Математические заблуждения о периодических функциях
Автор: Зорин И.В.
Журнал: Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика @vestnik-psu-mmi
Рубрика: Проблемы университетского образования
Статья в выпуске: 4 (43), 2018 года.
Бесплатный доступ
Рассматриваются свойства периодических функций действительного аргумента. Приводится ряд контрпримеров, опровергающих распространенные заблуждения о свойствах периодических функций. Приведено доказательство теоремы о существовании наименьшего периода функции при наличии ее непрерывности.
Периодическая функция, непрерывность функции, контрпример
Короткий адрес: https://sciup.org/147245412
IDR: 147245412 | DOI: 10.17072/1993-0550-2018-4-74-77
Текст научной статьи Математические заблуждения о периодических функциях
Математические знания довольно широко распространены в нашем обществе. Математику как науку изучают и в школе, и в высших учебных заведениях. Но зачастую учебные программы даже университетских технических курсов не позволяют преподавать некоторые разделы математических дисциплин достаточно глубоко и в полном объеме. Часто даже важнейшие понятия рассматриваются и доказываются лишь для некоторого, пусть и важного, частного случая. Если это специально не оговаривается, то возникают необоснованные обобщения популярных утверждений, верных и доказываемых для этих только случаев. Так возникают математические заблуждения. Примером таких заблуждений являются некоторые широко распространенные утверждения о свойствах периодических функций.
То, что понятие периодичности оказывается далеко не тривиальным, подробно обсуждалось в статье [1]. Оказывается, не все однозначно даже с самим определением периодической функции. Например, в [2] приве- дено определение: "Функция f (x) , определенная на множестве Е, является П.ф., если существует число Т≠0 такое, что для любого x ∈ Е значение x + Т и x - Т также принадлежат Е и f (x ± T) = f (x) ".
В других источниках можно встретить требование, что Т > 0 . А в учебнике [3], например, написано на с. 232: "Заметим, что число 0 является периодом любой функции". Встречая такой разнобой даже в определении периодичности, не надо удивляться, что нет единства и в рассмотрении свойств периодических функций.
С другой стороны, многие так сказать "расхожие" суждения о периодических функциях оказываются в общем виде неверными. Доказательств утверждений, даже вполне корректных, о свойствах периодичности нет ни в школьных, ни в общеизвестных вузовских курсах. Наиболее полно, из известных автору пособий, тема представлена в [4].
Утверждения, которые оказываются заблуждениями, можно встретить даже в таких солидных изданиях, как [2].
В современных условиях Интернет позволяет облегчить поиск информации, но и он ясности в данном вопросе не прибавляет. Хотя, справедливости ради, заметим, что статья в Википедии [6] призывает относиться с осторожностью к некоторым высказываниям о периодических функциях, признавая их неточность.
Приведем два наиболее распространенных утверждения.
Заблуждение 1. Сумма двух периодических функций с несоизмеримыми периодами – непериодична.
Заблуждение 2. Сумма двух периодических функций с наименьшими периодами имеет наименьший период, который является наименьшим общим кратным указанных периодов.
Необходимо отметить, что если применять это последнее утверждение к периодическим функциям с наименьшими периодами два и три, то получим правильный результат, но если взять слагаемые с периодами, например, два и шесть, то ответ может оказаться ошибочным.
Для опровержения какого-либо общего утверждения достаточно привести пример, противоречащий этому утверждению. Построение таких примеров называется в книге [5] построением контрпримеров.
Итак, приведем примеры, точнее контрпримеры, которые докажут ошибочность в общем виде этих (и многих других подобных) утверждений.
-
1) . Существует ли периодическая функция, у которой периодами являются несоизмеримые числа?
Ответ: Да.
Пример: f ( x ) = const.
-
2) . Существует ли периодическая функция не равная константе, у которой нет основного периода?
Ответ: Да.
Пример: – функция Дирихле, f ( x ) = 1, если x – рациональное число, f ( x ) = 0, если x – иррациональное. В этом случае любое рациональное число является периодом, но ни одно иррациональное число периодом не является.
В [5] на с. 37 приведен почти такой же пример и указана ссылка на работу по данному вопросу.
-
3) . Существует ли периодическая функция не равная константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа?
Ответ: Да.
Пример:
Пусть Q – множество рациональных чисел, Q 1 - множество всех чисел вида: а + п42 , где a e Q , а n - любое целое число.
Тогда нужная функция задается соотношением:
f ( x ) = 1, если x принадлежит множеству Q 1 , и f ( x ) = 0 для всех остальных действительных чисел.
У этой функции периодами являются и любое рациональное число, например 1, и иррациональное число 2 .
-
4) . Существуют ли две периодические функции с несоизмеримыми периодами, сумма которых – периодическая функция?
Ответ: Да.
Пример:
Разность функции из предыдущего примера и функции Дирихле. В этом случае интересно то, что 2 не соизмерим ни с каким периодом функции Дирихле.
Заблуждение 1 – опровергнуто.
-
5) . Пусть основной (т.е. наименьший) период функций f ( x ) равен 2 и такой же основной период у функции g ( x ) .
Обязательно ли:
-
1) у суммы этих функций будет существовать основной период, и
-
2) обязательно ли этот основной период будет тоже равен 2?
Ответ: Нет, не обязательно. Самый простой пример – взять g ( x ) = - f ( x ) . Существуют и более интересные примеры:
-
а) . Пусть f ( x ) = 1 , при всех целых четных значениях аргумента и f ( x ) = 0 для всех остальных действительных x . Пусть g ( x ) = f ( x + 1) , т.е. g ( x ) =1 при всех целых нечетных x . Каждая из них имеет основной период 2, но у их суммы период равен 1.
-
б) . Пусть f ( x ) = 1 , при всех нецелых x = k/n , n – фиксированное целое, k принимает любые целые значения,
g ( x ) =1, для всех целочисленных x , g ( x ) = 0, f ( x ) = 0 для всех остальных действительных x .
Тогда обе функции имеют период 1 , а их сумма имеет период 1/n .
-
в) . Если в предыдущем примере положить f ( x ) = 1 для всех нецелых рациональных x , то в сумме получим функцию Дирихле, у которой нет основного периода.
-
6) . Пусть f ( x ) и g ( x ) непрерывные на множестве всех действительных чисел периодические функции, не равные константе ни на каком интервале, основные периоды которых равны двум и шести, соответственно.
Что можно сказать о наименьшем периоде их суммы? Обязательно ли он равен шести?
Ответ: Нет, не обязательно.
Решение: Пусть f 2 и f 3 такие периодические функции, что основные периоды их – 2 и 3 соответственно, а их сумма: f 6 = f 2 + f 3 – периодическая функция с основным периодом 6. Такие функции, очевидно, существуют, например, sin π x и
2 sin πx .
Но тогда сумма функций f 6 + (- f 2 ) имеет основной период 3.
Заблуждение 2 – опровергнуто.
Разберем теперь более подробно такое важное понятие, как наименьший (или основной) период . Во многих приведенных выше примерах рассматривались функции, разрывные во всех точках своей области определения. Оказывается – это не случайно.
Рассмотрим периодическую функцию f , определенную на множестве действительных чисел.
Утверждение. Если периодическая функция f не имеет наименьшего положительного периода, и непрерывна хотя бы в одной точке x 0 , то f – const.
Доказательство.
Функция f не имеет наименьшего (или основного) периода, если Vs > 0, Я T , 0 < T < s , что для всех x , f ( x + T ) = f ( x ) . (*)
Так как функция непрерывна в точке x 0 , то V s > 0 , 3 5 > 0 , такое, что колебание ш ( f , O ( x о , 5 )) < s .
Тогда, в силу (*) существует некоторый период T s ,0 < T s < 5 .
Рассмотрим произвольную точку x 1 , считая, для определенности, что x о < x 1 .
Существует натуральное n, такое, что x 0 + nT s < x 1 < x 0 + ( n + 1 ) - T s .
Значит xо < xi - nTs < xо + Ts и x1 - nTs e O(x0,5).
Теперь:
If (xо)- f (x1) = |f (xо)- f (x1 - nTs) < s .
В силу произвольности ε получаем, что f ( x о ) = f ( x 1 ) , т.е. f = const.
Следствие 1. Доказанное утверждение можно переформулировать так: Периодическая, не равная константе функция, непрерывная хотя бы в одной точке, имеет наименьший положительный период.
Такое утверждение, правда, без доказательства, упоминается в [5].
В заключение следует сказать, что хотя требование непрерывности спасло утверждение о существовании наименьшего периода, это совсем не означает, что непрерывность спасет другие из приведенных утверждений, превратив их из ошибочных в истинные. Многие из приведенных выше примеров построены на основе разрывных функций только для простоты изложения.
Список литературы Математические заблуждения о периодических функциях
- Зорин И.В. О периодических функциях. За нимательно и поучительно // Живая Математика. № 1. Пермь, 2008.
- Математический энциклопедический словарь. М: Советская энциклопедия, 1988.
- Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ. 10 кл.: учебник для углубленного изучения математики в общеобразовательных учреждениях. М.: Мнемозина, 2006.
- Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Начала анализа: справ. пособие. М: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1990.
- Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967.
- URL: http//ru.wikipedia.org/wiki/Периодическая _функция (дата обращения: 26.09.2018).