Математическое моделирование спектральной задачи об электрических колебаниях в протяженной линии методом регуляризованных следов

В последнее время все большее значение приобретают вопросы математического моделирования нахождения собственных чисел и собственных функций возмущенных самосопряженных операторов [1, 2]. Рассмотрим задачу об электрических колебаниях в протяженной линии, собственные колебания которой описываются собственными значениями задачи Штурма – Лиувилля [3]:

• - у ^{0 (} x, Ц ) + q ⁽ x ) У ⁽ x, Ц ) = ЦУ ⁽ x, Ц ) ,                              ⁽¹⁾

y ^{0 (0} , Ц ) ^{- (} P 1 ⁺ P 2 Ц ) У ⁽⁰ , Ц ) = 0 ,

У0(1 ,Ц) + (P 3 + P 4 Ц) У(1 ,Ц) = 0, где pi = —, p2 = —-0, pз = ^^, p4 = —-0, C и L - коэффициенты емкости и самоиндукции, C0       L      C0       L рассчитанные на единицу длины провода. Исходя из физического смысла задачи, коэффициенты pi, i = 1,4 должны быть вещественными. Физически граничные условия означают, что левый конец провода заземлен через сосредоточенную самоиндукцию L0 и емкость C0 , а правый – через сосредоточенную самоиндукцию L0 и емкость C0 . Предполагается, что сосредоточенная самоиндукция и емкость соединены последовательно. Для определенности будем считать, что длина провода равна единице.

В работах [4, 5] разработан неитерационный метод регуляризованных следов (РС) вычисления значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов. Следуя обозначениям метода РС, перепишем уравнение (1) в виде:

(T + P )u = ^u, u(x) E D T ,

где D t = {u | u E C ² (0,1) П C ¹ (0,1),       E £ 2 (0,1),

I                                 dx ²

du(x)I dx ^| x =o

— (Р1 + P2p)u(x) | x=0

^x' =1 + (р з + P 4 ^)u(x)| =1 = o}, T = - A — оператор Лапласа, P = q(x) - потенциал, x E (0,1). Собственные числа A n невозмущенного оператора T являются корнями уравнения tg V A = V A ¹ 2 ² , а соответствующие им собственные функции v(x) имеют вид: A — h 1 h ₂

v _n (x) = —,       ₉ ( h 1 sin VAnx + VAn cos VAnx), где h 1 = P 1 + p ₂ A, h ₂ = р з + p ₄ A. Обозначим

A _n + h ₁

через n o количество всех неравных друг другу A n , лежащих внутри окружности T n ₀ радиуса

^p n o =

^|A n o +1 + A n ₀ ¹

с центром в начале координат комплексной плоскости.

Теорема 1. Если T – дискретный полуограниченный снизу оператор, а P – ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве H , с областью опре-2||P || деления в D, и для всех натуральных n > no выполняются неравенства qn = —-—г

^|A n +1 ^A n |

• 1,    то значение произведения собственной функции u _n (x) на ее сопряженную u _n (y), при любых значениях аргументов x, y ∈ D , можно найти по формулам:

un(x)un(y) = — fAnVn(x)vn(y) + ^[ak1)(n,x,y) — a^n — 1,x,y)]} + e^ (n,x,y),(3)

Pn 4                 k=1

где для e ⁽¹⁾ (n, x,y) справедливы оценки

|e(1)(n,x,y)| — 2 PC4SnPnTq—, Vt E N, n = 1,no. ^n

/ ^

Здесь S _n = sup ( ^ ——

A i i =1 | ^A n i = n

-

A , | v i (x) l— C o V i = 1, to , q = max q n . A i|/                                         n > 1

« Взвешенные » поправки теории возмущений a k 1) (n,x,y), k = 1, to , входящие в формулы (3), можно найти, используя следующую теорему.

Теорема 2. Если T – дискретный полуограниченный снизу оператор, а P – ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве H , и для всех n >  n o выполняются неравенства q _n < 1, то „взвешенные^{1 1} , поправки теории возмущений a^ p (n o ,x,y) для любых натуральных k, р и n o можно найти по формулам:

no ^

^a k^{P (}n o ^,x,y⁾ = ^—^2    52    v j 1 ^{( x )}v j k + 1 ⁽y^{) r} k^{P ) ( n,j} 1 ^,-^,j k + 1 ⁾ П V j m j m +1

n=1 j1,--„jk+1 = 1m

0, Vjm = n,m = 1, k + 1; dpP где rkp4n,j1, •••, jk+1) = *

k' _A a A„ dA k ^A , l = k ⁺ 1;

• 1   1    Л-L (____AP

  0 <  l — k;

  
  

( l - 1)' xlim dA ¹ - ¹ U- i +1

^A ^ ^{A n      V} Q ( A - A jm )⁷

m =1

V i,j = (Pv i ,v j ) — скалярное произведение; l- число совпадений j m = n, m = 1, k + 1.

Был проведен вычислительный эксперимент по нахождению значений собственных функций спектральной задачи (2). Значения собственных функций u n вычислялись по формулам (3). Суммы функциональных рядов Рэлея – Шредингера приближались четырьмя ≪ взвешенными ≫ поправками теории возмущений по формулам (4). Значения собственных функций u n спектральной задачи (2), вычисленные методом РС, сравнивались со значениями, найденными методом А.Н. Крылова. Результаты вычисления значений тринадцатой собственной функции приведены в таблице. Первые обозначены - u ia (x), а вторые - П 1з (х).

Таблица

Значения тринадцатой собственной функции задачи Штурма – Лиувилля (1), вычисленные при р 1 = 1, р ₂ = 0, р з = 1, р ₄ = 0 и потенциалом q ( x ) = x ²

г	X i	u xs C x i )	u is ( x i )	| u i3 ( X i ) - U 13 ( x i ) |	| ^ i3 ( X i ) - u i3 ( x i ) | | « i3 ( X i ) |        %
1	0 , 095238	- 1 , 284995	- 1 , 285037	0 , 000041	0 , 003226
2	0 , 142857	0 , 859796	0 , 859596	0 , 000199	0 , 023195
3	0 , 190476	0 , 898039	0 , 897731	0 , 000308	0 , 034311
4	0 , 238095	- 1 , 264164	- 1 , 264311	0 , 000146	0 , 011609
5	0 , 285714	- 0 , 329073	- 0 , 329143	0 , 000070	0 , 021281
6	0 , 333333	1 , 412499	1 , 412254	0 , 000245	0 , 017351
7	0 , 380952	- 0 , 306695	- 0 , 306993	0 , 000298	0 , 097239
8	0 , 428571	- 1 , 274733	- 1 , 274854	0 , 000121	0 , 009478
9	0 , 476190	0 , 880529	0 , 880433	0 , 000095	0 , 010857
10	0 , 523809	0 , 878726	0 , 878454	0 , 000272	0 , 031011
11	0 , 571428	- 1 , 276228	- 1 , 276495	0 , 000266	0 , 020867
12	0 , 619047	- 0 , 304623	- 0 , 304712	0 , 000089	0 , 029144
13	0 , 666666	1 , 413653	1 , 413536	0 , 000117	0 , 008295
14	0 , 714285	- 0 , 331369	- 0 , 331649	0 , 000280	0 , 084491
15	0 , 761904	- 1 , 264955	- 1 , 265172	0 , 000216	0 , 017116
16	0 , 809523	0 , 900513	0 , 900457	0 , 000055	0 , 006215
17	0 , 857142	0 , 860215	0 , 860080	0 , 000135	0 , 015679
18	0 , 904761	- 1 , 287601	- 1 , 287871	0 , 000269	0 , 020894
19	0 , 952380	- 0 , 281363	- 0 , 281518	0 , 000155	0 , 055095

Из таблицы видно, что результаты вычисления значений собственных функций методом РС хорошо согласуются с результатами, полученными методом А.Н. Крылова. При этом метод РС показал надежность и высокую эффективность.