Метод конечных элементов в задачах оптимального управления

Постановка задачи

локальные минимумы, где итерационные методы не дают хороших результатов.

Рассмотрим следующую краевую задачу с закреплённым правым концом траектории, описываемой системой линейных дифференциальных уравнений (1)

порядка 2 n и 2 n краевыми условиями (2) при г = 0 х = х°; при г = Г х= х^к.

Здесь T – заданное время окончания управляемого про-

Метод конечных элементов

Для решения указанной краевой задачи ранее в работах [5-8] применялись метод Галёркина и метод поточечной коллокации с полиномиальными базисными функциями. При этом условия на левом конце траектории удовлетворялись точно, а на правом – приближённо. В настоящей работе рассмотрен случай, когда базисные функции являются линейными и кусочно-определёнными. Пусть отрезок времени [0; T ] разбит M точками на M -1 равных конечных элементов длины h = T / ( M - 1) , тогда линейные базисные функции имеют вид

О, если t <  й(ш-2);

' ^q цесса; x= - к xn J

, v=

Vi

– вектора фазовых и сопряжённых

IV n J

N„W= =

переменных соответственно; A_ij , B_j – постоянные величины;

»    1 v u = u = 2^BjVj - оптимальное управление, найденное из условия максимума функции Гамильтона-Понтрягина [1]. (Управление иопт соответствует случаю, когда минимизирует-

t-h(m-2)       ,,   _         _

--------если h(_m-2)

-----. если h(m-l)

О, если t > hm.

T ся функционал J=Ju2t , характеризующий затраты энергии.)

Традиционно для решения краевых задач оптимального управления (см. например, работы Р.П. Федоренко [2], Ф.П. Васильева [3]) применяются метод Ньютона, метод градиентного спуска [4] и другие итерационные методы. Отметим, что в общем случае не найдены формулы для нахождения неизвестных начальных значений сопряжённых переменных. При этом начальные приближения для значений сопряжённых переменных плохо сходятся к тем значениям, которые доставляют нули невязкам из-за постоянного попадания в их

Будем искать приближённое решение рассматриваемой задачи оптимального управления в следующем виде [9]:

Подставляя разложения (3), (4) в фазовые и сопряжённые

уравнения (1), получим невязки RJ._T] и RV;_T] следующего вида (i = 1 ,n):

Для получения приближённых равенств R0;т] ~⁰и R0T] ~⁰ при tе[0;т] воспользуемся методом Галёркина с одновременной аппроксимацией краевых условий на правом конце траектории, выбрав систему весовых функций Wk = Nk, k = 1,M и требуя, чтобы выполнялись равенства

(6) о

Второе слагаемое в (6) добавлено для того, чтобы найти решение задачи, приближённо удовлетворяющее условиям при t = T.

Учтём граничные условия на левом конце траектории. Так как

Wm(/i(r -1)) = <'

[1. если m = г;

то xj(h(m-1) =Ma_jkN_k(h(m-1) = ajm . Таким образом, n уравнений k=1

из (5) нужно заменить на

После этого из полученной неоднородной системы вида Ka = f можно будет определить коэффициенты aj,k и тем самым построить решение уравнений (1), точно удовлетворяющее условиям при t = 0, и приближённо - условиям при t = T.

Пример численного решения задачи

Пусть материальная точка массы m кг движется прямолинейно под действием управляющей силы F(t) и силы сопротивления Fсопр. = - kv, где v - скорость точки. Согласно второму закону Ньютона движение точки описывается урав- d2 x нением mdr = F(t)-k -

Введём фазовые координаты x 1 = x (координата точки), x2 = dx / dt = v; управляющий параметр u = F(t) / m и сопряжённые переменные у 1 у2. Тогда краевая задача (1), (2) примет вид

В начальный момент времени состояние управляемой си- стемы определяется соотношением

.                 . \N,N,dt \N,N,.,dt (h h\

I ^e-M +e    “'e.M +e-l _ _ J_e              ^             _ _ 3 6 .

V «+1ДГ-» c+L,V+c+l ,■ f V V IV V dt ^— —

JJveJ’e+iti< J ^тв+р*е+1ы1           з J

б) во втором уравнении системы (8)

в) в третьем уравнении системы (8)

г) в последнем уравнении системы (8)

Вычислив по приведённым формулам компоненты матрицы жёсткости одного конечного элемента, суммированием по всем таким элементам получим компоненты матрицы жёсткости системы (5), (6).

Затем заменим первое и (M + 1)-е уравнения (5), (6) на уравнения (7) для точного учёта условий при t = 0. После этого в матрицу жёсткости системы K и столбец свободных членов f останется добавить элементы

(остальные элементы столбца f равны нулю). Это позволит приближённо учесть условия при t = T.

Для численного решения задачи была составлена программа с помощью математического пакета Scilab [10].

в конечный момент времени

При этом оптимальное управление имеет вид u^m =^2-

Отметим, что в матрице жёсткости ke элемента [t_e;t+1 ] (t_e+1 = t_e + h = eh) ненулевыми в данном случае являются лишь следующие компоненты (e = 1 ,M -1):

а) в первом уравнении системы (8)

Рис. 1. Координата и скорость точки

Рис. 1. Координата и скорость точки

На рис. 1,2 показаны результаты решения задачи о движении точки под действием управляющей силы и линейной силы сопротивления движению для следующих значений параметров (координата точки измеряется в метрах, скорость – в м/сек):

Д о г

о

о

Отметим, что погрешность определения координаты точки меньше, чем погрешность определения её скорости.

Отметим также, что при t = T / 2 = 5 сек скорость точки достигает своего минимального значения и t = 5 сек - точка перегиба функции x, = x1 (t).

В дальнейшем предполагается применить изложенный выше метод к решению нелинейной задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата [11, 12].