Методика определения усилий мышц и реакций в суставах при движении нижней конечности человека в реабилитационном тренажере

При травмировании нижней конечности или в случаях операций на ней имеют место потеря движения конечности на некоторое время и, как следствие, снижение уровня механических свойств костных тканей, обусловленное адаптацией кости к уменьшению нагрузок. Следовательно, при реабилитации необходимо восстановление механических свойств костных тканей до физиологически нормальных значений.

В настоящее время процесс восстановления осуществляется амбулаторно путем лечебных нагрузок, которые назначаются по общей методике и носят неиндивидуальный характер (например, использование костылей). При этом пациент не в состоянии точно контролировать нагрузки на нижнюю конечность, результатом чего могут стать локальные перегрузки кости и микроразрушения костной ткани. Это часто приводит к защемлению нервных окончаний и болевому синдрому после сращения кости. Поэтому актуально назначение индивидуального режима лечебных нагрузок, гарантирующего восстановление кости без локального разрушения костной структуры. Для реализации такого режима нагрузок ранее был предложен способ реабилитации костной ткани нижней конечности человека с контролируемыми нагрузками в тренажере, создаваемыми отягощениями [2].

В настоящей работе рассматривается тренажер с упругим элементом, создающим реабилитационную нагрузку на восстанавливаемую конечность (рис. 1). Предполагается, что пациент проходит курс восстановительного лечения после травмы,

Акулич Юрий Владимирович, к.т.н., профессор кафедры теоретической механики, Пермь

Зинатулин Эльнар Азатович, магистрант кафедры теоретической механики, Пермь

Рис. 1. Схема тренажерного устройства с упругим сопротивлением: 1 – голень, 2 – бедро, 3 – стопа; MA, MB – главные моменты усилий мышц, G1,2,3 – силы тяжести сегментов конечности соответственно; Fупр, N – сила упругости пружины и реакция опорной поверхности под пяткой соответственно поэтому периодические движения конечности достаточно медленны и ограничены по амплитуде угла подъёма бедра φ в пределах 0-45º. Ограничения показаны условными упорами К и L. Ввиду болевых ощущений, обусловленных действием наибольших сил инерции, пациент подсознательно осуществляет «мягкое» касание упоров, т.е. с угловыми скоростью и ускорением, равными нулю. Этим условиям удовлетворяет функция вида

ϕ ( t ) = ϕ ₀ + ( ϕ_τ - ϕ ₀)(10 - 15 t / τ + 6 t ² / τ ²) t ³ / τ ³ ,                       (1)

где ϕ ₀ , ϕ_τ - начальное и конечное значения угла подъёма бедра соответственно, τ - задаваемое время движения бедра между «упорами», τ = 4 с.

Движение стопы относительно голени не учитывается. Она зафиксирована по отношению к голени в положении θ = 90°. Пятка D скользит без трения по горизонтальной поверхности. Реакция опорной поверхности под пяткой известна, поскольку в каждый момент времени она измеряется с помощью подометрической платформы. Значения внешних сил приняты равными: G 1 = 87 Н, G 2 = 28 Н, G 3 = 7,4 Н, N = 45 Н. Жесткость пружины принимается равной 250 Н/м.

Выбор режима нагрузок возможен с помощью моделирования процесса адаптации костной ткани к возрастающим нагрузкам [1, 8]. Очевидно, что основой модели является пространственная краевая задача для костей восстанавливаемой конечности как пороупругой приспосабливающейся среды. Определение усилий мышц и реакций в суставах, необходимых для формирования силовых граничных условий краевой задачи, является фундаментальной проблемой биомеханики костно-мышечной системы, на решение которой направлена предлагаемая методика.

В основе методики лежит метод перемещений [3, 6], обладающий рядом достоинств: 1) является объективным, т.е. не требует использования субъективных критериев, экстремумы которых дают искомые значения мышечных сил [11]; 2) преодолевает статическую неопределимость задачи; 3) выделяет активные мышцы в данном положении конечности и определяет изометрические значения их мышечных сил. Однако значения мышечных сил вычисляются с недопустимо большой погрешностью, достигающей для некоторых мышц, как будет показано ниже, величины порядка 180%. Низкая точность метода обусловлена как используемыми упрощающими допущениями, так и неточностью геометрических характеристик и упругих свойств мышц, сухожилий и суставных хрящей.

Отличительной инновационной чертой данной методики является оптимизационное уточнение значений мышечных сил. Критерием оптимизации принимается мера отклонения главных моментов мышечных сил в суставах конечности от их действительных значений, найденных путём решения прямой задачи динамики нижней конечности.

Реакции в суставах уточняются с помощью принципа Даламбера.

Предварительное определение значений мышечных сил и реакций в суставах МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Поскольку конечность совершает медленные движения и ускорения малы, силы инерции в данном рассмотрении не учитываются. Усилия мышц и реакции в суставах бедра и голени определяются для горизонтального положения конечности в момент начала сгибания в коленном суставе ( v D — 0, a_D <  0, см. рис. 1). В этом положении сила продольного сжатия костей конечности достигает наибольшего (пикового) значения, равного сумме сил упругости пружины и усилий мышц. Именно пиковые значения деформаций стимулируют адаптационную деятельность костных клеток по перестройке костной ткани [10].

Нижняя конечность представляется системой трех свободных твердых тел – бедро, голень со стопой и коленная чашечка (рис. 2). Мышцы, связки и хрящи суставных поверхностей моделируются упругими прямолинейными нитями известной жесткости. Мышцы и связки работают на растяжение, хрящи – на сжатие.

Рассматриваются все мышцы, участвующие в актах сгибания и разгибания в коленном и тазобедренном суставах, всего 14 мышц: F 1 – m. Iliopsoas (подвздошнопоясничная мышца), F 2 – m. Giuteus maximus (большая ягодичная мышца), F 3 – m. Pectineus (гребенчатая мышца), F 4 – m. Adductor longus (длинная приводящая мышца), F 5 – m. Adductor brevis (короткая приводящая мышца), F 6 – m. Adductor magnus (большая приводящая мышца бедра), F 7 – m. Adductor minimus (малая приводящая мышца бедра), F 8 – m. Semimembranosus (полуперепончатая мышца), F 9 – m. Gracilis (тонкая мышца), F 10 – m. Tensor fascia lata (напрягатель широкой фасции), F 11 – m. Sartorius (портняжная мышца), F 12 – m. Rectus femoris (прямая мышца бедра), F 13 – m. Biceps femoris (двуглавая мышца бедра), F 14 – m. Semitendinosus (полусухожильная мышца). Усилие в связке lig. Patellae обусловлено действием прямой мышцы бедра и обозначено на рис. 2 векторами F^ и F 12 .

Рис. 2. Расчетная схема нижней конечности: G 1,2,3 – силы тяжести сегментов конечности, R 1,2,3 – компоненты реакции тазовой кости, Q , K – реакции в коленном суставе и коленной чашечке соответственно, F упр – сила упругости пружины,

N - реакция опоры, F — усилия мышц k ,к —1 , 14

Мышцы с усилиями F 1–7 начинаются на костях таза и крепятся к бедренной кости. Точки исхода мышц с усилиями F 8–14 также размещены на тазовых костях, однако их точки прикрепления располагаются на большеберцовой и малоберцовой костях, в связи с чем данные мышцы являются двусуставными. Длины и направления мышц в пространстве определяются по координатам их точек исхода ( origin points ) и точек прикрепления ( insertion points ) в лабораторной системе координат XYZ . Абсолютные координаты вычисляются по локальным координатам этих точек, начала которых берутся в центрах бедренного и коленного суставов [9].

Жесткость мышц определяется по формуле

EA

5 = Т ’ где E, A, L – модуль упругости, средняя площадь поперечного сечения и длина мышцы соответственно. Модуль упругости для всех мышц принимается одинаковым и равным 3000 Па [4]. Величины средних площадей их поперечных сечений [11] и длин мышц приведены в таблице.

Средние модули упругости хрящей поверхностных слоев головки бедренной и большеберцовой костей составляют 0,931 и 0,113 МПа соответственно [4].

Поскольку в мышечных группах обоих суставов учитывается действие только мышц сгибателей и разгибателей, у бедра и голени (см. рис. 1) отсутствуют угловые перемещения вокруг осей X и Y . Предполагается, что на коленную чашечку действует пространственная сходящаяся система сил, вызывающая линейные перемещения по осям X , Y , Z . В связи с этим вектор перемещений сегментов конечности (рис. 2) содержит 11 компонент:

T

{ U }=( u ; .u ; ,u - . u-X,u y ,U Z U * ,u x ,u y ,u z) ,                (3)

где U_x . _y . _z - линейные, a U _ф . _ф| — угловые перемещения соответствующих тел.

Величины средних площадей поперечных сечений мышц [11] и их длины

№	Названия мышц	А , см 2	L , мм
1	Подвздошно-поясничная	11,75	157,0
2	Большая ягодичная	36,28	213
3	Гребенчатая	5,65	122,3
4	Длинная приводящая	10,97	263,0
5	Короткая приводящая	8,50	157,0
6	Большая приводящая	8,7	273,0
7	Малая приводящая	9,55	324,0
8	Полуперепончатая	8,56	381,0
9	Тонкая	4,21	419,0
10	Напрягатель широкой фасции	7,28	488,0
11	Портняжная	3,06	592
12	Прямая мышца бедра	10,06	525
13	Двуглавая мышца бедра	11,08	387
14	Полусухожильная	7,35	457

Вектор искомых реакций упругих связей включает 20 следующих компонент

{ ^ф } — ( ^F „=13 , ^F» R 123 , Q . KI ,                         (4)

где каждая компонента есть проекция соответствующей силы на её положительное направление.

Для решения задачи используются 11 уравнений равновесия (по 4 для бедра и голени и 3 для коленной чашечки) и 20 определяющих соотношений упругости для мышц, связки lig. Patellae и хрящей (14 для мышц, 1 для связки и 5 для хрящей).

Предполагается, что изометрическое нагружение мышц начинается из состояния полного их расслабления, поэтому начальные абсолютные деформации мышц D 0 принимаются равными нулю [ 6 ] . При решении системы уравнений учитываются условия одностороннего действия связей

Ф. .         ' 0.                                                      (5)

к ,к 1 , 20

В результате расчета получены следующие значения сил (Н):

{ ф } — (0;295;0;0;0;48;0;0;107;114;0;85;8;0;2;35;249;139;197;44) ^t ,        (6)

где первые 14 компонент относятся к усилиям мышц, а пятнадцатая – натяжение связки lig. Patellae. Значения активных мышц и натяжение связки lig. Patellae представлены в виде диаграммы на рис. 3.

Из диаграммы (см. рис. 3) следует, что активными мышцами (удовлетворяют условию (7)) в данном положении конечности являются 6 из 14 учитываемых мышц. Мышцы F 2 – m. Giuteus maximus (разгибатель бедра) и F 6 – m. Adductor magnus (разгибатель бедра) относятся к односуставным, а мышцы F 9 – m. Gracilis (разгибатель бедра, сгибатель голени), F 10 – m. Tensor fascia lata (разгибатель бедра, сгибатель голени), F 12 – m. Rectus femoris (сгибатель бедра, разгибатель голени) и F 13 – m. Biceps femoris (разгибатель бедра, сгибатель голени) являются двухсуставными. Связка lig. Patellae натягивается двухсуставной мышцей F 12 .

Движение конечности из данного положения осуществляется путём сгибания в обоих суставах. Голень сгибается усилиями трех мышц (см. рис. 3): F 9 , F 10 и F 13 , а бедро – усилием прямой мышцы F 12 . Усилия этих мышц значительно увеличивают давление таза на головку бедра. Общее давление на дистальный отдел бедра несколько возрастает благодаря давлению коленной чашечки. Интересно отметить малое значение

Рис. 3. Значения усилий активных мышц и натяжения связки lig. Patellae ( F^ 2 )

натяжения связки lig. Patellae ( F^ 2 = 2 Н), обусловленное действием относительно большой (85 Н) силы прямой мышцы бедра m. Rectus femoris . Анализ сложения сил, действующих на коленную чашечку, показывает, что такое различие величин сил обеспечивает необходимую для равновесия величину силы давления коленной чашечки на бедро К = Φ 20 = 44 Н (6). Величины главных моментов мышечных сил в суставах оказались равными M A = –15,5 Нм, M B = –4,7 Нм. Разгибающее направление момента M_B в тазобедренном суставе (см. рис. 1) обусловливается отрицательным моментом силы мышцы F 2 , имеющей наибольшую величину (295 Н). Таким образом, согласно данным метода перемещений взаимодействие мышц при сгибании конечности состоит в том, что бедро удерживается в равновесии, а движение конечности из горизонтального положения осуществляется путём сгибания голени в коленном суставе.

Количественная интегральная оценка точности рассчитанных в данном разделе усилий мышц получена путем сравнения значений их главных моментов M_A и M_B (см. рис. 1) со значениями, полученными из решения прямой задачи динамики конечности, движущейся в соответствии с уравнением (1). Применение уравнений Лагранжа 2-го рода для решения данной задачи [2] показало, что величина суммарного момента усилий мышц в тазобедренном суставе на 23% ( M B = –3,8 Н·м), а коленном на 10% ( M A = –14,0 Н·м) меньше величин, полученных методом перемещений. Эти отклонения объясняются погрешностями метода перемещений, обусловленными принятыми упрощающими допущениями и неточностью исходных данных (прямолинейностью мышц, малой точностью экспериментального определения модулей упругости мышц, хрящей и связок, а также площадей поперечных сечений мышц и хрящей).

В связи с существенной интегральной погрешностью величин мышечных сил и натяжения связки lig. Patellae необходимо их уточнение, представленное в следующем разделе.

Оптимизационное уточнение величин мышечных сил и натяжения связки lig. Patellae

Найденные из решения прямой задачи динамики конечности главные моменты усилий мышц тазобедренной и коленной групп являются истинными, так как они реализуют заданное движение конечности. Поэтому значения усилий мышц, полученные методом перемещений, уточняются путем максимального приближения величин их главных моментов в коленном и тазобедренном суставах к истинным значениям. Этот подход представляется более эффективным по сравнению с трудоёмким устранением погрешностей метода и исходных данных.

Приближение осуществляется минимизацией функции

I ( P i , i = 1,7)