Методы оптимизации при решении обратных задач прочности ЛА

Наиболее универсальными методами решение обратных задач оказываются итерационные методы, основанные на методах оптимизации. При этом отказываются от решения обратной задачи, как таковой, и искомые величины определяются в ходе последовательного решения набора прямых задач. На каждой итерации решается обыкновенная прямая задача, а получаемое решение каждый раз должно каким-то образом само указывать нам, насколько «далеко» («близко») очередное приближение на данной итерации от искомого решения обратной задачи.

Экстремальные методы или методы оптимизации отличаются процедурами численного моделирования и поиска минимума функционала невязки, видом этого функционала и формой предоставления искомых величин. Каждый из перечисленных элементов влияет на эффективность решения обратной задачи прочности. Однако определяющим является выбор процедуры минимизации, которая в алгоритмах выполняет функции организатора решения [1, 2] .

При решении задач идентификации используют как самые простые методы поиска минимума, основные на переборе с заданным шагом всех допустимых значений искомых параметров, так и очень сложные методы нелинейного математического программирования, позволяющие, в частности, эффективно решать задачи на условный минимум, характерные для постановок многих реальных задач прочности.

Применение быстродействующих процедур минимизации дает возможность задавать достаточно большое число искомых параметров для востановления прочностных характеристик и привлекать к решению обратных задач прочности строгое математическое обеспечение.

С другое стороны, методы, ориентированные на минимизацию типа простого перебора, имеют свои преимущества: они экономичны, не требуют сложной вычислительной техники, могут быть реализованы в автоматизированных измерительных системах при натурном эксперименте.

В отличие от большинства других методов «перебор» может использоваться в случаях сложной формы целевого функционала.

Как правило, чем совершенней метод минимизации, тем больше набор различных приемов ему сопутствует. В связи с этим рассмотрим наиболее характерные приемы решения обратных задач в соответствии со степенью сложности применяемых процедур минимизации целевого функционала.

Наиболее просты, как уж упоминалось, методы неавтоматизированного подбора или перебора. Действенность метода подбора можно увеличить, если его реализовать с помощью быстродействующих средств, на пример, на аналоговых моделях.

Переходя к методам, ориентированным на ЭВМ, отметим, что наиболее простые алгоритмы решения обратных задач предложены в работах, где искомые функции аппроксимируются рядами с последующим определением коэффициентов этих рядов.

Наиболее приемлемыми в алгоритмах обратных задач стали процедуры минимизации, в которых анализируются и учитываются формы функционала невязки. Направление поиска в этих процедурах выбирается либо в результате вычисления производных целевого функционала (градиентные методы), либо путем анализа пройденной траектории спуска к минимуму (поисковые методы).

У поисковых методов меньше скорость сходимости, чем у градиентных. Например, поиск по деформируемому многограннику в 1.2 ^ 1.5 раза медленнее градиентного подхода. Тем не менее, поисковые методы часто оказываются предпочтительнее при решении, особенно в тех случаях, когда сложно получить выражения градиентов. Кроме того, они более надежны, в них практически исключен выход на «останов», когда минимум еще не достигнут, что встречается в градиентом спуске.

В публикациях по методам оптимизации, опирающихся на градиентный поиск минимума, основное внимание уделяется рациональному выбору стратегии минимизации. Так, компоненты градиента могут рассчитываться по выражениям, полученным с помощью решения прямой краевой задачи, сопряженной в математическом смысле с исходной.

В основе метода лежит конструкция, включающая функции Лагранжа и штрафы за нарушение ограничений. Каждая итерация метода множителей состоит в том, что зафиксировав вектор множителей Лагранжа и параметр штрафа, проводят безусловную оптимизацию функции Лагранжа по переменным прямой задачи. Результат оптимизации используется для пересчета множителей и, возможно, параметра штрафа.

В качестве эффективного подхода при решении постановленной задачи может быть использован аппарат функции чувствительности [3, 4] . Вычисление функции чувствительности позволяет выделить переменные проектирования, изменение которых оказывается наиболее существенное влияние на рассматриваемые характеристики, и тем самым ускорять решение задач.