Метод малого параметра А. Пуанкаре

В теории нелинейных колебаний в настоящее время для решения вопроса о существовании периодических решений, а также для исследования поведения решений в их окрестности используется метод малого параметра, принадлежащий А. Пуанкаре.

Основное предположение в методе малого параметра заключается в том, что одно периодическое решение уже известно, и изучается вопрос о существовании других периодических решений в его окрестности. Однако в реальных задачах далеко не всегда известно периодическое решение, даже более того — при конструировании новых систем возникает задача обеспечения существования периодического решения. Критерии существования периодических решений могут быть получены из принципа Шаудера и принципа сжатых отображений, однако эти принципы могут быть применены при весьма жестких условиях на правые части системы.

Постановка задачи

Основное содержание этого метода состоит в следующем. Рассматривается система дифференциальных уравнений

X = F ( t , X , ц ), (D где вещественная и непрерывная по совокупности своих аргументов векторная функция F задана при t е ( -от , +те ),X е Е_п , ц е [0, ц ]. Независимая переменная t фактически входит в правую часть системы (1), которая является 2 д -периодической функцией V X е Е_п . Пусть, кроме того, выполнены условия теоремы существования и единственности решений системы (1) в любой конечной области G с Е_п при t е (-от, +от). При выполнении этих условий система (1) определяет семейство отображений пространства Е_п на себя

Y = Y ( N , X , ц ) = XOu N , X , t ₀, ц ). (2)

Здесь и далее X ( t , X_o,t o , ц ) будет обозначать решение системы (1), удовлетворяющее условиям X = Х_о при t = t_Q. В дальнейшем положим t₀ = 0 [1].

Вопрос о существовании периодических решений сводится к вопросу о существова нии неподвижной точки у отображения (2). Последующие рассуждения в методе малого параметра исходят из того, что уравнение

Y(N, X, ц) = X           (3)

при ц = 0 имеет решение X⁰, которому соответствует периодическое решение системы (1)

X = X o ( t , X ⁰, 0, 0).

Вопрос о существовании периодического решения системы (1) сводится к вопросу о существовании неявной функции X o ( ц ), определяемой уравнением (3) и условием Xn( ц)-------- >X⁰. Это и составляет основ-

⁰       ц^0

ное содержание метода малого параметра [3].

Определение 1. Замкнутое Е_к — инвариантное множество М с Е_п называется устойчивым по Ляпунову , если по любому е > 0 можно указать величину 5 > 0 такую, что при p (Y 0 , М) < 5 выполняется p (X(Y₀,t), М П Е_к ) < eV t >  0.

Замечание. Под множеством М П Е к мы понимаем следующее множество: М П Е _к = = { X е Е _к : 3Z е Е _n _ _к ,(X,Z) е М } .

Теорема. Для того чтобы замкнутое Е_к — инвариантное множество М было устойчиво по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы существовал функционал V ( Y ), заданный в некоторой r-полосе 5 ( М П Е_к , г ) х х Е_{п -} к ( г >  0), удовлетворяющий условиям:

• 1)     V C 1 >  0 З С 2 >  0: V ( Y ) >  С 2    при

p (X, М П Е_к ) >  с₁;

• 2)    Vy ₂ >  0 Эу ! >  0 : V ( Y ) < У 2 о

о p (X, М П Е_к ) < У 2 ;

• 3)    V(Y(Y 0 ,t)) является невозрастающей функцией t при t > 0, У о е S ( M , 5 ) пока Y ( Y ₀, t ) е S.

Доказательство. Необходимость . Пусть замкнутое Е_к — инвариантное множество М устойчиво по Ляпунову. Покажем, что условия теоремы выполнены. Возьмем некоторое s > 0. Ему, согласно определению, отвечает величина 5 > 0 такая, что при р (У о , М ) < 5

будет p (X(Y 0 ,t), М П Е к ) < s . Положим

V(Y₀) = sup p (X(Y₀,t), М П Е_к ).

t >o

Этим функционал определен в S ( M ^{П Е}^ ^{, г )} х ^Е _п _ _к . функционал удовлетворяет условию !, так как V ( Y ) > р ( X, М П Е к ) , откуда следует, что при p (X, М П Е_к ) > >  q, p (Y₀, М ) < 5 будет V ( Y ) >  с₂(с₂ = q).

Покажем, что имеет место условие 2. По величине у2 > 0, в силу определения 4, можно указать величину У! > 0, такую, что при p(Уo.М) < у! будет p(X(Y0,t),М П Ек) < < у2 Vt > 0. Следовательно, sup p(Y0,М)М П Ек) < у2, t>0

а тогда V (Y) < у2 при p(X,0 М П Ек) < уь так как p(X0, М П Ек) < p(Yo, М). Значит, функционал V(Y) удовлетворяет условию 2 [4].

Покажем справедливость условия 3. Пусть Y₀ е S ( M , 5 ). Тогда X ( Y ₀, t ) е е S ( M П Е к , s ), и определено значение функционала в любой точке Y ( Y 0, t ), t е (0, Т ). Очевидно, что

V ( Y ( Y ₀, t ) = sup p (X(Y(Y₀, t ), t ), М П Е_к ) = t >0

= sup p (X(Y₀,t + t ), М П Е_к ) = t >0

= sup p (X(Y₀,t), М П Е_к ) <  t > t

< sup p (X(Y₀, t), М П Е_к ) = V(Y₀).

t >0

Итак, V ( Y ( Y 0 , t )) <  V(Y ) ). Этим доказана необходимость.

Достаточность . Пусть в некоторой окрестности множества М П Е к х Е_п _ _к существует функционал со свойствами !—3. Покажем, что замкнутое Е к — инвариантное множество М устойчиво.

Возьмем в >  0(е < г) и, следуя [2], положим

X = inf У (У) при p (X, М П Е к ) = s .

В силу свойства ! X > 0. В силу свойства 2 по величине X можно указать величину 5 , такую, что при p( X ⁰, М П Е к ) < 5 будет

V(Y 0 ) < X . Покажем, что найденная величина 5 соответствует взятому s в определении, т. е. при p( V , М ) < 5 будет

p (X(Y₀,t), М П Е_к) < s V t >  0. Предположим противное: пусть существует точка Y 0 е S(M, 5 ) такая, что при некотором t имеет место равенство p( X ( Y 0 ,t ), М П Е к ) = s ; тогда имеем V(Y(Y 0 , t)) > X, но в силу свойства 3

V ( Y ( Y₀ , t )) <  V ( Y₀ ) < X .

Таким образом, получили противоречие, окончательно доказывающее теорему.

На основании вышеизложенного можно сделать следующие выводы. В данной статье изучаются свойства инвариантных множеств периодических систем, определяющих уходящие движения. Предложена методика свертки фазового пространства в многомерный тор таким образом, что инвариантные множества, соответствующие предельным множествам уходящих движений, оказываются ограниченными. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости таких множеств. Предложена методика изучения свойств образов инвариантных множеств уходящих движений.