Метод фазовой линеаризации в задачах оптимального управления с терминальными ограничениями

This work is devoted to phase linearization method in optimal control problem with terminal constrains. The procedures of consecutive improvement of accessible controls are developed on the basis of phase variations of a functionals with use of technics of a needle and weak variation.

Рассмотрим управляемый процесс x = /(x,«,Z),fer = [zo,zj,       (1)

x(t0) = x°.                          (2)

Здесь x = x(t) = (хДг),х2(z),...,x„(z))- вектор         фазового         состояния, и = u(t) = (^ (z), u2 (z),..., ur (/)) - управление, x° e R" - заданный вектор, интервал T фиксирован.

Определим множество доступных управлений

V = (и е НДЛ : u(Z) е U,t е г}, где U - компактное множество в R^r.

Для v е V обозначим через x(z,v) решение задачи Коши (1), (2) при v = v(z).

На множестве V определим функционалы

Ф, (м) = ф, (x(tt)) + J/c (х, u,t)dt, i = 0,m т и поставим задачу оптимального управления

Ф0(м)^тш,(3)

Ф.(М) = О,/ = ЦЙ.(4)

Введем в рассмотрение функционал, характеризующий невязку выполнения функциональных ограничений в задаче (1) - (4)

Ф(к) = тах|ФД«)|.(5)

Определим множество допустимых управлений

Ж = {иеИ:Ф(и)-0}.

Для каждого функционала Ф,,; = 0,т определим функцию Понтрягина

Н* ^',х,ид^ =

= ^' ,Дх, m,Z)) - Д (х, и,0, i = 0, т.

Введем в рассмотрение сопряженные системы

(6) ф* О,) = -ф, (^)), i = 0, т. (7)

Для управления иеУ обозначим через t/(z,n),t = 0,m, t&T решения задач Коши (6), (7) при х - x(Z, w), и = и^.

Для управлений u,ve V обозначим через рЧуи^Д = 0,m , t е Т решения задач Коши (6),      (7) при ф' = р'j = 0,m, х = x(z,u),w = v(l\

Для фиксированного вектора множителей Я = (Я0Д,„->Л.)<=Я"+1 введем в рассмотрение функционал Лагранжа

ЦиД^^ФЛиУ (8)

Составим общую функцию Понтрягина

‘Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 05-01-00659,07-01-90101).

Н ^Лрр ,х,и,Г) =

= (^, /(*, и, Г)\ -^XF, (.X, и, г) и общую сопряженную систему у/ = -H4X4Fx,u,t\ ,         (9)

^) = -^Л^(^|))-      (Ю)

/-о

Для управления и е V обозначим через ^(?,м,Л) решение задачи Коши (9), (10) при х = х<ци\и = 1Д1\

Для управлений w,ve V обозначим через p(i,iz,v,A) решение задачи Коши (9), (10) при <р = р,Х = Х^,^),^ - V^.

Поставим задачу одновременного улучшения функционалов (5), (8) на основе фазовых вариаций функционалов с использованием техники игольчатого варьирования.

Пусть иЙ е У. Определим процедуру его варьирования н,,/0 - и°(г) + ^(0(т(0-иЧО), где veV - вспомогательное управление, % с Хе - функция варьирования.

Множество Ха определяется следую щим образом

'^e4XT):/(/)^0vl,

<еГ,|/(/)<7/=а(г, -t^

В соответствии с [3] формулы приращения функционалов задачи имеют вид:

д,,,,фД«°)=-/[г(/)Ае^

Г

Н' ^р'0,и° ,u_v ДхЧ,и⁰¹),и°0),^1 + (11) + o(a),i -0,^,

я(р(/,и%«,,гЛ),.г(/,мЧ«0(^^

+ о(а).

Фиксируя <те[0,1], рассмотрим следующую вспомогательную задачу на поиск параметров варьирования

/(13)

->шах,

Г/(ОД „тН* (р‘ (/), x(t, иЙ), и0 (Г), Л dt = г             (14)

= аФ,(и°)Х = 1,ш,

ХеХ„^У,(еТ.(15)

Здесь /?'(/),/ = 0,/м - непрерывные п- мерные вектор-функции, играющие роль функциональных параметров.

Пусть иЧрЧРррЧРХ^рЧОЛ),

Z4p4^fXp4tV-ip4O,f) ~ решение задачи (В)-(15).

Сформируем семейство варьированных управлений

^ДрЧО,рЧО,..,рЧО,О =

= А0+ хЛрЧ^рЧ^-^рЧОх')* (16) х^ЧрЧО,рЧ<Х...,рЧ$М-г<ЧпУ

Найдем решения /^(/),/ = 0,т сопряженных систем р' = ~Н‘ Др',х(г,и°),

™ЧрЧ1ХрЧХ...,рЧЧ0А (17) рЧО = -^A^^4)d = ^ и сформируем управление уЧО^ЛрЧ^рЧ^.^рЧОЛ (18)

Аналогично строится процедура последовательного улучшения доступных управлений на основе фазовых вариаций функционалов с использованием техники слабого варьирования.

Метод фазовой линеаризации наиболее эффективен для линейных по состоянию задач оптимального управления с линейными функциональными ограничениями х = Л(иЛ)х + е I,

(19) х(^-хЧи(0_еи,

Ф₀(м) = ^>₀(х(/,)) + Jf_o(x, u,t)dt -> min, (20) т

Ф,00 = (с\х(О) +

+ |^йГ(щ/),х^ + #'(и,/)^<Й = 0,/ = 1,т/2*) т

В данном классе задач формулы приращения (11) являются точными при i-l,m, что позволяет построить итерационную процедуру улучшения целевого функционала на множестве допустимых управлений.

Если функционал (20) является линейным относительно фазовых переменных, то метод фазовой линеаризации решает задачу (19) - (21) за одну итерацию при а = 1 для любого начального управления и⁰ е У.

Исследуем проблему решения вспомогательной задачи (13) - (15).

Введем обозначения ай =a(tA- /0 ), о, = оФ, («° ),/ = !,/», dj = -^Дх^и0)),; = 0,ш.

Введем в рассмотрение следующие объекты гО)^ JzWr,

2,(0= flz(r)x хД^/Г (/(r),x(r,w°),w°(r^  (23)

/ = 0,т.

Тогда с учетом (22), (23) и (6), (7) имеем y=z(0.

z, = Д0А„_(ПН‘ (р* ,х((,м°),и⁶(0д)Д = 0,т, р' = -Н' Др' ^(Л^У^ДГуРМ = 0,m, у(/₀) = 0,д_о(/_о ) = 0, р* (7,) = d' Д - 0, т, ^Н mtn, уДД = а₀₁гД1Д = а_р j = ^т, ^(0^Ovl,v(Oe[/,rEr

Здесь (y,z,p) - фазовое состояние, (/,v)     - управление, причем

м(/) = и⁰^ + /(0(Д0 - w°(0)-

С учетом того факта, что функция Понтрягина и ее частные производные по х линейны относительно сопряженных переменных, данная задача является линейной по состоянию задачей оптимального управления с частично закрепленным правым концом и к ее решению могут применяться процедуры нелокального улучшения, разработанные в [4].