Математическое моделирование слепого разделения двух вещественных сигналов с использованием кумулянтов четвертого порядка

В последнее время методы слепого разделения (СРС) все чаще используются в области цифровой обработки сигналов [1, 2]. Методы СРС основаны на двух фундаментальных предположениях, выполняемых в реальных условиях. Первое предположение состоит в том, что наблюдаемый сигнал линейно зависит от сигнала источников. Второе предположение заключается в том, что источники радиосигналов являются статистически независимыми. Возможность разделения источников исходя только из наблюдаемых радиосигналов позволяет существенно снизить систематическую ошибку, связанную с неверно учтенными свойствами антенной системы.

Классическими трудами по теории методов СРС являются [1,2], в которых приведена постановка задачи СРС и показано, что общую структуру методов СРС можно

Н.Ю. Либеровский, Д.С. Чиров, В.С. Припутин представить в виде комбинации контрастной функции и метода ее оптимизации. Решение такой задачи осуществляется итерационными методами.

Методы СРС применяются в различных областях деятельности человека. В [3] методы СРС применяются для слепого разделения результатов функциональной магнитно-резонансной томографии (ФМРТ) мозга. Работы [4–6] посвящены применению методов СРС в MIMO-системах. Для разделения сигналов предлагается использовать статистики второго и более высокого порядков. В [7] представлено исследование применения СРС в задачах телемедицины, особенно во время записи медицинских данных. Показано, что применение методов СРС позволяет повысить качество медицинской помощи. В [8] рассматриваются проблемы применения СРС в задачах анализа электромагнитных помех.

Применительно к решению задачи слепого разделения радиосигналов методы СРС можно разделить на две большие группы: методы, использующие на каждом этапе оценивания вектора весовых коэффициентов отсчеты смеси сигналов (сигналы с антенной решетки) и методы, базирующиеся на работе только со статистиками сигналов. Основной идеей методов СРС на основе анализа статистик сигнала является одновременная обработка нескольких (двух или более) кросстатистик, полученных по значениям принимаемых сигналов [9]. Эти статистики конгруэнтным преобразованием связаны с соответствующими статистиками для источников радиосигналов, которые, согласно предположению о независимости источников, диагональны.

Работа [10] посвящена обзору и сравнительному анализу методов СРС в задаче распознавания модуляции радиосигналов. Проанализированы алгоритмы слепого разделения на основе метода анализа независимых компонент (АНК): AMUSE [11], JADE [12], SOBI [13], EFICA [14]. Показано, что наиболее эффективными из этих алгоритмов слепого разделения являются алгоритмы SOBI и EFICA, тогда как алгоритмы, основанные на статистике высоких порядков (JADE) являются неэффективными.

В [15] предложен метод слепого разделения сигналов на базе статистик второго порядка в задаче пространственно-поляризационной селекции. Показано, что предложенный метод позволяет эффективно подавлять помехи, имеющих поляризационное разнесение с информационным сигналом, направление прихода которых близко к направлению прихода информационного сигнала. При отсутствии поляризационного разнесения сигналов такой метод не позволяет решать задачу СРС, так как в этом случае отношение принимаемых сигналов будет одинаковым для любого антенного элемента вне зависимости от его местонахождения.

В [16] рассматривался метод СРС с использованием кумулянтов [17] третьего порядка. Однако этот метод не работает для случайных величин с нулевыми кумулянтами третьего порядка. Например, он не может провести слепое разделение сигналов с симметричной плотностью распределения вероятности.

В статье рассматривается аналитическое решение, позволяющее осуществлять слепое разделение двух вещественных статистически независимых сигналов. В отличие от существующих итерационных методов СРС, предложенный метод и его математическая модель позволяет получать гарантированное решение задачи.

1.    Основные теоретические положения

Пусть s ₁ и s ₂ – статистически независимые неизвестные вещественные стационарные сигналы. Пусть A – канальная матрица смешивания сигналов s ₁ и s ₂ . Пусть x ₁ и x ₂ – смешанные известные вещественные сигналы, которые представляют собой линейную комбинацию сигналов s 1 и s 2 :

= (aii a^A .

a 21 a 22

A

(x^ = (a^u ai2^ ( s^ x 2           a 21 a 22 s 2 ^.

Задача состоит в том, чтобы используя только информацию о сигналах x ₁ и x ₂ , найти размешивающую матрицу W , такую, чтобы матричное произведение WA представляло собой матрицу, которую можно привести к диагональной перестановкой ее строк. Тем самым сигналы y 1 и y 2 , полученные в результате воздействия размешивающей матрицы W на входные сигналы x ₁ и x ₂ , будут представлять собой сигналы s ₁

и s ₂ с точностью до перестановки.

Так как в рамках поставленной задачи известны только принимаемые сигналы x ₁ и x 2 , найти размешивающую матрицу W можно только исследовав статистические свойства этих сигналов. Поэтому в дальнейшем под x 1 и x 2 будем понимать два случайных процесса, зависящих от времени. Также в дальнейшем будем предполагать, что случайные процессы x ₁ и x ₂ являются стационарными, то есть их вероятностные характеристики неизменны во времени.

Поскольку сигналы x 1 и x 2 стационарны и известны их значения на всем протяжении наблюдения, то можно оценить их основные статистические характеристики [18]. В работе в качестве используемых статистик сигналов используются кумулянты второго и четвертого порядков. Кумулянты второго порядка необходимы для приведения сигналов к некоррелированному виду. Смешанные кумулянты четвертого порядка используются как дополнительный критерий независимости сигналов. В работе не используются кумулянты третьего порядка, поскольку они равны нулю для сигналов с симметричной плотностью распределения вероятности. Для анализа вероятностных характеристик смешанных сигналов используется разложение кумулянтной функции в степенной ряд:

+ ∞ + ∞ _{i k 1 + k 2}

*( v 1 ,v 2 ) = У E kTkJ^ k i k 2 v ^k 1 v ^k 2 ’

где i – мнимая единица; µ k ₁ k ₂ – кумулянт порядка k 1 и k 2 .

При этом, если случайные величины являются независимыми, то их совместную кумулянтную функцию можно представить в виде суммы кумулянтных функций каждой случайной величины. Отсюда следует, что у независимых случайных величин смешанные кумулянты равны нулю. Таким образом, задачу слепого разделения двух вещественных сигналов можно свести к нахождению такой матрицы W , чтобы все смешанные кумулянты выходных сигналов y ₁ и y ₂ были равны нулю. Для того, чтобы найти размешивающую матрицу W , удовлетворяющую вышеприведенным условиям, необходимо определить, как зависят кумулянты y ₁ и y ₂ от кумулянтов исходных сигналов x 1 и x 2 и матрицы W . Для этого воспользуемся следующим выражением для кумулянтной функции смешанных случайных величин:

^Y ( V 1 ,V 2 ) — Ф аХ ( V 1 ,V 2 ) — Ф х ( a 11 V 1 + a 21 V 2 ,a 12 V 1 + a 22 V 2 ) —

+ ∞ + ∞ _{k 1 + k 2}                                         + ∞ + ∞ _{k 1 + k 2}

—£5 k ! k ! MX ₁ k ₂ ( anV 1 + a 21 V 2 ) k ¹ ( a^V 1 + a 22 V 2 )k ² — k EE^ * Y . . . Ф vk, ⁽³⁾

где Y — ^y¹^; X — ^X1^; Mk 1 k ₂ - кумулянт порядка k 1 и k ₂ для сигналов x 1 и x ₂ ; µ _k ^Y _{1 k 2} – кумулянт порядка k ₁ и k ₂ для сигналов y ₁ и y ₂ .

Раскладывая соотношение (3) в степенной ряд, получим следующие соотношения для кумулянтов второго порядка:

^M 20 ^{— a} 11 ^M 20 + ^{2 a} 11 ^a 12 ^M 11 ^{+ a} 12 ^M 02 ;

Y XXXX

M 11 ^{— a} 11 ^a 21 M ₂₀ + a 11 ^a 22 M 11 ^{+ a} 12 a 21 M 11 ^{+ a} 12 ^a 22 M ₀₂ ;

^M 02 ^— a 21 ^M 20 ⁺ 2 ^a 21 ^a 22 ^M 11 ^{+ a} 22 ^M 02 ^.

В рамках решения задачи слепого разделения сигналов необходимо, чтобы смешанный кумулянт второго порядка был равен нулю:

Y XXXX

Мц — ацаиМю + a ii a 22 M 11 + a i2 a 2i M 11 + a 12 a 22 M 02 — 0 .

Однако если бы были оставлены только эти ограничения, то тогда было бы возможно получение тривиального решения (все элементы матрицы W равны нулю). Действительно, в этом случае независимо от входных сигналов x 1 и x 2 , выходные сигналы y 1 и y 2 в любой момент времени равны нулю, и соответственно равны нулю их смешанные кумулянты. Для того, чтобы избежать подобного решения, также требуется, чтобы дисперсия выборки сигналов y ₁ и y ₂ была равна единице. Тем самым, тривиальное решение было исключено из множества допустимых решений. Таким об-

разом, решение задачи слепого разделения сигналов должно подчиняться следующим ограничениям:

^M 20 ^— a 11 ^M 20 ⁺ 2 ^a 11 ^a 12 ^M 11 ^{+ a} 12 ^M 02 ^{— 1;}

^M 02 ^— a 21 ^M 20 ⁺ 2 ^a 21 ^a 22 ^M 11 ^{+ a} 22 ^M 02 ^{— 1;}

MY — a 11 a 21 MX ₀ + a 11 a 22 MX + a 12 a 21 MX + a 12 a 22 MX ₂ — 0 .

Рассмотрим уравнение a 21 MX ₀ + 2a ₁₁ a ₁₂ MX ₁ + a 12 M X — 1 . Относительно переменной a ₁₁ оно является квадратным:

^a 21 ( ^M X ) + ^{2 a} 11 ( ^a 12 ^M X1) + ( ^a 22 ^M 02 — 1 ) ^— 0 .                       ⁽⁷⁾

Тогда дискриминант этого уравнения будет равен: ^D X 2 XX X ²

4 ^{— M} 20 ^a 12 ^^M20 ^M 02   V^M11J J .

Для того, чтобы существовали решения уравнения (7), дискриминант D должен быть неотрицательным:

M X ^— an ( MX 0 MX 2 - (. MX ) ² ) >  0 .                         (9)

Так как M X 0 и MX 0 MX 2 — ( М п ) 2 являются положительными числами, то введя вспо-

могательную переменную t 1 , выразим переменную a 12 следующим образом:

^a 12 ^—

µ ₂ ^X ₀

Л -----------------------о sinlti) .

XX X ^{2   1}

V М 20 М 02    ( Ми )

Зная вид a ₁₂ , можно записать вид переменной a ₁₁ :

a ll —

XX

-a 12 µ ₁₁ ± µ ₂₀

-

a ?2 (x20X02 ^- OXD²)

_{µ 2} X ₀

^ X0 M X 2 ^- (^ X1 )

_{µ 2} X ₀

2 sm^MX ± J^X o

-

^а ?2 ^M X o M X ^- OXD ²)

-

µ ₂ ^X ₀

_{µ 1} X ₁