Математическое моделирование внутренних гравитационных волн в стратифицированном водоеме при селективном водозаборе
Автор: Музаев Илларион Давидович, Туаева Жанна Дмитриевна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.2, 2000 года.
Бесплатный доступ
В статье поставлена и решена контактная начально-краевая задача колебания поверхности раздела разноплотностных слоев воды при селективном водозаборе из верхнего слоя. Использована линейная теория поверхностных и внутренних гравитационных волн малой амплитуды. Глубины слоев являются конечными величинами. При решении учитывается волнообразование на поверхности верхнего слоя. Для определения колебаний поверхности раздела слоев в явном виде получено выражение, которое позволяет установить нижнее критическое положение поверхности раздела слоев (так называемое нижнее "стояние").
Короткий адрес: https://sciup.org/14317999
IDR: 14317999
Текст научной статьи Математическое моделирование внутренних гравитационных волн в стратифицированном водоеме при селективном водозаборе
В статье поставлена и решена контактная начально-краевая задача, колебания поверхности раздела разноплотностных слоев воды при селективном водозаборе из верхнего слоя. Использована линейная теория поверхностных и внутренних гравитационных волн малой амплитуды. Глубины слоев являются конечными величинами. При решении учитывается волнообразование на. поверхности верхнего слоя. Для определения колебаний поверхности раздела, слоев в явном виде получено выражение, которое позволяет установить нижнее критическое положение поверхности раздела, слоев (так называемое нижнее «стояние»).
Как известно, при водоснабжении промышленных предприятий, тепловых и атомных электростанций в ряде случаев необходимо обеспечить селективный водозабор, то есть забор воды из определенного слоя водоема — источника водоснабжения. В случае сильного загрязнения нижних или верхних слоев водоема жидкость забирается из такого слоя водоема, где вода более чистая. При этом необходимо предотвратить попадание воды из других слоев в окна водозаборного сооружения. Для обеспечения селективного водозабора из стратифицированного водоема требуются гидродинамические расчеты по определению критического положения поверхности раздела, так называемое «стояние», при котором не происходит захвата воды из других слоев.
Предположим, что часть пространства, ограниченная условиями 0 < х < ДО < z < Ну представляет слой осветленной воды с плотностью ру а слой мутной воды с плотностью р2 > pi : 0 < х < L, —Н^ < z < 0. Плоскость z = 0 — невозмущенная горизонтальная поверхность раздела слоев, z = — Н^ — дно водоема, z = Ну — невозмущенная свободная поверхность верхнего слоя. На участке х = 0, Zq — a < z < Zq + а помещено окно водозаборного сооружения, через которое забирается вода из верхнего слоя водоема со скоростью Vq. В приближении линейной теории поверхностных и внутренних гравитационных волн малой амплитуды движение в слоях воды моделируется
контактной начально-краевой задачей математической физики для потенциалов скоростей в верхнем и нижнем слоях соответственно:
|
д2(щ d2(pi я 2 = 0 ПРИ hi < z < 0; от/ odzz |
(1) |
|
Я 2 + Я 2 = 0 ПРИ ° < ^ < ^2- от/ OZz |
(2) |
|
Граничные условия выглядят следующим образом: на верхнем слое Коши-Пуассона) — |
(условие |
|
я,2 +у Я = ° ПРИ z = "Г otz oz |
(3) |
|
на поверхности раздела (условия склейки) — |
|
|
/Э2ф2 , Эф2\ (Э2ф2 . Эф2\ РА эе +9эа = р/ эр э/ ”P"z = °; |
(4) |
|
5^1 5^2 п —— = —— при z = 0; OZ OZ |
(5) |
|
на нижнем слое — —— = о при z = -д2; OZ |
(6) |
|
горизонтальные скорости — |
|
|
8^1 , х Г ^о, z0 - a < z < z0 + a, —— = щ(г) = при т = 0; от ( 0, z < zq — a, z > zq + a |
(7) |
|
—— = 0 при т = L; от |
(8) |
|
—— = U при т = 0; 8т |
(9) |
|
9^ о т —— = U при т = L. от |
(Ю) |
|
Начальные условия имеют вид: |
|
|
8^1 8^2 . п ^ = ДГ = ^ = ДГ ПРИ< = °- |
(И) |
Волны на поверхности раздела слоев определяются следующей зависимостью:
pi Э<Р1ДД,1) _ р2 Э<Р2ДД,1)
Vp\-p^g dt Vp\-p^g dt
В результате применения интегрального преобразования Лапласа относительно времени t выражения в изображениях принимают следующий вид:
где
Pi(x,z,t)e ptdt,
|
9^1 Эх2 |
+ |
д2ф1 dz2 " |
= 0 |
при |
— hi < 2 < 0; |
(13) |
|
|
Э2ф2 Эх2 |
+ |
д2ф2 dz2 ■ |
= 0 |
при |
0 < z < h^; |
(14) |
|
|
Р^Фх ■ |
, 9ф1 + !1Ж = dz |
= 0 |
при |
z = hi; |
(15) |
||
|
Р1^р2ф2 + д |
Эф2\ dz)= |
= Р2 |
(р |
^Ф^ + |
9ф2\ п Ущ— ПРИ ^ = 0; dz / |
(15'1 |
|
|
Эф1 |
Эф2 |
(16) |
||
|
dz |
dz |
при |
z = 0; |
|
|
Эф2 dz |
= 0 |
при |
г = —I12; |
(17) |
|
Эфу |
щ(г) |
(18) |
||
|
dx |
Р |
при |
х = 0; |
|
|
9ф1 dx |
= 0 |
при |
х = L; |
(19) |
|
9ф2 dx |
= 0 |
при |
х = 0; |
(20) |
|
дф2 dx |
= 0 |
при |
х = L; |
(21) |
|
^-(рф-р |
^^рр1(ж,0,р) |
рф2ДД,рф vpi - P2ig |
||
ОО
^1(^Л,Р) = j о
Ы^^Р) = j
ОО
Р2(ж,гЛ)е ^dt.
р Е С, Rep > 0.
О
Применим в выражениях (13)—(21) конечное интегральное косинус-преобразование Фурье относительно переменной х. Получим
|
d2Pn,i |
_ ^i(^) |
при — hi < |
z < 0; |
(22) |
|
|
dz2 |
P |
||||
|
d2pn |
>2 a2 in о |
= 0 |
при 0 < z < |
hy |
(23) |
|
dz2 |
4,4.2 |
||||
|
Р^П, |
N^P 1 +9 , dz |
= 0 |
при z = hi; |
(24) |
|
|
Р1^Р2<Рп,1 |
, ^741\ + 9 , dz / |
= ^2(p2^ |
. Nny\ ny + 9 1 ) dz / |
при z = 0; |
(25) |
|
Nnp |
Nny |
(26) |
|||
|
dz |
dz |
при z = 0; |
|||
|
dpn,2 _ dz |
0 |
при z = —hy, |
(27) |
||
|
Лп^ = |
P^ z x PPn vpi - p^g |
,2(0), |
(28) |
||
|
(Pi - P^'. |
^РРпД |
||||
L j ^^}т.МЛ„
о
где
^,1(^)
Vn,^
L j g?2(x,z,p) cos(anx) dx о
(an = ttk/L\
Решения дифференциальных уравнений (22) ями (24)-(28) имеют следующие представления
и (23) с граничными услови-
z
741 (г) = <Хд сН(аиг) + Спд sh(an^) 4-- i^s) sh(an(^ - s)) ds, paH J
о
742 (^) = Спд
ch(gn(^ + M) sh(an/t2)
где постоянные Спд, Спд определяются из равенств:
Сп 1 =
I V ) -L
(р2 + (1 - ^gantWnh2^Rn
ch(a„/i2)(l + ^th(a„/»i)th(a„h2)l(p2 +ш12)(р2 + ш^)
p2Rn^t,Hanh2)
сН(аи/г2)^1 + ^th(an/ti)th(an/t2)J(p2 + ш^(р2 + ш|)
hi hi
Rn =--z/(s) sh(an(/ti — s)) ds--t/(s) ch(an(/ti — s)) ds, a-n J P J
о
Ш! = gan
^2 = gan
о
УТДаДи) + th(gn/i2) - ДТД 2(1 + ^th(an/ti)th(an/t2))
УТДаДи) + th(gn/i2) + х/ТД 2(1 + ^th(an/ti)th(an/t2))
Dn = (th(an/ti) - th(an/t2))2 + 4— th(an/ti) th(an/t2) P2
х(‘~
— th(an/ti) th(an/t2) + —) • Pl P2'
Для 2 = 0 получаем, что
^д(О) = СпД, Pn^W = Спд cth(an/t2).
Подставив последние выражения в соотношение (28), выводим
^ =
Pi
^^^^^^^^.
-—рСпд p^g
^^^^^^^^.
Р'2
(pl
^^^^^^^^.
1—^рСпд cth(an/t2). p^g
Используя равенства (29)—(31), выражение (32) перепишется в виде
~ м ___ Pv th(an/t2)
11п Р Р2^Р2 + ш^ХР2 + ш^
hi x ^ z/(s)(p2 вЦаДЬх - s)) + дсЦаДНг - s))) ds^ . 0
В результате выполнения обратного преобразования Лапласа и вычисления интегралов в последнем выражении оригинал получается в следующем виде
Р^ДДиД^ ( . .
Рп = —^"ТЧ ---2? R-nP^^ 8ш(ш2^ - Ш1 81п(шД))
р2»ДШ^ - Ш^ \ где
Кпд =
Кпд =
+-^п,2 ( --8ш(ш2^) — \^2
1 •
— S1I1
Ш1
(ш^)))
1 g—&п (^о+я-) ^—an (2hi —zq —a) ^-a-n^bi—ZQ-Va^ an 1 + e-^'Ki
1 g-«n(^o+«)
g — йп (2/ii —zo —a) । g — an (2hi — zg +a)
®n
1 _|_ g —2an/ii
Sn = 1 + — th(an/ii) th(an/i2). P2
В результате выполнения обратного косинус-преобразования Фурье полу чается уравнение для установления нижнего положения поверхности раздела слоев при селективном водозаборе из двухслойного стратифицированного во доема
О^К)
^ Pivo P2L
(X)
Е
П=1
th(anh2)
Sn^ - ^1)
х ^Я„,1(ш2 sin(w2£) - Ш1 sin^H) + Кпд ^-^- sin(w2£) -
-- sin(wil)^ СО8(йиж).
Численные расчеты последнего выражения позволяют установить зависимости колебания уровня поверхности от различных характеристик водозаборного окна. Очевидно, что амплитуда волны будет прямо пропорциональна скорости водозабора z/0.
Список литературы Математическое моделирование внутренних гравитационных волн в стратифицированном водоеме при селективном водозаборе
- Большаков В. А. Справочник по гидравлике.-Киев: Вища школа, 1977.-C. 223-225.
- Ламб Б. Гидродинамика/Пер. с англ.-М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1947.-C. 463-480.
