Метод регуляризации решений бисингулярно возмущенной задачи в пространстве обобщенных функций

Автор: Акматов Абдилазиз Алиевич

Журнал: Бюллетень науки и практики @bulletennauki

Статья в выпуске: 2 т.8, 2022 года.

Бесплатный доступ

При исследовании сингулярно возмущенных задач в случае изменения устойчивости вся работа производилась в пространстве аналитических функций. Естественно, возникнут вопросы, можно ли получить оценку решений сингулярно возмущенной задачи, не выходя на комплексную плоскость. В работе первыми полученными результатами являются решения сингулярно мотивированной задачи, не переходя в комплексную плоскость. Для этого разработан метод регуляризации в пространстве обобщенных функций и получены соответствующие оценки. Если выбрать начальную точку на устойчивом интервале, то вплоть до точки перехода асимптотическая близость решений возмущенной и невозмущенной задачи имеет порядок малого параметра ε. Проблема появится, когда точка принадлежит неустойчивому интервалу. Следовательно, до этого, работы переходили в комплексную плоскость. В таких задачах существует понятие времени запаздывания решений возмущенной и невозмущенной задачи. Линии уровня появятся в сложных плоскостях. В таких задачах существует понятие времени запаздывания решений возмущенной и невозмущенной задачи. Линии уровня появятся в сложных плоскостях. В особых точках эти линии имеют линии критического уровня. Поэтому невозможно выбрать начальную точку так, чтобы получить максимальное время задержки. Но асимптотическая близость решений возмущенной и невозмущенной задач возможна при ограниченных временных задержках. Если изучать решение в пространстве обобщенных функций, то можно выбрать начальную точку с максимальной задержкой по времени. А также, не переходя на комплексную плоскость, можно установить асимптотическую близость решений возмущенной и невозмущенной задачи. Для этого впервые разработан метод регуляризации решений сингулярно возмущенной задачи.

Еще

Дифференциальные уравнения, функционал, особая точка, бисингулярные возмущения, асимптотика, устойчивость, задача коши, носитель, регуляризация, финитность

Короткий адрес: https://sciup.org/14122895

IDR: 14122895 | DOI: 10.33619/2414-2948/75/01

Текст научной статьи Метод регуляризации решений бисингулярно возмущенной задачи в пространстве обобщенных функций

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.928

В данной работе исследуем решения бисингулярно возмущенной задачи в случае смены устойчивости. Известно, что, не удается установить асимптотическую близость решений возмущенной и невозмущенной задачи в пространстве действительных функций [1–3, 5–7]. Поэтому, вся работа выполнялась, переходя к комплексной плоскости. В данной работе впервые разрабатываем метод регуляризации решений бисингулярно возмущенной задачи в пространстве обобщенной функции S '( R 1 ). Цель исследования. Доказать в пространстве обобщенных функций S '( R 1 ), асимптотическую близость решений бисингулярно возмущенной и невозмущенной задачи. С этой целью разрабатываем метод регуляризация решений бисингулярно возмущенной задачи в пространстве обобщенных функций S '( R 1 ). В данной работе впервые покажем суть метода регуляризации [4, с. 82–102] и приведем конкретный пример.

Материалы и методы исследования

Рассмотрим задачу sy' (t, s) = D (t) y (t, s) + s[f (t) + B (t) y (t, s)] (1)

У ⁽ t o , ^s ) = У ° ⁽²⁾

где D ( t ) = diag ( ^ ( t ), ^ ( t )), y ( t , s ) = colon ( y_{ ( t , s'), y ₂ ( t , s )), t e R ¹, 0 < s - малый параметр, f ⁽ t ) = colon ⁽ f , ⁽ t ), f ₂ ⁽ t ) ) , [ t o , T ] - отрезок действительной оси, t₀ < T , C ” - пространство бесконечно дифференцируемых функций. Здесь S ( R 1 ) — пространство основных функций, S '( R ¹) — пространство обобщенных функций. Действительные части собственных значений матрицы D ( t ) имеет устойчивые и неустойчивые интервалы.

Например, действительная часть собственных значений Re Л ( t ) < 0 , ( k = 1,2 ) в интервале t g ( -да , а ₀) , то этот интервал является устойчивым, если Re Л ( t ) > 0 , ( k = 1,2 ) в интервале t g ( a ₀ , +да ) - неустойчивым. Если Re Л_к ( а ₀) = 0 , тогда точка t = a₀ является точкой перехода от устойчивого интервала к неустойчивому интервалу. Такие интервалы зависят от конкретных собственных значений матрицы D ( t ) . От устойчивого интервала выбираем начальную точку задачи Коши.

Взяв, формально £ = 0, получим невозмущенную задачу

D(t)~(t,0) = 0, D(t) ^ 0 .(3)

Уравнение (3) имеет единственное решение в пространстве S ( R 1 )

~ (t) = 0.(4)

Пусть выполняются условия:

Л (t) G Cда, Л2 (t) g Cда, Vt g Cда(Л (t) ^ 0, k = 1,2),

Определение 1. Обобщенной функцией называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций S ( R ¹ ) и обозначается

+да

( y ( t , £ ), Ф ( t ) ) = j y ( t , £ ) Ф ( t ) dt .

-да

Определения 2. Финитным называют функции, которые обращаются в нуль функции вне некоторого конечного интервала.

Лемма 1. В области D , для функции e ( t , t ₀, £ ) = y ⁽⁰⁾( £ )exp ¹ j D ( s ) ds , справедлива

t 0

следующая оценка

где с - некоторая постоянная.

Доказательство. Доказательство проводим в пространстве обобщенных функций S '( R 1 ), и составим, по определению функционала учитывая у ⁽⁰⁾( £ ) = £ , получаем

+да — j D ( s ) ds

( E ( t , 1 ₀, £ ), ф ( t ) ) = £ j e"' ⁰

-да

ф ( t ) dt . Финитная функция изменит пределы интеграла в

окрестности особой точки

Определим норму функции,

S ( £ ) ij D ( s ) ds S ( £ ) 2j D ( s ) ds

( E ( t , t ₀, £ ), ф ( t ) ) = £ j e '⁰ ф ( t ) dt = £ф ( t j) j e t ⁰ dt .

- S ( £ ) - S ( £ )

тогда ||( E ( t , 1 0 , £ ), ф 1 ( t ) J < 2 £S ( £ ) ф 1 ( t i )exp | 1 - F^⁰) | , где

lim S ( £ ) = 0, £ = o ( S ( £ ) ) . Отсюда видно, что доказано справедливости оценки (6) в

£ ^ 0

пространстве S ’( R 1 ). Лемма доказана.

Лемма 2. В области D , для интеграла E ( t, т , £ ) = j exp — j D ( s ) ds f ( r ) d r , справедлива

' 0

следующая оценка

IIE(t,T,£)|| < cS(£) , где lim S(£) = 0 , £ = o(S(£)), c - некоторые постоянные. £ ^0

+OT

Доказательство. Составим функционал ( E ( t , t , £ ), ф (t ) ) = j E(t , t , £ ) ф ( t ) dt . Из условия -от

+3 (£ £ финитности функции ф(t) имеем (E(t,r,£),ф(t))= jE(t,t,£)ф(t)dt. Из курса

-S (££ математического анализа известно, что если функция E(t,т,£) на интервале (t0,a0) монотонно возрастает и неотрицательна, а в интервале (a0, t) монотонно убывает и неотрицательна, тогда по формуле Бонне будет tt t - j D (s) ds j D (s) ds a 0

je£ f (r)dr = ea0 (j f (r)dr + j f (r)dr). Если функция f (t) интегрируема, тогда t0 t0

ir- t —j D (s) d s jj D (s)ds je^ f (tdr = e “0 [F(t) -F(t0)]. Функционал имеет вид определяющим с интегралом

' 0

S ( £ ) —J D ( s ) ds

⁽ E ⁽ t r ^£ ) ^ф - ⁽ ' ) ) = j / a ⁰

S ( £ ) D ( s ) ds

F ( t ф ( t ) dt + F ( t ₀) I e ^a ⁰ ф ( t ) dt . Оценим каждую слагаемую

-S ( £ ) -S ( £ )

S (£) -j D (s) ds j e a0 F(t)ф (t)dt

-S ( £ )

S ( £ ) —Re j D ( s ) ds

< F (0) ф ( t_x ) j e ^£ ^a ⁰ dt

- S ( £ )

Последний интеграл стремится к

t нулю при £ ^ 0 , и Re j D (s) ds > 0 , F(0) ^ 0 .Оценим вторую слагаемую. Тогда 2). a 0

1 ' г i t

S ( £ ) j D ( s ) ds S ( £ ) j D ( s ) ds

F ( t ₀) j e a ⁰ ф ( t ) d' = F ( ' ₀ ) ф ( t [) j e ^a ⁰ dt , который стремится к нулю при £ ^ 0 . В

- S ( £ ) - S ( £ )

общем случае норма интеграла || E ( t , т , £ ) ф ( t )|| < c S ( £ ). Отсюда видно, что оценка (7) доказано.

Лемма полностью доказана.

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть выполняются условия (5). Тогда задача (1), (2) имеет единственное решение и для нее справедлива оценка

||у(',£)|| < CS(£) , где а(£) ^ 0, £ ^ 0, t g C, C — постоянное число.

Доказательство. От задачи (1), (2) приходим к эквивалентному уравнению:

y ( t , e ) = y ⁰ ( e ) ) E ( t , t 0 , e ) + j E ( t , r , e ) [ f ( r ) + B ( r ) y( r , г ) ] d r , t 0

где

\ Г

Уравнение (9) будем решать методом последовательных приближений:

y0(t,г) ^ 0, y 1(t,г) = y0(e)E(t,tо,г) + jE(t,r,e)f (r)dr , t 0

У п ( t , e ) = y 1 ( t , e ) + j E ( t , r , e ) B ( r ) y n - 1 ( r , e ) d т , где t 0

Решение рассмотрим в R ¹, поэтому имеем единственный путь интегрирования.

Учитывая лемму 1 и лемму 2, производим оценку последовательных приближений

у] (t, e) = y0 (e)E(t, 10, e) + j E(t, r, e)f (r)dr . Для первого приближения верна оценка t 0

||yx (t, e)|| < c8(e), где c — некоторая постоянная. Далее, для второго приближения аналогично получаем, ||у2 (t, e)|| < c8(e) + (c8(e))2 где c — некоторые постоянные. Предположим справедливость следующего неравенства ||yn(t,e)|| < c8(e) + (c8(e))2 +... + (c8(e))n, гдеc — некоторые постоянные, n g N. Справедливость оценки (8) доказана.

Теперь докажем сходимость последовательных приближений. Имеем ||У 1 ( t , e )|| < c 8 ( e ) < 1 , | ^y 2 ⁽ t , ^e ) - у 1 ⁽ t , ^e )|| <⁽ c 8 ⁽ ^e ⁾ ⁾ ² < 1,

||y 3 ⁽ t , ^e ⁾ ^- у 2 ⁽ t , ^e )|| < ⁽ ^c ⁸ ⁽ ^e ⁾ ⁾ 3 < ¹, | ^y n - 1 ⁽ t , ^e ) ^- У п - 2 ⁽ t , ^e )|| < ⁽ ^c ⁸ ⁽ ^e ) ) n ^- ¹ < ¹.

Докажем справедливость оценки ||yn (t, e) - yn4 (t, e)||. Имеем что разность решений верна |yn (t, e) - Упч (t, e)|| < (c8(e))n < 1 .Построим ряд да

E ⁽ y k ⁽ t , ^e ) ^- y k - 1 ⁽ t , ^e ) ) .

k = 1

Если ряд (10) сходится равномерно, то последовательность {yn (t, e)} сходится равномерно.

Докажем равномерную сходимость ряда (10). Имеем да

E ⁽ У_к ⁽ t , ^e ) ^- y_k ⁽ ^t , ^e ) )) k = 1

да

< EI ^y k ⁽ ^t , ^e ^{) -} y k - 1 ⁽ ^t , ^e )ll = I ^y 1 ⁽ ^t , ^e ) ^- y 0 ⁽ ^t , ^e )1 ⁺ k = 1

||y 2 ^(t , ^e ) ^- y 1 ⁽ ^t , ^e ^{) +} ... ⁺ I^y n ⁽ ^t , ^e ) ^- У п - 1 ⁽ t , ^e )|| ⁺ ... = ^c ⁸ ⁽ ^e ) ^{+ (} ^c ⁸ ⁽ ^e ⁾ ⁾ ²

В рассматриваемой

+ ... + ( c 8 ( e ) ) ⁿ + ... = c 8 ( e ) x

L 1 -(c8(e)) J

области || y_n ( t , e )|| < c 8 ( e ) x

r Ucmr 1^ 1 - c8(e) J

,и при

n ^ да получим

||y ( t , e )|| < c 8 ( e ) .Теорема доказана.

На основе доказанной теоремы видно асимптотическую близость решений (8) и (4).

Приведем пример. Пусть матрица-функция D ( t ) имеет сопряженные собственные значение \ ( t ) = t + i и Л₂ ( t ) = t - i .Определим действительную часть собственных значений Re ^ ( t ) = t , ( k = 1,2 ). Действительная часть собственных значениях устойчива в интервале t е ( -ю ,0 ) , и неустойчива в интервале t е [ 0, +® ) . Точки перехода t = 0 также входит в неустойчивом интервале. Потому, что в окрестности точки t = 0 и самой точке не определено устойчивость. В качестве начальной точки можно взять -ю < t ₀< 0. Собственные значения комплексно-сопряженные, поэтому достаточно исследовать \ ( t ) = t + i . Полученные оценки выполняются аналогично. Задачи (1), (2) сведем к эквивалентной задаче вида (9), учитывая, что функция f ( t ) интегрируема в отрезке t е [ t ₀, T ] , ⁽ t 0 < T ) в векторном виде:

y(t, s) = y 0(s)E(t, 10, s) + j E(t, t, s)[f (t) - B(t)y(t, s)]dr . Для одного собственного t 0

1- ( ( t + i ) ² - ( 1 0 + i ) ² ) p — ( ( t + i ) ² - ( t + i ) ² )

значения имеем yx (t, s) = y^(s)e2s +j e2s f (t)dr . Используя лемму 1, t0

—( ( t + i ) ² - ( 1 ₀ + i ) ² )

оценим первую слагаемую y[ (s)e2s . Здесь y[ (s) = s можно заменить, учитывая условия устойчивости собственных значений. Тогда составим функционал в пространстве

S ’( R ‘)

— ⁽⁽ t ⁺ i ⁾ ² ^- ⁽ t 0 ⁺ i ⁾ ² ) s e ² ^£

,ф( t) = s j

’ 2 ( ( t + i ) ² — ( 1 0 + i ) ²)

e ² ^s ф ( t ) dt . Определим абсолютную величину

J -'

функционала f ((‘+i)2 -(‘0+i)2 )

s e ² ^s

, ^ф ⁽ * ) J

величина функционала

среднем к функционалу

^+ю - ( t ² - 1 0² )

< s j e² ^s ф (t ) dt .

-ю

f T ((t+i )2 -(t 0 + i )2 )\ se2s ,ф( t)

—( ⁽ t ⁺ i ⁾ ² ^- ⁽ t 0 ⁺ i ⁾ ² )

s e² ^s , ф ( t )

Функция ф ( t ) финитна, поэтому абсолютная

⁺ ^s ¹ 2 ,2

( t - 1 0 )

< s I e ² ^s ф ( t ) dt . Применим теоремы о

- V s

⁺ ^s ± ( ₁ ² - 1 ₀; )

< s^ ( t j ) j e ² ^s dt ^ 0, при s ^ 0 . Теперь

- s

p “( ( t + i ) ² - ( t + i ) ² )

оценим интеграл I e2s f (t)dr и составим функционал в пространстве обобщенных t 0

Г ~ ( ( t + i ) ² - ( t + i ) ² )

функций j e ² ^s

f ^T ) d ^T , ^ф ⁽ t ) = j j ^e

-ю

\ t 0

—( ( t + i ) ² - ( t + i ) ² )

² ^s f ( t ) d r ф ( t ) dt . Найдем абсолютную

величину

функционала

f² X ( ( t + i ) 2 - ( t + i ) 2 ) ^

j e ² ^s ^f i ( ^T X ^ф ⁽ t )

1 1 0 J

+ю/ t

<1,

'A t 0

^( t ² - T ² ) e ² ^s

f , ( t ) d r ф (t ) dt . А теперь J

определим

финитности

V. -L(( t + i ) 2 - ( t + i ) 2 ) ^

j e ² ^s ^f 1⁽ ^T ), ^ф ⁽ t )

1 1 0 J

+ dSf t 1_Z2 2. A

С Г — ( t - t )

< j j ^e ² ^s f - ⁽ ^t ) ^d ^{T ф} ⁽ t ) ^dt .
- ^ 1 0 J

функций ф ( t ) :

Интеграл запишем в виде:

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №2. 2022 t 1 2 2Л 012 2ч t 1 2 2ч

-—_т ²

² ^£ в интервале t е [ t ₀,0 )

( t — т ) ( t — т ) ( t — т )

J e² ^£ f ( т ) d т = J e² ^£ f ( т ) d т + J e² ^£ f ( т ) d т . Функция e

t 0 t 0 ⁰

монотонно возрастает и неотрицательная, а в интервале t е ( 0, t ] монотонно убывает и неотрицательна. Видно, что выполняется условия формуле Бонне. Интеграл можно записать

t в виде J e t0

¹ 2 1 2 t t 1 2 _2ч 1 ,2

( t т ) t ( t т ) t

² ^£ f ( т ) d т = e² ^£ J f ( т ) d r . Интегрируя J e² ^£ f ( т ) d r = e ² ^£ [ F ( t ) — F ( t ₀) ] .

t 0

Подставляя, этот интеграл к функционалу получаем

следующие интегралы

^f 4t ² — т ² ⁾

J ^{e 2} ^£

\ t 0

A f^T) dT,^ t) = J

—t ² р — t ²

e ² ^£ F ( t ) ф ( t ) dt + F ( t₀ ) J e ² ^£ ф ( t)dt .

Оценим

функционал.

—>! £

—V £

Тогда, учитывая теорему

о среднем, вычислим

интеграл

и получим,

■ ^^2 V £

J e² ^£ F ( t ) ф ( t ) dt < e ф ( t_x ) J F ( t ) dt = e ф ( t_{ ) [ f ( 4s ) — F ( — ■ ) ] . Отсюда имеем

оценку равную

-у/ £

-у! £

некоторые

постоянные.

Второе

слагаемое

функционала

•V £ 1 2 £^£

F ( 1 0 ) J e ^'^(. t ) dt = F ( 1 0 ) ф 1 ( 1 1 ) J

—V £

—

■ -12 г e2£ dt. Получаем оценку равную cd £ , где c - некоторые ■

постоянные.

В итоге для первого приближения имеем

|⁽ y 1 ⁽ t , ^£ ⁾ ^ф ⁽ t ) < ⁽ ^c 44 ^ф ⁽ t ) ) , отсюда видно что

IУ[ (t, £)| < c4~£ .А и для F (t) имеем |y2 (t, £)| < c4s , где c некоторые постоянные.

Последующие приближения определяются аналогично.

Результаты и обсуждение

Из выше доказанных лемм и теоремы видно, что в пространстве обобщенных функций S '( R ' ), можно установить асимптотическую близость решений бисингулярно возмущенных и невозмущенных задач.

Метод регуляризации обсуждено на основе примера на научном семинаре кафедры математического анализа под руководством профессора С. Каримова.

Выводы

Подведя итог, можем сказать, что последовательность { y_n ( t , £ } равномерно сходится к некоторой функции y ( t , £ ) , которая является решением уравнения (1). Когда собственные значения матрицы имели устойчивый интервал, то можно доказать асимптотическую близость решений бисингулярно возмущенной и невозмущенной задачи. Появится вопрос: можно ли установить асимптотическую близость решений возмущенной и невозмущенной задачи когда, собственные значения матрицы не имели устойчивой интервал. В этом направлении продолжим исследовании.

Статья научная