Метод продольных сечений для расчета собственных волн экранированных волноводов со сложным профилем поперечного сечения

Для волноводов с однородным или частичным диэлектрическим заполнением, вписывающимся в ортогональную систему координат, полный спектр собственных волн определен и достаточно хорошо изучен [1–4]. Наибольшее распространение при решении задач такого типа получил метод частичных областей с ортогональностью собственных функций, образующих базис, по которому раскладываются компоненты электромагнитного поля собственных волн рассматриваемых волноводов. Но иногда не удается сформулировать в каждой частичной области краевую задачу Штурма – Лиувилля, а следовательно, невозможно определить базис собственных функций. Использование же в методе частичных областей представления полей в форме непрерывного спектра [5; 6] значительно осложняет задачу.

Для неоднородных волноводов со сложным, в общем случае плавным и многосвязным, профилем диэлектрического заполнения нахождение собственных волн является задачей еще более сложной. Подход, основанный на методе Галер-кина [7], на практике легко реализуется в случае, если форма ограничивающей поверхности соответствует какой-либо канонической системе координат.

В предлагаемой статье в качестве базиса для собственных волн неоднородного по поперечно- му сечению волновода используются поля собственных волн планарных диэлектрических волноводов, подробно исследованных в [2].

Метод не накладывает ограничений на закон изменения геометрических и диэлектрических параметров исследуемой структуры, а следовательно, его можно использовать для расчета как ступенчатой нерегулярности, так и плавных изменений профиля поперечного сечения волновода путем аппроксимации ступенчатой структурой.

Метод приводит к однородной СЛАУ, порядок которой определяется количеством учитываемых в разложениях собственных волн, а также количеством отдельных неоднородностей, которыми аппроксимируется рассматриваемое сложное сечение.

• 1.    Определение базиса

Сложное, в общем случае многосвязанное сечение рассматриваемого неоднородного волновода (рис. 1) разобьем на области, продольные по координате z . Каждая выделенная область (рис. 2), бесконечная по координате x и z , представляет собой плоскослоистый металлодиэлектрический волновод, собственными волнами которого являются TE- и TH-волны.

Введем систему координат ( x , y, z) так, как показано на рис. 3. Рассмотрим произвольную волну, распространяющуюся вдоль © Бударагин Р.В., 2016

Рис. 1. Экранированных волноводов со сложным профилем поперечного сечения

Рис. 3. Поперечное сечение экранированного эллиптического диэлектрического волновода и его ступенчатая аппроксимация

E x = E x cos ф = - г в х

х

I - 1

Z f i cos ^к У , у + f i sin ^к У , у i = 0                               J

e ^- i ^к Х ^Хе ^- i ^{в 2}

Рис. 2. Бесконечный плоскослоистый металлодиэлектрический волновод

E₂ = - E x sin ф = i к Х х

х

I - 1

Z fi cos ^iy + fl sin ^iy i=0                                ,

H x = H z sin ф =

к Х юц

оси 2 с продольным волновым числом в. Для

TE-волны, согласно [2], в каждой выделен-

ной

области j введем векторный

F- y

² I - 1

Z f i cos ^к ' у i y + f i sin ^к у i ^y

I i = 0                               J

e

- i e 2

.

потенциал

Для вол-

новых чисел к- и В выполняется соотношение yi к2Бij = ку2 + в2, где i = 0,1,..., I - 1 — номер слоя плоскослоистого волновода j; I – количество

/-V слоев в плоскослоистом волноводе; бij — от-

носительная диэлектрическая проницаемость i -го слоя j -й частичной области (б ij = Б ij Б о , Б о = 8,85 ■ 10 ^{- 12} Ф/м). Поле TE-волны имеет три компоненты E , Н , Н .

xyz

Выберем систему координат ( x , y , z ) так, как показано на рис. 2. Пусть угол ф — угол между направлениями осей 2 и 2 . Обозначим через в = в cos ф, к Х = в sin ф. Волновые числа в рас-

сматриваемых системах координат связаны со отношениями: в2 = в2 + к^, к' = к’-,. Компоненты xyy поля TE-волны в системе координат (x, y, z) за-

пишутся:

„- i к' х - i в 2

e ^xe ,

I - 1

Z ^y.fi sin кУ,у- к'у1у;!' cos кУ,у х i=0                                      J

- i к'-т х„ х e ^х e

,^- i р 2 ,

H y   H y

- i

+ кх )

------- х юц

х

I - 1

Z fi cos кУ<У + fi sin кУ;У i=0                                у

H x = H z cos ф =

в юц

e ^- i ^к Х ^х _е ^- i ^{в 2}

I - 1

Z KУlfisin кУ.У - к'ylfl cos ^у.У х i=0                                      J

х e ^- i ^K Х ^xe ^- i ^{в 2} ,

E y

Так как в системе координат ( x , y , z )

имеет

три компоненты магнитного поля

волна

и две

компоненты электрического поля, то, согласно [2], такие волны можно классифицировать как продольно-электрические, или LE-волны, для которых справедливо следующее соотношение

^к 0 ^Б ij = ^к Х + ^к У + ^в 2 .

Аналогично для TH-волны, потенциал

Г I - 1

A y = Z

a cos к у + a ‘ sin к,-.

i yiiy

введя векторный

~

У e

, - i в 2 ,

в системе координат ( x , y , z ) получим:

E x = E z sin ф = —— х ЮБ 0

х

У к .»

V i = 0

a

S- sin к y - к yiyi s ij

a i

/-V s ij

cos к y y х У

- i к x - i В z х e ^x e

E y = E y = i

к x ² ) х

J E ( j ) l ij ( j )	®        [ 3 ( j ) = У A ( jj ) J En У n I H ( j ) n = 1        l2 x n		( j ) - i к ( j ) x VO - e    xn e - i в z +
®        [ 3 ( j ) + y F < j ) J E - n У n  I H ( j ) n = 1       l - n		( j ) i к ( j ) x - e xn e - i в z ,

х

ЮБ о

E a j

— cos кy y + eM

V i = 0 ij

a i

Уsin ^к y i . ^e

^£ ij

У

- i к x - i В z ^xe ,

E z = E z cos ф = —— х ЮБ 0

х

У к .»

V i = 0

a

Ts sin к y y -к, ^s ij

yi

a i

/-V s ij

A

cos к y y х У

- i к x - i В z х e ^x e

H x = H x cos ф = Г I - 1

где A_n ^{( j )}, F_n ^{( j )} – неизвестные амплитудные коэффициенты волн; к ^ ) — поперечные постоянные распространения LM-волн и LE-волн для j -й выделенной области; в — продольная постоянная распространения этих волн и собственной волны волновода со сложным профилем. Неизвестные волновые числа к ^ ) и в, связанные уравнениями (2) и (4), находятся из решения задачи. Векторные функции E ± jn , H ± n , описывающие поперечные (к оси x ) компоненты электрического и магнитного поля собственных волн плоскослоистых

областей, определяются как

= P У a i cos ^к y i y ⁺ a i ^{sin к} y i y e

V i = 0

H x = - H x sin ф = - i к _x х

х

^ I - 1

У a i cos ^к y i y + a i sin ^к y i y

H_y = 0.

,^- i ^к x x e ^- i P z

„ - i к x - i В z e ^xe ,

f E LM ⁽ j ) . ³ + E LM ⁽ j ) . k 1 E ( j )    J ^y ± n              z ± n

±n | ELE(j). k l z ± n                           J f HLM(j). k             1

J ( j ) = J z ± n

± n |hle(j).3 + HLE(j). k l y ± n            z ± n

Такие волны можно классифицировать продольно-магнитные, или LM-волны, для

как

ко-

торых справедливо следующее соотношение

k^ij = ^к ж ^{+ к} у ⁺ P 2 . (4)

Амплитудные коэффициенты f i , f i , a i , a i и поперечные волновые числа к . , к y. определяются из равенства тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей волны номера n (или n -й волны) на границах диэлектрических слоев плоскослоистого волновода j ,

Знак «–» при n в (5)–(6) означает, что соответствующая LM _n -, LE _n -волна распространяется против оси x .

Из условия непрерывности тангенциальных компонент поля на каждой границе раздела x = x j между волноводами j и j' = j + 1 получаем систему линейных функциональных уравнений:

N

У A kj ) ( E ⁽ j ) . j + E ( j ) . k ) e y_nz_n

n = 1

- i к ⁽ j ) Д x x _n

-

а также из равенства нулю тангенциальных составляющих электрического поля на металлических поверхностях экрана при y = a 0 j ) и y = a ⁽ j ) (рис. 3).

N

-      F

i к⁽j) Д x x_n

Sj

N

= У A< j+1)(E(j+1) . 3 + E(j+1) . k) -ynzn n=1

2. Описание метода

В предлагаемом методе поперечное сечение неоднородного волновода (рис. 1) разбивается на области (регулярные вдоль оси z плоскослоистые волноводы). В каждом получаемом таким образом регулярном волноводе j электромагнитное поле представляется набором прямых и обратных по оси x собственных волн с неизвестными амплитудными коэффициентами:

-

N

У F(j⁺¹⁾(E^(j+1) . ³ + E^(j+1)

n ynzn n=1

N

У аПj)(H(j) . 3 + H(j) . k)e ynzn n=1

N

-

■ k)

Sj

- i к( j) Д x ^xn   +

+     F

i к(3) Д x x_n

Sj

N

=     a

Рис. 4. Дисперсионные зависимости собственных волн экранированного эллиптического диэлектрического волновода с Al/a = 0,8, a₀/a = 11 /a = 0,6

Рис. 5. Дисперсионные зависимости собственных волн экранированного эллиптического диэлектрического волновода с A l/a = 0,55, a0/a = 11 /a = 0,6

Рис. 6. Дисперсионные зависимости собственных волн экранированного эллиптического диэлектрического волновода с A l/a = 0,4, a0 /a = 11 /a = 0,6

N

+ YFj+1)(H(j+1) ■ j + H(j+M  , ynzn n=1

Sj

где N – количество учитываемых LM_n- и LE_n-волн в j и j' = j + 1 выделенных областях. Систему (7) необходимо решать при соответствующих граничных условиях в сечениях x = 0 и x = l.

Умножаем первое уравнение (7) векторно на (H(j) ■ j + H(j) ■ к), а второе уравнение — на yqzq

(E(j+1) ■ j + E(j+1) ■ к) и интегрируем полученные yqzq равенства по продольному сечению соответ- ствующего волновода Sj . Используя условие ортогональности собственных волн плоскослоистых волноводов, получаем систему однородных алгебраических уравнений второго рода относительно неизвестных коэффициентов разложения АПj), Fnj), которая в матричной записи имеет вид

5 ■ X = 0,                                       (8)

где

XT =|^ A⁽⁰⁾D⁽¹⁾F⁽¹⁾ ... D^(j) F^(j) ... F⁽J⁺¹⁾ J – вектор-столбец;

	■    y(°)	- W(0)
	- W(0)T ¥'(0)		- E
5 —	0 0 :
	0		0
	_        0		0
- W(0)^(1)		0
^(1)		0
^(j)		E	- W(j)
W(j) T ^(j)  -		W(j)T	- E
	0		0
	0		0
	0	0	0
	0	0	0
- W(j )^(j+1)			0
^(j+1)			0
^(J)		E	- W(J )¥(J+
W(J) T ^(J)		- W (J) T	-^'(J+1)

E – единичная матрица с элементами Enq — 8 nq (8 nq — символ Кронекера); A⁽j), F^(j) – векторы-столбцы амплитудных коэффициентов; W^(j) – матрицы с элементами W(j)_n = [ (e⁽j⁺¹⁾H⁽j) - E⁽j⁺¹⁾H⁽j)) ds; WT означает ^q,n         y_qz_nz_qy_n

Sj транспонирование матрицы; ^(j) — диагональ-(j)        - i K( j) Ax ная матрица, элементы которой ^„ n = e xn учитывают набег фазы волны с номером n. Здесь всюду j — 0,1,..., J, n = 1,2,..., N, q — 1,2,..., N.

Приравнивание к нулю определителя матрицы S и дает искомую дисперсионную зависимость постоянной распространения волны в от частоты to.

3. Численные результаты

Проведен расчет экранированного эллиптического диэлектрического волновода б=12, поперечное сечение которого изображено на рис. 3.

Структура симметрична относительно плоскости x — 0, поэтому рассматриваем только ее половину (x > 0), которую разбиваем на области. Поля в областях представляются в виде суперпозиции собственных LM- и LE-волн плоскослоистых волноводов, образующих каждую частичную область.

Компоненты полей в разложении (5) опреде- ляются из векторных потенциалов, которые для двухслойных областей запишутся в виде

(I)          (I)

a cos к y

0n       y0n

A^(I) = e-i^Pz есб(к® x) j y_nx_n

– для LM_n ,

при 0 < y< ao,

a^(I) cos к® (y - a)

n        y1n при a о < y < a f ((I) sin к'® y

^{J 0}n       У о n^y

F^(I) = e-i^Pz sin(K^(I)x) j y_nx_n

при 0 < y < a о, f(I) sin K‘(I) (y - a) 1n        y1n при a о < y < a

— для LE , где k(I) , k(I) , k'(I) , k'(I) — волновые д         n , д у о n , Ут n ’ у о n ’ Ут n числа по координате y в соответствующих слоях

определяются из достаточно простых дисперсионных уравнений [2].

Векторные потенциалы для области II запи- шутся в виде

A(II) = e iPz sin k(ii) (x - l) x ynxn x a0II) cos к®) y,   при 0 < y < a

– для LM_n ,

F(II) = e-iPz cos K‘(II) (x - l) x ynxn x f*11) sin ку11)y,   при 0 < y < a

- для LE_n , где к

(II) _ ⁿn (II) _

—---, к — y0n     a y0n п (n + 1)

a

вол-

новые числа по координате y.

В однородной области II электромагнитное поле собственной волны определяется через функции, которые совпадают с собственными функциями задачи Штурма – Лиувилля для этой области.

Векторные потенциалы записываются так, чтобы обеспечить условие магнитной стенки при x — 0 и электрической стенки при x — l.

Используя условия непрерывности тангенциальных компонент полей на границах раздела областей и условие ортогональности собственных волн стыкуемых волноводов, получаем систему линейных однородных алгебраических

Рис. 7. Дисперсионные зависимости собственных волн экранированного эллиптического диэлектрического волновода с A^а = 0,002, а₀/а = 11 /а = 0,6

уравнений (8). Приравнивание к нулю определителя системы позволяет выявить направляющие свойства рассматриваемого волновода, представленные на рис. 4–6 в виде зависимостей нормированных постоянных распространения Р а = (Р' + i Р") а от нормированной частоты , to

«0а = — а, с - скорость света в вакууме. c

На рис. 4 показаны дисперсионные зависимости первых двух волн рассматриваемой экранированной структуры (рис. 3). Также на этом рисунке штрих-пунктирными линиями изображены дисперсионные зависимости при отсутствующих боковых стенках экрана. Из рис. 4 видно, что все кривые поверхностных волн полуоткрытой структуры ограничены снизу прямой Р' = «0, ниже которой эти волны (начиная со второй) переходят в вытекающие. Из рисунка также видно, что сплошная и штрих-пунктирная зависимости для второй волны совпадают в области Р' > «0, что свидетельствует о слабом влиянии боковых стенок экрана на поле волны. Напротив, для первой волны это влияние значительно, так как при отсутствии боковых стенок эта волна не имеет отсечки.

На рис. 5, 6 показана трансформация дисперсионных зависимостей первых двух волн рассматриваемой экранированной структуры при уменьшении расстояния Al = l - li от границы диэлектрика до боковых стенок экрана. Особый интерес вызывает трансформация кривых Р в области мнимых значений, проявляющаяся в появлении на этих кривых резких изломов (рис. 5) и в последующем переходе к комплексным решениям (рис. 6), которые изображены штрих-пунктиром.

В тех случаях, когда значения Al становятся очень малыми (рис. 7), двузначные участки, равно как и комплексные волны низших типов, исчезают. Следует отметить, что многие из описанных явлений происходят при таких значениях Al, которые сравнимы с допусками изготовления диэлектрической вставки. Поэтому возникает вопрос о влиянии столь значительных трансформаций в дисперсионных кривых на интегральные характеристики устройств, которые могут изготавливаться на основе волноводов с такими вставками.

Заключение

В описываемом в статье методе расчета волноводов со сложным поперечным сечением предлагается рассматривать поле волн, распространяющихся в таких волноводах, как результат дифракции собственных волн планарных частично заполненных волноводов на поперечных неоднородностях. В случае однородно заполненных волноводов этот метод совпадает с методом частичных областей, когда поле в каждой частичной области представляется суперпозицией собственных функций краевой задачи Штурма – Лиувилля.

Предлагаемый в статье метод может стать основой машинного проектирования функциональных узлов миллиметрового и субмиллиметрового диапазона длин волн. Метод не накладывает ограничения на закон изменения профиля поперечного сечения, что позволяет значительно увеличить номенклатуру линий передачи рассматриваемых диапазонов.