Метод функций Грина в задаче о преобразовании случайного сигнала линейной динамической системой

Случайные процессы описывают случайные явления в динамике их развития. Они широко используются в различных прикладных задачах, в частности, в теории автоматического регулирования, при обработке и передаче сигналов радиотехнических устройств, в экономике, в теории массового обслуживания [1]. Различные аспекты этой тематики представлены в недавних работах [2–4].

В данной работе рассматриваются непрерывные случайные процессы с непрерывным временем. В ней установлена связь между числовыми характеристиками случайного процесса на входе и выходе динамической системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами n-го порядка. А именно, в работе получены формулы, выражающие зависимость между математическими ожиданиями входного и выходного случайных сигналов, а также между соответствующими корреляционными функциями.

Результаты данной статьи опираются на развитие метода функции Грина на случай дифференциальных уравнений со случайными функциями. Предлагаемый подход является альтернативой стандартному подходу в классической задаче о преобразовании стационарного случайного сигнала линейной динамической системой с постоянными коэффициентами [1, гл. 8], который предполагает стационарность (в каком-либо смысле) рассматриваемых случайных процессов.

Математическое ожидание решения линейной системы дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами без предположения о стационарности изучено в работе [4] с использованием вариационных производных. В отличие от [4] в настоящей работе рассмотрены не только математические ожидания, но и корреляционные функции.

Приведем определения и известные свойства математических ожиданий и корреляционных функций случайных процессов [6, гл. V]. Пусть (Q , X , P ) - вероятностное пространство некоторого стохастического эксперимента, где Q - множество элементарных событий, X - сигма-алгебра борелевских подмножеств из Q , P - вероятностная мера. Пусть [ t ₀ ,T ] - отрезок расширенной числовой прямой.

Случайным процессом (с.п.) называют семейство случайных величин £ ( t ) = £ ( w, t ) при w Е Q на вероятностном пространстве (Q , X ,P ) , зависящее от параметра t Е [ t ₀ ,T ] . При этом параметр t интерпретируется как время.

Обозначим через L ² = L²^, ^ ,P ) — гильбертово пространство случайных величин с конечным вторым моментом М£ ² <  то , где символ M обозначает математическое ожидание. Скалярное произведение для случайных величин £,n Е L ² определяют формулой ( £,n ) = М^П. Ниже будем предполагать, что случайный процесс £ ( t ) Е L ² при всех t Е [ t o , T ] .

Математическим ожиданием с.п. £ ( t ) называют неслучайную функцию m ^ ( t ) = М£ ( t ) , которая при каждом фиксированном t Е [ t o ,T ] равна математическому ожиданию £ ( t ) . Корреляционная функция с.п. £ ( t ) определяется формулой к ( t, s ) = М [( £ ( t ) - М£ ( t ))( £ ( s ) - М£ ( s ))] .

Утверждение 1. Математическое ожидание от производной дифференцируемо го случайного процесса £ ( t ), производная которого £ ‘ ( t ) интегрируема, совпадает с производной от математического ожидания: М ( £ ‘ ( t )) = dt М ( £ ( t )).

Утверждение 2. Пусть £ ( t ) - интегрируемый на [ t ₀ ,T ] случайный процесс. Тогда

TT

^{М (} / ^{£ ( т ) dT} ) = / ^{М(£(т )) dT} . t 0                    t 0

1.    Метод функций Грина

Устройство называют линейной динамической системой, если связь между входом и выходом описывается дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами. Если на входе и выходе наблюдаются случайные сигналы £(t) и n(t) соответственно, то линейная динамическая система описывается дифференциальным уравнением в гильбертовом пространстве L2 случайных величин с конечным вторым моментом an'Г (t) + an-in^-11 (t) + ••• + ain'(t) + aon(t) =

= b m £ ^(m) ( t ) + b m - i £ ^(n-i) ( t ) + ••• + b i £ ‘ ( t ) + b o £ ( t ) = h ( t ) .                 (1)

Здесь коэффициенты a i ( i = 0 , •••,n ) и b i ( i = 0 , •••,m ) - постоянные числа.

Приведем некоторые вспомогательные сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывной ограниченной на всей числовой оси функцией f ( t )

a n x ^{( 1} + a _n- i x ^{( 1} + ••• + a i x + a o x = f ( t ) •                      (2)

Функцию G ( t ) называют функцией Грина задачи об ограниченных решениях уравнения (2), если она удовлетворяет следующим условиям [6, гл. 2, §2]:

• 1)    G ( t ) непрерывно дифференцируема ( п — 2) раза при всех t, а ( п — 1) -я и n-я производные непрерывно дифференцируемы при всех t за исключением t = 0 , причем G ^(n-i) (+0) — G ^(n-i) ( — 0) = 1 ;

• 2)    во всех точках, кроме t = 0 , функция G ( t ) удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению, соответствующему (2) (при f ( t ) = 0 );

• 3)    функция Грина и ее производные подчинены оценке | G ⁽ⁱ⁾ ( t ) | <   Ме -^t (i = 0 , 1 , •••,п — 1 ); —то + то , где М и y — некоторые положительные постоянные.

Имеет место следующая лемма.

Лемма 1.  [5, гл. 2,  §8] Пусть корни характеристического уравнения an^n + an-iAn-i + ••• + aiA + ao = 0 не содержат точек мнимой оси. Тогда для любой непрерывной ограниченной на всей оси функции f (t) уравнение (2) имеет ограниченное на всей оси решение, причем единственное. Оно дается формулой ∞

x ( t ) = j G ( t — s ) f ( s ) ds , где G ( t ) - функция Грина задачи об ограниченных решениях

-∞ уравнения (2).

Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка X + вх = f ( t ) при в >  0 - Его функция Грина G ₁ в задаче об ограниченных решениях согласно

определению имеет вид

- βt

G'W = {о

Так что ограниченное на всей оси t формулой x(t) = f e~et~s f (s)ds.

при t > 0, при t < 0.

решение данного уравнения характеризуется

-∞

Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка a ₂ x + a ₁ X + a _o x = f ( t ) . Пусть, например, корни характеристического уравнения a ₂ А ² + a ₁ A + a ₀ = 0 вещественны и различны, причем A i < A ₂ <  0 . Тогда функция Грина G 2 задачи об ограниченных решениях имеет вид

'      = {0^ 2 ²

— e ^{A 1 2}) ( А 2

^{— A} i ) ¹

при t >  0 , при t <  0 .

Так что ограниченное на всей оси решение данного уравнения определяется формулой

t

x ( t ) =

А 2 — A i

(e^t - s — e *¹ ( ^{t - s}^ f ( s ) ds.

-

∞

2.    Преобразование непрерывного случайного процесса линейной динамической системой

Связь между математическими ожиданиями входного и выходного случайных сигналов динамической системы (1) характеризует следующая теорема.

Теорема 1. Пусть случайный процесс h ( t ) на входе динамической системы (1) непрерывен и ограничен на всей числовой оси, а характеристическое уравнение a n A n + a _n-1 A n ^-1 + ... + a ₁ A + a ₀ = 0 не имеет корней на мнимой оси. Тогда математическое ожидание Mn ( t ) случайного процесса на выходе динамической системы (1) представимо в видe

∞

Mn ( t ) = У G ( t — s ) Mh ( s ) ds,

-∞ где G – функция Грина задачи об ограниченных решениях уравнения (2).

Доказательство. Действительно, рассмотрим математическое ожидание от левой и правой части равенства (1). Используя свойства аддитивности и однородности математических ожиданий, а также утверждение 1, получим an(Mn(ty)((n + an-1(Mn(ty)(n-1) + ••• + a1(Mn(t))' + ao Mrif) =

= b m ( M^ ( t ))^ + b m - 1 ( M^ ( t ))^ ^-1 ) + ... + b 1 ( M( ( t )) + b o M ( t )) = Mh ( t ) .   (4)

Тогда для скалярной функции m _n ( t ) = Mn (t} выполнено уравнение (2) при f ( t ) = Mh ( t ) . Так как в условиях теоремы 1 правая часть уравнения (4) - ограниченная на всей оси функция, то согласно лемме 1 функция m _n ( t ) является ограниченным на всей оси решением уравнения (4) и справедлива формула (3).

Следствие 1. Пусть в условиях теоремы 1 на вход поступает «квазистационар- ный» сигнал, т.е. M^ ( t ) = m ^ = const . Тогда на выходе также будет ^ квазистаци-онарный » сигнал, причем его математическое ожидание Mn ( t ) = m _n = a 00 m ^ .

Связь между корреляционными функциями случайных сигналов на выходе и на входе динамической системы (1) характеризует следующая теорема.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и дополнительно вещественные части всех корней соответствующего характеристического уравнения отрицательны ( ReX i <  0 i = 1 , ...,n ). Тогда корреляционная функция K _n ( t 1 ,t ₂ ) случайного сигнала n ( t ) на выходе динамической системы (1) определяется формулой

K η

t 1 t 2

^-ff

G ( t i — s i ) G (t ₂ — s ₂ ) K h ( s i , s ₂ ) ds i ds ₂ ,

—M -M где Kh(s1, s2) - корреляционная функция входного сигнала h(t) = =','=} bi £ (i)(t), а G -функция Грина задачи об ограниченных решениях уравнения (2).

Доказательство. В условиях теоремы 2 ограниченное решение уравнения (1) t имеет следующий вид n(t) = j G(t — s}h(s}ds. При этом согласно теореме 1

—M t

Mn ( t ) = f G ( t — s^Mh^ds.

— M

• ◦                                    t

Определим центрированный процесс П ( t ) = n ( t ) - Mn ( t ) = J G ( t — s ) h ( s ) ds,

—M

• ◦                                                                   ◦            ti

где h ( s ) = h ( s ) — Mh ( s ) .         Тогда          ⁿ ( t i ) = f G ( t i — s i ) h ( s ₁ ) ds ₁ ,

—M

• ◦            t2◦

П ( t ₂ ) = j G ( t ₂ — s₂} h ( s ₂ ) ds ₂ . Следовательно,

—M

• ◦        ◦               t1                  ◦

  _-

  
  

  ^s 2 ) h ^{( s} 2 ^{) ds} 2^ =

  
  

ⁿ ( t i ) ⁿ (h) = ( f ^{G ( t} i ^— s i ) h ^{( s} i ^{) ds} i j ( f

—M—M t1 t2

= f f ^(G(t 1 ^{— s} 1 ^)G(t 2

—M —M

◦◦

— s 2 )) h ( s i ) h ( s2^ds i ds 2 .

Поэтому

◦◦ n (ti),n (t2)\

= M

t 1 t 2

'' ^—

— M —m

◦◦ si)G(t2 — s2)) h (si) h (s2)dsids2

Меняя здесь порядок операций нахождения математического ожидания и интегрирования (на основании утверждения 2), получим t1 t2

K n ( t 1 ,t 2 )

У У M ^ ^(G(t i - s i ^{) G ( t} 2 - ^s 2 )) h ( s i ) h ^{( s} 2 ) ]

ds ₁ ds ₂ .

-M -M

Вынося за знак математического ожидания под интегралом неслучайную функцию

□

G ( t i — s _i ) G ( t ₂ — s ₂ ) , получим требуемую формулу (5).

Случайный процесс называют стационарным в широком смысле, если он имеет постоянное математическое ожидание, а его корреляционная функция зависит только от разности аргументов. Взаимосвязь между корреляционными функциями входного и выходного случайных процессов динамической системы (1) при дополнительном предположении о стационарности в широком смысле определяется широко известным алгоритмом [1, гл. 8], опирающимся на теорему Винера – Хинчина. Подчеркнем, что результат теоремы 2 не предполагает стационарности входного либо выходного случайных сигналов динамической системы (1).

Пример 3. На вход интегрирующей RC-цепочки, описываемой дифференциальным уравнением n'(t) + вп(^) = вС(t), в = Ric > 0, (где R — сопротивление, C — емкость), поступает непрерывный случайный ограниченный на всей оси сигнал С(t). Тогда математическое ожидание и корреляционная функция сигнала n(t) на выхо-t де, согласно теоремам 1, 2 и примеру 1, имеют вид: Mn(t) = f е—^—^МС(s)ds,

— M t1 t2

K n ( t i ,t 2 ) = в ² e ^—e(t 1 t ² ) J J e ^{e(T 1 +T 2} ) K ( T i ,T 2 ) dT i dT 2 .

— M — m

Пример 4. На вход линейной динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением n ( t ) + 4 n ( t ) + 3 n ( t ) = C ( t ) , поступает непрерывный случайный ограниченный на всей оси сигнал С ( t). Укажем характеристики выходного случайного сигнала n ( t ) .

Заметим, что корни соответствующего характеристического уравнения А2 + 4А + 3 = 0 имеют вид Ai = —3,Л2 = —1. Тогда в соот-t ветствии с теоремами 1, 2 и примером 2:   Mn (t) =   G2 (t — s)M С (s)ds,

—M t1 t2

K n ^{( t} i ^,t 2 ⁾ = f j G 2 ^{( t} i ^{— T} i ^{) G} 2 ^{( t} 2 ^{— T} 2 ) K ^{( t} i ^,T 2 ) d ^T i d ^T 2 .

— M — m

Здесь G ₂ - функция Грина, определенная в примере 2.

Заключение

В данной работе продемонстрировано применение методики функций Грина к решению задачи о преобразовании случайных сигналов линейной динамической системой. Предлагаемый подход позволил получить в рассматриваемой предметной области новые результаты, отказавшись от общепринятого ограничительного условия – стационарности рассматриваемых случайных процессов. Результаты представленной работы дают возможность расширить область практических приложений.

Подчеркнем, что основная техническая трудность предлагаемой методики состоит в построении явного вида функций Грина для конкретных ситуаций. Отметим, что важные результаты по методу функций Грина в задаче об ограниченных решениях для дифференциальных уравнений n-го порядка получил А.И. Перов [6].