Метод моделирования асимметричных резонансов в спектрах многомодовых плазмонных слоистых структур на основе метода передаточных матриц

Оптические слоистые резонансные структуры широко применяются во многих приложениях в оптическом зондировании, спектроскопии, фильтрации и обработке данных [1-7]. Аналитическое описание соотношений между резонансными характеристиками и свойствами резонансных структур обеспечивает понимание природы резонансных явлений и свободу в проектировании структур. В отличие от дифракционных структур [8; 9], в случае слоистых резонансных структур точное решение для анализа интерференционных явлений может быть получено, например, методом передаточных матриц [10-13]. Однако, полученные численные решения для конкретных параметров падающего излучения и структур не представляют основу для физической интерпретации природы возбуждаемых резонансов.

Объяснение резонансного поведения поля в спектрах резонансных структур требует введения понятия мод, режимов распространения волн, который лежит в основе теории связанных мод [14; 15]. Теория связанных мод представляет собой универсальный подход, транслирующий дифференциальные уравнения, соответствующие феноменологическому описанию возбуждения, распространения и переизлучения мод, в аналитические соотношения для резонансных характеристик и форм резонансных линий в спектрах резонансных структур. Приближения, основанные на модальном формализме для поля в спектрах одно- и двухмодовых планарных плазмонных структур, ранее были получены аналитически в виде формулы Фано [16-21]. В полученных приближениях Фано коэффициенты этих приближений задаются аналитическими выражениями, характеризующими свойства формы линии основного резонанса, зависящие от оптических и геометрических параметров структур. Для структур, поддерживающих возбуждение произвольного числа мод, прямой вывод таких аналитических выражений с использованием традиционных подходов пока затруднителен. В данной работе предлагается подход к аналитическому анализу многомодовых планарных структур, основанный на представлении таких многослойных многомодовых структур в виде набора резонансных подсистем, разделенных нерезонансными подсистемами.

ФОРМАЛИЗМ МЕТОДА ПЕРЕДАТОЧНЫХ МАТРИЦ 2x2 ДЛЯ СЛОИСТЫХ СИСТЕМ

Связь амплитуд волн на границе раздела двух слоев некоторой слоистой структуры, схематично показанных на рис. 1, записывается с использованием формализма метода передаточных матриц 2х2 в виде [15]

H , l -1

A -1, i , i +1

C.

B i -1, i , i +1

D i -1, i , i +1

Hi +1, i

Hl -1, l i-1, i, i+1

Hi , i +1

Рис. 1. Обозначения для случаев падения плоской волны на границы раздела слоев в трехслойных конфигурациях

где H_{i - 1 i} - комплексная амплитуда плоской волны, падающей в слое L l -i на границу раздела слоёв L l -i и L i , коэффициенты матриц представлены выражениями

Ai-1,i,i+1 = vti+1,i, Bi-1,i,i+1 = viri ,i+1,Ci-1,i,i+1 =-viri ,i-1ti+1,i /ti-1,i,Di-1,i,i+1 = (1-viri,i-1 ri,i+1)/(vti-1,i), в которых используются следующие обозначения: rii+1 - коэффициент отражения волны, распространяющейся в слое Li, от границы раздела слоёв Li и Li+i, ti i+1 - коэффициент пропускания волны, распространяющейся в слое Ll, через границу раздела слоёв Ll и Ll+1, vi - комплексный коэффициент трансляции амплитуды поля волны при её распространении в слое Li между его границами. В случае возбуждения плазмонной моды на одной из границ раздела между слоем металла и диэлектрика, например на границе слоев Li и Li+i резонансная зависимость коэффициента отражения ri+1 от константы распространения возбуждающей волны вдоль границы раздела сред а записывается в виде суперпозиции резонансной и нерезонансной компонент [23]:

BG spp ^гд^е r, i +1

–

г - _r^bg_ ^s pp ' i,i +1       ' i,i +1

,/PP   spp ii ,i+1 Ki,i+1

(Z-/^PP , ^а     /i,i +1

медленно меняющаяся нерезонансная компонента коэффициента отражения,

Y ^ = [ £ _i £ _{i + 1} / ( £ + £ _{i + 1})]^1/2 - константа распространения моды, K ^s p+ ₁ = 2( Y p+ ₁)² / ( £ - £ _{i + 1}) - комплексный коэффициент возбуждения моды внешней волной, £ _i - диэлектрическая проницаемость слоя L i . Здесь и далее коэффициенты, отмеченные верхней чертой, характеризуются резонансным поведением. Также резонансный характер имеют следующие коэффициенты r _{+ 1 i} = - r_{i + 1} , t_{i + 1 i} = 1 - r_{i + 1}

, tll+1 = 1 + r i+1. Например, в случае трёхслойной системы слоёв L i-1 - L i+1 падение волны, распространяющейся в слое Li-1, возбуждает плазмонную моду на границе раздела слоя Li конечной шириной hi и слоя Li+1. Традиционно решение находится для системы уравнений (1) в виде где Ti =

Al

C l

B l

D

H , l -1

^Hl -1, 1

^Hl +1, l

^Hl , I +1

- матрица, описывающая трансляцию амплитуд колебаний волн в слое L i . Реше-

ние для амплитуды отраженной волны представляется как H l _{l - 1} = B l D l ¹ H l _{- 1} l . Поскольку в этом выражении присутствуют резонансные компоненты, то и поведение решения также принимает такой вид, интенсивность которого описывается резонансным профилем Фано.

МАТРИЧНЫЙ ФОРМАЛИЗМ В СЛУЧАЕ КОМПОЗИТНЫХ РЕЗОНАНСНЫХ СИСТЕМ

Для описания природы резонансного поведения амплитуд поля в составных системах, допускающих взаимосвязь плазмонных мод, рассмотрим элементарную структуру, допускающей возбуждение одной плазмонной моды. Такая элементарная структура представляется набором двух слоев L i и L i +1 с толщинами h i и h i +1 , соответственно. Предположим, что плазмонная мода может распространяться в этой подсистеме вдоль границы раздела сред L i и L i +1 . В общем случае, рассматриваемая элементарная структура заключена между некими внешними к ней слоями. Далее эти внешние слои с меньшим, чем i , и большим, чем i +1, индексами обозначаются как L^- и L + , соответственно.

Трансляция амплитуд поля волн на противоположных границах слоёв рассматриваемой элементарной системы может быть записана в виде матриц 2^2 как

н -f H.+ out _ у spp Tl, l+1 in _ Hin _ L Ho+ut J где Hout и Hin - амплитуды волн, распространяющихся во внешнем к системе слое L- от и на грани цу раздела слоёв L- и Li, соответственно, H+ut и Hi+ - амплитуды волн, распространяющихся во внешнем к системе слое L+ от и на границу раздела слоёв L+ и Li+1, соответственно, Tlsp+1 = T TlTl+1T+ - композитная матрица, полностью описывающая резонансное поведение в элементарной структуре, допускающей возбуждение плазмонной моды, при этом T =

A ^-

B

C

D

и T ⁺

A+

C ⁺

B+

D+

мат

рицы, описывающие трансляцию амплитуд колебаний волн при границах раздела слоёв L^- и L i , L + и L i +1 , соответственно.

В случае составных резонансных систем, включающих некоторые резонансные подсистемы, матрица T ^spp соответствует одной из этих подсистем. Передаточные матрицы T ^- и T ⁺ , входящие в композит-

T spp

, описывают распространение поля в прилегающих к ней остальных подсистемах. Прилегающие подсистемы могут состоять из одного и более слоя, и также, в свою очередь, могут быть резонансными. T ^- и T ⁺ могут представляться произведением передаточных матриц, соответствующих определенным слоям или подсистемам. В случае резонансных подсистем, они являются композитными, например вида T ^spp , для слоёв подсистем, допускающих возбуждение мод.

Матричный вид системы уравнений (4) позволяет получить аналитические выражения для коэффициентов композитной матрицы в виде суперпозиции нерезонансной и резонансной компонент, при этом резонансные компоненты зависят от характеристик всех возбуждаемых в системе мод. Аналитические выражения для спектрального распределения амплитуд поля в требуемой области, генерируемого в результате освещения системы слоёв падающей на структуру волной с ненулевыми амплитудами, например H _in или H _i+ , находятся в форме, сводимой к виду формулы Фано, из выражения (4). При этом коэффициенты полученного представления формулы Фано также описываются аналитическими выражениями как функциями от геометрических и оптических параметров структуры. На основе аналитических выражений коэффициентов формул Фано, в свою очередь, выделяются аналитические выражения для таких резонансные характеристик, как характерные ширина и высота резонансных кривых в спектрах, максимальное усиление поля.

АНАЛИЗ СЛУЧАЯ СТРУКТУР МЕТАЛЛ-ДИЭЛЕКТРИК-МЕТАЛЛ

Рассмотрим пятислойную структуру, включающую слои Li-1, ..., Li+3. Предположим, что слои Li-1, L1+щ Li+2 являются диэлектриками и характеризуются конечной толщиной di, причем слои Li -1 и Li+3 по-лубесконечны. Слои Li и Li+2 являются металлическими. Например, значение действительной части показателя преломления слоя Li+1 меньше, чем это значение у слоя Li -1. В такой конфигурации две плазмонные моды могут быть возбуждены вдоль границ раздела между слоями Li и Li+1 и между слоями Li+1 и Li+2 плоской волной hl—1l(x,z, a) = Hl—1l exp{ik0[ax + Pl—1(a)z]} , падающей из слоя Li-1 на границу раздела между слоями Li -1 и Li. Рассмотрим падение s- или p-поляризованной плоской волны, распространяющейся в слое Li -1 трехслойной структуры, на границу раздела между слоями Li -1 и Li вдоль оси z в положительном направлении. Проекции постоянной распространения в слое Lj на оси x и z определяются как k0а и k0Pj соответственно; k0 = 2д/Л - волновое число в свободном пространстве, ^ - длина волны в свободном пространстве; а и Pj = ^£j — a2 - нормированные посто янные распространения вдоль осей x и z соответственно.

Согласно предлагаемому подходу, предположим, что соотношение между комплексными амплитудами плоских волн в слоях L _i -1 и L _{i +3} определяется соотношением

^Hl +3, l+2

^Hl +2, l +3

H_l , l —!

Hl—1, l где

(l+2A

;   =t0    Пт0  Td T0T l,l+2     Tl—1,l—1,l   П *i—1,i,i T,i,i T,i,i+1    T+2,l+3,l+3 ,

V i=l7

и используются следующие обозначения. Передаточная матрица Tl01 l+1 описывает амплитудные со отношения для системы из трёх слоёв, причём средний из этих трёх слоёв характеризуется нулевой толщиной и тем же показателем преломления, что и последний слой L i. Разделительный слой расположен между слоями с показателями преломления, равными показателям преломления слоёв L i и L i+1. Матрицы передачи Tl0ll+1 и Tl0l+1l+1 задаются, соответственно, следующими выражениями, исполь зуя формализм метода передаточных матриц 2*2 (1):

,0

l , l , l +1

t l +1, l

ri, l +1

, ^T l , l +1, l +1

1           0

r l +1, l¹ t l , l +1      ¹¹ t l , l +1

Передаточная матрица для волны, проходящей определенную толщину di внутри слоя Li, опреде ляется выражением

d

^T l , l , l

^v l

1/ ^v l

где V l = exp ( i k ₀ P _l d _l ) - коэффициент изменения комплексной амплитуды поля плоской волны, распространившейся между границами разделительного слоя L i на его толщину.

Поскольку матрицы Tl0l l+1, T^ l+1 l+2 Tl0l+1 l+1 и Tl+ l+2 l+2 содержат резонансные коэффициенты, полная матрица Tl l+2 может быть представлена как

Т l, l+2

тт тт

= AR ' BR ' C ,

0        0 d               d                       d          0            0

^гд^{е коэффи}ц^{иенты мат}р^иц ^A = ^T l —1, l —1, l ^T i —1, l , l ^T l , l , l , ^B = ^T l +1, l +1, l +1 ^{и C} = ^T l +1, l +1, l +1 ^T l +2, l +2, l +3 ^T l +2, l +3, l +3

медленно меняются вблизи резонанса а — > Yp+1 по отношению к резонансному поведению (2) и могут рассматриваться как константы. Резонансные матрицы R‘ и R’ определяются как о о к     ll, l, l+1 ll, l+1, l+1

1            ¹        r l, l + 1

^{1 +} rl, l + 1 _ rl, l + 1       ¹

= T0     T0        ----1---- R      T l + 1, l + 1, l + 2 T l + 1, l + 2, l + 2    5	1         r l + 1, l + 2
1 + r l + 1, l + 2	_ r l + 1, l + 2        1

Коэффициенты матрицы T l _{l + 2} можно получить как

T 11 = v l+1( A11 R1'1 + A12 R 21)( C11 R^ + C21 Rn)+ A11R12 + A12 R 22 v l+1 (C11 Ri +c21 Ri'), (12) T 121 = v l+1( A21 R‘1 + A2 2 R 21)( C11 Rn + C21 Rn) + A21R12 + A22 R 22 v l+1 • (C11R21 +c21Ri), (13) T 112 = v l+1( A11R11 + A12 R 21)( C12R11 + C22 Rn) + A11R12 + A12 R 22 v l+1 (C12 Ri +C22 Ri), (14) T = 122 = v l+1( A 21R11 + A 22 R 21)( C12R11 + C22 Rn)+ A 21 Ri + A22 R 22 ■ (C12 Ri + C22R22) , (15) v l+1

где A ij , R 'j , R ’ и C ij - коэффициенты матриц А , R ‘ , R* и С , соответственно.

На основании выражения (3), предполагая, что с другой стороны системы слоев падающая волна отсутствует H_{l + 3 1 + 2} = 0 , амплитуду отраженной волны H_{l l - 1} = T ₁₂ / T ₂₂ можно найти следующим образом:

l , l - 1

^V l + 1^{( A} 11 ^{+ A} 12 rl, l + 1^{)( C} 12 ^{+ C} 22 r l + 1, l + 2^{) + ( A} 11 r l, l + 1 ^{+ A} 12^{)( C} 12 r l + 1, l + 2 ^{+ C} 22 )

^V l + 1^{( A} 21 ^{+ A} 22 r l, l + 1^{)( C} 12 ^{+ C}22 r l + 1, l + 2^{) + ( A} 21 r l,l + 1 ⁺ A 22^{)( C} 12 r l + 1, l + 2 ^{+ C} 22 ⁾

l - 1, l ,

Предположим, ^r = ^rl, l + 1 = ^- r l + 1, l + 2

например, что оптические свойства слоёв L i и L i +2 одинаковы. Обозначив и подставив резонансную компоненту r в уравнение (16), получим соотношение для

комплексной амплитуды отражённой волны:

H = У 2 + 1 ( A 11 + A 12 r )( C 12 - C 22 r ) + ( A 11 r + A 12 )( - C 12 r + C 22) ^{l , l - 1} v 2 + 1 ( A 21 + A 22 r )( C 12 - C 22 r ) + ( A 21 r + A 22 )( - C 12 r + C 22 )

l - 1, l ,

Из резонансного соотношения (2) следует, что r можно представить в общем виде как

r = b +

f = b a - r (1 - f / ( b y )

а - y       а - y где r = rtl+1, f = У!?+1К/+1, b = r^+fs₽₽, Y = Ум+1. Подставляя уравнение (18) в соотношение (17), по-

лучаем:

H = и а/ )ь+л2_{: =}иу У+-^

^{l , l - 1}     1 1 [( a - Y) b + f ] ² - 1 2 (V 2 + 1 - 1)[( a - y ) b + f ]( a - Y) - 1 3 ( a - Y ) ²

2                                                             2

^где 1      11 12 ⁺ 12 22 ^v l + 1 ,     2      12 12     11 22 ,     3      11 12^v l + 1 ⁺ 12 22 ’ 1

’ 2+1 + 41 C 12 ,

1 ₂ = A ₂₂ C ₁₂ - A ₂1 C ₂₂ и 1 ₃ = A 2i C 12 V 2 ₊ i + ^A ₂₂ C 22 — комплексные коэффициенты. Для простоты рас

смотрим случай нулевого фона, b = 0, что соответствует окрестности резонанса и Н_{} l - 1} представлено

следующим соотношением:

H  = Uз а^^^исук-1)(a-Yf-^ H l,l-1   13 (a - Y)2 +12(v2+1 - 1)(a - Y) f -11 f2    ‘

Соотношение (20) далее сводится к следующему соотношению:

l , l - 1

1 - v \

^{( a -} Y ⁺ X 1 ^A

%

= ^R 0------------ ¹-

^{( a -} Y ⁺ % 2 ^д Ц^¹

% 2

f )( a - Y -

f )( a - Y -

^{1 - v} 2 + 1 % 1

^{1 - v} 2 + 1 %

X+A %

Л2

X±A %

Hi л2 l

где

R = A* %

A , A

- нерезонансный коэффициент отражения от структуры, A = 3 + fay ² _{+ 1}

^A = ³ + x^yA ,

X = A₁₁ / A z , X ₂ = A ₁ / A 2 , 3 = C 22 / C ₁₂ — комплексные коэффициенты. Согласно (21), форма ли

нии спектра интенсивности волны, отраженной от структуры, приближенно описывается произведением двух формул Фано.

В случае сильной связи, |1 - v² _{+ 1} | << | A ₂ / f || а - у | , например, при достаточно малой толщине

разделительного слоя, константы распространения двух возбуждаемых плазмонных мод характеризуются соотношениями с небольшим отличием

Y 1 = Г ⁺ f ¹ С ^{1 - v} / +1Х ^{1 -} X 2 ^{3 )} + ^v 1 + 1 ( X 2 ^{+ 3} )

^a 2 L ²

Y 2 = y ⁺ f ^{1(1 -} vDa - Z 2 ³ ) - v 1 + !

^a 2 L ²

(X2+3)

Если параметр связи слабый, |(1 + X23)/ (X2 + 3)2 |>>|vl+11 например, когда толщина раздели тельного слоя велика, связанные собственные моды структуры можно получить из (21) как

f

^{Y 1} = ^{Y +} A I ¹

^^^^а

1 1 ^ ^{3 2}-

^{(1 +} X 2 ³

v A

f

^{Y 2} = ^{Y -}      . . I ¹

^^^^a

1 +  ( X2 + 3 )2

X 2 ^{3 (1 +} X 2 ³ )

v 2 + 1

В случае несвязанных мод, например, когда толщина разделительного слоя бесконечна, v 2+1 = 0, вдоль границы раздела металлический слой/разделительный слой возбуждается только одна плазмонная мода с постоянной распространения Y = Y-X2 f , а амплитуда отраженной волны выража ется из соотношения (21) с использованием соотношения (24) как

= A 12 ^{а -} Y ⁺ X 1 ^f A 2 ^{а -} Y ⁺ X 2 ^f

Как и в двухмодовом случае, соотношение (25) позволяет аппроксимировать формы линий спектров интенсивности волн, отраженных от одномодовой структуры, одной формулой Фано. Соотношение (25) совпадает с результатами, полученными в [6].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе разработан метод аналитического приближенного описания интерференционного поля в резонансных многомодовых планарных структурах. Представленный в работе метод формирования композитных матриц в рамках формализма метода передаточных матриц 2×2 для определения аналитических зависимостей между резонансными характеристиками и параметрами плазмонных структур может быть распространен на моды других типов. Продемонстрирована возможность применения разработанного метода для аналитического анализа резонансных характеристик структур в виде соотношений типа Фано для интенсивностей вторичных волн в случае двухмодовой плазмонной структуры. Влияние геометрических и оптических параметров каждого слоя на резонансные характеристики может быть дополнительно извлечено из полюсов и нулей этих соотношений. Результаты настоящего исследования могут быть полезны для оптимизации конструкции и оптических характеристик многомодовых резонансных структур для приложений оптических вычислений, датчиков и спектроскопии.