Методы исследования устойчивости и стабилизации некоторых систем с большим запаздыванием
Автор: Гребенщиков Борис Георгиевич, Ложников Андрей Борисович
Рубрика: Краткие сообщения
Статья в выпуске: 4 т.15, 2022 года.
Бесплатный доступ
Статья посвящена исследованию свойств систем дифференциальных уравнений, содержащих большое (в частности, линейное) запаздывание. Системы с линейным запаздыванием имеют достаточно широкое применение в биологии, в частности, при моделировании распределения клеток в ткани организма; а также в теории нейронных сетей. Уравнения подобного типа встречаются также в задачах физики и механики, где важным моментом является асимптотическое поведение решения (в частности, асимптотическая устойчивость). При неустойчивости таких систем возникает задача стабилизации. Оптимальный алгоритм стабилизации основан на совокупности стабилизации систем обыкновенных дифференциальных уравнений и в дальнейшем разностных систем. Данный алгоритм достаточно просто реализуется с использованием численных методов решения систем дифференциальных уравнений с запаздыванием и решения матричных уравнений. Авторами составлена программа, позволяющая достаточно эффективно находить управляющее воздействие, осуществляющее стабилизацию некоторых систем.
Запаздывание, устойчивость, стабилизация
Короткий адрес: https://sciup.org/147240334
IDR: 147240334 | УДК: 519.6 | DOI: 10.14529/mmp220409
Methods for studying the stability and stabilization of some systems with large delay
The article is devoted to the study of the properties of systems of differential equations containing a large (in particular, linear) delay. Systems with linear delay have a fairly wide application in biology, in particular, in modelling the distribution of cells in body tissues, as well as in the theory of neural networks. Equations of this type are also found in problems of physics and mechanics, where an important point is the asymptotic behavior of the solution (in particular, the asymptotic stability). When such systems are unstable, the problem of stabilization arises. The optimal stabilization algorithm is based on an union of stabilization of systems of ordinary differential equations and further difference systems. This algorithm is quite simply implemented using numerical methods for solving systems of differential equations with a delay and solving matrix equations. We developed a program that allows quite effectively find a control effect that stabilizes some systems.
Список литературы Методы исследования устойчивости и стабилизации некоторых систем с большим запаздыванием
- Красовский, Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н.Н. Красовский. – М.: Физматгиз, 1959.
- Шиманов, С.Н. О неустойчивости движения систем с запаздываниями по времени / С.Н. Шиманов // Прикладная математика и механика. – 1960. – Т. 24, № 1. – C. 55–63.
- Гребенщиков, Б.Г. Асимптотическое поведение решений одной стационарной системы с запаздыванием / Б.Г. Гребенщиков, В.И. Рожков // Дифференциальные уравнения. – 1993. – T. 29, № 5. – С. 751–758.
- Гребенщиков, Б.Г. О неустойчивости некоторых систем с линейным запаздыванием / Б.Г. Гребенщиков, С.И. Новиков // Известия вузов. Математика. – 2010. – № 2. – С. 3–13.
- Репин, Ю.М. Об условиях устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений при запаздываниях / Ю.М. Репин // Ученые записки Уральского университета. – 1960. – Вып. 23. – С. 31–34.
- Фурасов, В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов / В.Д. Фурасов. – М.: Наука, 1982.
- Фурасов, В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация / В.Д. Фурасов. – М.: Наука, 1977.
- Ким, А.В. Линейно-квадратичная задача управления для систем с запаздыванием по состоянию. Точные решения уравнений Риккати / А.В. Ким, А.Б. Ложников // Автоматика и телемеханика. – 2000. – № 7. – С. 15–31.
- Марченко, В.М. К теории канонических форм систем управления с запаздыванием / В.М. Марченко // Математический сборник. – 1978. – Т. 105, № 3. – С. 403–412.
- Зубов, В.И. Лекции по теории управления / В.И. Зубов. – М.: Наука, 1975.
- Рожков, В.И. Оценки решений некоторых систем дифференциальных уравнений с большим запаздыванием / В.И. Рожков, А.М. Попов // Дифференциальные уравнения. – 1971. – T. 7, № 2. – С. 271–278.
- Гребенщиков, Б.Г. Об устойчивости по первому приближению систем с запаздыванием, линейно зависящих от времени / Б.Г. Гребенщиков // Дифференциальные уравнения. – 1990. – T. 26, № 2. – С. 214–218.
