Методы исследования асимптотики решений сингулярно возмущенных уравнений в комплексных областях
Автор: Алыбаев К.С., Нурматова М.Н., Мусакулова Н.К.
Журнал: Бюллетень науки и практики @bulletennauki
Рубрика: Физико-математические науки
Статья в выпуске: 3 т.10, 2024 года.
Бесплатный доступ
При исследовании асимптотического поведения решений сингулярно возмущенных уравнений с аналитическими функциями применяются различные методы. Основная цель настоящей работы, провести комплексный анализ применяемых методов и разделить их по группам. Для реализации поставленной цели рассматривается скалярное, нелинейное уравнение первого порядка с начальным условием. Уравнение рассматривается в некотором круге, комплексной плоскости независимой переменной и действительная часть функции - коэффициент, при линейной неизвестной функции меняет свой знак с отрицательного на положительный на части отрезка действительной оси, содержащегося в круге. Вводится понятие области притяжения решения сингулярно возмущенного уравнения к решению нелинейного уравнения (вырожденного уравнения). Поставлена задача доказательства существования области притяжения. В процессе решения поставленной задачи применяемые методы разделены на три группы.
Сингулярно возмущенные уравнения, асимптотическое поведение, комплексный анализ, линии уровня, область притяжения, метод последовательных приближений, метод стационарной фазы, метод лапласа
Короткий адрес: https://sciup.org/14129874
IDR: 14129874 | УДК: 517.928 | DOI: 10.33619/2414-2948/100/01
Methods for studying asymptotics of solutions to singularly perturbed equations in complex domains
When studying the asymptotic behavior of solutions to singularly perturbed equations with analytic functions, various methods are used. The main goal of this work is to conduct a comprehensive analysis of the methods used and divide them into groups. To achieve this goal, a scalar, nonlinear first-order equation with an initial condition is considered. The equation is considered in a certain circle, the complex plane of the independent variable, and the real part of the function - the coefficient, for a linear unknown function, changes its sign from negative to positive on part of the segment of the real axis contained in the circle. The concept of the domain of attraction of the solution of a singularly perturbed equation to the solution of a nonlinear equation (degenerate equation) is introduced. The task is set to prove the existence of a region of attraction. In the process of solving the problem, the methods used are divided into three groups.
Список литературы Методы исследования асимптотики решений сингулярно возмущенных уравнений в комплексных областях
- Понтрягин Л. С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1957. Т. 21. №5. С. 605-626.
- Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Математический сборник. 1952. Т. 31. №3. С. 575-586.
- Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. 247 с.
- Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 с.
- Иманалиев М. И. Асимптотические методы в теории сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных систем. Фрунзе: Илим, 1972. 356 с.
- Алыбаев К. С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости // Вестник КГНУ. 2001. Т. 3. С. 190-200.
- Турсунов Д. А. Асимптотика решения задачи Коши при нарушении устойчивости точки покоя в плоскости «быстрых движений» // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. №54. С. 46-57. https://doi.org/10.17223/19988621/54/4
- Алыбаев К., Мусакулова Н. Метод линий уровня в теории сингулярно возмущенных уравнений // Вестник Ошского государственного университета. 2022. №4. С. 206-217. https://doi.org/10.52754/16947452_2022_4_206
- Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Лань, 2002. 688 с.
- Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.
- Вазов В. Р. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 с.
- Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977. 444 с.
- Копсон Э. Т. Асимптотические разложения. М.: Мир, 1966. 159 с.
- Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 247 с.
