Методика представления нечетких исходных данных на основе экспертных оценок при решении экономических задач

Рыночная экономика, в которой приходится функционировать современным предприятиям, характеризуется многими неопределенностями. При этом руководителям приходится принимать решения в неструктуризованных ситуациях. Основой принятия таких решений являются экспертные оценки.

При решении экономических задач, возникающих на предприятиях в условиях неопределенности и возможного надвигающегося кризиса, остро встает вопрос о создании различных экономико-математических моделей, способствующих принятию решений в условиях неопределенности [2, 4]. Принятию таких решений способствует использование в моделях большого объема ценной информации, которой обладают эксперты. Однако возникает проблема: как преобразовать зачастую вербальную, расплывчатую информацию, полученную от экспертов, в такую форму, которую можно было бы применять в расчетных экономико-математических моделях.

Экспертные оценки – количественные или качественные оценки характеристик объектов, не-поддающихся непосредственному измерению [3]. Так, например, из-за неопределенности внешней среды предприятия, нельзя точно измерить ожидаемый спрос на продукцию и точно определить необходимое количество сырья и материалов для производства. Трудоемкость, а порой и невозможность сбора фактических данных по многотысячной номенклатуре материалов затрудняет определение требуемых характеристик на основе статистических данных. К тому же, из-за неопределенности внешней среды невозможно установить статистическую устойчивость и неизменность ситуации, в которой собираются данные для построения гистограмм и определения частотных распределений неопределенных параметров, что делает невозможным применение методов статистики и теории вероятностей. В такой ситуации нам видится целесообразным использование знаний и опыта экспертов для получения требуемой исходной информации.

Метод экспертных оценок представляет собой комплекс логических и математических процедур получения от специалистов (экспертов) информации, ее анализа и обобщения для подготовки и выбора рационального решения.

В решаемой нами задаче от экспертов требуется предоставить информацию в виде непосредственных оценок и определить числовые значения параметров. Однако не все так просто, как кажется на первый взгляд. В связи с тем, что предприятие находится в динамическом состоянии и функционирует в условиях неопределенности, нельзя точно указать ожидаемые значения параметров, поэтому каждый из требуемых параметров задается экспертом в виде нечеткого треугольного числа с границами интервалов изменения и наиболее ожидаемым значением [6, 7].

Каждый из экспертов выражает свое мнение об ожидаемых величинах исследуемых количественных показателей.

После проведения опроса экспертов осуществляется обработка результатов с целью получения обобщенных данных для их дальнейшего использования при решении экономических задачи.

Построение обобщенной оценки параметров на основе индивидуальных оценок проводится с учетом компетентности экспертов [1].

Пусть m экспертов произвели оценку требуемого параметра за n временных интервалов. Результаты оценки представлены в виде x_i j , где j – номер эксперта, i – номер временного интервала.

В качестве обобщенной оценки для каждого параметра можно принять среднее взвешенное значение его оценки:

X i = T xa ^X j , i = 1, n , (1) j = 1

где X j - коэффициенты компетентности экспертов.

Коэффициенты компетентности экспертов показывают относительную важность каждого эксперта в группе. Сумма коэффициентов компетентности всех экспертов группы должна равняться единице, т. е. m

E^ = 1.                 (2)

j = 1

Определение компетентности экспертов основано на оценке «близости» мнения каждого эксперта к групповой оценке параметра.

Алгоритм вычисления групповых оценок и коэффициентов компетентности экспертов имеет следующий вид:

• а)    задаем начальные условия при t = 0

X (⁰⁾ = -, j = 1, m ,                 (3)

m

• т. е. начальные значения коэффициентов компетентности принимаются одинаковыми для всех экспертов;

• б)    определяем рекуррентные соотношения для t = 1, 2, 3, …

• –    групповая оценка для i -го периода времени на t -м шаге (при t -м приближении) на основе индивидуальных оценок x_i j :

m

• x it) = E x j ^X tE* i = 1, n ’             ⁽⁴⁾

j = 1

– нормировочный коэффициент на t -м шаге: nm

y ⁽ t) = EE - t) ,                  (5)

i = 1 j = 1

– коэффициент компетентности j -го эксперта на t -м шаге:

1 ⁿ

^X j) =    E x j x ) , ^j = 1, m ^{- 1,      (6)}

y i = 1

– коэффициент компетентности m -го эксперта из условия нормировки:

m — 1

X mm ) = 1 — E X jt ) ;                (7)

j = 1

• в) признаком окончания итерационного процесса является

^max( | x ( t ) ^— x (t ^— 1)1 ) .               ⁽⁸⁾

Сходимость данной итерационной процедуры доказана в работе [1] для случая, когда индивидуальные оценки неотрицательны, а эксперты не распадаются на отдельные группы. Эти условия выполняются для решаемой нами задачи управления запасами, что доказывает сходимость алгоритма.

Результаты расчета по приведенному алгоритму в дальнейшем можно использовать в качестве исходных параметров модели управления экономическими параметрами предприятий.

В качестве примера дадим расчет обобщенной оценки экспертов производственного предприятия «Альфа» потребности в пачках листов ДВП толщиной 4 мм на 8 недель (понедельно). Индивиду- альные оценки экспертов, полученные в ходе анкетирования, приведены в табл. 1. Они заданы в виде треугольных нечетких чисел, т. е. экспертами определены левые и правые границы интервалов изменения потребности и наиболее ожидаемое значение.

Обобщенные оценки потребностей выполняются отдельно для левой границы, среднего значения и правой границы нечеткого числа.

Сначала проведем расчет обобщенной оценки потребности и коэффициентов компетентности каждого из экспертов для левой границы нечеткого числа. Для этого воспользуемся приведенным выше алгоритмом, задавшись точностью вычисления ε = 0,0001.

В табл. 2 приведены обобщенные оценки потребностей. Результат четвертого шага удовлетворяет условию окончания итерационного процесса и в качестве групповой оценки принимается значение обобщенной потребности в четвертом приближении.

В табл. 3 приведены соответствующие значения коэффициентов компетентности экспертов.

Из табл. 2 и 3 видно, что коэффициенты компетентности сходятся быстрее, чем обобщенные оценки потребностей. Коэффициенты компетентности первого и второго экспертов несколько выше, нежели третьего. Это означает, что оценки первого и второго эксперта более близки к групповой экспертной оценке.

Можно рассчитать показатели согласованности мнений экспертов относительно средней оценки количественных характеристик: дисперсию оценок и среднеквадратическое отклонение.

Дисперсия показывает средний квадрат отклонений индивидуальных экспертных оценок от обобщенной оценки и вычисляется по формуле:

m ²

E ^{( x} n ^{— x} i ) ), i = 1, n ,          ⁽⁹⁾

D = -(

^m j = 1 "

где x ij – индивидуальная оценка j -го эксперта в i -й интервал времени; x_i^t – итоговая обобщенная экспертная оценка в i -й интервал времени.

При определении согласованности мнений экспертов более показательной характеристикой является среднеквадратическое отклонение, показывающее абсолютную меру вариации признака и рассчитывающееся по формуле:

^a i = D^^i , i = 1, n , (10)

где D i – дисперсия оценок в i -й интервал времени.

Расчеты дисперсии и среднеквадратического отклонения экспертных оценок представлены в табл. 4.

Из табл. 4 видно, что среднеквадратическое отклонение не превышает 4 пачек при потребности около 120 пачек. Процентное отношение среднеквадратического отклонения к обобщенной экспертной оценке, не превышающее 3,3 %, говорит о высокой согласованности мнений экспертов. До-

Таблица 1

Индивидуальные оценки экспертов

Временные интервалы	Эксперт 1			Эксперт 2			Эксперт 3
	Левая граница	Среднее значение	Правая граница	Левая граница	Среднее значение	Правая граница	Левая граница	Среднее значение	Правая граница
1	120	130	140	120	127	133	118	125	135
2	120	130	140	120	127	133	118	125	135
3	120	130	140	124	130	136	118	125	135
4	120	130	140	124	130	136	120	130	140
5	124	134	145	120	128	133	120	130	140
6	124	134	145	120	128	133	120	130	140
7	124	134	145	123	130	136	115	125	135
8	124	134	145	123	130	136	115	125	135

Таблица 2

Обобщенные оценки потребностей пачек ДВП (левая граница)

Временной интервал	Первое приближение ( t = 1)	Второе приближение ( t = 2)	Третье приближение ( t = 3)	Четвертое приближение ( t = 4)
1	119,3333	119,3467	119,3476	119,3476
2	119,3333	119,3467	119,3476	119,3476
3	120,6667	120,6920	120,6938	120,6938
4	121,3333	121,3453	121,3462	121,3462
5	121,3333	121,3481	121,3490	121,3490
6	121,3333	121,3481	121,3490	121,3490
7	120,6667	120,7238	120,7277	120,7277
8	120,6667	120,7238	120,7277	120,7277

Таблица 3

Коэффициенты компетентности экспертов

	Первое приближение ( t = 1)	Второе приближение ( t = 2)	Третье приближение ( t = 3)	Четвертое приближение ( t = 4)
Эксперт 1	0,337	0,337	0,337	0,337
Эксперт 2	0,336	0,337	0,337	0,337
Эксперт 3	0,326	0,326	0,326	0,326

Таблица 4

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение индивидуальных экспертных оценок

Временной интервал Дисперсия Среднеквадратическое отклонение Процентное отношение 1 0,89 0,94 0,8 2 0,89 0,94 0,8 3 6,22 2,49 2,1 4 3,56 1,89 1,6 5 3,56 1,89 1,6 6 3,56 1,89 1,6 7 16,23 4,03 3,3 8 16,23 4,03 3,3 пустимые интервалы согласованности устанавливаются на предприятиях и обычно составляют 10– 20 %.

Проведя аналогичные расчеты по описанному алгоритму для правой границы и среднего значения нечеткого числа, получаем обобщенную оцен- ку потребности пачек ДВП, выраженную треугольным нечетким числом (табл. 5). В 3, 5 и 7 столбцах таблицы приведены процентные отношения среднеквадратических отклонений к обобщенным экспертным оценкам соответственно для левой границы, среднего значения и правой границы нечеткого числа.

Из табл. 5 следует, что процентное отношение среднеквадратического отклонения к обобщенной экспертной оценке не превышает 3,5 %. Это говорит о высокой согласованности мнений экспертов.

Результаты расчета по приведенному алгоритму в дальнейшем можно использовать в качестве исходных параметров модели управления запасами сырья и материалов для расчета оптимального плана поставок.

Итак, нами разработана методика подготовки нечетких исходных данных для решения экономических задачи в условиях неопределенности. Данная методика построена на основе алгоритма вычисления групповых оценок и коэффициентов компетентности экспертов и опирается на следующие допущения:

– эксперт обладает большим опытом и является хранилищем большого объема рационально обработанной информации, и поэтому может рассматриваться как измеритель со случайными погрешностями;

– групповое мнение может быть получено осреднением мнений отдельных экспертов;

– осредненное мнение достаточно близко к «истинному».

Результатом расчета по предложенной методике является нечеткая информация, которая служит рекомендацией для принятия в дальнейшем четких решений. В каждом конкретном случае степень точности решения может быть согласована с требованиями задачи и точностью имеющихся данных. Подобная гибкость составляет одно из важных достоинств нечеткой математики. Решения, получаемые на основе нечеткой логики, обладают большей информативностью, гибкостью и правдоподобностью, чем полученные с помощью традиционных методов – детерминированных и вероятностных моделей.

Для реальных систем, к которым относятся системы управления на предприятиях, характерно наличие разнородной исходной информации, обладающей разной степенью неопределенности: точечных замеров параметров; допустимых интервалов их изменения; статистических законов распределения для отдельных величин; лингвистических критериев и ограничений, полученных от экспертов и т. д.

Наличие в сложной многоуровневой иерархической системе управления одновременно различных видов неопределенностей делает необходимым использование для принятия решений теории нечетких множеств.

Преимущества применения этой теории приведены в [5] и заключаются в следующем:

– возможность адекватно отразить сущность процесса принятия решений в нечетких условиях, оперировать с нечеткими ограничениями и целями и задавать их с помощью лингвистических переменных;

– возможность сравнения точности результатов, полученных от различных моделей;

– возможность провести согласование различных нечетких решений при наличии нечетких целей, ограничений, коэффициентов, начальных и граничных условий.

– возможность учета статистического материала при построении функции принадлежности нечеткого множества наряду с мнением группы экспертов;

– возможность проводить вычисления не с одним точечным значением, а с характеристической функцией и получать в результате вычислений нечеткую величину, для которой по максимуму значения функции может быть получена точечная (четкая) оценка;

• –    при необходимости модель, построенную на основе нечетких множеств, можно применять для обычных (четких) подмножеств;

• –    решение, полученное в нечеткой форме, яв-

• Таблица 5

Обобщенная оценка потребности пачек ДВП

Временной интервал Левая граница Процентное отношение (левая граница) Среднее значение Процентное отношение (среднее значение) Правая граница Процентное отношение (правая граница) 1 119,348 0,8 127,367 1,6 136,072 2,2 2 119,348 0,8 127,367 1,6 136,072 2,2 3 120,694 2,1 128,363 1,8 137,047 1,6 4 121,346 1,6 130,000 0,0 138,700 1,4 5 121,349 1,6 130,698 1,9 139,447 3,5 6 121,349 1,6 130,698 1,9 139,447 3,5 7 120,728 3,3 129,726 2,8 138,768 3,2 8 120,728 3,3 129,726 2,8 138,768 3,2 ляется более информативным, нежели в четкой.

Таким образом, применение нечетких множеств позволяет принимать решения на основе нечеткого описания ситуаций, что зачастую характерно для информации, полученной от группы экспертов.

Достигнутые успехи в применении теории нечетких множеств при решении разнообразных практических задач позволяют утверждать, что нечеткое моделирование сложных систем на сегодняшний день является альтернативой и дополнением для традиционных математических методов и моделей.

Получение информации в виде экспертных оценок для задания нечетких чисел является универсальным способом получения данных при принятии управленческих решений в условиях неопределенности внешней среды, в которой функционируют предприятия рыночной экономики.