Метод приведения результирующей дисперсии нестационарных сигналов типа переходный режим

Известна корреляционная функция и дисперсия реакции линейного динамического объекта (ЛДО) в переходном режиме от однократного включения (скачка) стационарного случайного воздействия (ССВ) с нулевым математическим ожиданием [1–3]. Такой режим – всего лишь один из частных случаев переходных режимов с тремя возможными видами многократных скачков ССВ (включений, выключений или инверсий), которые ранее не исследовались. В [4] впервые получены результирующие дисперсии подобных нестационарных сигналов (реакций), которые позволяют их исследовать.

Полученные в [4] дисперсии содержат большое число слагаемых

M + 1

N = ^ i (где M - число включений, выключений или инверсий ССВ), i = 1

которое быстро возрастает с увеличением количества скачков.

В работе ставится задача разработки метода, позволяющего значительно сократить число слагаемых результирующих дисперсий нестационарных сигналов в переходных режимах ЛДО от многократных включений, выключений или инверсий ССВ.

1.    Приведение составляющих дисперсии

Результирующие дисперсии во всех переходных режимах от многократных скачков с общим числом M включений, выключений или инверсий ССВ получены [4] в виде совокупности частных сумм функционалов, представляющих собой дисперсии o SS ( t ) от включений ССВ в моменты времени t П i _{- 1} и взаимные дисперсии o S_S ( t ) , образованные всеми возможными парами реакций ЛДО от включения ССВ в различные моменты времени t П i _{- 1} и t П j _{- 1}, а также дисперсию o S_S ( t ) установившегося режима до первого переходного режима (см. таблица 1).

Таблица 1

Дисперсии сигнала в многократных переходных режимах

Пере-    Матричное представление слагаемых дисперсий ход-ной Результирующая дисперсия режим

О         ( 0  0     ...    0 ...                 0              ) Л            Г\ ^ 2          ( 1 Л 2 + j^  2       ( 1 \ 2 + M +И^2 0 O S , S 2   ...   ( 1)   2 o s , Sj ... ( 1)      2 o s 2 SM „ ... 8 g    0 0   ... H) ' ^ ... НГ M + 1 2 o SS,„ ... 2 5       0 0      ...      0 ...                 o s 2 s 1— И        \                                                           SM + 1 SM + 1            у g н S s

o S ( t ) = E o SS + i = 2 M + 1 M + 1 + 2 ££ ( - 1) ' + j o S i S , i = 2 j = ' + 1

2     о _2            / 1 \ 1+ j o _2      / 1 \ 1+ M +1o_2      Л ,         O S , S ,     2 o s , S 2 ...       ( 1)    2 o S , Sj ... ( 1)       2 o s , S m + , 2                1^2+ j 2 rr2         1^2+ M + 1ln2 2        0       O S 2 S 2 ...      ( 1)    2 0 S 2 S ,- ( 1)       2 0 S 2 S m + 1 ... gg      0      0 ...          ( - 1)" , 2 o2S, ... ( - 1) - + M + 1 2 oS,M + 1 g- S cc ... 05^  0     0 ...          0 ...           a2 , S 16 ^ V                                                               SM +1 SM +1         V ^ O X

o S ( t ) = O s2S 1 + E o S ' S ' + 1 = 2 M + 1 + 2 E ( - 1) j + 1 o S 1 s , + , = 2 M + 1 M + 1 + 2 EE ( - 1) ' + jo2 S j 1 = 2 j = ' + 1

—

4 о

S 1 S 2

4 о

S 2 S 2

( — ¹)^{1 + j}    ■.,, ... ( — ¹)^{1 + M +} S m + 1

( — 1)^{2 +} j 8 S S ,.. H)² ' M 8 S S M + 1

0...

( — 1) i ^{+ j} 8 a²_s , ... ( — 1) i ^{+ M} ' 8 o S.

a, ^: ( t ) = о X + 4V о X +

S 8 / S1S1                    Si Si i=2

M + 1

+ 4 ^ H j a S. +

J = 2

M + 1 M + 1

+ 8^^    ■

i = 2 j = i + 1

0...

0...

4 s 2 _s

S M + 1 S M + 1

В свою очередь, функционалы-слагаемые результирующей дисперсии имеют вид:

tt aSS(t) = j jho(t — x)ho(t — y)Rb(y — x)dxdy,(1)

tПI-I tПI-I tt aS,t) = j j ho (t — x)ho (t — y)Rb (y — x)dxdy, t ПI—1 t П/•—1

tt aS, t) = jj ho (t — x) ho (t — y) Rb (y — x) dxdy,

~^Z t П j — 1

tt aS1s1 ( t) = jj ho ( t — x) ho ( t — y) RB ( y — x) dxdy ,

—»—»

где h_o ( t — x ) - импульсная характеристика ЛДО; R_B ( y — x ) - корреляционная функция ССВ.

Функционалы (1) - (4) имеют идентичные подынтегральные выражения, пересекающиеся области интегрирования и входят в результирующую дисперсию с чередующимися противоположными знаками. Такие свойства позволяют сократить число слагаемых в выражениях результирующих дисперсий.

Для удобства введем обозначение двойного интеграла произвольной составляющей дисперсий в виде функционала P четырех переменных (границы областей интегрирования внешнего и внутреннего интеграла):

bd

P ( a , b , c , d ) = jj h_o ( t — x ) h_o ( t — y ) R_B ( y — x ) dxdy .

ac

1.1.    Приведение дисперсии сигнала при многократном включении и отключении

Столбец соответствующей матрицы (строка 1 таблицы 1) состоит из ( j — 2 ) функционалов взаимных дисперсий и дисперсии от включения ССВ в момент времени t _П , _— , :

- - 1

2 ^ ( ^{- 1) J}P ( t П i - 1 , t , t П j - 1 , t ) + ^P ( t П j - 1 , t , t П j - 1 , t ),               (5)

i = 2

где J = 3, M + 1. Для функционалов дисперсии от включения ССВ в мо- мент времени tП-1 далее там, где это удобно, оставим прежнее обозначение aS. S .

Очевидно, что взаимные дисперсии в (5) имеют противоположные знаки и пересекающиеся области интегрирования ( t _П i _{- 1}, t ), t _П i - <  t _П i .

Рассмотрим сумму первой пары ( i = 2,3) функционалов взаимных дисперсий в (5):

2 [ ( - 1)^{2 + J} P ( t _m, t , t П-1 , t ) + ( - 1)^{3 + J} P ( t П2 , t , t П-1 , t ) ] .

Область интегрирования внешнего интеграла ( t _П1, t ), первого функционала рассматриваемой пары может быть поделена на две смежные области ( t _П1, t _П2) и ( t _П2, t ), а сам функционал представлен в виде суммы двух функционалов:

2 [ ( - 1)^{2 + j}P ( t _m, t П 2 , t П-1 , t ) + ( - 1)^{2 + J}P ( t П 2 , t , t П-1 , t ) ] . (7) Второй функционал полученной суммы совпадает со вторым функционалом (6), но имеет противоположный знак и поэтому (6) преобразуется к виду:

^{( - 1)} J ² P ⁽ t П1 , t П2 , t П - 1 , t ) .

Таким образом, пары подобных функционалов приводятся к одному функционалу с измененными областями интегрирования внешних интегралов.

В зависимости от M число функционалов взаимных дисперсий в (5) может быть как четным, так и нечетным. В первом случае все пары функционалов взаимных дисперсий приводимы к функционалам вида:

^{( - 1)} J '2 ^{р (} t п i - 1 , t п i , t П - 1 , t )

и замыкает колонку функционал дисперсии от включения ССВ.

Во втором случае в J -й колонке остается последний функционал вза- имной дисперсии

(i = J -1) и функционал дисперсии от включе- ния ССВ.

Рассмотрим подробнее сумму оставшихся функционалов :

^{( - 1)    2 P (} t П / - 2 , t , t П / - 1 , t ) ^{+ P (} t n j - 1 , t , t n j - 1 , t ).

Здесь видно, что первое слагаемое всегда будет отрицательным V/', а об- ласти интегрирования внешних интегралов обоих функционалов пересекаются аналогично (6). Таким образом, рассмотренные функционалы преобразуются к следующему виду:

—

^{2 P (} t П / - 2 , t П / - 1

, t П / - 1 , t ) ^{P (} t П / - 1 , t , t П / - 1 , t ) .

Первый функционал в указанном выражении имеет области интегрирования аналогичные областям интегрирования приведенных функционалов.

Для наглядности запишем все слагаемые дисперсии после приведения по пределам внешних интегралов в виде матрицы (без нулевой строки), в которой нулями обозначены функционалы, сокращенные в результате приведения:

^ S 2 S 2 - ² P ( t П1 , t П 2 , t П2 , t )... ^{( - 1) 2} P ⁽ t П1 , t П 2 , t П j -1 , t ) ^." ^{( - 1)      2 P (} t П1 , t П 2 , t ПМ , t )

• - ^ 3 S з                 ⁰ ...                            ⁰

  ( - 1) i^S ... ( - 1) i ⁺ j 2 P ( t П i -1 , t П i , t „ j -1

  
  

  /  i \ i +1—2

  ^{( - 1)}          S ' + ,

  
  

  ...

  
  

  , t ) ... ( - 1) i + M ^{+ 1}2 P ( t „_„ t „ , t П M , t ) 0

  
  

  ( - 1) ^{M + 1}

  
  

  ^s

  S M + 1 S M + 1

  
  
  
  

Теперь результирующая дисперсия состоит из дисперсий от включения ССВ и меньшего числа приведенных функционалов с областями интегрирования не совпадающими с областями интегрирования взаимных дисперсий.

Отметим, что приведенные функционалы строк матрицы имеют противоположные знаки и пересекающиеся области интегрирования, но уже внутренних интегралов. Это позволяет выполнить еще одно приведение функционалов по областям интегрирования внутренних интегралов.

Действительно, рассмотрим частную сумму приведенных функционалов i -й строки, следующих сразу за ( - 1) ' с 2S :

M + 1

2 ^ ( - 1) ^{i +} ' P ( t _пн, t _ш, t П - . , t ).                       (8)

j = i + 1

Слагаемые указанной частной суммы обладают свойствами, аналогичными рассмотренным выше свойствам (5). Следовательно, сумма соответствующих пар функционалов в (8) преобразуется к виду:

M ⁺¹Г             1

^[(-1) - iP ( tП i-1, tП i, tПj-1, tПj ) , j=i +1

если число слагаемых суммы четное (нечетное M ).

Для нечетного числа слагаемых (четное M ) сумма примет вид:

^ [ ^{( - 1)} - ^{1 ]} P ⁽ t П i I , t П i , t П j I , t П j ) - ² P ⁽ t П i I , t П i , t П M , t ) ^. j = i + 1

Для наглядности запишем все слагаемые дисперсии после приведения по пределам внешних и внутренних интегралов в виде матрицы (без нулевой строки), в которой нулями обозначены функционалы, сокращенные в результате приведения:

OS2S2   2P(tП1, tП2 , tП2, tП3) 0 ...   2P(tП1, tП2, tП'1, tП' ) 0 . . X -oSS3                 0 ... 0 ... (-1) °S,S, ... 0 - 2P(tП-1, tП , tП'-1, tП' ) 0 ... X ,(9) (-1) +1 OS, + S + . 0 ... 0 ... V / i\ M+12 (-1)   On n x     '         SM + 1SM + 1 / v I - 2P(tП-1, tП, tПM, t) для четных M; где X = -!

1 0 для нечетных M .

Число элементов в матрице приведенных функционалов (9) существенно меньше, чем в исходной (таблица 1): строки с нечетными i содержат только - oSS , в строках с четными i приведенные функционалы чередуются с 0, т.е. в них содержится примерно вдвое меньшее число функционалов.

Окончательно результирующая дисперсия сигнала при многократном включении и отключении (МВО) примет вид:

M + 1

°S( t)=Е (-1)'°s.S.+ i=2

■ у £ '/¹ {к - 1) ' - и p ( t „.„ t „„ t „ , -„ t _T)+.          (10)

= 2 j = + 1         2

+ [( - 1) M ^{+ 1} - 1] P ( t П^ t П , t П M , t )}

[1 - ( - 1) ' ^{+ 1}]

Множитель  ---—-—- обращает в 0 всю строку приведенных функцио налов с нечетными z, множитель [(-1)' -1] обращает в 0 в каждой оставшейся строке функционалы взаимной дисперсии, сокращенные в результате приведения. Множитель [(-1)M+1 -1] обращает в 0 в каждой оставшейся строке функционал вида X в (9).

1.2.    Приведение дисперсии сигнала при многократном отключении и включении

Матрица составляющих дисперсии при многократном отключении и включении (МОВ) (строка 2 таблицы 1) отличается от рассмотренной матрицы при МВО наличием строки с z = 1, j = 1, ( M + 1) . Поэтому результирующая дисперсия при МОВ будет иметь дополнительные слагаемые, образованными функционалами первой строки.

Рассмотрим частную сумму функционалов первой строки матрицы дисперсий (строка 2 таблицы 1) без o S S :

M + 1

2 ^ ( - 1) j ^{+ 1} P ( t П 0 , t , t П ' - 1 , t ) , j = 2

гДе t п о = ^х .

Функционалы частной суммы (11) имеют свойства аналогичные свойствам функционалов, рассмотренных выше и попарно приводятся к общим функционалам аналогичным образом.

Для четных M (четное число функционалов) все функционалы (11) образуют приводимые пары функционалов:

£ [( - 1У + ' - 1] P ( t по , t , t П _„ tn j ) .

j = 2

Для нечетных M (нечетное число функционалов) остается один неприводимый функционал:

£ [( - 1) ^{j + 1} - 1] P ( t П0 , t , t П_ч, t n j ) - 2 P ( t П0 , t , t П M , t ) . j = 2

Таким образом (11) после приведения примет вид:

£ [( - 1) j ^{+ 1} - 1] P ( t no , t , t n j - 1 , t n j ) + [( - 1) M - 1] P ( t no , t , t nM , t ) . j = 2

Окончательно результирующая дисперсия сигнала при МОВ примет вид:

M + 1

^l(t) = Г( r> г=1

MM [1 - (-1Y ^{+ 1}1

• +    ГГ э     Ж-U - 1P(tn-1, tn, tnj-1, tnj) +         .(12)

i=2 j=i+1

+ [(-1) ^{M + 1} - 1] P ( t „-„ t П , t n M , t )} +

• +    £ {[(-¹) ^{7 4}' - 1] P ( t П0 , t , t П -„ t П ) + [(-1) ^M - 1] P ( t no , t , t n M , t )} j = 2

0 ...                ... ( - 1)^{2 +} j 4 P ( t П1 , t П2 , t n j -. , t )...( - 1)^{2 + M + 1}4 P ( t П1 , t П2 , t ПМ , t ) 0... ( - 1) - ^{+ j} 2 P ( t _ш_„ t П , t n j -, , t )...( - 1) - ^{+ M + 1}2 P ( t _ш_„ t П , t П M , t )

1.3.    Приведение дисперсии сигнала при многократной инверсии

Функционалы составляющих дисперсии (строка 3 таблицы 1) имеют свойства, аналогичные рассмотренным выше свойствам функционалов при МВО и МОВ. Применяя подход, аналогичный подходам в рассмотренных выше режимах, т.е. выполнив приведение исходных функционалов сначала по областям интегрирования внешних интегралов, получим следующий вид матрицы функционалов составляющих дисперсии:

G's , S , ^{- 4 P (} t П0 , t П1 , t П1 , t )...^{( -} 1) ^{4 P (} t по , t П1 , t П j -1 , t УД^-1)      ^{4 P (} t по , t П1 , t ПМ , t )

...

V                                                                                   7

После приведения функционалов по областям внутренних интегралов получим следующую матричную форму функционалов составляющей дисперсии:

Г aSs i - 4 P ( t П0 , t _m, t _m, t _m) 0... ( 'Г 4 P ( t П0 , t n„ t ^-^ t n j^ 0... X )

0... ( - 1) ^{i + j} 4 P ( t „-„ t n i , t ^-^ t n j - 1 ) 0... X

⁰ J

J- ⁴ P ⁽ t ™ - 1 , t n i , t П M , t ) Для нечетных i ^{+ j} ; г ^де X — <

[ 0 для четных i + j .

Число элементов в матрице приведенных функционалов (13) существенно меньше, чем в исходной: в каждой строке после приведения сокращается около половины функционалов.

Результирующее выражение для дисперсии при многократной инвер- сии (МИ) примет вид:

M-1 M aS2( t) — aS2iS, + 2^X {[( ' ) ' ' - 1] P (t n-1, tni, t nj-2, t nj-1) + i—1 j—i +1

+ [(-1) i ^{+ M + 1} - 1] P ( t n i - 1 , t n i , t ПМ , t )}

Итак, приведение функционалов дисперсий по внешним и внутренним областям интегрирования позволяет практически вдвое сократить число слагаемых результирующих дисперсий во всех рассмотренных режимах с многократными скачками ССВ.

Заключение

Разработан метод приведения результирующих дисперсий для различных переходных режимов линейного динамического объекта при многократных включениях, отключениях или инверсиях стационарных случайных воздействий. Метод позволяет почти вдвое сократить число слагаемых в результирующих дисперсиях, что значительно сократит вычислительные затраты.

Получены результирующие дисперсии сигнала при многократном включении и отключении (10), при многократном отключении и включении (12) и при многократной инверсии (14).