Математическое моделирование нагруженной распределенной нагрузкой цилиндрической арматуры в различных направлениях

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.9+621.1:539                               

В современных строительных технологиях арматура на основе базальтовых горных пород приобретает все большее значение из-за высокой прочности и коррозионной устойчивости. Однако для эффективного использования таких материалов необходимо создание математическое моделирование их поведения под действием нагрузок. Данная работа направлена на разработку математической модели напряженно-деформированного состояния цилиндрической арматуры, нагруженной распределенной нагрузкой в различных направлениях. Поскольку разработка арматурных материалов на основе базальтовых горных пород и их применение в строительстве и инженерных конструкциях стали предметом активных исследований в последние десятилетия. Базальтовая арматура, благодаря своим уникальным свойствам — высокой прочности, устойчивости к коррозии и долговечности, становится все более популярной альтернативой традиционной стальной арматуре. Однако широкое применение данного материала требует глубокого понимания его поведения под различными видами нагрузок. Разработка и применение базальтовой арматуры в строительных конструкциях представляет собой актуальную научную проблему, связанную с необходимостью моделирования поведения материала под различными нагрузками. Существующие исследования сосредоточены на различных аспектах моделирования, прочностных характеристиках, критериях разрушения и методах неразрушающего контроля композитных материалов, что закладывает основу для математического моделирования напряженно-деформированного состояния базальтовой арматуры. Для решения этих задач необходимы эффективные математические модели, которые могут описать напряженно-деформированное состояние арматуры при воздействии различных сил.

В существующей литературе представлены различные подходы к моделированию поведения армирующих материалов под воздействием нагрузок.

P. K. Karsh, T.Mukhopadhyay, S. Dey провели пространственный анализ уязвимости композитных слоев на предмет их разрушения при первичной нагрузке, включая эффект расслоения [1]. Авторы используют современные подходы к моделированию и анализу напряженного состояния композитных материалов, что может быть адаптировано для цилиндрической базальтовой арматуры. В их работе подчеркивается важность учета эффектов расслоения в моделировании прочности композитов, что является ключевым фактором при анализе поведения базальтовой арматуры под нагрузкой.

S. Gholizadeh в своем обзоре методов неразрушающего контроля композитных материалов рассматривает такие подходы, как ультразвуковой, термографический, рентгенографический и другие [2]. Данный обзор указывает на важность использования методов неразрушающего контроля для анализа структурных характеристик арматуры. Этот аспект важен при оценке напряженно-деформированного состояния базальтовой арматуры, поскольку определение состояния материала при различных видах нагрузок позволяет создать более точные математические модели.

ГОСТ Р 51372-99 определяет методы ускоренных испытаний материалов при воздействии различных агрессивных сред [3]. Данный стандарт актуален при анализе долговечности базальтовой арматуры, поскольку она подвергается воздействию агрессивных сред в процессе эксплуатации. Использование стандартных методов испытаний, предусмотренных ГОСТом, позволяет получать экспериментальные данные для проверки и уточнения математических моделей, описывающих напряженно-деформированное состояние арматуры.

J. Zheng, C. Maharaj, J. Liu, H. Chai, H. Liu, J. P. Dear провели сравнительный анализ критериев разрушения для волокнистых композитов [4]. Авторы показали, что различные критерии разрушения приводят к отличающимся прогнозам относительно начала повреждений. Эти различия обусловлены комплексным характером взаимодействий в армированных материалах, что требует более детального моделирования и учета различных факторов при создании моделей напряженно-деформированного состояния. Для базальтовой арматуры выбор правильного критерия разрушения, предложенного в данной работе, может способствовать более точному определению нагрузочных характеристик.

Важным элементом анализа напряженно-деформированного состояния является использование компьютерных методов расчета. В. И. Егоров описывает применение ЭВМ для решения задач теплопроводности [5]. Несмотря на то, что данная работа посвящена теплопроводности, методы численного моделирования, представленные автором, применимы и для задач прочности материалов, включая базальтовую арматуру. Численные методы, такие как метод конечных элементов, позволяют проводить глубокий анализ распределения напряжений и деформаций в композитных материалах.

Исследования Д. В. Гриневич, Н. О. Яковлева, А. В. Славина касаются критериев разрушения полимерных композитов, включая армированные волокнами материалы [6]. В их работе описаны различные подходы к оценке критического состояния композитных материалов, а также рассматриваются методы прогнозирования разрушения. Данный обзор актуален для базальтовой арматуры, поскольку правильное определение критерия разрушения позволяет более точно описать напряженно-деформированное состояние арматуры при распределенной нагрузке.

Важный аспект использования базальтовых волокон — это их стойкость в различных средах. В. Н. Деревянко, Л. В. Саламаха, Е. Г. Кушнир, Е. С. Щудро, А. Г. Смоглий исследовали стойкость базальтового волокна в различных условиях и средах [7]. Авторы отмечают высокую химическую и температурную стойкость базальтовых волокон, что повышает надежность и долговечность арматуры на их основе. Анализ стойкости волокна позволяет учитывать долговечность арматуры при моделировании ее напряженно-деформированного состояния.

Работа С. А. Милованова, В. Б. Маркин посвящена применению базальтовых волокон для создания соединений «металл-композит» [8]. Авторы рассматривают особенности базальтовых волокон, их механические свойства и способы применения в различных конструкциях. Исследование этих свойств важно при моделировании напряжений и деформаций базальтовой арматуры, особенно при воздействии комбинированных нагрузок.

Однако, несмотря на множество исследований в этой области, остаются нерешенные вопросы, связанные с оптимизацией параметров арматуры и более точным описанием ее поведения под комбинированными видами нагрузок. Существующие математические модели зачастую ориентированы на частные случаи и не учитывают всей сложности реальных условий эксплуатации арматуры. Например, распределенная нагрузка в различных направлениях, возникающая в процессе эксплуатации арматуры, требует более детального анализа и разработки универсальных математических моделей.

Целью настоящего исследования является создание математической модели напряженно-деформированного состояния цилиндрической арматуры, изготовленной на основе базальтовых горных пород, при воздействии распределенной нагрузки в различных направлениях. Предлагаемая модель будет учитывать основные механические свойства материала и особенности его поведения под комбинированным нагружением, что позволит повысить точность расчетов и эффективность применения базальтовой арматуры в строительстве.

Основные уравнения

Для исследования напряженно-деформированного состояния арматуры рассмотрим цилиндрический элемент длиной dx, находящийся под действием распределенной нагрузки q(x,t). При этом касательные напряжения на внешних поверхностях цилиндра отсутствуют, а уравнения движения можно записать в виде:

∂Μ   ∂ω

+Jρ = Ν ∂x∂t

∂Ν        ∂υ

+Rq =ρF ∂x∂t где M — изгибающий момент, J — момент инерции поперечного сечения, p — удельная плотность масcы системы, ω — угловая скорость вращения элемента частиц от действия изгибающего момента, N — поперечная (перерезывающая) сила, R — радиус цилиндра, q — внешняя нагрузка, F — площадь поперечного сечения, υ— составляющая скорости.

Условие прочности при изгибе

При изгибе арматуры в интегральном виде условие прочности можно записать:

R

M = 2nR j &_x zdz

ο

R

N = 2nR j т_Zdz ,

o гдеσx — нормальное напряжение,τxz — касательное напряжение в поперечном сечение. В арматуре, испытывающем деформацию кручения, в поперечных сечениях возникают касательные напряжения τxz .

Связь между напряжением и деформацией

Связь между напряжением и деформацией можно представить в виде:

da  d^  2

-Ez   =   - + — k(1 + v)^ 2zdz dx    dt    3

∂υ      ∂τ(5)

G (--a) = —- + кт 2 dz, xz где E — модуль Юнга, G — модуль сдвига, V — коэффициент Пуассона, K — физическая константа материала.

Перепишем уравнения с учетом условий прочности: формулы (4) и (5) с учетом условии прочности (2) и (3) перепишем в виде: da  d        .4

—2Ez2dz   = — (2^ zdz) + к(1 + v)^ zdz dx   dt            3

диd

G (— — a)2 dz = - (2T-zdz) + 2KTxzdz ∂x∂t или

-

2R3 da   1 dM 2

■ E --=--+ - к (1 + v ) —

3   d x   n R d t  3

du         1 dNN

G (--a)2 R =+

∂ x        πR ∂ t

-

2nR4EdadM

--=   + - k (1 + v ) M

3   dx   dt3

∂υ∂Ν

2 nGR ² (-- a ) =+

∂x∂t da dM 2

—D--=   + -k(1 + v)M , где D dx    dt 3

B (— — a ) = — + k N , здесь B = 2 n GR ² ∂ x ∂ t

Таким образом, ^^ + J р ^^ = N дx       д t dN        ди

--+ Rq = Fp — дx            д t дю  дМ 2

—D--=--+ — к(1 + v )М дx    дt   3

ди     дN

В(--ю) =--+ kN дx        д t

Их этих уравнений имеем:

дю    дМ

— = —а--+ aN д t ди _ дN ,.

— = в г + Y(x, t) д t дМд

= — DхМ д t дN

= B — Вю — kN д t где, а = — JР

в =

FP'

Rq

Y =--- F p

2 n л

X = j ^{k (1 + v} )

2 n ER⁴

В = 2 n GR ²

Решение задачи

Для решения системы уравнений (7) установим начальные и граничные условия для данной задачи:

Начальные условия: при t=0 ю = и = N = М = 0

Граничные условия, при z=0 ю = 0 x = b ю = 0

и = 0                                ^и = ⁰

М=М₀ ( t )                               М=М[ ( t )

N=N 0 ( t )

N = N 1( t )

»

Здесь:

u(x) = xju(x, t)e-^xtdt М(x) = xjМ(x, t)e-^xtdt N(x) = xjN(x, t)e-^xtdt y(x) = xjy(x, t)e-^xtdt

0                                   0                                    0                                    0

Формулировка решения

Используя подходы

решения линейных дифференциальных уравнений, решение от дю уравнения (7) имеет вид: e (—

J dt

дМ + a дx

от

— aN) dt = 0  e^—xt ( — — в — - Y) dt = 0

д t     дx

f e - xt (дМ + d дю д t     дx

Отсюда получим:

ОТ „ BN

+ хМ) dt = 0  e ~^xt (^дN-В — + Вю + kN) dt = 0

0      д t                        0    00

да

Так как ®(x ,0) = 0 и aJ ш( x, t) e - Atdt = a( x), то получим да^^ е - л,л=^да ^ x, t) e. „л=1 da x         dx              А dx да /->

' и

^Jdt

0t

е ^Atdt = и(x)

да & о dx

e - ^Atdt =

1 d и

А dx

да

J

dM - а, e dt

dt = M (x)

^

да

J

dM -

dx

^Atdt =

1 dM A dx

да — e^-Atd.t = N( x ) 0 d t

^

fSN а,.

J —e dt =

1 dN A dx

Таким образом, имеем

^a dM - _n

---a N = 0

A dx

dM A   . „ „

--t—a - A N = 0

dx

a

™-Au = 0

J ax  в

^ + <1±21 A M = 0

dx

D

и — в dN-Y = 0

A ax  A

— D da —

^M+V^ + X^M= ⁰

A dx

- B d и B   к -

N----t— a + —N = 0

A dx A

A

d u

AtK N = 0

B

--a -dx

Представление изгибающих моментов и сил.

Величины М, N, a , u и у могут быть выражены через решение (6) и условия нагружения арматуры. Таким образом, система уравнений, описывающая напряженно-деформированное состояние цилиндрической арматуры под нагрузкой, принимает следующий вид: M = A^px

N = Ae^px ]_ = A₅e^px a = A3e^px_v = Aepx

Тогда из системы уравнений (7) получим:

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 10. №11 2024

PA + - a - -A = 0 a

PA - ^- A = 0

2 в 4

PA +1+^ -A = 0

3_D1

PA. - A - ^-+K A = 0

43_B2

Построение матрицы решения

Для дальнейшего анализа

задачи составим матрицу

коэффициентов

и

найдем

собственные значения системы:

^^^^^в

= P (P³ -

P

1 + х , —- -

D

--

P

B

-

a

P

-1

-

в

P

= 0

P

B

- - + к

в B

—

-

в

+-

—

-

в

p

—

-

в

^{1 +}X

D

-

P

+

-

a

D

-

-1

P

-1

P

—

B

P

P)+

-³1 + X

в D

₊ - (-²1+ X - + к

-

^{1 +}X

а ^ в D

B

D

-

р4 _ р--(-+к) + -3(1+X) + -3(1+х)(-+к) _ р2 -(1+X) Вв    Dв      aвDB       aD

.4 J-(-+к)+-(1+х L 2 + -’(1+хов+-+к)=0

ч Вв     aD )        aвDB

h1

h2

Тогда получим:

P⁴- hP²+ h₂ = 0

Решение данного уравнения будет иметь вид:

P =

2 L

—

4h

P2 =

—

V 2 L

—

4h

1 п гч—— P = - h - Jh2 - 4h

• 3    V2L 1 N 12

  
  

1 Г Г^—

P = - - h -л/h² -4h

• 4     VZL 1 ^12

  ,    Л²(1 + X)

  гДе ^h1 =    /

  aD

  
  

  A(A + к) B^

  
  

  Ai+xa+л+к        1

  h²=      a^DB       ^{ЗДеСЬ a} = A^;

  
  

  в = —

  Fp

  
  

  X = 2 к(1 + и); D = 2ⁿE^R4 ; B = 2nGR²,

  
  

  к = физическая константа материала

  
  

Выводы

Предложенная математическая модель позволяет анализировать распределение напряжений и деформаций в цилиндрической арматуре из базальтовых горных пород под действием распределенной нагрузки. Уравнения движения и условия прочности, представленные в данной статье, могут быть использованы для численного моделирования оптимальных параметров арматуры и оценки ее надежности.