Математический анализ уравнений сохранения двухфазных смесей

Развитие современной вычислительной техники позволило значительно усложнить математические модели физических процессов, используемых в науке и технике. В связи с этим повысился статус математического моделирования как источника, получения информации о процессах. Более того, есть такие проблемы, когда, математическое моделирование является единственным средством предварительного изучения явлений [1, 2]. Поэтому с особой остротой встает проблема, адекватности математических моделей тем физическим процессам, которые они пытаются описывать [3]. Отсутствие в природе чистых веществ привело к активному развитию теории математических моделей многокомпонентных сред [4, 5], основанных на. гипотезе взаимопроникающих взаимодействующих континуумов [6].

Для верификации расчетов, с одной стороны, используют известные экспериментальные данные, а. с другой стороны, при анализе проведенных измерений используют математические модели. Очень важно, чтобы условия проведения расчетов и экспериментов совпадали, а. математическая модель была, адекватна, изучаемому физическому процессу. В работах Ю.М. Ковалева, В.Ф. Куропатенко [7, 8] проведен анализ математической модели «замороженной» газовзвеси, которая активно используется при анализе затухания ударных волн в гетерогенных средах, и была, показана, не инвариантность относительно преобразования Галилея уравнения полной энергии газовой фазы. Оказалось, что не инвариантность относительно преобразования Галилея уравнения полной энергии газа, приводит к появлению дополнительного источника, энергии, связанного с движением системы координат. Этот источник энергии не имеет физической природы и приводит к нарушению второго закона, термодинамики.

Ю.М. Ковалев, Е.А. Ковалева

В настоящей статье проведен анализ инвариантности относительно преобразования Галилея математической модели М. Байера, Дж. Нунциато [9], описывающей процесс перехода горения во взрыв в двухфазных смесях. Данная модель была также получена на основе гипотезы взаимопроникающих взаимодействующих континуумов.

1. Постановка задачи

Рассмотрим двухфазную химически реагирующую смесь, состоящую из твердой фазы (s ) и газа ( g ). В математической модели, разработанной М. Бэром и Дж. Нунциато [9], уравнения массы, импульса и энергии для каждой фазы имеют следующий вид

∂ρs     ∂ρs        ∂vs   ρs ∂t      s ∂x     ρ s ∂x   ϕs ,	(i)
^ +   '■ = -«JS - Pg ( v= - Уп )^ + Pg f - (i - Pg ) C l ∂t g ∂x        g ∂x ϕg        g ∂x ϕg          ρs ϕg ,	(2)
ф s p s [ ds + V s ds ] = - ф ds + ( P g - P s ) ds - ( 5 + Cs ) ( V s - V g ) ,	(3)
ф g p g [ ^dt + V g idX ] = - ф g dd! g + ( 5 + C 2 s ) ( V s - V g ) ,	(4)
Ф s P s [ dh + V s ddx ] = - Ф s P s ddx + ddx ( k s ddT ) - h ( T s - T g ) - ( P s - es ) F,	(5)

Фgpg \% + vg 1=^ 1 = —ФgPg®Ф + d (kg«ф) + h ( Ts - Tg ) + ∂t ∂x         ∂x ∂x ∂x

^{+( p}s ^{- e}s ) F ^{- (} vs ^- vg ) pgdxs; ^{+ 5 (} vs ^- vg ^{) 2 - (} e _s ^- eg ) Cs,

∂ϕs     ∂ϕs       C s ^↑

"ЩТ ⁺ vsg = F ⁺-- , Vs = ^{1 - ф}g•

∂t      ∂x        ρs ei = фiPi^a^д

Все обозначения совпадают с обозначениями, приведенными в оригинальной статье М. Бэра и Дж. Нунциато [9]. Здесь индексы ( g ) и ( s ) относятся к параметрам газа и твердых частиц; pi, Vi, pi, Ti, ei, ф^ pi, hi, Фг, ki - истинная плотность, скорость, давление, температура, удельная внутренняя энергия, объемная доля, энтропия, энтальпия, коэффициент теплопроводности i -й фазы ( i = s, g ) соответственно, 5 - коэффициент сопротивления, h - коэффициент теплопередачи, Cs - интенсивность химического превращения, . ц _с - коэффициент вязкости газа. F = ф _s ф _g [ p _s - p _g - es ] / Pc-ρ i T i

Уравнения (1), (2) - уравнения неразрывности частиц и газа; (3), (4) - уравнения сохранения импульса частиц и газа; (5), (6) - уравнения сохранения удельной внутренней энергии частиц и газа; (7) - уравнение сохранения объемной доли твердой фазы.

Запишем исходную систему уравнений в новой системе координат, движущейся с постоянной скоростью D. Скорости в новой системе координат будут равны:

vs il - vs ^{+ D},

vg ii — vg ⁺ D^-

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Координата будет определяться из уравнения:

х_п = х + Dt.

(Ю)

Производные:

д = _д_ дх дхп1	(И)
( д )=( д )+( !г ) D.	(12)

Для анализа инвариантности относительно преобразования Галилея уравнения неразрывности конденсированной фазы (1) перейдем в новую систему координат в соответствии с формулами (8) - (12). Уравнение неразрывности конденсированной фазы (1) в новой системе координат принимает следующий вид:

∂ρs ∂ρs               ∂ρs sr + sx;D + ( v*n - D ) дх ; = -	д ( v. n - D )	- ϕρ s sF
	P s     дхп
ИЛИ ^p^. + Sp , D + v„ д£. - D^ 1	dv,n	ρ s F.
дt   дхп        дхп     дхп	s дхп	ϕs
В результате получаем:

∂ρs       ∂ρs        ∂v S II    ^ps

dt    sSI 1 дхп     Ps dx^    ф.

Аналогично, уравнение неразрывности газовой фазы (2) с учетом (8) - (12) принимает вид:

^dPg ₊ v SPl dt g ¹ дх_п

9Vgn

^{- P g} ix;

— Ф ( v.„ - Vg ,,) ^ + Pg F - (1 - ^) C L . ϕg           ∂x   ϕg          ρs ϕg

Для анализа инвариантности относительно преобразования Галилея уравнения сохранения импульса конденсированной фазы (3) перейдем в новую систему координат в соответствии с формулами (8) - (12). Уравнение сохранения импульса конденсированной фазы (3) в новой системе координат принимает следующий вид:

ϕ _s ρ _s

dvsn ∂t

dvsn , dv,dvs

+ D4--+ ^ dxn dxndx

ИЛИ

Ф,р, [+ v„      = -ф,+ (pg - p,) gx - (5 + T)(vs. - vg.J•। Ы

Аналогично, уравнение сохранения импульса, газовой фазы (4) в новой системе координат имеет следующий вид:

фgPg [ дГ +    dg1 = фg oXt + (5 + 2s)(Vsn Vgi:) •

Ю.М. Ковалев, Е.А. Ковалева

Рассмотрим уравнение сохранения удельной внутренней энергии конденсированной фазы (5). Переходя в новую систему координат в соответствии с равенствами (8) - (12), получим:

∂es     ∂es       ∂es

-

d^ — ox

^^sP 4 a t ⁺ D dx ⁺ v^-ndx Х ц          L/ X jj

^{— Ф - P s} ds; ⁺ db ( ^{k s} IT ) - h ⁽ T- ^{T g )} - ^{( p -} - ^e- ⁾ F

ИЛИ

Ф-P- [^ + v™ les ] = "^Ф-^Р- h^ + er ( ^k- ITs ) + h ( T- - Tg ) - ( p- - в- ) F.    (17 )

dt dx           oxn охи \ охи /

Аналогично, уравнение сохранения удельной внутренней энергии газовой фазы (6) в новой системе координат имеет следующий вид:

Фр [deg + Dd!? + v deg — Dd?] — —дРд^№ + д (k dTg) - g g dt     dxn    l 1 dxn     dxn g g dxn   dxn \ g dxn /

^{— h ( T}- ^{— T}g ) ^{+ ( p}- ^— 3- ) F ^{— (} v-n ^— vgi i) ^pg dx + ^{8 (} v-_n ^— v n J^{2 — (} e- ^— eg ) C^- или

ФдPg ^[ de ? + vg- leg 1 — —ФдPg/ + A ( kg ^l ) + h ( t . - Tg ) + dt dx           ox_n   ox_n \ ox_n /

+ (p- — 3-) F — (v-ii — vgii) pg dx + 8 (v-n — vg::)2 — (e- — eg) C-..(18)

И, наконец, рассмотрим уравнение сохранения объемной доли конденсированной фазы (7). В результате перехода в новую систему координат по формулам (8) - (12) получим следующее уравнение:

∂ϕs    ∂ϕs     ∂ϕs    ∂ϕsC

"ее + D л   + v-n л    D л = F+—, dt     dxn      dxn     dxnp.

которое после простых преобразований записывается в виде:

∂ϕs     ∂ϕsC

“КТ + v-n d  — F + dt       dxnps

Таким образом, после преобразований, связанных с переходом в новую систему координат, уравнения неразрывности частиц и газа имеют вид (13) и (14) соответственно, уравнения сохранения импульса частиц и газа - (15) и (16) соответственно, уравнения сохранения удельной внутренней энергии частиц и газа - (17) и (18) соответственно, а уравнение сохранения объемной доли твердого вещества - (19). В уравнениях (13) - (19) не появляются дополнительные слагаемые, связанные с переходом в новую систему координат, следовательно, система уравнений (1) - (7) является инвариантной относительно преобразований Галилея.

Получим уравнения сохранения кинетической энергии частиц и газа. Для этого умножим левые и правые части уравнений сохранения импульса частиц и газа (3) и (4) на скорости v. и Vg соответственно. Получим

^Ф‘^p‘^v‘ [ ds ⁺ v- ds 1 ^— v- Г -^Ф- ds ^{+ ( p}g ^{— p}- ) dx ^— ( ^{8 +} C ) ⁽ v- - vg )]

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

*• ^pg vg [ д£ ⁺ vg dX ] = vg [ " *g dX ⁺ ( ^{6 +} C " ) ^{( 11} - vg ⁾ ] •

После простых преобразований уравнения сохранения кинетической энергии частиц и газа принимают следующий вид

^sPs Ъ"ЛC2)+ vsa^ (is)] = vs [ - ^s TPs+ (pg - Ps) TPs - (6 + T)(vs - vg)]

xxx v2             v2

Pgpg [ dt (f)+ vg dX (i)] = vg [ - Pg dX + (6 + T)(is - ig)] •

Получим уравнения сохранения полной энергии частиц и газа. Для этого суммируем левые и правые части уравнений (5), (6) и (20), (21) соответственно. В результате имеем

^P*^p* [ ^d ( es ⁺ X ) ⁺ vs dX ( es ⁺ vs )] = ^{- 1}‘^ф‘ ds ⁺ vs [ ^{( p}g -^p- ) d r - ^↑

- (6 +   ) ( is - ig ) - PsPs + д- ks_s д- s) - h ( Ts - Tg ) + ( Ps - es ) F

2                                  XXJ->yy      XJ->yy

Pg pg [^ + ^ + v ^ + I) 1 =

^{- i g P g} dx ⁺

C s ^↑                 ∂vg

+ ^vg (^{6 +}    Д ^vs ^{- v}g ) ^{- p}gPg "X

⁺ Mk» ® ^{+ h ( T}- - ^-g ^{) +}

+ ( ^ps ^{- e}s ) F ^{- ( v}s ^{- v}g ) ^pg Q^ ^{+ 6 ( v}s ^{- v}g ) 2 ^{- (} es ^- eg ) Cs•

После простых преобразований получим уравнения сохранения полной энергии частиц и газа в следующем виде

C s ^↑

∂Es psps dt + vs

-Xs ] = ^- a X <  P-¹* ^{) + v}s [^pg dx - (^{6 +}

( is - ig ) +

⁺ dx ( ks ~dx ) - h ^{( -}s - ^Tg ) - ⁽ ps - ^es ) F         ^{( 22 )}

∂Eg    ∂Eg     ∂                Cs↑ pgpg эт+vg= -dx(pgvgpg)+vgV + t)(vs-vg) +

⁺ д— ( kg^CC ) ⁺ h ^{( T}s ^{- T}g ) ^{- ( p}s ^{- e}s ) F ^{- v}s^pg~^~ —^{+ 6 ( v}s ^{- v}g ) 2 ^{- (} es ^- eg ) Cs"       * "'X*

∂x ∂x                             ∂x v2

Es = es ⁺ "2"’

v ²

Eg = eg + ^g.

Проведя анализ инвариантности относительно преобразования Галилея уравнений сохранения кинетической энергии частиц (20) и газа (21) соответственно, видим, что в новой системе координат не появляются дополнительные члены, зависящие от скорости движения системы координат. Следовательно, уравнение сохранения кинетической энергии частиц и уравнение сохранения кинетической энергии газа являются инвариантными относительно преобразования Галилея.

Анализ инвариантности относительно преобразования Галилея уравнений сохранения полной частиц (22) и газа (23) соответственно показывает, что эти уравнения являются инвариантными относительно преобразования Галилея.

Ю.М. Ковалев, Е.А. Ковалева

Получим уравнение сохранения полной энергии смеси конденсированной и газовой фаз. С этой целью просуммируем левые и правые части уравнений сохранения полной энергии конденсированной (22) и газовой фаз (23) соответственно. В результате получаем уравнение сохранения полной энергии смеси конденсированной и газовой фаз в виде

∂Es ∂Es        ∂Eg ∂Eg ∂

М дг⁺ vs д т !^{+ ф}д Д дг⁺ vg д д ) = - dx ⁽ *‘v‘ps ^{+ ф}д vgpg ^{) +}

+ !> 1) + Х Д© - C* [( е* - eg ) + 1(* - vg 4 xx xx

Очевидно, что уравнение сохранения полной энергии смеси (конденсированной и газовой фаз) (24) инвариантно относительно преобразования Галилея в силу инвариантности относительно преобразования Галилея всех элементов, входящих в уравнение (24): уравнений сохранения внутренней энергии и уравнений сохранения кинетической энергии конденсированной и газовой фаз.

Вопросы, связанные с изучением процессов перехода горения унитарного топлива во взрыв, подробно исследовались Р.И. Нигматулиным с сотрудниками [10]. В этой работе приведена достаточно обширная библиография, посвященная данному вопросу. Сравним полученное уравнение сохранения полной энергии смеси (24) с уравнением сохранения полной энергии смеси, приведенным в работе [10], которое в принятых здесь обозначениях имеет следующий вид

Г вф^в. +      -E , + dkgsE, +       E | = - в ₍+ ф, pg

∂t        ∂x          ∂t         ∂x∂x

Для этого приведем уравнение (24) к дивергентному виду. В результате получим следующее уравнение г дф*р*Е* ∂t

Эф*Р*У*Е* ] Г Эф, PsEg 9jg Pgvg Eg ] _

⁺ dx J ⁺ L д ⁺ dx J = ^- dx ^{( ф} * ^v*^{P s + ф д V g P g} ) ⁺

∂    ∂Ts     ∂    ∂Tg      ↑2

⁺ д— ( k*^ ) ⁺ д^- ( kg^a ) ^- C ^{( v}g ^{- v}*^vg ) •

∂x    ∂x    ∂x    ∂x      sg

Следуя работе [10], полагаем равенство давленией конденсированной и газовой фаз, а также пренебрегая переносом тепла в фазах за счет молекулярной теплопроводности, получим

Г дф*р*Е* + дф*р* v*E* ] + г дфд р*Е, ∂t         ∂x           ∂t

₊ ^дфд Pg ^vg ^Eg ' = ∂x

∂

^- dx ^{( J}*^v*Ps ^{+ ф}д^vgPg ) ^- C s ^{( v} 2

- v*vg ) •

Полученное уравнение отличается от уравнения сохранения полной энергии смеси работы [10] тем, что в уравнении (26) появился дополнительный член -C s ( v, - v*v, ).

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Заключение

• 1.    Проведенный в работе анализ инвариантности законов сохранения (1) - (7) относительно преобразования Галилея показал, что уравнения неразрывности частиц и газа (1) и (2), уравнения сохранения импульса частиц и газа (3) и (4), уравнения сохранения удельной внутренней энергии частиц и газа - (5) и (6), уравнение сохранения объемной доли конденсированной фазы - (7) являются инвариантными относительно преобразования Галилея.

• 2.    Анализ инвариантности относительно преобразования Галилея уравнений сохранения кинетической и полной энергии частиц и газа показал, что данные уравнения также являются инвариантными относительно преобразования Галилея.

• 3.    Различие между уравнениями сохранения полной энергии смеси, приведенными в работах [9, 10], требует дополнительного анализа процессов взаимодействия между фазами при изучении процессов, связанных с течениями газовзвесей, претерпевающих химические и фазовые превращения.

Авторы вырамсают свою благодарность профессору В.Ф. Куропатенко за полезные об-сузюдения и интерес к работе.

Работа выполнена при поддерзюке РФФИ грант №13 - 01 - 00072.