Методика расчета коэффициента корреляции Фехнера и Пирсона, и их области применения

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 33.27(574)                                      

Корреляция (от лат. correlatio «соотношение, взаимосвязь»), или корреляционная зависимость - статистическая взаимосвязь двух или более случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин. Впервые в научный оборот термин корреляция ввел французский палеонтолог Жорж Кювье в XVIII веке. Он разработал «закон корреляции» частей и органов живых существ, с помощью которого можно восстановить облик ископаемого животного, имея в распоряжении лишь часть его останков. В статистике слово «корреляция» первым стал использовать английский биолог и статистик Фрэнсис Гальтон в конце XIX века .

Корреляция — это математико-статистический показатель, показывающий связь между факторными и результативными признаками, встречающихся в социально-экономической жизни общества [1, 2].

Данный метод обработки статистических данных весьма популярен в экономике, астрофизике и социальных науках (в частности в психологии и социологии), хотя сфера применения коэффициентов корреляции обширна: контроль качества промышленной продукции, металловедение, агрохимия, гидробиология, биометрия и прочие [3]. В различных прикладных отраслях приняты разные границы интервалов для оценки тесноты и значимости связи. Популярность метода обусловлена двумя моментами: коэффициенты корреляции относительно просты в подсчете, их применение не требует специальной математической подготовки. В сочетании с простотой интерпретации, простота применения коэффициента привела к его широкому распространению в сфере анализа статистических данных (.

Отечественными и зарубежными учеными доказаны следующие корреляционные связи и определены «существенности и достоверности» и факторные и результативные признаки (Таблица 1). В течение многих лет во многих отраслях науки часто применяются труды следующих известных ученых мира:

Фехнер Густав Теодор (1801-1887), немецкий физик, философ и психолог, основатель психофизики. В 1832-1843 гг.- профессор физики в Лейпцигском университете. После ряда исследований последовательных образов, вызываемых наблюдением Солнца, частично потерял зрение, что вынудило его оставить физику и заняться философией. Опубликовал под псевдонимом доктор Мизес несколько сатирических произведений .

Карл Пирсон (1857-1936) английский математик и биолог, философ-позитивист. Создатель методов оценки и измерения в биологии и психологии. Считается одним из отцов современной статистики. Профессор прикладной математики и механики (1884-1911 гг.), а затем евгеники (1911-1933 гг.) Лондонского университета. Заслуженный профессор, профессор геометрии Грэшем-Колледжа (1891-1894 гг.). Член Королевского общества (1896 г.). Почетный доктор ряда университетов Англии. Награжден Королевским обществом медалью Дарвина (1898 г.); медалью Хаксли Антропологического института (1903 г.). Основатель и издатель журнала Biometrika. Математическое образование получил в Кембриджском унивесите (бакалавр, 1879 г.; бакалавр права, 1881 г.; магистр, 1882 г.) .

Таблица 1 ФАКТОРНЫЕ И РЕЗУЛЬТАТИВНЫЕ ПРИЗНАКИ

Факторные признаки x i	Результативные признаки y i
Величина денежной массы	Национальный доход
Личный располагаемый доход	Расходы на медицинские услуги.
Расходы на научно-исследовательскую работу	Уровень продаж
Размер личного дохода	Расходы на питание
Оборотные средства	Валовая прибыль
Стороны квадрата	Площадь квадрата
Внесенное количество удобрений	Урожайности культур
Количество выпавших осадков	Урожайности культур
Рост годовых доходов населения	Сумма сбережений
Основные производственные фонды	Валовой выпуск продукции
Урожайности зерновых	Снижение себестоимости зерновых
Часовая оплата труда	Уровень текучести
Затраты на 1 сом произведенной продукции	Валовая прибыль
Производительность труда	Себестоимости продукции
Уровень образования	Уровень дохода коммерческой структуры
Объем реализованной продукции	Балансовая прибыль
Стаж работы	Дневная выработка
Уровень загрязненности воздуха	Количество онкологических заболеваний
Затраты на единицу времени	Оплата труда за единицу времени
Возраст женщин	Хронических гинекологических заболеваний на 1000 осмотренных
Рост 14- летних девочек	Вес девушек
Сумма активов банка	Балансовая прибыль банка
Затраты на рекламу	Выручка от реализации
Качество товара в баллах	Розничная цена
Возраст работников	Производительности труда
Уровень безработицы	Изменения темпа заработной платы
Доход семьи	Стоимости имущества

Материал и методы исследования

Литературный обзор и анализ были выполнены на основе научных публикаций и интернет-источников. Авторами произведен расчет коэффициента корреляции Фехнера, Пирсона и Чеддока. Чарльз Гилберт Чаддок (1861-1936) Американский невролог, известный за описание рефлекса Чаддока. Чарльз Гилберт Чаддок родился в 1861 г. в Джонсвилле, штат Мичиган. Он получил медицинское образование в 1885 году и работал в North Michigan Asylum в Траверс-Сити. В течение года прошел обучение в Европе в 1888 г. Он стал профессором неврологии и психиатрии Колледжа Марион-Симса Университета Санкт-Луи. Он вернулся в Европу в 1897 г, работая большую часть времени в качестве помощника Жозефа Бабинского. По возвращению в Соединенные Штаты в 1899 г он представил американским врачам симптом Бабинского, позже опубликовав перевод работы Бабинского .

Результаты и обсуждение

По данным исследования получены данные 10 предприятий по размеру основных фондов и объемов товарной продукции. При помощи коэффициентов корреляции Фехнера и Пирсона определяем коэффициент корреляционной связи:

Таблица 2 РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ ФЕХНЕРА

	X i	y i	x	y	«c» «нc»
1	15	47	-	-	с
2	20	68	-	-	с
3	32	64	-	-	с
4	49	110	-	-	с
5	55	136	-	-	с
6	71	171	+	+	с
7	78	123	+	-	нс
8	104	212	+	+	с
9	118	311	+	+	с
10	130	416	+	+	с
Σ	672	1658

Шаг 1. Определяем среднее значение факторного признака:

x = ^ = 672 =67, 2 n    10

Шаг 2. Определяем среднее значение результативного признака:

Ey 1658

165, 8

y=—=—:

n 10

Шаг 3. Определяем коэффициент корреляции Фехнера:

EC-EHC 9-1 =

Кф=

0,8.

EC+EHC 9+1

Такое значение показателя характеризует сильную зависимость.

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 7. №10. 2021 РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ ПИРСОНА Таблица 3 x x-X (x — x)2 y y- У (У — у)2 (x- X)* (y-у) 1 15 -52, 2 2724, 8 47 -118, 8 14113, 4 6201, 4 2 20 -47, 2 2227, 8 68 -97, 8 9594, 8 4616, 4 3 32 -35, 2 1239 64 -101, 8 10363, 2 3583, 4 4 49 -18, 2 331, 2 110 -55, 8 3113, 6 1015, 6 5 55 -12, 2 148, 8 136 -29, 8 888 363, 6 6 71 3, 8 14, 4 171 5, 2 27 19, 8 7 78 10, 8 116, 6 123 -42, 8 1831, 8 -462, 2 8 104 36, 8 1354 212 46, 2 2134, 4 1700, 2 9 118 50, 8 2580 311 145, 2 21083 7376, 2 10 130 62, 8 3943, 8 416 250, 2 62600 15712, 6 Σ 672 - 14680, 4 1658 - 125421, 2 40126, 8 ср 67, 2 - 1468, 04 165, 8 - 12542, 12 4012,68

Шаг 1. Определяем дисперсию факторного признака:

8 2 = SCX-X) 2 = 1468O,4 =1468,O4 n        10           ,

Шаг 2. Определяем среднеквадратическое отклонение факторного признака:

8=J^(X-^“ = 782 = 71468,04=38,3

Шаг 3. Определяем дисперсию результативного признака:

82 = W-^125721.^ n       10

12572,12

Шаг 4. Определяем среднеквадратическое отклонение результативного признака:

8 =

£8-7) 2 n

782=712 5 72.12=112,1

Шаг 5. Определяем коэффициент корреляции Пирсона:

= ^(x-x^y-y)

xy j2(x-x)2*2(y-y)2

:    40126,8 ==0,93

714680.4*125421.2

Или

S(x-x ⁾ *(y-y)

r=----2L_

8_x*8 y

40126.8 10

38.3*112.1

: ⁴⁰¹²⁶⁸=0, 93 4293.43    ^,

Полученный коэффициент корреляции сравниваем со шкалой Чеддока, и убеждаемся, что связь между рассматриваемыми показателями весьма высокая

Таблица 4

ШКАЛА ЧЕДДОКА

Коэффициент корреляции	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Связь	слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

Квадрат линейного коэффициента корреляции г2 называется линейным коэффициентом детерминации. Из определения коэффициента очевидно, что его числовое значение всегда заключено в пределах от 0 до 1, т.е. 0< г2<1.

Коэффициент детерминации определяем по следующей формуле:

R=r² *100=0,93 2 *100=86, 5%

Это означает, что 86,5% продукции получены за счет экстенсивного фактора.

Шаг 6. Определяем существенность и значимость коэффициента корреляции на основе t - критерия Стьюдента. Для этого определяется расчетное значение критерия:

rVn-2 _ 0,93У10-2 2,6 ^расЧ. V1-r²   У1-0,86  0,37    ’

Шаг 7. Определяем число степеней свободных:

df = n-2=10-2=8

Если t p_ac4. > С _табл. , то линейный коэффициент считается значимым, связь между x и у -существенной.

По таблице Стьюдента определяем табличное значение. Оно равно 2,306.

7,0> 2,306.

Таблица 4

КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ T-КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТА

p
df	0,05	0,01	0,001
1	12,70	63,65	636,61
2	4,303	9,925	31,602
3	3,182	5,841	12,923
4	2,776	4,604	8,610
5	2,571	4,032	6,869
6	2,447	3,707	5,959
7	2,365	3,499	5,408
8	2,306	3,355	5,041
9	2,262	3,250	4,781
10	2,228	3,169	4,587

Итак, были рассмотрены методика расчета коэффициента корреляции Фехнера и Пирсона, определение существенности и значимости коэффициента корреляции на основе t -критерия Стьюдента их область применения в медицинских биологических биофизических и экономических науках.