Математическое моделирование волнового поля методом конечных разностей
Автор: Чистяков А.Е., Рахимбаева Е.О., Литвинов В.Н., Никитина А.В.
Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm
Статья в выпуске: 2 т.17, 2024 года.
Бесплатный доступ
Система уравнений гидродинамики, записанная в дифференциальной форме, приведена к неоднородному волновому уравнению, для которого построена дискретная модель. Исследуемая область, представляющая собой прямоугольник, покрывается двумерной равномерной расчетной сеткой. Разработаны дискретные аналоги волнового уравнения при граничных условиях Дирихле и Неймана. Описан выбор вида и параметров расчетных сеток. Получены аналитические выражения, для определения погрешности аппроксимации по пространственным координатным направлениям для оператора второй производной на основе схем 2-го и 4-го порядков точности и в этом диапазоне погрешности оценены размеры сеток. Вычислительные эксперименты показали, что для удержания погрешности в пределах от 0.1 до 1%, необходимо применять сетки с приходящимся на половину длины волны числом узлов в диапазоне от 9 до 30 при схеме 2-го порядка точности, и от 4 до 6 при схеме 4-го порядка точности. Важным является выбор значений шага по времени и весового параметра. Так, при весовом параметре σ =1/12 относительная погрешность существенно меньше, чем при σ =0, соответствующем явной схеме, и при σ =1/4, соответствующем симметричному заданию коэффициентов в схеме с весами. Рассчитаны оптимальные значения весового параметра с точки зрения сохранения частоты распространения колебательных процессов. При анализе дискретной модели получено условие устойчивости разностной схемы и выражение, описывающее погрешность аппроксимации по временной переменной, зависящее от величин шагов по времени и пространственным координатным направлениям. Установлено, что аппроксимация начальных условий вносит в суммарную погрешность меньший вклад, чем аппроксимация уравнения для последующих временных слоев. На основе предложенных алгоритмов и подходов создан программный комплекс, предназначенный для моделирования процесса распространения колебаний в двумерной области. Проведен ряд вычислительных экспериментов, в частности, рассмотрены процессы: распространение акустических волн от антенн с отличающимися характеристиками направленности; рассеяние волн на препятствиях разных типов. Для отыскания дальних полей акустической антенны предлагается расчетное окно делать подвижным и находить его местоположение в пространстве. Это позволяет существенно сократить время оценки распространения звуковых волн на большие расстояния.
Акустическое зондирование, математическая модель, гидродинамика, волновое уравнение, дискретная модель, погрешность аппроксимации, авторский программный комплекс
Короткий адрес: https://sciup.org/143183219
IDR: 143183219 | DOI: 10.7242/1999-6691/2024.17.2.16
Mathematical modeling of a wave field by finite difference method
The system of differential equations of hydrodynamics is reduced to the inhomogeneous wave equation, for which a discrete model is constructed. The computational domain is a rectangle covered with a two-dimensional uniform calculation grid. Discrete analogues of the wave equation for Dirichlet and Neumann boundary conditions were developed. The paper describes the choice of calculation grids. Analytical expressions describing the approximation error in spatial coordinate directions for the second derivative operator based on the second and fourth order of accuracy schemes were obtained and, in this range of error, the sizes of grids were estimated. The computational experiments demonstrated that, to keep the calculation error in the specified limit 0.1- 1%, it is necessary to perform calculations on grids with the number of nodes per half wavelength in the range from 9 to 30 when using the second-order of accuracy scheme, and from 4 to 6 when using the fourth-order of accuracy scheme. It is important to choose the values of the time step and the weight parameter. At the weight parameter σ =1/12, the relative error is significantly less than at σ =0 (corresponding to an explicit scheme) and at σ =1/4 (corresponding to a symmetrical setting of coefficients in a weight scheme). The optimal values of the weight parameter were calculated in the context of maintaining the propagation frequency of oscillatory processes. The analysis of the discrete model gave a condition for the stability of the difference scheme, and an expression describing the approximation error in a time variable, depending on time steps and spatial coordinate directions, was determined. It was established that the approximation of initial conditions makes a smaller contribution to the total error than the approximation of the equation for subsequent time layers. Based on the proposed algorithms and approaches, a software package was designed to simulate the propagation of vibrations in a two-dimensional computational domain. A number of computational experiments were carried out to study, for example, the propagation of acoustic waves from antennas with different directional characteristics and the scattering of waves on the obstacles of different types. To determine the farfields of an acoustic antenna, it is proposed to make the calculation window movable and to find its location in space. This significantly reduces the calculation time for the propagation of sound waves over long distances.
Список литературы Математическое моделирование волнового поля методом конечных разностей
- Осипов А.А., Реент К.С. Математическое моделирование распространения звука в проточном канале с импедансными стенками // Акустический журнал. 2012. Т. 58, № 4. C. 509–524.
- Евстигнеев Р.О., Медведик М.Ю., Шмелев А.А. Итерационный метод решения прямых и обратных двумерных задач акустики с применением параллельных алгоритмов // Эвристические алгоритмы и распределенные вычисления. 2015. Т. 2, № 1. C. 71–81.
- Седипков А.А. Прямая и обратная задачи акустического зондирования в слоистой среде с разрывными параметрами // Сибирский журнал индустриальной математики. 2014. Т. 17, № 1. C. 120–134.
- Ватульян А.О., Юров В.О. Волновые процессы в полом цилиндре в поле неоднородных предварительных напряжений // Прикладная механика и техническая физика. 2016. Т. 57, № 4. C. 182–191. DOI: 10.15372/PMTF20160418.
- Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Учет особенностей аналитического продолжения волнового поля при использовании методов нулевого поля и Т-матриц // Электромагнитные волны и электронные системы. 2008. Т. 13, № 8. C. 78–86.
- Ландсберг Г.С. Оптика. Москва: Физматлит, 2003. 848 с.
- Агарышев А.И., Жанг Н.М. Применение закона Снеллиуса для расчета траекторий радиоволн в регулярной рассеивающей ионосфере // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2013. № 4. C. 131–137.
- Thomson W.T. Transmission of Elastic Waves througha Stratified Solid Medium // Journal of Applied Physics. 1950. Vol. 21. P. 89–93. DOI: 10.1063/1.1699629.
- Haskell N.A. The dispersion of surface waves in multilayered media // Bulletin of the Seismological Society of America. 1953. Vol. 43. P. 17–34. DOI: 10.1785/BSSA0430010017.
- Романов В.Г. Обратная задача для волнового уравнения с нелинейным поглощением // Сибирский математический журнал. 2023. Т. 64, № 3. C. 635–652. DOI: 10.33048/smzh.2023.64.314.
- Кузнецов Г.Н., Кузькин В.М., Переселков С.А., Просовецкий Д.Ю. Помехоустойчивость интерферометрического метода оценки скорости источника звука в мелком море // Акустический журнал. 2016. Т. 62, № 5. C. 556–572. DOI: 10.7868/S0320791916050105.
- Бахвалов П.А., Козубская Т.К., Корнилина Е.Д., Морозов А.В., Якобовский М.В. Технология расчета акустических возмущений в дальнем поле течения // Математическое моделирование. 2011. Т. 23, № 11. C. 33–47.
- Петров И.Б., Фаворская А.В. О совместном моделировании волновых явлений сеточно-характеристическим методом и разрывным методом Галеркина // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. 2022. Т. 506, № 1. C. 62–67. DOI: 10.31857/S2686954322050150.
- Четверушкин Б.Н., Ольховская О.Г., Гасилов В.А. Трехслойная схема для решения уравнения диффузии излучения // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. 2023. Т. 512, № 1. C. 89–95. DOI: 10.31857/S2686954323600295.
- Драчев К.А., Римлянд В.И. Применение метода конечных разностей во временной области для моделирования распространения ультразвука // Вестник Тихоокеанского государственного университета. 2018. № 1. C. 15–22.
- Филимонов С.А., Гаврилов А.А., Дектерев А.А., Литвинцев К.Ю. Математическое моделирование взаимодействия свободно-конвективного течения и подвижного тела // Вычислительная механика сплошных сред. 2023. Т. 16, № 1. C. 89–100. DOI: 10.7242/1999-6691/2023.16.1.7.
- Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А., Сидорякина В.В., Проценко С.В. Метод учета заполненности ячеек для решения задач гидродинамики со сложной геометрией расчетной области // Математическое моделирование. 2019. Т. 31, № 8. C. 79–100. DOI: 10.1134/S0234087919080057.
- Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Сидорякина В.В., Проценко Е.А. Экономичные явно-неявные схемы решения многомерных задач диффузии-конвекции // Вычислительная механика сплошных сред. 2019. Т. 12, № 4. C. 435–445. DOI: 10.7242/1999-6691/2019.12.4.37.
