Математическое моделирование стоячих поверхностных волн в жидкости, находящейся на пористом основании в цилиндрической полости

Рассматривается математическая модель стоячих волн на поверхности слоя жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей форму прямого кругового цилиндра.

Ось цилиндра радиуса L совпадает с осью Oz, направленной вертикально вверх против вектора ускорения свободного падения д. Задача решается в цилиндрической системе координат (г, 0, z), z = -h — твердая поверхность (дно цилиндра), ограничивающая снизу слой пористой среды, насыщенной жидкостью; z = 0 — поверхность раздела пористой среды и слоя свободной жидкости; z — Л2    невозмущенная (плос кая) свободная поверхность жидкости, граничащей с атмосферой. Номерами 1 и 2 обозначены (в необходимых случаях) величины, относящиеся к пористой среде (область 1) и свободной жидкости (область 2) соответственно. Распространение прогрессивных (бегущих) волн на бесконечной поверхности жидкости, находящейся на слое пористой среды, рассмотрено в [5].

Уравнения движения жидкости в пористой среде имеют вид [1; 5]:

Р Йй

• 1    = -grad _{P 1} + рд Г ot

div^ = 0.

^^^^^в

П -й,

К ¹

Здесь р — плотность жидкости; Г — пористость (отношение объема пор к элементарному объему среды); р — вязкость; р^ — давление; W — макроскопическая скорость фильтрации, связанная со средней скоростью у жидкости в порах соотношением W = Гсу; К — коэффициент проницаемости пористой среды, вычисляемый по формуле Козени [1]:

з 2

К = ^гр ___ ,

150 ( 1 - Г ) ²

где d (см) — диаметр шариков, образующих пористую среду. Все величины измеряются в системе СГС.

Уравнения движения свободной жидко сти в предположении, что амплитуда поверхностной волны значительно меньше ее длины [3], запишем в линейном приближении:

Йи р -Д = -gradp2 + рд, divu2 = 0.    (2)

ЙГ

Здесь й ₂ — скорость свободной жидкости.

Из уравнений (1), (2) следует: йд = Уф _1; ^й 2 = Vф ₂ , где ф 1 ( г,0, z,t ) , ф 2 ( г, 0, z,t ) — потенциалы скорости, удовлетворяющие уравнениям Лапласа в цилиндрических координатах

• ,         .    1 Йф у Й ф у

Дф у ( Г,9, z,t ) = -—^ + —+

• ¹              Г ЙГ ЙГ ²

• 1    Й ² фу Й ² ф

+ -Ду + -Д = о, (у = 1,2).

Г ² Й9 ² Йz ²

Система граничных условий в линейном приближении имеет вид [5]:

• 1)    м₁₂ =    = 0 при z = -^ (на дне); (4)

  - z

• 2)    и, = u_2z или -^- = -^{ф 2}- при z — О ^Z              - Z     - Z

(на границе пористой среды);

• 3)    условия на вертикальной цилиндри

ческой поверхности: а) м1г =    = 0 при dr г = L (область 1); б) и2т = ^ = 0 при г = '     -г

= L (область 2);

• 4)    p i = р 2 при z — О;

• 5)     ' + . - = ₀ ..       ; (на сво-

• d^2       dz                    2

бодной поверхности жидкости).

Форма свободной поверхности жидкости определяется уравнением z = /р + ^ ( т, 9, t ) . Давления запишем в виде Р 1 = рю ( z ) + p i _m, Р 2 = Р 2О ( ^z ) ⁺ P 2 _W ^{, г} д ^е P i0 ^{( z ),} P 20 ^{( z )} - р ^ав новесные давления; Р 1 _ж, Р 2 _Ж — возмущения давлений. Для возмущений давлений из (1) и (2) следует

Р dpt л

Pte = -- — -Д7Ф1- P2w = -Р■

Г dt   Кdt

Решения уравнений (3) ищем в виде стоячих затухающих волн методом разделения переменных

Ф ; ( Г ,0, z , t ) = ф ; ( z ) • Ф ; ( г , 0 ) • е "^ , ( j = 1,2 ) , где р j ( z ) — амплитуды; у = р + io — декремент; р — коэффициент затухания волны; о — частота колебаний волны.

Подставляя Ф у в уравнения (3), находим

5Ф . 5 ² Ф _у    . 5 ² Ф _у

• -11а

г 5т      д _т ²     т ² 59 ² = _ ^ф у ^{( z} )      , _)

^Ф j ^{( т}- ^{9 )                 ф} j ^{( z} ) .

Обозначим фу/ф у = к². Тогда фу - к ² ф у =

Эти дифференциальные уравнения для Ф у имеют решения: ф 1 = Сф' ⁶ ' + С у е ^{- 62}, cp v = = C ₃ e^kz + С ₄ е ^k .

Из (6) следует

А ₂ Ф j 132

1 dФ у d ² Ф у --+---о + г dr     dr

1 d^j

P = -к2Ф г2 dO2

( j = 1,2)

Функции Фу ищем в виде Фj (г, O) = = Rj (г) • Tj (0). Тогда из уравнений Д2Фу = = -к2Фj следует г2Ру (г) + гРу (г) + г2к2Ру (г) R (г )

ЭД

Ту ( ⁰ )

= и )

Здесь и — О, 1, 2, ... — целое число, так как функции T j ( O ) должны быть однозначными, а следовательно, периодическими с периодом 2л, т. е. T j ( O ) = T j ( O + 2л ) ■ Решения дифференциальных уравнений Т у + п ² Т у = О имеют вид:

T jn ( 0 ) = A j _n ^cos n0 + B jn sin n0

(j = 1,2; и = О, 1, 2, ...), где Ai„ = A2n = A„, Bi„ = B2n = B„ в силу граничных условий 2 в системе (4).

Из (7) следуют дифференциальные уравнения Бесселя

Го „2 Г

R” ( г ) + - РА ( г ) + И² -    I R . ( г ) = 0 ( у = 1,2),

• ^j г ^j I г ² )

общие решения которых имеют вид [2]

^R jn ( ^г ) = E jn • J n ( к^г ) ⁺ F jn • Y n (Ь ) , где J_n, Y_n — бесселевы функции порядка и (и = 0, 1, 2, ...). Следует положить F y _n = О, так как Y_n ( кт ) ^ да при т ^ О.

В силу граничного условия 2 системы (4) должно быть Е 1 _и = ^ 2 _и ⁼ ^_и. Согласно условиям 3 системы (4) будем иметь J'_n ( kL ) = О. Обозначая ц = kL , получим трансцендентное уравнение для определения Р ^:

J'n (ц) = О, имеющее бесконечное множество положительных корней ри1, ри2, .^, которым соответствуют значения knm = —р^ (и = 0, 1, 2, ... ; m = 1, 2, ...)

и соответствующие решения уравнения Бесселя

R (гЛ = Т I ^ ^п ™ ^т nm \' ^{) J}п I l

.

Некоторые значения корней Ц ит приведены в таблице.

Корни уравнения / ( р ) = О

т	п = О	п = 1	п = 2	п = 3	п = 4	п = 5
1	3,832	1,841	3,054	4,201	5,318	6,416
2	7,О16	5,331	6,706	8,015	9,282	10,520
3	10,173	8,536	9,969	11,346	12,682	13,987
4	13,324	11,706	13,170	14,586	15,964	17,313
5	16,471	14,864	16,348	17,789	19,196	20,576
6	19,616	18,016	19,513	20,972	22,401	23,804
7	22,760	21,164	22,672	24,145	25,590	27,010
8	25,904	24,311	25,826	27,310	28,768	30,203
9	29,047	27,457	28,978	30,470	31,939	33,385

Таким образом, получаем бесконечное множество частных решений вида волны у = у пт = Рпт + ^№пт и волновым числом к = кпт = Цпт /^.

Ф_1пт ( г, 0, 2,t ) = ( с₁е⁶² + С₂е ⁶² ) х

х J n ( кг ) [ А пт cos ^и 0 + В_пт sin и0 ] е ^{y t}

Ф_2пт ( г, 0, 2, t ) = ( с₃е⁶² + С₄е ⁶² ) х    (8)

х ]_п ( кг ) [ А_пт cos п0 + В_пт sin п0 ] е ⁷ ' , где к = р _пт/ £, п = 0, 1, 2, ... ; т = 1, 2, .... Здесь коэффициенты А „ _т , В_пт могут быть заданы либо определены из начальных условий на свободной поверхности жидкости [2; 4]. Решения (8) удовлетворяют граничным условиям (4).

Заменяя в граничном условии 4) системы (4) давления Р 1 и Р 2 выражениями (5) и подставляя Ф 1 _пт и Ф _{2 пт} из (8) в граничные условия (4), получим систему четырех алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов Ср С 2 , с₃, С 4.

С v ^kv - c ₂ e ^kh2 = 0,

ру sh ( к^ ) sh ( к^ 2 ) + р ch ( к^ ) ch ( к^ 2 )

- К y ² ch ( к^ ) ch ( к^ 2 ) +

+

^^^^^е

Г                         1

рдкк sh ( к^ ) ch ( &h₂ ) + р ch ( к^ ) sh ( &h₂ )

^^^^^^»

Кgk ch ( к^ ) sh ( к^ 2 ) - 0.

^^^^^^

^С1 ^{- С}2 ^- С ₃ ^- С4 ,

^ ру ^- К ^ ( ^С 1 ^{+ С} 2 ) ^{- ру} ( ^С 3 ^{+ С} 4 ) >

Таким образом, коэффициент затухания Р = Р _пт и частота волны ю = ю _пт могут принимать только дискретные значения, соответствующие значениям к „_т .

В частном случае при Г ^ 1, ц/ К ^ 0 (замена пористой среды жидкостью) первое уравнение (1) переходит в уравнение Эйлера, а из уравнения (10) следует дисперсионное уравнение, описывающее стоячие волны в слое жидкости глубиной h1 + h ₂ в цилиндрической полости без пористой среды [4].

у ² - -® ² - -gk th Г к (_ h ₁ + h ₂ ) ].

Вводя обозначение D = 2 С₂е^кЬ ' , получим

C ₃ e ^kh2 { у ² + дк^ + С ₄ е ^kh 2 ( у ² - дк^ = 0,

^{где к} = Р пт/ ^ .

Приравнивая к нулю определитель этой системы, получим дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между декрементом

С = 1 De ⁶^, С 2 = I Ое ^{- кА} - .

Учитывая (9), находим также

С₃ - ^D

³     2

sh ( кh₁ )

Р

Р ^К У

1 ~i р j ch (кh1)

С 4 =

D

sh ( kh ) +

П pKy

^^^^^e

1 ^

- ) C ^h ( ^kh 1 )

Р^ + I Р ² I = о, <  S t J _z = h₂

С учетом найденных выражений C 3 , С 4 получим

<Р2 (z) = D sh (kh) ■ sh (kz) - откуда

^ (г, 0,t) = - - (^)     = ^ р- (г,0, h-,t) = д I ^ )z=h2   д

П pKy

ch ^ kh i ) ■ ch ( k z}

Функция ^ ( г, 0, £ ) , определяющая форму свободной поверхности жидкости, находится из условия [4]

= ~Ф 2 ( ^к 2 ) ■ ^ф 2 ( г,0 ) ■ е ^{Y t}. д

Отметим, что все рассматриваемые физические величины следует понимать как действительные части от соответствующих комплексных функций.