Меры на бесконечномерных пространствах, инвариантные относительно сдвигов

При исследовании решений дифференциальных уравнений с помощью усреднения случайных блужданий в координатном пространстве (см. [6]) эффективным инструментом являются инвариантные меры на координатном пространстве. Так, в работах [3, 8] сильно непрерывные однопараметрические полугруппы операторов, разрешающих задачу Коши для уравнения диффузии, уравнения дробной диффузии или уравнения Шредингера с различными гамильтонианами, получены посредством усреднения случайных однопараметрических семейств операторов сдвига на векторы координатного пространства по мерам или псевдомерам на множестве таких операторов. Для применения такого подхода к описанию решений дифференциальных уравнений для функций на бесконечномерных пространствах возникакт задача изучения мер на бесконечных пространствах, инвариантных относительно сдвигов на векторы этого пространства или относительно других групп преобразований (см. [10]).

Как известно (см. [4]), не существует меры Лебега на бесконечномерном топологическом векторном пространстве, то есть не существует ненулевой счетно-аддитивной о -конечной меры на o'-кольце борелевских подмножеств бесконечномерного топологического векторного пространства, инвариантной относительно сдвигов на векторы этого пространства. В связи с этим изучались вопросы о существовании мер на бесконечномерных топологических векторных пространствах, инвариантных относительно сдвига на векторы из некоторого максимального допустимого подпространства (см. [5]), о существовании инвариантных мер, не являющихся о -конечными [1], о существовании мер, не являющихся счетноаддитивными (см. [10]).

В настоящей статье рассматривается задача о существовании мер на бесконечномерных топологических векторных пространствах, инвариантных относительно сдвигов на произвольный вектор этого пространства. Будут исследованы топологическое векторное пространство R ^ числовых последовательностей N ^ R с топологией поточечной (покоординатной) сходимости, банахово пространство 1 ^ ограниченных числовых последовательностей и гильбертово пространство числовых последовательностей І 2 ; для последнего пространства в статье [10] исследован класс мер, инвариантных не только относительно сдвига на произвольный вектор, но и относительно произвольного поворота (унитарного преобразования).

В настоящей работе описано множество конечно-аддитивных мер на банаховых пространствах І 2 и 1 ^ , инвариантных относительно сдвига на произвольный вектор из этого банахова пространства, и заданных на минимальном кольце, содержащем совокупность измеримых параллелерипедов с ребрами, параллельными координатным осям (т.е. таких, что бесконечное произведение длин их ребер сходится, см. ниже и в [1, 10]). Показано, что инвариантных относительно сдвига на произвольный вектор мер на пространстве І 2 больше, чем инвариантных относительно сдвига на произвольный вектор мер на пространстве 1 ^ , ибо значения инвариантных мер на непустых множествах точек пространства, заключенных в измеримых параллелепипедах, связанных сдвигом на вектор из І ^ \ І 2 , должны совпадать для мер на пространстве 1 ^ и никак не связаны для мер на пространстве І 2 . В заключительной части статьи проанализированы перспективы применения процедуры продолжения конечно-аддитивной меры, заданной на кольце, порожденной измеримыми параллелепипедами, до счетно-аддитивной меры по схеме Каратеодори–Лебега (см. [1]). Установлено, что такое продолжение порождает меру, не совпадающую с исходной мерой на измеримых параллелепипедах, и равную нулю на всех множествах, на которой исходная конечно-аддитивная мера принимает конечные значения.

Множества вида П _а,ь при произвольных a,b Е l _x , удовлетворяющих условиям a j <  b j V j Е N , будем называть брусами; брус П _а,ь является пустым множеством, если 3 j Е N : ( a j ,b j ) = 0.

Следуя подходу из работы [1] дадим следующее определение измеримости бруса.

Определение 1. Будем называть брус П _а,ь Е В измеримым, если выполняется условие

∞

52lⁿ(^b j - ^a j ) ^{е    то} । ^ >,                                (1)

j=i где сумма ряда считается равной —то, если хотя бы один член ряда имеет значение —то.

Символом Р обозначим совокупность измеримых брусов.

В работе [10] рассматривается более сильное, чем (1), условие измеримости бруса, связанное с требованием независимости свойства измеримости от изменения порядка координат.

Определение 2 . Будем называть брус П _а,ь Е В абсолютно измеримым, если выполняется условие

² max { 0, ln(b j — a ₃ ) }                                (2)

j=i сходится.

Символом Q обозначим совокупность абсолютно измеримых брусов.

Очевидно, условие (1) следует из условия (2), то есть Q С Р.

На множестве измеримых брусов Р определим функцию / : Р ^ [0, + то ) равенством

∞

/(П „,_ь ) = exp(^2ln(b j — a j )).                              (3)

j =i

В силу определения измеримости для любого бруса П _а,^ Е Р выполняется условие /(П) Е [0, + то ) , причем если a,b Е l _x удовлетворяют условию 3 j Е N : a j = b j , то сумма ряда из (1) равна —то и д(П _а,ь ) = 0 ; в частности /( 0 ) = 0 .

Пусть Р - минимальное кольцо, содержащее класс множеств Р .

Заметим, что класс Р является замкнутым относительно пересечений: действительно, пусть П _{а 1} ,ь ₁ , Щ₂ ,ь ₂ Е Р . Тогда при условии, что неравенства a j = max { a i,j ,a 2,j } < min { b i,j ,b 2 ,j } = 3 j выполнены при всех j Е N , то П _а1. , 1,1 П П= П ^,^ и множество П ^,^ непусто, является брусом и поскольку 3 j — a j <  min { b i,j — a i ,j , b 2 ,j — a 2 ,j } V j Е N , то д(П _а„д ) <  тіп { /(П „ і ,_Ь і ),/(П _{а 2} ,ь ₂ ) }.

При условии, что при некотором j Е N выполняется противоположное неравенство a j = max { a i,j ,a 2 ,j } >  min { b i,j , b 2,j } = 3 j , то либо множество П _а 1 ,_{Ь 1} П П „ ₂ ,_ь 2 = Щ^

является пустым множеством, либо оно является брусом с ребром нулевой длины, но в каждом из этих случаев /(П _{а 1} ,ь ₁ П П^ )=0 .

Лемма 1. Класс Р множеств, состоящих из разностей бруса из класса Р и объединения конечной совокупности брусов из класса Р , является полукольцом.

Действительно, класс Р содержит пустое множество, замкнут относительно пересечений, а разность двух множеств из класса Р представима как объединение конечной совокупности множеств из этого класса.

Лемма 2. Класс множеств Р , состоящий из конечных объединений множеств из класса Р , является минимальным кольцом, содержащим класс измеримых брусов Р .

Лемма 3. Функция множества / , заданная на классе Р , допускает единственное аддитивное продолжение на полукольцо Р . п

На множествах вида П\( U П,), получаемых вычитанием из бруса П конечной сово-j=i купности брусов П1,..., Пп, доопределяем меру из условия аддитивности. Для каждого

п n G N определим через Кп совокупность множеств вида П\( U Пу), П,Пі,...,Пп 6 Р. у=і

∞

Тогда К п+і D К п и К = U К п .

п=1

Докажем это утверждение леммы 3 с помощью метода математической индукции. Действительно, при n = 1 меру множества П \ П і G К і определим равенством д(П \ П і ) = ^(П) - д(ППП і ) . Тогда функция множества д определена, допускает единственное аддитивное продолжение на класс множеств К і , поскольку множества из К і , не вошедшие в класс Р, однозначно предстваимы в виде разности двух брусов. Предположим, что функция множества д допускает единственное аддитивное продолжение на класс множеств К _п при некотором n G N . Тогда на множествe, состоящем из разности бруса П и объединения совокупности из n + 1 брусов, для произвольного аддитивного продолжения функции д на класс К _п +і выполняется равенство

• п+і                 п+і   /              к — і     \

д(П \ ( U П у )) = д(П) - £ д ( (П П П к ) \ ( U П у )) I .

• у =і                 к =і \             у =і     /

В силу предположения индукции каждое слагаемое в правой части определено однозначно, поэтому функция множества д допускает единственное аддитивное продолжение на класс п+і

Кп+і. Из условия аддитивности функции д следует, что величина д(П\( U Пу)) не зависит у=і п+і от выбора представления множества U Пу брусами Пу, j = 1,...,n + 1. Следовательно, у=і функция множества д допускает единственное аддитивное продолжение на класс К.

Следовательно, справедливо утверждение.

Лемма 4. Функция множества д , заданная на классе Р, допускает единственное аддитивное продолжение до меры д на кольце Р,.

Действительно, определенная на полукольце множеств К функция множества д допускает, согласно теореме 1 главы 5.2 [7], единственное продолжение до аддитивной функции множества на минимальной кольце Р.

Лемма 5. Функция множества д определена и аддитивна на классе Р и инвариантна относительно сдвига на любой вектор из пространства R ^ .

Инвариантность функции д на классе множеств Р относительно сдвига на произвольный вектор пространства / ^ очевидна. Из нее следует инвариантность функции д на классе множеств К і и по индукции на классе К _п при любом n G N .

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть на множестве измеримых брусов Р задана функция д : Р ^ [0, + то ] , аддитивная и инвариантная относительно сдвига на произвольный вектор из 1 ^ . Тогда функция д однозначно продолжается до аддитивной и инвариантной относительно сдвига на произвольный вектор из 1^ функции на кольце Р.

Таким образом, для любых двух множеств А, В G Р, связанных между собой преобразованием сдвига на вектор из / _го , выполняется равенство д(А) = д(В) .

Два множества пространства / ^ назовем / ^ -эквивалентными, если одно из них является образом другого при сдвиге на вектор из пространства / ^ . Введенное отношение эквивалентности на кольце Р позволяет представить кольцо Р как объединение непересекающих-ся классов / ^ -эквивалентных множеств. Мера д из леммы 2 принимает равные значения на множествах из одного класса / ^ -эквивалентности. В то же время условие инвариантности меры д относительно сдвигов на векторы из / ^ требует постоянства значения меры на множествах из класса / ^ -эквивалентности и мера из леммы 2 удовлетворяет этому требованию.

Назовем два вектора пространства / ^ / 2 -эквивалентными, если их разность является вектором из пространства / 2 ; два множества пространства / ^ назовем / 2 -эквивалентными, если одно из них является образом другого при сдвиге на вектор из пространства / 2 .

Введенное отношение эквивалентности на кольце Р позволяет представить кольцо Р как объединение непересекающихся классов ^-эквивалентных множеств. Следовательно, сдвиги на произвольный вектор из пространства І 2 преобразуют множество из некоторого класса в множество из того же самого класса.

Поскольку пространство І _го шире пространства І 2 , то один класс І _го -эквивалентности содержит множество различных классов ^-эквивалентности. Условие инвариантности меры д относительно сдвигов на векторы из І 2 требует постоянства значения меры на множествах из класса ^-эквивалентности, но значения меры на множествах из различных классов І 2 -эквивалентности никак не связаны между собой условием инвариантности меры д относительно сдвигов на векторы из І 2 .

Два бруса являются І _го -эквивалентными тогда и только тогда, когда последовательности длин их ребер совпадают. Поэтому мера на кольце Р подмножеств пространства І _го , определенная в лемме 2, является единственной мерой на кольце Р, инвариантной относительно сдвигов на произвольный вектор из пространства І _го , нормированной условием: значение меры на единичном кубе { х € I ^го : V j Е N X j Е [0,1] } равно единице. Тем более, такая мера является инвариантной относительно сдвигов на произвольный вектор из пространства І 2 , но есть и другие І 2 -инвариантные меры, поскольку значения таких мер на кубах { х Е I ^го : V j Е N X j Е \_ a j , C j + 1] } и { х Е I ^го : V j Е N X j E [ c j , C j + 1] } могут быть различны для векторов a, c Е І _го таких, что a — c Е І 2 •

Теорема 2. Пусть на множестве измеримых брусов Р задана функция ? : Р ^ [0, +^о], аддитивная (если А,А 1 ,...,А _п Е Р, А = иП =1 A j и множества п

А 1 ,...,А _п попарно не пересекаются, то ?(А) = ^2 ?(A j ) ) и инвариантная относительно ^j =1

сдвига на произвольный вектор из І 2 . Тогда функция ? однозначно продолжается до аддитивной и инвариантной относительно сдвига на произвольный вектор из І 2 функции на классе К и на кольце Р.

Если поставить задачу определения меры на кольце Р подмножеств пространства І _го , инвариантной относительно сдвигов на произвольный вектор из пространства І 2 , то помимо меры д найдутся и другие такие меры. Например, выделим в кольце Р систему брусов, имеющих точку 0 пространства І _го своим геометрическим центром симметрии, а также брусов, входящих с ними в один класс І 2 -эквивалентности. Пусть Р о - минимальное кольцо, содержащее систему таких центрированных и ^-эквивалентных им брусов. Определим меру ? из условия ? | ^ ₀ = ^ | ^ ₀ , ?(А) = 0 для любого множества А Е Р, не входящего в подкольцо Р о . Тогда ? - также мера на кольце Р, инвариантная относительно сдвигов на векторы из пространства І 2 .

Таким образом, множество ^-эквивалентных мер на кольце Р шире множества І _го -эквивалентных мер на кольце Р и имеет место неоднозначность в выборе ^-эквивалентных мер на кольце Р, связанная с различием значений мер на брусах с равными ребрами, входящими в различные классы ^-эквивалентности.

3.    О продолжении меры на Iго с класса Р измеримых брусов по схеме Лебега–Каратеодори

В работе [1] проведено построение меры на топологическом векторном пространстве Р ^го , в котором мера из теоремы 1 продолжается на минимальное ст -кольцо X , содержащее кольцо Р, с помощью внешней меры по схеме Каратеодори.

В работе [1] по аддитивной функции множества д на совокупности измеримых брусов Р (см. (3)), задается внешняя мера А : 2 ¹ ^ ^ [0, + то ] , определяемая равенством

творяет условию А( 0 ) = 0 . Кроме того, внешняя мера А порождена мерой ц, заданной на минимальном кольце Р, содержащем класс Р. И если бы мера ц удовлетворяла условию счетной аддитивности на классе Р (то есть для любой последовательности множеств ∞

A j Е Р, j Е N , такой, что A j +1 С A j и Q A j = 0, выполняется равенство lim m ( A j ) = 0 ), j =1                                ^j ^^

то тогда сужение внешней меры А на класс Р (и на кольцо Р) должно было бы совпасть с мерой ц согласно теореме 1.5.6. [2] (см. также теорему 10.2 [9]). Но, как показывают примеры (см. [2,9]), если мера ц является лишь конечно-аддитивной, то построенная по ней внешняя мера А может не совпадать с мерой ц .

Пример. Пусть v - чисто конечно-аддитивная мера, заданная на алгебре 2 N всех подмножеств множества натуральных чисел N . Тогда если внешняя мера А , порожденная мерой v по правилу

^A(A)= и В,§U Е ^v№ ) V ^{A Е 2} N                  ⁴

,eN             3 eN то А(N) = 0.

∞

Действительно, поскольку N = U { ^ }, а мера v чисто конечно-аддитивна, v( { fe } ) = 0 V к Е N , поэтому 0 <  А( N ) <  ^ v ( {j } ) = 0 .

j e N

Лемма 3. Внешняя мера А отличается от меры ц на множествах из класса Р .

Действительно, для единичного куба Под выполняется равенство ц(Под) = 1 . С другой стороны, U ^П о,1 - 1 э П _о,1 , и так как ц(П ₀ 1 - 1 ) = 0 для любого j Е N , то j e N ’     ³              ’                                  ’     ³

0 <  А(П о,1 ) <  £ ц(П 0 1 - 1 ) = 0 , то есть 0 = А(П о,1 ) < ц(П о,1 ) = 1 .

j e N ’    ³

Таким образом, отличие меры А от меры ц на множестве измеримых брусов Р установлено. Докажем, что в предположении, что ряд (2) сходится, мера А обращается в нуль на всех множествах, на которых мера ц принимает конечные положительные значения.

Обозначим через Q совокупность абсолютно измеримых брусов, для которых ряд (2) сходится, и через 5 - минимальное кольцо множеств, содержащее Q. Тогда Q С Р, 5 С Р; обозначим через v сужение функции ц , определенной равенством (3), на класс множеств Q.

Так же, как и теорема 1, доказывается следующее утверждение.

Теорема 1’. Пусть на множестве абсолютно измеримых брусов Q задана функция v : Р ^ [0, + то ] , аддитивная и инвариантная относительно сдвига на произвольный вектор из 1 ^ . Тогда функция v однозначно продолжается до аддитивной и инвариантной относительно сдвига на произвольный вектор из 1 _Ю функции на кольце 5 .

Для любого бруса П : v (П) = а > 1 найдется брус Q : v(Q) = b >  а, длины всех ребер которого не меньше единицы, и такой, П С Q . Действительно, в силу условия абсолютной измеримости бруса П (сходимости ряда (2)) достаточно расширить его ребра, длина которых меньше единицы, до ребер единичной длины.

Для любого бруса Q такого, что v(Q) = b > а, длины всех ребер которого не меньше единицы, и любого числа о > 0 выполняется равенство А(Q) < о. Действительно, в силу условия сходимости ряда (2) для бруса Q для каждого числа ст > 0 существует та-∞ кое N Е N, что exp( ^2 ln(bj — aj)) < 1 + о. Тогда сечение Qn бруса Q пространством j=N+1

H n = { х Е 1 ^ : Х 1 = ... = x n = 0 } содержит единичный куб E n пространства H n такой, что v h _n ( Q \ E n ) < о . Сечение Q N бруса Q N -мерным подпространством 1 ^ \ H n представляет собой N -мерный брус, N -мерный объем которого не превосходит числа b = v (Q) и который можно покрыть объединением конечного числа m N -мерных единичных брусов m

• В1, ..., B_m. Тогда для произведения Un х En объединения Un = U Bj этих N -мерных j=1

4.    Заключение

брусов на единичный куб E n выполняется неравенство ? ( Q \ ( U n х E n )) <  ba поскольку в силу леммы 3 A ( U n х E n ) = 0 .

Таким образом, А(П) = 0 для любого измеримого бруса П Е S .

Более того, для каждого множества А Е S конечной положительной ? -меры выполняется равенство А(А) = 0 . Действительно, если ?(А) = а >  0 для некоторого А Е S , то для каждого е >  0 существует такой конечный набор измеримых брусов Q i ,...,Q _m Е S, что m                m

А С (J Q j . Поэтому А(А) <  ^ A ( B j ) = 0. Следовательно, справедливо утверждение: 3 =1                          3 =1

Теорема 3 . Для любого множества А Е S такого, что ?(А) > 0 , выполняется равенство А(А) = 0 .

В статье изучаются меры на банаховых пространствах І 2 и 1 ^ , инвариантные относительно сдвигов на произвольные векторы из рассматриваемого банахова пространства. Построен конечно-аддитивный аналог меры Лебега – неотрицательная конечно-аддитивная мера А , определенная на минимальном кольце подмножеств бесконечномерного банахова пространства, содержащем все измеримые бесконечномерные прямоугольники (произведения длин сторон которых сходятся), и являющаяся инвариантной относительно сдвигов на произвольный вектор банахова пространства. Установлено, что поскольку группа сдвигов на векторы пространства 1 ^ шире группы сдвигов на векторы пространства І 2 , то множество инвариантных мер на пространстве І 2 шире множества инвариантных мер на пространстве 1 ^ . Кроме того, показано, что применение процедуры продолжения Каратеодори-Лебега к рассматриваемой конечно-аддитивной мере на пространстве 1 ^ (см. [1]) порождает счетно-аддитивную меру, не совпадающую с исходной конечно-аддитивной мерой.

Автор благодарит Г. Г. Амосова, М. М. Галламова, Ю. Н. Орлова, О. Г. Смолянова, Е. Т. Шавгулизде и Н. Н. Шамарова за плодотворные обсуждения затронутых в работе проблем.

Автор выражает благодарность РФФИ за предоставление гранта № 14-01-00516.