁰ , ( u ⁰)^{( m} )(0) = um, m = 0 , 1 ,...,n — 1 ,            (18)

( u ¹)^{( n} ) = Su ¹ + L- ¹ f ¹ , ( u ¹)^{( m} )(0) = um, m = 0 , 1 , ...,n — 1 ,             (19)

где операторы H = M— ¹ L q Е L (U⁰). S = L- ¹ M ₁ Е L (U¹): вектор-<функции u ⁰ = ( I — P ) u. f ⁰ = ( I — Q ) f. u ¹ = Pu. f ¹ = Qf ; векторы um Е Uk, k = 0 , 1 , m = 0 ,..., n — 1.

Рассмотрим сначала задачу (18). Пусть f ⁰ Е C^{n ( p +1)}(( — t, t ); F⁰), тогда простой подстановкой можно убедиться, что вектор-функция

p u0 (t) = —£ HqMq 1(I — Q) f(qn)(t)                         (20)

q =0

является решением уравнения (18). Если вдобавок p         dnq+m um = —    HqM—1 , 9 , f0(0),m = 0,... ,n — 1,                    (21)

• ^m / -v      ⁰ dt 2 q + m

то вектор-функция (20) служит решением задачи (18).

Перейдем к задаче (19). Пусть вектор-функция f1 € C((—т, т); F1), тогда вектор-функция п—1

u 1(t) = ^ Vtum + / Vt-sL—1 Qf (s)ds,t € (—т,т) m mn-

m=00

будет решением задачи (19).

Теорема 6. Пусть оператор M (L,p )-ограп ичен, p € {0} U N. Пусть век тор-функция f : (—т, т) ^ F таков а. что f0 € Cn(p+1)((—т,т);F0). и f1 € C((—т,т);F1). Пусть начальные значения удовлетворяют соотношениям p         dnQ+m

( I — U 0) Um = — £ HqM- ¹ df ⁰ (0) , m = 0 , 1 ,...,n — 1 .

Тогда существует единственное решение задачи (10), (12), которое момсно представить в ваде u ( t ) = u ⁰( t ) + u 1( t ). г де. u ⁰( t ) определено фо^ умулой (20). a u 1( t ) - формулой (22).

2.    Математическая модель Дежен линейных волн в смектиках

Начально-краевую задачу для уравнения (2) можно описать в терминах задачи (12) для уравнения (10). Редуцируя математическую модель (2), (3) к задаче (10), (12), положим

U = {_v € W^l_q ⁺²(П): v ( x )=0 ,x € д П }, F = W^ (П)

ИЛИ и = {v € Cl+2+Y (П) : v(x) = 0,x € дП}, F = Cl+Y(П), где Wl(П) - пространства Соболева 2 < q < то, Cl+Y(П) - пространства Гельдера 0 < y < 1, l = 0, 1,... . Положим для удобства а = —а2. А = А2. Операторы L и M зададим формулами L = А — а. M = а А. При . тюбом l € {0} U N опера торы L,M € L (U; F).

Обозначим через {Xk} множество собственных значений однородной задачи Дирихле в области П для оператора Лапласа А, занумерованное по невозрастанию с учетом кратности, а через {фк} - семейство соответствующих собственных функций, ортонормированных относительно скалярного произведения < •, • >  из L ²(П).

Лемма 3. Пусть а € R. Тогда оператор M ( L, 0)-ограничен.

Итак, в силу теоремы 6 справедлива

Теорема 7. (г) Пусть а € а (А). Тогда пр и любых v 0 , v 1 € U существует единственное решение задачи (2), (3), которое к тому снсе имеет вид

v

( z ) = 52 < v 0 ,фк > фкch α<λk

αλk λk - α

+ 52 0 ,фк > фк cos α>λk

αλk α-λk

z +

λk - α     αλk

• 1 , фк > фк А ---—sh\  ----z +

αλk     λk - α

α<λk

α - λk      αλk

• 1 , фк > фк\  .—svn\ ----—z.

αλk      α - λk

α>λk

• (и) Пусть a E а (А). Тогда при любых

3.    Относительно р-секториальные операторы

v0, v 1 E U1 = {v E U :< v, фк > = 0, A = Ak} существует единственное решение задачи (3),(2), имеющее вид (23).

Замечание 5. Результаты этой теоремы легко транскрибируются в терминах исходного уравнения (1), если учесть связь между функциями u и v.

Основы теории относительно р -секториальных операторов были заложены ГА. Свири-дюком и развиты в работах его учеников. Мы распространим эти идеи и методы на случай уравнения произвольного порядка. Пусть U и F - банаховы пространства, операторы L E L (U; F), M E Cl (U; F) (линеен, замкнут, плотно определен в U). Построим множества aL ( M ) = {p E C : pn E a^L ( M ) }, pL ( M ) = C \ aL ( M ).

Определение 8. Оператор M назовем ( n, р )-секториальным относительно оператора L или ( L,n,p )-секториальным, если существуют константы K >  0, 9 E ( п/ 2 , п ) такие, что множество

SLn ( M ) = {p E C : | arg( pn ) | <9, р = 0 } С pL ( M ) ,                (24)

причем max {\\R^,р)(M)||£(я), \\Ll^)(M)||£m| < , K   Vpk e SLn(M), k = 0Д.     (25)

П KI к =0

Лемма 4. [1] Пусть оператор M ( L,n,p)-секториален. Тогда длины всех цепочек M-присоединенных векторов ограничены числом р.

Возьмем a E p^L ( M ) и редуцируем однородное уравнение (10) к паре эквивалентных ему уравнений

RL ( M ) u ⁽ n ) = ( aL - M ) “ ¹ Mu,                           ( 26 )

LL ( M ) f ⁽ n ) = M ( aL - M ) - ¹ f.                           (27)

Операторы в правых частях (26), (27) можно отождествить с непрерывными операторами, определенными на пространствах U и F соответственно. Поэтому уравнения (26), (27) удобно рассматривать как конкретные интерпретации уравнения

Av ⁽ n ) = Bv,                                     (28)

определенного на банаховом пространстве V, причем операторы A,B E L (V). Вектор-функцию v E Cⁿ (R+; V), удовлетворяющую уравнению (28), будем называть решением этого уравнения.

Определение 9. Оператор-функцию V* E C^ (R+; L (V)) будем называть пропагатором уравнения (28), если для любого v E V вектор-функция v ( t ) = Vtv будет решением этого уравнения.

Лемма 5. Пусть оператор M ( L,n,pУсекториален. Тогда интегралы типа Данфорда-

Шварца

Um = ^ [ Pn^m 1( PnL — M ) ^{- 1} Le^^dp, 2 ni

γ t m

— I'n- - ¹ L ( pnL — M ) - ¹ е^д, 2 ni

γ

где t G R₊ , m = 0 , 1 ,..., n — 1, a y C pL ( M)-контур, образованный лучами, выходящими из начала координат под углами 9 и —9, определяют пропагаторы однородного уравнения (26) и (27) соответственно.

n- 1            n- 1                                           n- 1            n- 1

Положим U⁰ = Q ker U— = Q {ф G U : и 0 ф = 0 3t G R₊ } , F⁰ = Q ker F* = Q {c G — =0         — =0                             — =0         — =0

F : F q ^ = 0 3t G R } + 11 через L 0 ( M 0) обозначим сужeiine оператора L (M ) 1 ia U⁰ (U⁰ О dom M

Следствие 1. В условиях леммы 5 операторы L о G L (U⁰; F⁰), M о G Cl (U⁰; F⁰), причем существует оператор M- ¹ G L (F⁰; U⁰).

Положим U¹ = im U** = {u G U : lim Utu = u} . F¹ = im F* = {f G F : lim Ftf = f} tM 0+ ^{0                  0}             tM 0+

через L 1 ( M 1) обозначим сужешге оператора L (M ) 1 ia U¹ (U¹ О dom M).

Следствие 2. В условиях леммы 5 операторы L 1 G L (U¹;F¹), M । G Cl (U¹;F¹).

Очевидно. U⁰ ф U¹ C U и F⁰ ф F¹ C F. В дальнейшем нам потребуются две гипотезы:

U⁰ ф U¹ = U (F⁰ ф F¹ = F) ,

существует оператор L 1¹ G L (F¹; U¹) .

и

Гипотеза (31) имеет место, например, в случае рефлексивности пространства U (F) (теорема Яги - Федорова [45]). Гипотеза (32) справедлива, если выполнено (31) и im L 1 = F¹ (теорема

Банаха). Заметим еще, что из (31) вытекает существование проекторов P = s

-

lim Ut 11

tM 0+ ⁰

Q = s

— ^m F q ^b пространствах U, F соответственно.

Следствие 3. Пусть оператор M (L,n,pУсекториален, причем выполнены (31), (32). То гда оператор H = Mq 1Lо G L(U0) пильпотегнпген степени р.

Теперь у нас все готово для исследования однозначной разрешимости задачи Коши lim u(—)(t) = u—, m = 0, 1,..., n — 1 tM0+

для уравнения (10), которое в силу ( L,n,p )-секториальности оператора M , условий (31), (32) редуцируется к виду

H ( u ⁰)⁽ n ) = и ⁰ + M0 ¹ f ⁰ ,                                 (34)

( и 1)⁽ n ) = Su ¹ + L-п f ¹ ,                                   (35)

где f ⁰ = (I — Q ) f. f ¹ = Qf. u ⁰ = (I — P ) u. u ¹ = Pu.

Пусть вектор-функция f 0 G Cn (p +1)([0

F⁰) ,

t ];

тогда существует единственное решение уравнения (34), которое к тому же имеет вид

p u0 (t) = —^ Hq M-1 f 0( nq)(t).

q =0

Отсюда непосредственно следует, что начальные значения u_m с необходимостью должны принадлежать множествам

Mk = {и g и : (I -P ) u = - ]Д Hq M0^{- 1} f ⁰⁽ nq ⁺ k ) (0) }, k = 0 ,...,n — 1 .        (36)

q =0

Перейдем к уравнению (35). Можно показать, что для любых иmm G U1, m = 0, ...,n — 1 и f1 G C([0, T];F1) существует единственное решение задачи Коши для уравнения (35), которое к тому же имеет вид n-1

и 1( t) = ^ Vm vm m=0

t

+ / VtSL- ¹ f 1(s ) ds.

Таким образом имеет место

Теорема 8. Пусть оператор M ( L,n,pУсекториален, выполнены условия (31), (32). Тогда для любых Uk G Mf ,k = 0 , ...,n — 1 и вектор -фуикиуш f = f ( t ). t G [0 , T ]. указанной выше, существует единственное решение задачи (34), (35), которое к тому же имеет вид и ( t ) = и ⁰( t ) + и ¹ ( t ).

Перейдем к рассмотрению начально-конечной задачи для уравнения Соболевского типа высокого порядка с относительно ( n,p )-секториальным оператором.

Теорема 9. Пусть c^L ( M ) = ain ( M ) U aLn ( M ), при чем afin ( M ) содержится в ограниченной области П С C с кусочно гладкой границей д П гt д П П ct^l ( M ) = 0. Тогда существуют проекторы Pfin G L (U) zz Qf_in G L (F) такие, что операторы L G L (ker Pfin ; ker Qf_in ) П L (im Pfin ;im Qfin ) z i M G Cl (ker Pfin ;ker Qfin ) ПС1 (im Pfin ;im Qfin ).

Положим Pin = P — Pfin. очевидыо. Pin G L(U) - проекто]). Возьмем T G R+- иm. ит G U и рассмотрим задачу lim Pin (и(m)(t) — и m )=0,  Pfin (и(m)(T) — ит ) = 0 m = 0 ,...,n — 1       (37)

для линейного уравнения Соболевского типа (10).

Теперь пусть оператор M ( L,n,p )-секториален, выполнены условия (31), (32) и условия теоремы 9. Тогда Umm = P^Umm + PinUm, = Umm ₍ fin ) + Umm ₍ in ). Fm = QfinFmm + QinFmm = ^Fm ( fin ) ^{+ F}m ( in)■ HP^11чем Um ( fin ) ^{11 F}m ( fin ) ^можпо представить в виде

U‘„(fin) = 2ni Г Kn--1RL- (M)eM^.  Ffin = F Г Kn--1LL2 (M)еЫ1^,    OS где контур Г = дП.

Далее. ПОЛОЖИМ im Pfin ( in ) = ^U f_in ( _in )• ^im Qfin ( in ) = Ffin ( _in )• ПО ПОСТpoeiHITO U fin ®Uin = U¹11F fin® F in = F¹- Обозпачим через Lf_in ( _in ) Mffnn ( _in )) сужение оператора L (M ) iia Uf_in ( _in ) (dom M П Ufin ( in )). Аналогично следствию 2 пет]нудно показать, что операторы Lfin ( in ) G ^{L (U} fin ( in );F fin ( in ))• Mfin ( in ) ^G Cl ^(U fin ( in );F fin ( in ))■ причем супщствует оператор L^—n ₍ in ) ^G L (F fin ( in ); Ufin ( in ))• a oneратор Sin = L^— Min G Cl (U in ) будет n -секториальным, а оператор Sfin = L-inM/in : Ufin ^ Ufin - ограниченным.

Теперь у нас все готово для исследования однозначной разрешимости задачи (37) для уравнения (10), которое в силу ( L,n,p )-секториальности оператора M, условий (31), (32) и условий теоремы 9 редуцируется к виду

H (и 0)( n) = и0 + M- 1 f0,(39)

(ufin)(n) = S^fi + L-^f fin,(TO)

(uin)(n) = Sinuin + L-fin,(Ц)

где f ⁰ = (I - Q ) f. f fin ⁽ in ) = Qfin ₍ in ) f. и ⁰ = (I - P ) u. ufin ⁽ in ) = Pfin ( in ) u.

Теорема 10. Пусть оператор M ( L,n,pУсекториален, выполнены условия (31), (32) и условия теоремы 9. Тогда для любых u m,um Е U и вектор -функции f = f ( t ), t E [0 , T ], существует единственное решение задачи (37), (10), которое имеет вид u ( t ) = u ⁰( t ) + u^fin ( t ) + uⁱⁿ ( t )

u ⁰( t ) = - E p =0 HqM- ¹ f ⁰⁽ nq )( t ) - решение уравнения (39);

^ufin ⁽ t ) = E Vm-f'Tin ) vm ^- JT Vt-s nx _fin ) Lfin ) ^{f fi}n ^{( s} ) ^ds - решение уравнения (40) с конеч-m =0

нмм условием u^{fin (} m )( T ) = Pf_in ( uTm ):

uⁱⁿ ( t ) = ^E vm ( _in ) vm + ft Vn-^s ₁)( _in ) L- (1 _n ) fin ( s ) ds - решение уравнения (41) с начальным условием uin ⁽ m ) (0) = Pin ( um ).

4.    Линеаризованная модель Бенни - Люка

Редуцируем математическую модель (4), (5) к уравнению Соболевского типа (10) второго порядка. Положим U = {v Е W^(0,l ) : v (0 , t ) = v ( l,t ) = 0 } . F = L ₂(Н): опер;гторы L n M зададим формулами:

д ²            d ²       д ⁴

= I ^-ьдЙ?,    = dX ^{2 -} adx⁴

соответствешю. dom M = {v E W 24(0 ,l ) : v (0 , t ) = v_xx (0 , t ) = v ( l,t ) = v_xx ( l,t ) = 0 } Очевидно, оператор L E L (U;F). a oneратор M E Cl (U;F).

Лемма 6. При любых a,b E R, оператор M ( L, 2 , 0)-секториален, причем выполнены условия (31), (32).

Доказательство. Введем в рассмотрение собственные функции однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа А = д^, определенно го в области Н = [0 ,1 ]. Обозначим через Фк = sin ⁿkkx собственные (рупкщш. соответствутотнне собственным "шанеиням Xk = - (nk )².

L -спектр оператора M имеет вид

_CT ^L ( M ) = ^p_k =

^Xk ^{- aX}"k 1 ^{- bX}k

,k e N \{l : Xi = X} j> .

Поскольку Xk ~ -k ² пр и k ^ то, to значит, во-первых, существует сектор требуемого раствора, содержащий ct^l ( M ), и следовательно, множество

SL 2( M ) = {ц Е C : I arg( ц ²) | < 9, ц = 0 } С рL ( M ) .

Во-вторых, при достаточных больших |ц| , лежащих вне этого множества, имеем ^max { HRL 2^{( M} ) Hr (u) , HLL 2^{( M} ) Hr (F)} <  const ^|ц^{|- 2}

V e SL, ₂( M ) .

Следовательно, оператор M ( L, 2 , 0)-секториален.

Выясним, выполняются ли условия (31), (32). Поскольку пространства U и F рефлексивны, то в силу леммы 6 и теоремы Яги - Федорова [45] условия (31) выполняются, причем

• ( i )    U⁰ = F⁰ = { 0 } , U¹ = U, F¹ = F, если 1 — bXk = 0;

• ( ii )    U⁰ = F⁰ = ker L = span {фj} . U¹ = {u e U : (u, фj) = 0 }.

F¹ = {f e F : (f, фj) = 0 } = im L. если 1 — bXj = 0.

Условие (32) тоже выполняется, причем оператор L- ¹ можно представить в виде

• - 1 _ ^ ‘ V, ^фк) ^фк

• ¹ =     (1 — bXk ) •

Штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемых, для которых 1 — bXk = 0. Таким образом, лемма доказана.                                                          □

Теорема 11. При любых a,b e R, T e R₊, Uk e U¹, существует единственное решение задачи

u ^{( k} ) (0) = uk, k = 0 , 1

для уравнения (4) с краевыми условиями (5).

В силу дискретности L -спектра a^L ( M ) оператора M условия теоремы 9 тоже выполняются, причем для любого замкнутого контура 7 e C, ограничивающего область, содержащую конечное множество точек из a^L ( M ), и не Пересе кающегося с a^L ( M ). Итак, все условия теоремы 10 выполнены, и поэтому справедлива

Теорема 12. При любых a,b e R, T e R+, um, um e U, m = 0, 1 существует единственное решение u e C2((0,T);U) П C1 ([0,T];U)

задачи

Pin ( u ⁽ m ) (0) — um ) = 0 , Pfin ( u ^{( m} )( T ) — um ) = 0 , m = 0 , 1

для уравнения (4) с краевыми условиями (5).

5.    Относительно полиномиально ограниченныепучки операторов

Пусть U, F - банаховы простраиства. операторы A, B 0 ,...,Bn-1 e L (U; F). Обозначим → через B пучок операторов Bn- 1,... ,B0.

Определение 10. Множества

PA ⁽ B ) = ^{д ^e C ^{: (} ц^пA ^— ц^{п 1} Bn- 1 ^— ... ^— д^в 1 ^— B 0) ^{1 e} L ⁽F^;U) }

→→ и cta(B) = C \ pA(B) будем называть, соответственно, A - резольвентным мноэюеством и

→

A - спектром, пучка B.

Определение 11. Оператор-функцию комплексной переменной RA(B) = (дпА — дп-1 Bn- 1 —... — ^B 1 — B0)-1 с областью (эпределепия pA(B) будем иазывать Арезолъвептой → пучка B.

Лемма 7. Пусть операторы A, Bn- 1 ,..., B о G L (U; F). Тогда A-резольвентное множество

→→         → пучка операторов B pA(B) открыто, A-спектр пучка B всегда замкнут.

Теорема 13. R^ ( B ) аналитична в своей области определения.

→

Определение 12. Пучок операторов B называется полиномиально ограниченным относительно оператора A (или просто полиномиально A-ограниченным), если

3a G R+ Vp G C ( |p| >a ) ^ ( R^ ( В ) GL (F;U)) .

→

Пусть пучок В полиномиально A -ограничен. Введем одно важное в дальнейшем условие:

j ДRA ( В ) dp = O , k = 0 , 1 , ...,n — 2 ,                         ( A )

γ где контур y = {p G C : |p| = r > a}.

Замечание 6. Пусть существует оператор A^{- 1} G L (F; U), тогда условие ( A ) выполняется.

→

Лемма 8. Пусть пучок В полиномиально A-ограничен, и вы полнено условие ( A ). Тогда операторы

P = 2 П / RA ( ^ ) Pn- ¹ Adp, Q = 2 П j pn- ¹ ARA ( в ) dp            (13)

γγ являются проекторами в пространствах U и F соответственно.

Положим U⁰ = ker P, F⁰ = ker Q, U¹ = im P, F¹ = im Q. Из предыдущей леммы следует, что и = U0 Ф U¹, F = F ф F¹ . Через Ak ( Bk ) обозначим сужешге оператора A ( Bi ) на U^k, k = 0 , 1; l = 0 , 1 ,...,n - 1 .

→

Теорема 14. Пусть пучок B полиномиально A-ограничен, и вы полнено условие ( A ). Тогда действия операторов расщепляются:

• (г) Ak gL (U ^k ;F ^k ) , k = 0 , 1;

• (u) Bk GL (U ^k ; F ^k ) , k = 0 , 1 , l = 0 , 1 ,...,n - 1:

(ггг) существует оператор ( A ¹) - ¹ G L (F¹;U¹).

(in) существует оператор ( B 0) - ¹ G L (F⁰;U⁰).

Обозначим H 0 = ( B0)- ¹ A ⁰ , H_k = ( B 0) - ¹ B^)_-k, k = 1 , n — 1 , S_k = ( A 1) - ¹ Bk, k = 0 , n — 1.

→

Следствие 4. Пусть пучок B полиномиально A-ограничен, и выполнено ( A ). Тогда существует константа b G R+ ( b > a ) Vp G C ( |p| > b ) ^

∞∞

RA ( в ) = — E( pnH 0 —... — pHn- 1) k ( B 0) - ¹ (I —Q )+ p^-n E( p^{- 1} Sn- 1 + ... + p-nS 0) k ( A 1) - ¹ Q. k =0                                             k =0

Замечание 7. При n = 1 представление (44) совпадает с разложением относительной резольвенты оператора в ряд Лорана (16).

Определение 13. Пусть ker А = { 0 } , век тор ф о G ker А \ { 0 } будем называть собственным вектором оператора А. Упорядоченное mi южество векторов {ф 1 , ф 2 ,...} называется цепочкой -В -присоедипеппых векторов собственного вектора ф о. если

Аф о = 0;

Аф 1 = Bn- 1 ф о;

Аф 2 = Bn— 1 ф i + Bn— 2 ф о;

^Афп = ^Bn- 1 фп- 1 ^{+ B}n- 2 фп- 2 ⁺ ... ^{+ В} 1 ф 1 ^{+ В} о ф о^;

• ^Афп + q = ^Bn- 1 фп + q- 1 ^{+ B}n- 2 фп + q- 2 ⁺ ... ^{+ B} 1 фq +1 ^{+ B} о фq ^;

q = 1 , 2 .., ф1 G ker А \ { 0 }, l = 1 , 2 ,...                              (15)

Для присоединенного вектора ф_q определим высоту, равной порядковому номеру вектора в цепочке. Линейную оболочку всех собственных и B -присоединенных векторов one-ратора А назовем его B -корневым линеалом. B- корневым пространством будем называть замкнутый. B -кориевоп линеал оператора А.

Цепочка B-присоединенных векторов может быть бесконечной. В частности, она может быть заполнена нулями, если фо G ker А П ker Bn- 1 П ker Bn-2 П ... П ker B 1 П ker Bо. Но она будет конечной в случае существования такого .^-присоединенного вектора ф^ что Bn- 1 фq + Bn-2фq-1+...+Bофq-n+1 G imА- Высоту q последнего .^-присоединенного вектора в конечной цепочке {ф 1, ф2, ...,фq} будем называть длиной этой цепочки.

Теорема 15. Пусть операторы А, B_n- 1 ,...,B о G L (U , F), причем оператор А фредгольмов. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

→

• (1) Длины всех цепочек Б-присосдипсппых векторов оператора А ограничены числом p G { 0 }U N.

→

• (и) Пучок операторов B полиномиально А-ограничен, причем точка то является по-→

люсом порядка не более p А-резольвенты пучка операторов B.

Определение 14. Определим семейство операторов {Kq, Kq,..., Kq)} следующим образом:

K о = O ,s = n, кn = I

K 1 = H о , K 2 = —Hn- 1 ,..., K 1 ^s = -Hn +1 -,..., k n = —H 1

1 n          2      1         n                 s s- 1 n

Kq = ^K q- 1 ^H о , Kq = ^K q- 1 ^— Kq- 1 Hn- 1 , „., Kq = ^K q- 1 ^{— K} q- 1 Hn +1 -s, • • • ,

Kq = Kn- -Kq- 1 h 1 ,q = 1 , 2 ,...                       Мб)

Определение 15. Точка то называется

→

• (i)    устранимой особой точкой А -резольвенты пучка B , если K^ = K 2 = ... = Kр = O;

→

• (ii)    полюсом порядка p G N А -резольвенты пучка B, если Kp = O, при не котором s, но Kp +1 = O. при лтобом s:

→

• (iii)    существенно особой точкой А -резольвенты пучка B, если K^^ = O при любом p G N.

→

Теорема 16. Пусть пучок B полиномиально А-ограничен, и точка то является

→→

• (г)    устранимой особой точкой функции R^ ( B )• Тогда оператор А не имеет B-присоединенных векторов высоты q > n — 1, ker А = и^о, im А = F¹.

→→

• (и)    полюсом порядка p G N функции RA ( B ). Тогда длина любой цепочки B-присоединенных векторов оператора А ограничена числом p + n — 1 (цепочки длины p + n — 1 при этом существуют), и B-корневой линеал оператора А совпадает с под пространством и^о.

→

Пусть пучок Б полиномиально А-ограиичеи и выполняется (А). Фиксируем контур у = {ц Е C : |ц| = r > а} и рассмотрим семейства операторов vt = Д [ RA (В)(yn k1А — (Г k2 Бп-1 — ... — Bk+1) e^d^, k = 0,1 ,...,n — 1, t Е R . (47)

2 ni ^γ

Лемма 9. (г) При любом k = 0, 1, ...,n — 1 оператор -функция Vt является пропагатором уравнения (11).

• (и)    При любом k = 0 , 1 ,... ,n — 1 оператор -функция Vt является целой функцией.

  (ill)

  
  

  £ V t    = f P, l = k ;

  dt^{l k}_t =₀ I O , l = k ;

  
  

при всех k = 0 , 1 ,..., n - 1 , l = 0 , 1 ,....

→

Теорема 17. Пусть пучок Б полиномиально A-ограничен и выполняется ( А ), при чем то -полюс порядка p Е { 0 } U N е го А-резольвенты. Тогда фазовое пространство уравнения (11) совпадает с образом проектора Р.

Перейдем к исследованию задачи Коши (12) неоднородного уравнения (11). Вектор-функцию и Е Cn((-т,т);U) назовем решением задачи (И), (12), если она удовлетворяет → равенствам (11), (12). Пусть пучок операторов Б полиномиально A-ограничен и выполняется условие (А), тогда, в силу теоремы 14, задача (11), (12) распадается на две независимые задачи

Н о и ^{( n} ) = Hn- 1 и ^{( n-} 1) + Hn- 2 и ⁽ n^{- 2)} + ... + H 1 и + и + ( Б 0) ^{- 1} f ⁰ ,           (18)

и (0) = v 0 ,и' (0) = v ⁰ ,...,и ^{( n} 1)(0) = v^ - 1

w ^{( n} ) = Sn- 1 w ^{( n-} 1) + Sn- 2 w ^{( n- 2)} + ... + S 0 w + ( А 1) ^{- 1} f ¹ ,                (19)

w (0) = v 0 ,w (0) = v 1 , ...,w ^{( n 1)}(0) = vn- 1

где операторы H 0 = ( Б 0) ¹ А ⁰ , Н 1 = ( Б 0) ¹ Б 0 ,...,Hn- 1 = ( Б 0) ¹ Bn - 1 Е L ( U ⁰). S 0 = ( А ¹) ^{- 1} Б 0 , S 1 = ( А 1) ^{- 1} Б 1 ,..., S_n- 1 = ( А ¹) ^{- 1} БП- 1 Е L ( U ¹); вектор-функции и = ( I — Р ) vf ⁰ = ( I — Q ) f. w = Ри. f ¹ = Qf векторы vk Е U ^k, k, l = 0 , 1 ,... ,n — 1.

Рассмотрим сначала задачу (48). Пусть то - полюс порядка p Е {0} U N резольвенты RA(Б), тогда, в силу определения 15, операторы Kps+1 = O Vs. Пусть f0 Е Cp+n((—т,т); F0). Тогда вектор-функция pq и (t ) = — E Kn (Б01)-1 dq f °(t) q=0

является решением уравнения (48). Действительно, продифференцируем уравнение (48) (p — 1) раз, учитывая, что и(k) = Н0 и(n+k) — Hn- 1 и((n+k- 1) — ... — Н 1 и(k+1) — (Б 0)-1 dtf 0( t).

Получим p-1              q

и ( t ) = кр,и ^{( p + n-} 1) + Kpи ^{( p + n- 2)} + ... + Kpnnp —    Kqn ( Б 0) ^{- 1} dtqf ⁰( t ) .

q =0

Продифференцировав последнее равенство по t , учитывая, что операторы Kps+1 = O , Vs, получим требуемое.

Если

^p                q + k

« 0 = - E КП ( B 0) -¹_ditq+k f».

q =0

то вектор-функция (50) служит решением задачи (48).

Таким образом, доказана

→

Лемма 10. Пусть пучок операторов B полиномиально A-ограничен, и выполнено условие →

( A ), при чем то - полюс порядка p Е { 0 }U N A-резольвенты пучка B. Пусть вектор-функция f ⁰ Е C^p + n (( —т, т ); F⁰). а начальньic значения «к Е U⁰ удовлетворяют (51) k = 0 , 1 ,..., n — 1. Тогда существует решение и Е Cn (( —т, т );U⁰) задачи (48), которое момсно представить в виде (50).

Перейдем к задаче (49). Пусть вектор-функция f1 Е C([—т,т];F1), функция n-1

w(t) = E Vtvk + k=0

t j VTs(A 1)-1 f 1(s)ds,t Е (—т,т)

тогда вектор-

будет решением задачи (49).

→

Лемма 11. Пусть пучок операторов B полиномиально A-ограничен, выполнено ( A ) и вектор-функция f ¹ Е C (( —т, т ); F¹). Тогда существует решение задачи (49), которое можно представить в виде (52).

Рассмотрим множества p                 l+k

Mf = {v Е U : (I — P ) v = — ^ КП ( B 0) - ¹ да (I — Q ) f (0) }, k = 0 , 1 ,...,n — 1 .

dtl+k l=0

→

Теорема 18. Пусть пучок операторов B полиномиально A-ограничен, выполнено (A), при-→ чем то - полюс порядка p Е {0} U N A-резольвенты пучка B. Пусть вектор-функция f : (—т,т) ^ F таков а. что f0 Е Cp+n ((—т,т); F0). и f1 Е C ((—т,т); F1). Тогда при любые «к Е Mf, k = 0, 1 ,...,n — 1 существует единственное решение задачи (12), (И), которое можно представить в виде v (t) = и (t) + w (t), г де и (t) определено формулой (50), a w (t) -формулой (52).

6. Математическая модель продольных колебанийв конструкции

Проведем редукцию задачи (7) - (9) для уравнений (6) к задаче Коши и (0) = и о, и' (0) = и 1                                    (53)

для линейного уравнения Соболевского типа второго порядка

Au" = B 1 и' + B 0 и.                                (54)

Через L ₂( G ) обо:зиачим множество

L 2⁽ G ) = ^{g = ⁽ g 1 ^,g 2 ^, ...^,gj^,... )^: gj ^Е L 2^{(0 ,} lj ) ^}.

Множество L2(G) является гильбертовым пространством со скалярным произведением lj

< g,h> = 55 dj J gj ( x ) hj ( x ) dX"

Ej ∈ E ₀

Через U обозначим множество U = {u = (u 1, u2,...,uj,...) : uj E W21(0,lj), ii выполнено условие (8)}. Множество U является банаховым пространством с нормой lj

||u||U = 52 dj / ( ujx ( x ) + uj(x )) dX"

Ej ∈ E ₀

В силу теорем вложения Соболева пространство ^ 1(0 ,lj ) состоит из абсолютно непрерывных функций, а значит, U корректно определено, плот но и компактно вложено в L 2( G ). Отождествим L 2( G ) со своим сопряженным, и через F обозначим сопряженное относительно двойственности < •, • >  пространство к U. Очевидно, F - банахово пространство, причем вложение U в F компактно.

Формулой lj

< Du,v >  = ^ dj [ ( ujx ( x ) Vjx ( x ) + auj ( x ) Vj ( x )) dx,

Ej ∈ E ₀

где a >  0 , u, v E U. зададим оператор, определенный на пространстве U. Фикс прием а, в >  0 и X, X' , X" E R и построим операторы

A = ( X - a ) I + D, В i = а (( a - X' ) I + D ) , В о = в (( a - X" ) I + D ) .

Теорема 19. Операторы A, В 1 , В о E L (U; F), причем спектр ст ( A ) опера тора A вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к + то.

Итак, редукция задачи (6) - (9) к задаче (53) - (54) закончена.

Из теоремы 19 вытекает, что оператор A - фредгольмов, причем kerA = { 0 }, если 0 E ст ( A )■

Лемма 12. Пусть параметры a,X,X',X" E R \{ 0 }, тогда пучок операторов В полиномиально A-ограничс'!и причем то является несут,сствсииои особой точкой A-рсзолъвспты пучка В.

Замечание 8. Как нетрудно видеть, в случае 0 E ст ( A ) и X = X' = X" пучок операторов В не будет полиномиально A -ограничен.

Замечание 9. В случае 0 E ст(A) или (0 E ст(A)) Л (X = X' = X'') имеет место выполнение условия j (ц2 A - цВ 1 - В0) -1 dц = 0,

( A )

γ где y = {|ц| = r > a}, a ~ константа из определения полиномиальной A-ограниченности. Это условие является необходимым и достаточным при построении фазового пространства.

В случае (0 E ст ( A )) Л ( X = X' )

У (ц 2 A - цВ 1 - В о)-1 dц = 0, γ поэтому он исключается из дальнейших рассмотрений.

Пусть {Xk} - собственные значения оператора D, занумерованные по неубыванию с учетом их кратности, а {фк} - соответствующие им ортонормированные в смысле L 2( G ) функции. Построим проекторы

P ■{

Q = |

I, 0 € ст ( A );

I — ^ < -,фк > фк, ⁰ € ст ⁽ A ^);

λk = λ-a

I, 0 € ст ( A );

I ^—   ^    < -, ^фк > ^фк, ^{0 €} ст ⁽ A ) ,

λk=λ-a определенные на пространствах U и F соответственно, и пропагаторы уравнения (54)

V0 ^— 7)—• /( М A ^— MB 1 ^— B 0) ⁽ MA ^— B 1) e^ ^dM ^— 2 ni

γ

_ ^у ‘ [ ^Мк ^{( X — (} a ^{+ X}k )) ^{+ а ( X}' ^{— (} a ^{+ X}k )) цkt , L ( X — ( a + Хк ))( м к — Мк )       e ⁺

, ^М 2^{( Х — (} a ^{+ Х}к )) ^{+ а ( Х}‘ ^{— (} a ^{+ Х}к )) м2Я /

⁺------( X — ( а + Хк ))( МI — Мк )------ e 1 < '■ ^фк > ^{фк ;}

vt ( t ) — Л / ( М ² A — MB I — B о) " ¹ Ae^tdM — У 2 ni J                               ^z-^

γ где стА(B) — {m,22 : к € N}. а m,2, ~ корпи уравнения

‘ e^kt — e^kt

⁽ м к^— м к )

< •ф > фк,

^{( X — (} a ^{+ Х}к )) M ^{2 + a ( X}' ^{— (} a ^{+ Х}к )) M ^{+ в ( X}‘ ^{— (} a ^{+ Х}к )) ^{— 0} •

Здесь штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемых с номерами к такими, что X — a + Хк.

Отсюда справедлива

Теорема 20. Пусть а,Х,Х\Х” € R \ { 0 } и ^ 0 € ст ( A ). Тогда фазовым пространством уравнений (54) является все пространство U, т.е. для любых и о , u 1 € U существует единственное решение и € C 2(R;U) задачи (7) - (9) для уравнений (6), которое имеет вид и ( t ) — V0tu о + V-tu 1.

(гг) 0 € ст ( A ) и X — X' , но Х^Х X^м. Тогда фазовым пространством уравнений (6) является подпространство U¹ — {u € U : < и,фк >  — 0 , при Xk — X — a}, т.е. дл я любых и о , и 1 € U¹ существует единственное решение и € C 2(R;U¹) задачи ((7) - (9) для уравнений (6), которое имеет вид и ( t ) — V о ^tu о + V^u 1.

Автор вырамсает свою искреннюю признательность профессору Г.А. Свиридюку за постановку задачи, интерес к работе и предоставленные возмомсности.