Математическое моделирование поверхностных гравитационных волн в водохранилище узко-каньонного типа
Автор: Музаев Илларион Давидович, Музаев Нугзар Илларионович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.10, 2008 года.
Бесплатный доступ
В статье поставлена и аналитически решена начально-краевая задача поверхностных гравитационных волн в водохранилище узко-каньонного типа. Поверхностные волны образуются в результате вторжения в заполненное водохранилище обвально-оползневого массива горной породы либо селелавинообразного потока. В результате решения поставленной задачи получены расчетные формулы и алгоритм численного расчета амплитуды образованных волн.
Узко-каньонное водохранилище, селелавинообразный поток, гравитационные волны, начально-краевая задача, преобразование лапласа, операционное исчисление
Короткий адрес: https://sciup.org/14318251
IDR: 14318251
Текст научной статьи Математическое моделирование поверхностных гравитационных волн в водохранилище узко-каньонного типа
Как правило, водохранилища в горных местностях строятся в сильно зауженных каньонах ущелий рек. В них часто вторгаются селелавинообразные потоки либо обвальнооползневые массивы. В результате вторжения с большими скоростями в водохранилищах и хвостохранилищах образуются высокие гравитационные волны, часто приводящие к большим стихийным и экологическим бедствиям в виде разрушений, человеческих жертв и загрязнений окружающей водохранилище территории веществами, годами накопленных в хвостохранилищах горно-обогатительных предприятий. В связи с этим проектировщики и эксплуатационные службы обязаны оценивать потенциально возможное повышение уровня воды у плотины и объем перелитой воды через створ плотины, а также зону и степень затопления и загрязнения местности в нижнем бьефе в зависимости от геометрических, кинематических и динамических характеристик потенциально возможных обвально-оползневых масс, селе и лавинообразных потоков. Таким путем можно спрогнозировать, а затем предотвратить либо уменьшить те последствия и ущерб, которые может вызвать образование разрушительных волн.
Однако, надо отметить, что до настоящего времени не существует доступного проектировщикам и эксплуатационным службам надежного метода и формулы для вычисления амплитуд образованных волн в водохранилищах узко-каньонных типов, характеризующихся большими глубинами воды и непризматическими конфигурациями.
В настоящей статье дается попытка заполнить этот пробел путем постановки и решения начально-краевой задачи волновой гидродинамики и гидравлики, в которой наиболее адекватно отражены гидродинамические и гидравлические процессы, имеющие место при отмеченных выше стихийных явлениях, а также геометрическая конфигурация водохранилища.
Предположим, что в прямоугольной системе координат Oxyz часть пространства, ограниченная условиями 0 6 x 6 L, — B ( x,z )/‘2 < y < B (x, z)/2 , — H 6 z 6 0 , представляет узко-глубокое непризматическое водохранилище, расположенное в горном регионе.
Ось oz направлена вертикально вверх, H — глубина воды в водохранилище, L — длина, B ( x, z ) — ширина водохранилища. На рисунке ниже представлены поперечный профиль и плановое очертание водохранилища.

Расчетная схема поставленной задачи

Плановая (а) и глубинная (б) конфигурации водохранилища
Рассмотрим волновое движение воды, вызванное тем, что с боковой грани водохранилища в него вторгается обвально-оползневой массив горной породы либо селелави-нообразный поток. Считая движение воды безвихревым, потенциал средней по ширине водохранилища скорости должен удовлетворять следующему дифференциальному уравнению [1–3]:
д 2 ^ д 2^ 1 дB ( x,z) д^ 1 dB (x,z) д^ q ( x,z,t)
дx2 дz2 B(x,z) дx дx B(x,z) дz дz B^z) , где q(x, z, t) — скорость вытеснения воды обвально-оползневым массивом либо интенсивность вторжения в водохранилище селелавинообразного потока.
Через единичную функцию Хевисайда интенсивность q ( x, z, t ) аналитически выражается следующим образом:
q ( x, z, t ) = Uo [1(x — (xo — a)) — 1(x — (xo + a))]
x
1 ^z + z0 + 2^ — 1 ^z + zo —
DI
[1(t) — 1(t — to)] ,
где 2a — ширина по фронту обвально-оползневого массива, xo — абсцисса ее центра, h — мощность обвально-оползневого массива либо глубина селелавинообразного потока, t0 — продолжительность времени вторжения.
Средняя скорость вторжения вычисляется так:
W0
2 ahto 1
где W0 — объем вторгшегося массива либо селелелавинообразного потока.
В соответствии с физико-механической сущностью задачи, для дифференциального уравнения (1) ставятся следующие начальные и граничные условия [1–3]:
^ ( x,z,t )V t =- = 0,
d^(x, z, t ) ∂t
= 0,
t =0
d^(x, z, t ) ∂x
= 0,
d^(x, z, t)
∂x
= 0,
/ d2^(x,z,t) + d^(x,z,t) \
∂t 2 g ∂z
= 0, z=0
d^(x, z, t ) ∂z
= 0.
z = - H
Дифференциальное уравнение (1), начальные условия (4), граничные условия (5) и (6) в совокупности представляют начально-краевую задачу математической физики и математически моделируют волновое движение воды в узко-глубоком непризматическом водохранилище, когда волны образуются в результате вторжения в водохранилище обвальнооползневого массива либо селелавинообразного потока. Непризматическая конфигурация водохранилища в плане и по глубине в составленной модели отражены через ширину водохранилища, т. е. через функцию B ( x,z) , которая зависит как от продольной горизонтальной координаты x , так и от вертикальной координаты z .
Коэффициенты дифференциального уравнения (1) являются переменными, и это создает большие математические трудности при попытке аналитического решения поставленной начально-краевой задачи.
Надо отметить, что дифференциальное уравнение (1) впервые получено в работе [4]. В классической линейной теории поверхностных гравитационных волн потенциал скорости должен удовлетворять дифференциальному уравнению Лапласа как для пространственных, так и для двумерных волн [2–4], см. также [5]. В представленной модели (1)–(6) описываются средние по ширине трехмерные волны, т. е. фактически двумерные волны. Научной новизной этой модели является то, что в нее в гидродинамико-гидравлическом приближении через функцию B (x, z) увязаны наиболее характерные параметры естественного очертания водохранилища узко-каньонного типа.
Приступив к решению начально-краевой задачи, вначале принимаются некоторые предположения, упрощающие путь ее решения. Так, например, будем полагать, что ширина водохранилища аппроксимируется следующей экспоненциальной функцией
B(x,z) = B-e s 1 x+s 2 z . (7)
Кроме этого в дальнейшем будем полагать, что q(x,z,t) = qi(x) • q2(z) • q3(t), (8)
q1(x) |
= 10,, |
x- — a < x < x- + a, 0 < x < x- — a, x- + a < x < L; |
|
q2(z) |
— z 0 — h < z < - z- + h , —H < z < —z- — 2, —z- + 2 < z < 0; |
(9) |
|
q3(t) |
= (U- |
0 < t < to, t>t . |
В результате применения подстановки s1 s2
^(x,z,t) = ^(x,z,t)e 2 x 2 z , (10)
начально-краевая задача (1)-(10) относительно функции '(x, z, t) принимает следующий
вид: |
∂ 2 ψ ∂ 2 ψ s 2 1 s 2 2 dx 2 + dz 2 - + )* |
= qi(x>2( z )q3( B0 |
t) _S1T e 2 x 2 z , |
(11) |
v'=dt= |
0, t = 0, |
|||
I dV - ?■ ' l x- '* |
( dx - 1 * ) |
= 0, x = L |
(12) |
|
(^ + ^ — gy* ) z „^ |
- 0, ( - S2 |
') = 0. z = - H |
Введем функцию Ф(x, z, t ) и дифференциальные операторы D, Di, Di
Ф (x,z,t) = d'(dxz,^> - si', |
(13) |
D=dL+dt _( si, si 1 D dx 2 + dz 2 V 4 + 4 J ’ |
(14) |
D i = d^ti+gdz- gs1 , |
(15) |
∂ s2 D 2 = dz - . |
(16) |
Применив линейные дифференциальные операторы D, D1 , D2 последовательно к обеим частям (13) и учитывая выражения (11)–(12) относительно введенной функции Ф(x,z,t) , получим:
D№ = q^zlq?^ s2 4 АЛ1(х)е s2 Л — siq^e s1 xl,
Bo [ax \ У2J
Ф ' 4„L = 0,
Di [Ф]к_0 = 0, D2[4]|z=-H = 0.
Для решения начально-краевой задачи (17)–(19) последовательно применяются интегральное преобразование Лапласа по времени t и разложение в ряды Фурье по переменной x в интервале (0, L)
Ф(x, z )
+∞ j ( -'
∞
Ф(x,z) = ХФ п ( z )
n =1
sin ППх.
Для функции Фn(z) получается обыкновенное дифференциальное уравнение с двумя граничными условиями
d 2 Ф n dz 2
- ^ п Ф n = "|rq2(z)e 2 z a n , B0
[(p2 - gW n +gddz n]
= 0,
( dФ n dz
-
S2 e A
2 Ф n)
= 0, z = - H
где
А » = V" 5 + st + si -
nπ a n = T,
x o + a
_ 2Uo [ an L J e x0-a
s 1
2 x sin a n x dx.
В результате решения краевой задачи (22)-(23) определяется функция Ф » (z) , n = 1, 2, 3,...
Далее обратным ходом сначала определяется функция Ф » (x, z) из (21), а затем ее оригинал Ф(х, z, t) . При этом для определения оригинала достаточно таблицы операционного исчисления. После определения Ф(х, z,t) из выражения (13), как из обыкновенного дифференциального уравнения, определяется функция ^(x,z,t) . Наконец, при известной функции ^(x,z,t) из выражения (10) определится потенциал скорости ^ ( x,z,t ) и, следовательно, поставленная начально-краевая задача решена.
Уравнение волновой поверхности получается дифференцированием потенциала по времени
n(x,t)
1 d^(x, z, t)
g ∂t
z =0
Окончательно для уравнения свободной волновой поверхности получаются следующие выражения:
где
s 1
n(x, t) = e 2 x
si w(t)
Boe s 1 L - 1
∞
- X n=i
A n K n(S 1 sin a » x + a » cos a » x)
(1 + 2 th X n HHx » - s2)
f n (t)
K n
α n
2BoA »
A n - s 2 )( z o + h ) — e — ( An— 2 )( z 0 — h )
2 A n H - (a„ + s 22) (zo +2))
2 A n H - ( A n + s 22 )( z o - h ))1 2
I 1 + e — 2 A n H ,
2 a » = L
e 2 1 ( x o a ) sin a n (x 0 — a) — e 21 (x o +a) sin a n (x 0 + a)j,
f » (t) =
JUo sin Y » t, 0 < t < to,
(2Uo sin Y nt 0 cos Y » ( t — t 0 ) , t > to;
w(t) =
J 2ahUot,
I 2ahUoto,
0 < t < t o , t > to;
Yn = ^
gA„ (th A „ H + ^ An) — gs - (1 + 2 5 2П th A „ H)
1 + ^n th A » H
, n = 1, 2, 3,...
Полученные расчетные выражения (25)–(30) легко реализуются на ЭВМ. Результаты численных экспериментов позволяют определить амплитуды образованных волн в водохранилище в зависимости от геометрических габаритов водохранилища и от кинематических и динамических характеристик вторгшегося селелавинообразного потока либо обвально-оползневого массива.
Список литературы Математическое моделирование поверхностных гравитационных волн в водохранилище узко-каньонного типа
- Ламб Г. Гидродинамика.-М.: Гостехиздат, 1948.-928 с.
- Стокер Дж. Дж. Волны на воде.-М.: Изд-во иностранной литературы, 1959.-617 c.
- Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости.-М.: Наука, 1977.-815 c.
- Музаев И.Д., Созанов В.Г. К ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН КОШИ -ГУССОНА В УЗКИХ НЕПРИЗМАТИЧЕСКИХ ВОДОЕМАХ
- Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. 1995. № 3. С. 40-43.
- Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях.-М.: Мир, 1981.-598 с.