Метод расчета технологических параметров волочения

Деформация проволоки принимается как осесимметричная и безмоментная.

Бесконечно малый конечный элемент ij ограничен в пространстве углами нижней и верхней границ α _ij и α _ij+1 и радиусами R_1i и R_1i-1 соответственно. В каждой точке конечного элемента можно определить напряженное состояние. Координаты данной точки задаются внутренним радиусом r _i и углом θ _i , которые определяются:

^aij ^ ^ ij ^ ^aij+l »

Roi

Так как поверхности двух соприкасающихся бесконечно малых элементов, определяемые радиусами R_0i и R_1i-1 и углами α_ij и α_ij+1, исходя из геометрии могут не совпадать (рис. 2), вводим условие неразрывности на границе конечных элементов:

Urlt_1 cos 0i_1j Rli_1 = UTq. cos 9tj Rot;

В интегральном виде:

^Ur_li_₁{^ai-lj+l^{- a}i-lj^^Rli-l⁼

= Uroi(aij+l ~ aij)ROi> откуда

^Rli-l(^ai-lj+l - ^ai-lj)^Ur_li_₁

Ur°.           ROi(aij+l-aij)       ’ где Uro. — перемещение внутри конечного элемента.

Определение геометрических размеров сетки. Из дискретизации деформируемого объёма проволоки на бесконечно малые элементы следует также и разбиение геометрии рабочей

Рис. 1. Дискретизация проволоки на бесконечно малое число конечных элементов, где 0i0 = О

Рис. 2. Геометрические параметры конечного элемента

зоны волоки, состоящей из обжимного конуса, калибрующей зоны и радиуса скругления между ними, на бесконечно малые линейные участки. Каждому малому линейному участку l₁, l₂,… l_i,… l_N будет соответствовать бесконечно малый угол β₁, β₂,… β_i,… β_N (рис. 3).

Угол между перпендикуляром к направлению волочения и бесконечно малым линейным участком рабочей поверхности волоки li будет определяться по формуле:

Л — a ^ - a^ - arctg ^^У (1)

Введем угол В, определяющий геометрические параметры обжимной зоны волоки:

* — я - 2Л .             (2)

Получим систему уравнений для определе-

В

i*

— a, * arctg^C^;

* — 2 arcsin^.

Бесконечно малый угол βi будет определять-в ся как В; — —, тогда:

ⁱN

Рис. 3. Определение геометрических размеров сетки

l_i — 2R sin y.               (4)

При бесконечно малых значениях конечного угла обжимной зоны волоки α_{f =} β_f имеем:

aN-lM — af + Pi и aiM   ai+lM + Pi.            (5)

Определим диаметры, соответствующие бесконечно малым линейным отрезкам как сумму диаметра, соответствующего предыдущему отрезку и бесконечно малого приращения по диаметру:

{^nm^—d_± + ²L_k tg a^;

^N-1M^—^NM + ^2li^tgaN-lM^{;    (6)}

diM — di+iM + 2litgai+iM> где LK – длина конической части волоки.

Радиусы для каждого бесконечно малого элемента деформируемой проволоки определяются:

где ц - коэффициент затухания касательных напряжений на границе контакта волока – проволока, принимаемый равным коэффициенту трения на поверхности: 0 < ц < 1, тогда/_r._o(T_i,O) = 0.

Положим, что закон такого изменения касательных напряжений описывается степенной зависимостью:

Бесконечно малое приращение угла определяется как:

Да, = а**

.

Тогда ац = а1м-Да1(М-Г).(9)

Диаметр, соответствующий бесконечно малому линейному отрезку, будет равен:

dtj = 2Rosinaij.(10)

^(0) = ц (—) "

V aiM)

,

где n_M– коэффициент степенной функции, тогда для угла a_ij имеем:

^9(aij^ = ^ О “ . ^iM^

Между a_ц и a_tj-1 принимаем линейное распределение касательных напряжений [5]:

Определение параметров напряжённо-деформированного состояния конечного элемента сетки.

^L

Tri6ij(Ti,0ij) = I

aij+i)+^(aij)

--------------0

aij+i

^^^^H

aij

^^^^™

—

^(a_ij₊i)a_ij +^(a_ij)a_ij₊i

*

Уравнения движения в полярных координатах:

^do>r, dTi

+

-"^nr¹⁺"^^ct96ij+

^Ti ⁹⁰ ij       ^Ti         ^j

(^rr.

-^) = _pu._Ог.^; r.                ^or. dr. ’

atj+i

aij

1 + 2V3N_t (R°-) .(19)

С учетом этого допущения формула для определения нормального напряжения примет вид:

aee_ij(Ti,0i/) = b^) -

₃^(aij) + ^(aij+i)_x

1да_вв.. I dTr_i9ij

Ti 90ij      dTi

+ 3^7=0 .

[e.j

V

^(“ij+i)“ij⁺^(“ij)“ij+i —

“tj*i

— I

■ “и

^aij+l~^aij

Ti

Уравнения полей скоростей:

U_Ti = -Uo_nRoi²cos^;

В силу ^(a_ij_+i— a,j) « 1 имеем: ^i⁽Ti⁾~ b_eeij⁽Ti⁾.

Из определяющих соотношений и

^ue_v= %■ = 0.

несжимаемости £_rr

условия

Интенсивность скоростей деформаций без учета скоростного фактора:

^R°i^{2                 1}            ^²

^l2i = ^U_Or_i^7r\^3COS0ij ⁺4^Sln0ij)   ”

а.

rrij

°99ij

+ £_ee + £_p = 0 следует:

= V3 + 6n(R^.) .    (22)

Подставляя (20) и (21) в (10), имеем:

^rr_ij⁽Ti⁾ = -2 IV3 +

^(ay)ay + ^(ai_j+i)ai_j+i

^a2ij+l

a2ij

I^x

R 3

\3U_Or. -^3- - для малых углов.

Интенсивность скоростей деформации с

учетом скоростного фактора и вязкопластиче-

ских свойств:

^x(^lnTi-;²з^Ni(^RJг))⁺l^Яu(^RJг) ⁺^ⁱ= = [o-ryto ⁺ ^i].

7^ = 1 +

2V3N, (-^) ,

где A_i – постоянная интегрирования.

Определим постоянную интегрирования из граничных условий:

где N – «параметр скорости», который опреде-

^o   ^arg,

ляется как:

Nt = Л —^ > ^{i 1} kR_0i’

^R= V3’

где n — вязкость материала.

Граничные условия по напряжениям:

Tr_i9_iM(Ti,aiM) = -^/iTi,       (16)

где o_re. - растягивающее напряжение на входе.

^i+i = Orr_lJ⁽Rii⁾COs(a_ij - aij+i) - [arry/Roi+O]• (25)

Приведенное усилие для протягивания конечного элемента [5]:

^=[1 +

/ k(a_ij)a_ij + k(a_ij+i)a_ij+i\

\   ^V3(a2ij+i^{- a2}ijO    /

x

Рис. 4. Распределение зависимости усилия волочения Рв от угла обжимной зоны волоки а (—♦— - расчет по теоретической формуле И. Л. Перлина, -■--расчет по предложенной модели)

М2'—■-■' (^) -1])] +

+ ^ !' J^ - 4             (26)

Суммарное приведенное усилие волочения будет определяться по формуле:

_t _ V^м V^{N t}ij^R’lt^^aij+l^-aij^

tz-1,,0 1,,0   „^   ⁺®_r6•⁽²⁷⁾

Для оценки точности предложенной модели расчёта усилия волочения, проведено сравнение результатов числового расчета на ЭВМ для сплава АМг6 с теоретическим решением И.Л. Перлина [1], получившим широкое применение в инженерной практике. Расхождение в расчетах находится в пределах 15%, что свидетельствует о достаточной точности предложенной модели.

Разработанная модель для определения приведенного усилия волочения является более точной по сравнению с существующими методами, так как учитывает вязкопластические свойства материала, скоростной фактор, а также особенности геометрии волоки, включающей радиус скругления в зоне перехода от обжимного конуса к калибрующей части.

Сравнение результатов расчетов на ЭВМ с теоретическим решением И. Л. Перлина показали высокую точность предложенной модели. Таким образом, данная модель может быть использована на производстве для расчета режимов волочения с целью получения оптимальных сочетаний геометрии волок, коэффициентов вытяжки и энергосиловых параметров процесса.