Метод моделирования характеристик поглощающих слоистых интерференционных резонаторов

Оптические резонансные слоистые структуры, демонстрирующие асимметричный резонансный профиль в спектрах, нашли множество применений в сенсорике [1], оптической спектроскопии [2], фильтрации [3], оптических вычислениях [4–8], усилении поглощения света [9–12] и управление цветом [13–17]. Наблюдаемые резонансы объясняются возбуждением собственных мод в структурах. Определение параметров структур, их оптимизация, а также проектирование резонансных свойств структур основываются на понимании условий возбуждения мод [18]. Анализ влияния геометрических и оптических параметров конструкции на комплексную постоянную распространения мод имеет большое значение для описания резонансного поведения в интерференционных структурах.

Теория связанных мод (ТCМ) [19] является эффективным аналитическим инструментом для описания природы резонансов, генерируемых в спектрах планарных структур [20]. Различные резонансные эффекты, например, полное поглощение света [11], формы линий Фано в спектрах [20–23], связанные состояния в континууме [24–26], расщепление Раби и поведение антипересечения дисперсионных кривых мод в связанных системах [2] могут быть описаны с помощью ТCМ. Модели связанных мод (СМ) для плоских плазмонных структур эффективны для оценки резонансных характеристик и максимального усиления ближнего поля с использованием аналитических выражений, основанных на коэффициентах Фано [27]. В предыдущей работе [20] были получены строгие модели СМ для аппроксимации пространственных спектров амплитуды электромагнитного поля вблизи резонансной окрестности в высоко- и

низкодобротных интерференционных резонаторных структурах в виде дифференциальных уравнений. Коэффициенты моделей выражаются аналитически как функции геометрических и оптических параметров структур. Аналитические модели СМ напрямую связывают структурные параметры с изменением резонансных характеристик структур. Анализ CM выявил некоторые важные особенности. В частности, было показано, что ширина профиля резонансных линий в спектрах углов падения увеличивается с увеличением поглощения в структурах [3]. Однако зависимость параметров структуры от резонансных условий возбуждения мод в аналитически не исследовалась.

В настоящей работе аналитически исследуются дисперсионные соотношения, включающие в себя условия возбуждения интерференционных мод в элементарных трехслойных структурах. Поскольку на резонансные характеристики в пространственных и частотных спектрах влияют как геометрические, так и оптические параметры структуры, предлагается обратить внимание на обратную задачу нахождения толщины резонатора, комплексных показателей преломления входящих в структуру слоев. В работе разработан математический метод получения аналитических выражений для параметров слоев трехслойного резонатора на основе известных данных о положении моды в пространственном спектре. Целью работы является расширение аналитических подходов ТСМ.

ТРЕХСЛОЙНАЯ СТРУКТУРА

Трехслойная структура является простейшей оптической структурой, способной поддерживать интерференционные режимы [20]. Рассмотрим трехслойную структуру, состоящую из слоев L i -1 , L i , и L i +i с комплексными показателями преломления n i -1 , n i , и n i +1 соответственно, где l - номер слоя, n i 2 представляется как n i = n i + 1 n i . Диэлектрические проницаемости выражаются как E i = n i , где i = I - 1, I , I +1. Слои L i -1 и L i +i полубесконечные вдоль оси z. Толщина промежуточного слоя L i составляет d i . В следующем моделировании предполагается, что слои однородны с плоскими границами раздела.

Далее дадим обозначения падения плоской волны на границу раздела I k , k +1 . Для каждой плоской волны, распространяющейся в слое L k , комплексные коэффициенты амплитуды, отражения и прохождения обозначаются как H k , k +1 , r k , к +1 и t k , к +1 соответственно, а для плоской волны, распространяющейся в слое L k +1 как H k +1, k , r k +1, k , и t k +1, k соответственно.

ВОЗБУЖДЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ МОД

Предположим падение плоской волны h /Д x , z , а ) = H l _-1i ехр{1 к₀[ах + p l -(а ) z ]} s- или p-поляризации в слое L i -1 трехслойной структуры на границу раздела слоев L i -1 и L i вдоль оси z в положительном направлении. Проекции постоянной распространения на оси х и z определяются как к₀а и к ₀ P l , соответственно; к ₀ = 2л/ Л - волновое число свободного пространства, X - длина волны в свободном пространстве; а и Д = E l - а ² являются нормализованными константами распространения вдоль осей x и z, соответственно. Падающая плоская волна с комплексной амплитудой H l _{- l l} на границе раздела 1 1 -1, i передается в слой L i с коэффициентом пропускания t_{i - l i} . В результате многократных отражений передаваемого поля в слое L i создается интерференционное поле h_i , представляемое в виде суперпозиции падающей и отраженной волн:

h i ( x , z , а) = H i , i + 1 (а) ехр(1 к д ах ) х { г_цt + 1 ехр[-1 к g p i ( z - d i )] + ехр[1 к g p i ( z - d i )]},         (1)

где коэффициент отражения r_{i i + 1} находится как [28; 29]

,. р = Pi Ai - /UEi+1 „ . = Pi - pM l ,i+1                                                 ^ ++1

P i I ^El ⁺ P i + 1 l^El + 1            P i ⁺ P i + 1

для p- и s-поляризаций, соответственно.

Поле интерференции h в слое Li затем отражается обратно в слой Li-1 и передается в слой Li+1 с коэффициентами полного отражения ri-1 i+1 = (ri-1 iHi-1 i + ti i-1 Hi i-1) / Hi-1 i и пропускания ti-1 i+1 = ti i+1 Hi i+1 / Hi-11, соответственно. Спектры отражения и пропускания характеризуются регулярными изменениями интенсивности в спектрах длины волны и угла падения дальнего поля. При- мер спектров пропускания приведен на рис. 2. Появление таких изменений интенсивности связывают с возбуждением интерференционных мод [3].

Далее проанализируем условия возбуждения мод в трехслойных структурах. Комплексная амплитуда H ll _{+ 1}( а ) на границе раздела 1 1 -1 , 1 определяется как H ll _{+ 1} = X l V l t l _-1 l H l _{- 1 }} , где V l = exp ( i k ₀ P l d l ) - коэффициент передачи комплексной амплитуды поля на границах раздела 1 1 -1, 1 и 1 1 , 1 +1 при распространении плоской волны в слое L i , где

Xi(а) = о-1 (2) - коэффициент, описывающий усиление амплитуды поля интерференции в слое Li с О} (а) = 1 -V?rll_1 rll+1. Анализ О] уточняет возникновение нормальных электромагнитных мод в трехслойных интерференционных резонаторах. При некотором комплексном значении а = y = У+i/" условие возбуждения мод, о, (y) = о, (3) выполняется, где у - комплексная константа распространения моды. Согласно (1) и (2), при ol А 0,

X l ^ го , амплитуда поля h l в слое L i резонансно возрастает.

Соотношение (3) можно получить следующим образом

Pi (Y)wi,i-1 -Pi-1(Y)wi-1,I-           Pi(Y)wi,i+1 -Pl+1(Y)wi+1,i koPi(Y)di = ^m + iln------7L Pill-1+ i In------7L Рц+1,m e z, (4)

(£i- £i-1)               ,                   (£i- £i+1)               , где коэффициенты, зависящие от поляризации, имеют значения wlk = 1, plk = 1 и wlk = (£k / £l )1/2,

P i , k = Y i , k^{( Y -} Y ? k ) ^1/2 , в случае s- и p-поляризаций, соответственно; Y_lk задается как

Y_lk = [ £ l £_k / (£ + £ k )] ^1/2 , к принимает значения l - 1 или l + 1.

Следующее дисперсионное соотношение можно получить дополнительно, используя соотношение (4):

ikoft(Y) di + i" m = I ln q, ,i+1 q, ,i-1, и из (5) можно выделить два случая генерации мод в зависимости от действительной части констан ты распространения моды:

_ 1 + gl,l+1        _ 1 + gl,l-1 R      ) < 1 ql,l+1 .            , ql,l-1 .            , Re(gl,k) < 1, 1 - gl, l+1             1 - gl, l-1 , 1                           ’ 1                                                                           (6) _ gl, l +1 + 1 Л    _gl, l-1 + 1 qi,i+1 =          ., qi,i-1 =          ., Re(gi,k) >1 gi, i+1-1             gi, i-1-1 где gi,k = Pk /(wiPPi).

Соотношения (5) для трехслойных структур характеризуют возбуждение волноводной моды [30], моды Фабри-Перо [31], антисимметричных и симметричных связанных плазмонных мод [32]. Выбор соотношения в выражениях (5) зависит от значений glk. В частности, для р- и s-поляризаций компо ненты gl k, соответственно, следующие:

р   £i ^£- - а g[k =---

£ р£ - а

и

s  7 £- а gl, k

р £l- а

ПАРАМЕТРЫ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ СТРУКТУР

Далее, без ограничения общности, рассмотрим первое дисперсионное уравнение (5). Толщину интерференционного слоя dl можно получить с помощью (5) как dl, m (Y) = Re

² (     • ¹ 1              1

----- m - i — In aIMa

2p_t ( y ) l        2д      ^{1, l +1 l , 1-1} )

где m обозначает порядок моды. При m = 0 толщина промежуточного слоя в трехслойной конфигура ции находится как di ,0(Y) = - Re

• ^{2 1}         .

2 Д ( Y )2^ q^l ’¹⁺¹ q l ’ l ^-1

Соотношение (8) можно переписать для произвольного m с помощью (9) следующим образом

. ,, Л_    1. _ di, m (Y) = m- ReT— + di ,o(Y).

²     P i ^{( Y )}

Соотношение (10) позволяет предположить, что для мод с одинаковыми константами распространения Y можно установить следующую связь между толщинами промежуточного слоя:

,              21

d,„ + ,(Y) - di „(y) = j—Re------.(11)

i > m + j         i > m           2

Действительную часть показателя преломления n непоглощающего слоя Li можно приближенно получить при 0 = 0° и Pi (0) = n как n′ ≈ j                         .(12)

ⁱ ^2[ d i , m + j (0) - d i , m (0)]

Полагая, что диэлектрическая проницаемость слоя L l с малым поглощением является комплексной, £_i = е] + is’ , то составляющую Re e^Y) в выражении (11) можно получить как

Re

W)

где Y = ni-1 sin 0, 0 - угол падения плоской волны к нормали к поверхности, приводящий к макси мальному усилению поля интерференционной моды. Согласно выражениям (13) и (11), увеличение поглощения в слое Li приводит к увеличению разницы между резонансными толщинами слоя Li, обеспечивающими возбуждение мод с одинаковыми действительными частями показателей преломления мод при фиксированной длине волны.

Поэтому поглощение в слое Li, определяемое значением n ‘, можно оценить с помощью выраже ний (10) и (12) как n ‘2- Y‘ IJ/vT^idjj^d;^)]

21 \ni Y ni \ L                    j2

В случае нормального падения соотношение (14) можно свести к виду ni - n 21 n

, 2[ d i , m + j (0) - d i , m (0)]     1

! ------^:— -----------^:-- 1 ^

jλ

В случае поглощающих слоев мнимые части g^ k , g ^k , q_{i i + 1} , и q_{i i - 1} отличны от нуля. Это приводит к зависимости d_{i 0}( Y ) , определяемой выражением (9), от состояния поляризации. В случае непоглощающих материалов d_{i 0}( Y ) не зависит от состояния поляризации, d_{i 0}( Y ) = 0 , и положения резонансов совершенно одинаковы для s- и p-поляризаций с константами распространения мод

γ_m =

ε -

λ

A 2

m

K ^{2 d}i , m   у

.

Сначала рассмотрим влияние поглощения в слое L l ₊₁ на резонансную длину волны и толщину непоглощающего слоя L l . Предположим, например, что слой L l ₊₁ является поглощающим, n_{i + 1} = n_l+1 + i n^ . Соотношение (9) можно записать в следующем виде:

⁴ ^ d i ,0

λ

', i +1

^{+ ln} qi , i - 1 ) .

Для простоты рассмотрим случай резонансов вблизи 0 = 0° . Компоненты g l k , определенные в

(7), получаются при 0 = 0° как

g[ k = n l I ⁿ k ^и g[ k = ⁿ k I n l .

Подставив выражения (18) и (6) в (17) и полагая непоглощающие слои L i -1 и L i , получим в случае нормального падения

^4Л n l d l ^,0 = Re { ^{- i} [ l ⁿ⁽ n l ⁺ n l + 1^{) -} l ⁿ [( n_t + 1 Л

Решая выражение (19), последовательно получаем

^^^^а

n i )Ц.

^4л nidi ,0

-----— = arccot

Л

n^ 1+ n,          n- ,- n,

-^—— а arccot -l11-——, nl+1                    nl+1

n l + 1 ⁺ n l n l + 1 - n l

4 л n,d, „ cot ^l-^

Л

zz n i + 1

/г nl + 1

+1

n l + 1 ⁺ nl    n l + 1

^^^^а

^^^^а

^, n_l

n l + 1            n l + 1

_cot ⁴ л nd l ,0 = Cz n l MZ

^{Л            2 n}"l + 1 ⁿl

.

Уравнение (22) предполагает, что резонансная длина волны увеличивается с увеличением поглощения в слое L i +1 .

В случае малых n ^, n-₁<< n'_l+1 , мнимую часть показателя преломления п + приближенно можно получить из соотношения (22) следующим образом:

п"₁₊₁ = tan

( ^4л n l d l ,0 ^

I Л )

'2       2

n l + 1 - ⁿl

2 n l

.

Далее рассмотрим другой случай, когда слой L i является поглощающим, n l = п ,+ i п, , а слои L i -i и L l ₊₁ - непоглощающими. Соотношение (17) можно представить при 0 = 0° в виде

P l (0) d l ₀ n ,L + n ,’ n ,2- n ,’ 4л —------ ■- = arccot ^{l +1} - ^l + arccot ^{l +1} - ^l + arccot

Л                 n l                  n l

Подставив аппроксимацию (13) в выражение (24), получим

z . z                      z z n, , + n, n, , - n, l-1 „ l + arccot l ' - l nlnl

•

cot ’

n , 'd, 4 л

Л

1 п

2 П

, = (С

^^^^а

2      //2      2

n l ^- n l ⁾⁽ n l - г

^^^^а

2 n l

»2                   2

^- n l ^{) - 4} n l + 1 n l _ 1 n l

² n ⁽ n l + 1 ^{+ п} ; _ 1⁾⁽ п - 1 п_м - n ; ² - n l ²⁾

•

В случае малых п,, п,<< п,, п, можно приближенно оценить соотношением (25) следующим об разом:

п, = tan 4л

n'idi ,0

Л

2       2      2       2х

^{( п} 1 + 1 - ⁿi ^{)( п} 1 - 1 - ⁿi ⁾

^{2( п} + 1 ^{+ п} - 1⁾⁽ п- 1 n + 1 ^- n^{2 )} .

Для оценки оптических характеристик структур металл-диэлектрик-металл и диэлектрик-металлдиэлектрик, т.е. в случае структур, содержащих слои с высоким поглощением, соотношения (22) и (25) могут быть решены численно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Экспериментальное получение оптических характеристик слоистых структур осуществляется регистрацией спектров при изменении угла падения световой волны или длины волны света. В задачи оптической сенсорики входит определение параметров материалов, окружающих оптическую структуру или входящих в ее состав. Если характерные размеры структуры малы, это приводит к большой ошибке определения материальных констант или геометрических размеров слоев. Метод оценки параметров поглощающих слоистых структур, обеспечивающих возбуждение интерференционных мод, на основе их резонансных характеристик как в частотном, так и в пространственном спектрах, разработанный в настоящей работе, позволяет осуществлять оценку действительной части показателя преломления, а также низких значений поглощения отдельных слоев в компактной ограниченной области. Результаты настоящего исследования могут быть полезны для оптимизации резонансных структур, а также их оптических характеристик для сенсорики, оптических вычислений, спектроскопии.