Методика описания вертикального зондирования ионосферы

В работе установлена связь коэффициента отражения с параметрами сингулярного отражающего слоя , задающими его прозрачность и положение и зависящими от частоты , при вертикальном зондировании слоистой ионосферы .

The relationship has been found between the reflection coefficient for the stratified ionosphere vertical sounding and frequency dependent parameters of the singular reflective layer: transparency and position.

Распространение радиоволн в неоднородных средах отличается исключительно большим разнообразием возможностей, что обусловлено свойствами комплексной диэлектрической проницаемости e ‘ ( r, to) для различных физических объектов и условиями существования плазмы. В общем случае задача распространения радиоволн в плазме пока не имеет достаточно развитых методов анализа, поэтому обычно рассматриваются частные задачи, имеющие определенный практический интерес [Гинзбург, 1960]. Одной из таких задач является задача описания распространения радиоволн в плоскослоистой или сферически слоистой ионосфере. Интерес к этому во многом вызван исследованиями ионосферной плазмы методом вертикального радиозондирования (ВЗ).

Распространение радиоволн в слоисто-неоднородной ионосфере обычно начинают рассматривать с задачи нормального падения волны на слой. При этом комплексная диэлектрическая проницаемость среды является функцией одной пространственной переменной (например, функцией типа е‘(z,to)), и задача сводится к решению однородного уравнения d2E(z, ω) ω2

----—---+ — е ( z , to) E ( z , to) = 0.              (1) dz c

Здесь E ( z , ω) – одна из компонент поля, параллельного слоям [Гинзбург, 1960]. Известно также, что при наклонном падении задача распространения радиоволн может быть сведена к задаче о нормальном падении, поэтому задача ВЗ имеет широкую область применимости. Уравнение типа (1) встречается также в акустике и в теории распространения волн любого типа. Именно поэтому уравнению типа (1) посвящено большое количество работ [Бреховских, 1957; Гинзбург, 1960; Фрёман, Фрёман, 1967; Кравцов, Орлов 1980].

Для того чтобы сформулировать предлагаемую методику описания вертикального радиозондирования ионосферной плазмы, воспользуемся языком теории линейных цепей [Гоноровский, 1986]. В соответствии с общим принципом, справедливым для стационарных линейных цепей, связь входного сигнала f ( t ) с выходным f p ( t ) может быть описана в виде интеграла наложения (интеграла Дюамеля):

t fp (t) = J h(t — t) f (t)dт .                          (2)

—TO

Введенная в формуле (2) функция h(t) представляет собой импульсную характеристику линейной цепи, или отклик цепи на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака. Подчеркнем, что нижний предел интегрирования выбран равным –∞, в отличие от нулевого значения, которое часто используется в теории сигналов. Нулевое значение обычно используется вместе с тем предположением, что подаваемый на линейную систему сигнал начинается с нулевого момента времени. Если же не требовать такого ограничения, то естественно использовать формулу (2) (это следует также из общих функциональных соображений). Действительно, если рассматривать сигналы как элементы гильбертова пространства, то при общих условиях линейные операторы будут иметь вид интегрального оператора. Конечность верхнего предела в (2) обусловлена тем, что для физически реализуемых систем имеет место принцип причинности, который означает невозможность существования отклика системы, опережающего воздействие. Зависимость ядра интегрального оператора в (2) от разности времен обусловлена стационарностью рассматриваемой системы. В нестационарном случае это свойство будет отсутствовать.

Если к правой и левой частям формулы (2) применить преобразование Фурье, то она примет форму алгебраического соотношения вида

F p (to) = H (to) F (to), (3) где использованы следующие обозначения:

TO f (t) = J e to‘F (to)dto , (4) —TO

H (to) = J e ^— i ^toT h (т) d т . (5) 0

Из формулы (5) с очевидностью следует, что передаточная функция H (ω) будет аналитической функцией в нижней полуплоскости ω. Подчеркнем, что при решении уравнений типа (1) основным объектом, который стремятся получить, является коэффициент отражения, фактически представляющий собой передаточную функцию канала вертикального радиозондирования.

Это легко показать на следующем примере. Пусть излучатель расположен в точке z =0, а отражающий ионосферный слой на высоте z = h . Если предположить, что в некоторой окрестности излучателя ионосферная плазма отсутствует, то вблизи него можно выбрать пару линейно независимых решений вида exp { ± i to z } . Заметим, что при про-

Методика описания вертикального зондирования ионосферы должении этих решений на всю координатную ось линейно независимые решения уже не будут иметь столь простую форму. Естественным условием, позволяющим физически однозначным образом выделить линейно независимые решения, является условие при z ^+».

Так, одно из решений уравнения (1) для излучателя в точке z =0 и ионосферного слоя при z >0 выделяется условием излучения, которое соответствует наличию потока энергии в положительном направлении за ионосферным слоем. Если обозначить это решение через E ₊( z , ю), то вблизи излучателя оно может быть представлено в виде

E ₊ ( z ,ю) = exp ( i ю z ) + R ( z ,ю)exp ( i ю z ) . (6)

Здесь введена функция R ( z , ю), которая при z =0 совпадает с коэффициентом отражения.

При анализе решений уравнения (1) для конкретных моделей ионосферной плазмы, т. е. для конкретных функциональных зависимостей е ‘ ( z , ю), основным искомым объектом и является коэффициент отражения, так как именно с его помощью возможно исследовать свойства принимаемых (регистрируемых) сигналов. Точные решения известны для небольшого числа функциональных зависимостей е ' ( z , ю), и большое распространение получили приближенные методы анализа свойств решений уравнений типа (1). Среди таких методов наиболее известным является метод геометрической оптики, который обычно применялся при отсутствии потерь.

Переходя к основной части данной работы, следует подчеркнуть, что главным ее результатом является рассмотрение одной сингулярной модели ионосферного слоя, которая допускает точное решение. Для формулировки предлагаемой модели воспользуемся тем, что обычно функция е ‘ ( z , ю) в рамках модели холодной плазмы в отсутствие магнитного поля может быть представлена в виде

,             4п e ² N ( z )

е ( z , ю) = 1------------ - = 1 - q ( z , ю),         (7)

m ^{ю ( ю -} I V эфф )

где e - заряд электрона, m - его масса, V эфф - эффективная частота соударений, а N ( z ) - плотность электронной концентрации [Гинзбург, 1960].

Если уравнение (1) переписать в виде d E (z, ю) юю

----у---+ — E (z, ю) = — q (z, ю) E (z, ю),    (8) dz      сс то при введении сингулярного ионосферного слоя ю. q (z, ю) = -2 а (ю)5( z - h (ю))<

c

уравнение (8) примет следующую форму:

d ² E ( z , ю) dz ²

, ю2

+ -r E ( z , ю) с

= - 2 а (ю)5( z - h (ю)) E ( h (ю), ю).

Здесь положение h (ю) и интенсивность а (ю) сингулярного ионосферного слоя предполагаются зависящими от частоты, причем последняя в общем случае может быть комплексной. При переходе от (8) к

• (10)    было использовано известное свойство дельтафункции f ( x )5( x - x ₀) = f ( x ₀ )5( x - x ₀) .

В уравнении (10) решение E(z, ю) является непрерывной функцией по переменной z на всей оси. С другой стороны, интегрируя это уравнение по малой окрестности точки h(ю), получим условие для его производных dE(h + 0, ю) dE(h - 0, ю) _ dz            dz                          (11)

= - 2 а (ю) E ( h (ю), ю) = - 2 а (ю) E ₀(ю).

Выберем решение E ( z , ю) уравнения (10) при z > h (ю) в виде E ( z , ю)=exp( i ю z ), которое удовлетворяет условию излучения. Тогда при z < h (ю) искомое решение можно представить в виде линейной комбинации

E ( z , ю) = C - exp( - i ю z ) + C ₊ exp( i ю z ),          (12)

коэффициенты С ^ которой подлежат определению.

Используя введенные выше формулы для искомого решения, из условий непрерывности и (11) получаем систему двух уравнений для коэффициентов линейной комбинации (12). Решая эту систему, будем иметь

С ₊= 1 + а (ю), C - = а (ю)exp(2 i ю h (ю)) .        (13)

Из явного вида (12) решения E ( z , ю) при z <  h (ю) находится коэффициент отражения в точке z =0 (передаточная функция рассматриваемого канала связи) как отношение отраженной волны к падающей волне на слой:

R (ю) = H (ю) = ^{а ( ю )} exp(2 i ю h (ю)).          (14)

а (ю) + 1

Из формулы (14) получаются соотношения при а (ю)>0

I R (ю )| = ^{а ( ю )} , arg R (ю) = 2ю h (ю),          (15)

• ^{1      1} а (ю) + 1

которые устанавливают связь между коэффициентом отражения для некоторой модели ионосферного слоя и параметрами сингулярного отражающего слоя. Подчеркнем, что такая связь имеет место лишь вне отражающего слоя. Таким образом, вместо того чтобы находить коэффициент отражения (передаточной функции) из решения дифференциального уравнения, можно воспользоваться параметрами сингулярного отражающего слоя. С другой стороны, вместо коэффициента е ‘ ( z , ю) уравнения (1) можно задавать параметры а (ю) и h (ю). Такой подход может быть полезен при исследовании тех задач, свойства решений которых определяются свойствами коэффициента отражения. Действительно, при исследовании, например, однородных волноводных систем свойства коэффициента отражения имеют определяющее значение, так как спектр нормальных волн им и задается.

Коэффициент отражения (передаточная функция) является аналитической функцией в нижней полуплоскости, что должно быть учтено при задании параметров а (ю) и h (ю). Если вместо коэффициента отражения рассматривать его логарифм, т. е. функ-

И.И. Орлов, А.В. Ойнац цию µ(ω)=lgR(ω), то она также будет аналитической функцией в нижней полуплоскости ω, за исключением возможных логарифмических особенностей, соответствующих нулям R(ω). Вследствие этого вещественные и мнимые части функции µ(ω) при условии отсутствия логарифмических особенностей связаны преобразованием Гильберта [Лаврентьев, Шабат, 1958].

Связь вещественной и мнимой частей µ(ω) преобразованием Гильберта означает, что для вещественной a (ω) мнимую часть можно задавать через соответствующий интеграл типа Коши. Для этого следует детальнее установить возможные свойства показательной функции µ(ω), включая те случаи, когда у этой функции имеются логарифмические особенности.

Заключение

В работе представлена возможность определения коэффициента отражения от слоистой ионосферы (вне слоя) набором двух связанных между собой параметров формального сингулярного отражающего слоя. Такой подход, во-первых, не требует построения решений соответствующего дифференциального уравнения и, во-вторых, основан на использовании параметров (функций частоты) с ясным физическим смыслом.

Практическое значение предложенной методики применительно к вертикальному зондированию ионосферы заключается в том, что вместо профиля электронной концентрации можно задавать параметры сингулярного слоя.

Отметим, что использование сингулярных моделей в физике имеет широкое распространение практически во всех ее разделах [Альбеверио и др., 1991]. Так, например, в квантовой физике модели взаимодействий нулевого радиуса действия часто использовались благодаря возможности получать многие результаты в законченной аналитической форме.

Работа поддержана Министерством образования и науки Российской Федерации (госконтракт № 14.740.11.0078).