Метод обобщенных источников в трехмерном сопряженном пространстве

Метод обобщенных источников точного решения задач рассеяния и дифракции электромагнитных волн сформулирован для базисного решения в виде функции Грина однородной изотропной среды в трехмерном фурье-пространстве. Получены уравне- ния, позволяющие сформулировать численный метод, сложность которого линейна по числу узлов расчетной сетки. Обсуждаются возможные применения метода. множителем exp(−𝑖𝜔𝑡) можно свести к уравнению Гельмгольца для электрического поля E(r), решение которого записывается в виде интегрального уравнения [6]: E(𝑟) = E𝑖𝑛𝑐(r) + 𝑖𝜔𝜇0 ′ (︀ r − r′ )︀ J (︀ r′ )︀ ′ (3) с тензорной функцией Грина (r − r′) = [︀ ^1 + (1/𝑘𝑏)∇∇ ]︀ (r − r′). Здесь = 𝜔√𝜀𝑏𝜇0 - волновое число волн в однородном пространстве, окружающем рассматриваемый объем, а скалярная функция Грина записывается как (︀ r − r′ )︀ = exp(𝑖𝑘𝑏 |r − r′|) 4𝜋 |r − r′|. (4) Рассмотрим уравнение (3) в трехмерном фурье-пространстве, а именно: получим на ос- новании (3) уравнение для фурье-гармоник электрического поля (r), где = 𝑥, 𝑦, 𝑧, а волновой вектор фурье-гармоник k = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧). На основании = 1 (2𝜋)3 (r) exp (−𝑖kr) (5) имеем = + 𝑖𝜔𝜇0 exp (−𝑖kr) ′ [︂ + 1 (∇∇)𝛼𝛽 ]︂ (︀ r − r′ )︀ (︀ r′ )︀ ′ = = + 𝑖𝜔𝜇0 ′ (𝑘𝑏𝛿𝛼𝛽 − 𝑘𝛼𝑘𝛽) exp (︀ −𝑖kr′ )︀ (𝑘) (︀ 𝑟′ )︀ ′. (6) Фурье-образ функции Грина (4) есть [6] (𝑘) = 1 𝑘2 − 𝑘2 + (︀ 𝑘2 − 𝑘2 )︀, (7) где символ P обозначает интеграл в смысле главного значения. Подставляя (7) в (6), по- лучаем = + 𝑖𝜔𝜇0 (𝑘𝑏𝛿𝛼𝛽 − 𝑘𝛼𝑘𝛽) [︂ 1 𝑘2 − 𝑘2 + (︀ 𝑘2 − 𝑘2 )︀]︂ 𝐽𝛽𝑘. (8) Уравнение (8) есть базисное решение ℵ метода обобщенных источников для произвольного распределения источников. Неявное уравнение в трехмерном сопряженном пространстве Имея уравнение (8) в качестве базисного решения, можно перейти ко второму шагу метода обобщенных источников и подставить токи вида (1) в (8). На этом этапе необходи- мо рассмотреть два случая: когда 𝜀(r) есть непрерывная функция координат и когда эта функция имеет поверхности разрыва, соответствующие границе раздела различных сред. Такая необходимость возникает в связи с невозможностью определить произведение обоб- щенных функций, имеющих общие точки разрыва, возникающего во втором случае для тангенциальных к границе разрыва компонент электрического поля (подробное описание аналогичного случая приведено в [5]). Когда функция 𝜀(r) непрерывна, можно перейти к фурье-представлению (1), так что J𝑘 = −𝑖𝜔𝜀𝑏 [(𝜀/𝜀𝑏 − 1) * E]𝑘, (9) где в правой части стоит свертка фурье-образов соответствующих функций, обозначенная символом «*». Тогда, подставляя (9) в (8), приходим к неявному уравнению для фурье- гармоник компонент электрического поля: = + (𝑘𝑏𝛿𝛼𝛽 − 𝑘𝛼𝑘𝛽) [︂ 1 𝑘2 − 𝑘2 + (︀ 𝑘2 − 𝑘2 )︀]︂ [︂ Δ𝜀 ]︂ 𝑘𝑘′ * 𝐸𝛽𝑘′, (10)