Методы построения полярного разложения матрицы

Полярное разложение линейного оператора является одним из основных канонических его форм. В приложениях (задачи аэродинамики, математической статистики, обработки сигналов, механики, факторного анализа) весьма важной является задача построения полярного разложения невырожденной матрицы, т. е. представления ее в виде произведения симметричной положительно определенной матрицы на ортогональную.

Рассмотрим метод построения ортогональной матрицы полярного разложения матрицы, использующий аппарат матричных функций Ляпунова [2]. Пусть Л — заданная невырожденная (п х п) — матрица. Требуется найти симметричную положительно определенную матрицу F и ортогональную матрицу U такие, что выполняется соотношение

А = FU.             (1)

Введем в рассмотрение множество Мп квадратных матриц порядка (п х п) и множество Dn невырожденных матриц того же порядка. Множество Мп является линейным нормированным пространством с нормой, определяемой соотношением

Id-max ЕЛ ^q " ““     ■

где С е М „, X е Е „ .

На множестве М_п можно задать динами

ческую систему, определяемую матричной системой дифференциальных уравнений

X = F ( X , t ) ,                (3)

где X , F е М_п , F гарантирует существование единственности и продолжаемости решений на интервале ( t 0 ,^ю ) , точка обозначает дифференцирование по параметру t.

Поставим следующую задачу: построить такую дифференциальную систему вида (3), что решение задачи Коши с начальным условием X - Х₀₁ при t = t₀ = 0 сходится к значению матрицы U полярного разложения (1). Таким образом, мы сведем первоначальную задачу к численному интегрированию построенной системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим матричное дифференциальное уравнение [1]:

X = ¹ ( - X + X * ф.         (4)

Обозначим через Х ( t, Х 0 ) решение этой системы, удовлетворяющее начальному условию X = Х о при t = 0.

Теорема 1. Если матрица начальных условий Х о невырожденная, то решение X ( t, Х о ) системы (4) также будет невырожденной матрицей при t > 0, причем решение X ( t, Х 0 ) неограниченно продолжаемо при t > 0.

Доказательство. Сначала покажем, что при t > 0 выполняется условие

X ( t, Х 0 ) е D_n.            (5)

Предположим противное, а именно, пусть существует момент времени t^ в который выполнено соотношение det (Х (ti, Х0 )) = 0. Тогда справедливо равенство det (х (tb Хо ) Х*-1 (^, Хо )) = 0.    (6)

Введем в рассмотрение матричную функцию V = XX * , заданную в М_п. Эта функция удовлетворяет на решениях системы (4) следующему уравнению:

V = - V + Е .            (7)

Интегрируя, получаем

V = ( V₀ - Е ) exp ( - t ) + Е.       (8)

В силу того что матрица V = Х 0 Х 0 является симметричной и положительно определенной, из формулы (7) следует, что при t >  0 определитель матрицы V не обращается в нуль, что находится в противоречии с посылкой (6), которое и доказывает справедливость (5).

Необходимым и достаточным условием продолжаемости решений системы (4) является расходимость в этих решениях интегралов

t j vij dx^j. о

Из (7) имеем

• ^t.    -1                        i \|t

• j Vjj d vjj = ^— In ( ^v ij ^— 6 |y j ,

о                                ⁰

где б^ — символ Кронеккера.

Расходимость интеграла следует из формулы (8), так как из нее вытекает v ^y ^ б уу , и выражение в правой части последнего соотношения неограничено. Теорема доказана.

Теорема 2. Решение Х ( t, Х 0 ) системы (4) с начальным условием Х 0 = А сходится при t ^ 0 к значению матрицы U полярного разложения (1), причем справедлива оценка

II Х ( t , Л ) - и|| < | |ЛЛ * - е|| exp ( - t ) .    (9)

Доказательство. Поскольку решение Х ( t, А ) удовлетворяет условиям теоремы 2, оно представимо единственным образом в виде

Х ( t, Л ) = F ( t ) U ( t ) ,           (10)

где F ( t ) , U ( t ) — матрицы полярного разложения. Отметим, что F ( 0 ) = F, U ( 0 ) = U. Подставляя выражение (10) в уравнение (4), можно получить следующее соотношение:

^F ( ^t ) F ( t ) + F ( ^t ) ^U ( t ) U * ( t ) F ( t ) =

= F ( t ) U ( t ) U * ( t ) F ( t ) + F ( t ) F ( t ).

Из (8) следует, что матрица F(t) представляет собой ряд по целым отрицательным степеням экспоненциальной функции параметра t с коэффициентами, являющимися постоянными симметричными матрицами

F (t) = Е + | ( f ² - Е ) « ^{- t} -" | Ф - Е ) ^ + ....

Следовательно, имеет место тождество

F ( t ) F ( t ) = F ( t ) F ( t ) .           (12)

Рассматривая совместно выражения (11),  (12) и условие ортогональности

U ( t ) U * ( t ) + U ( t ) U * ( t ) = 0, получаем, что имеет место соотношение U ( t ) = 0 или U ( t ) = const = U.

Поскольку ||F ( t ) - F|| ^ 0 в силу (8), то справедливо следующее утверждение:

||X ( t , А ) - U|| ^ 0 при t ^ те.

Оценку (9) получаем следующим образом. По свойству нормы (2) можно выписать цепочку равенств и неравенств

II ^X( t Л ) - Ц = ||(^f ( ^ ) - Е ) ^U^ )|| < ||^F ( ^ ) - ^Е|| =

= |(^f2 ( ^t ) - ^Е ) ( ^F ( ^t ) + ^Е ) ^-1|| <  ||^f2 ( ^t ) - ^E|| =

II ^{f 2} ( ^t ) ^{- E}ll ^ex p ( ^{- t} ) = 1|^ЛЛ * ^{- E}ll ^ex p ( ^{- t} ) ■

При оценке нормы |f² ( t ) - f|| мы использовали выражение (8). Теорема доказана.

На основании доказанных теорем можно утверждать, что значение матрицы U можно получить, численно проинтегрировав систему (4) с начальным условием Х о = А при t = 0. Точность нахождения матрицы U будет зависеть как от длины интервала интегрирования, так и от точности самого метода интегрирования.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Решение системы матричного дифференциального уравнения

У = 1 ( -У + УУ * У ) (13) с начальным условием У о = Л * ¹ сходится при t ^ тек значению матрицы U полярного разложения (1), причем справедлива оценка (9).

Численный метод интегрирования системы (13) может быть основан на методе типа Рунге — Кутты при условии согласования порядка метода и его шага с требуемой точностью вычислений.

Рассмотрим второй метод построения ортогональной матрицы полярного разложения матрицы.

Ищем компоненты F, U полярного разложения невырожденной матрицы А:

А = FU , где

U*U = Е , X*FX >  0 VX * 0, X е Е „^

Заметим, что справедливо соотношение АА = F . Следовательно, задача нахождения полярного разложения сводится к нахождению положительно определенного корня из матрицы ЛЛ ■ Матрица U определится по формуле

U = F ^{- 1} A .

Обозначим через М множество всех квадратных корней из матрицы I д-д I :

М = { ф : Ф ² = А - А * } .

Теорема 4. Множество М является инвариантным, асимптотически устойчивым в целом для матричной системы дифференциальных уравнений

X = -X + Х ^{- 1} АА * .         (14)

Доказательство. Инвариантность М очевидна. Для доказательства асимптотической устойчивости в целом множества М построим матричную функцию Ляпунова V = X2 - АА*. Ясно, что V обращается в нуль-матрицу лишь при X е М и удовлетворяет дифференциальному уравнению V = -2V, откуда видно, что V ^ 0 при лю-^^те бом начальном значении V) = X2 - АА*. Следовательно, X2 — АА* независимо от t—— to начального значения Xo, а это и означает, что X ^ М. Теорема доказана.

Х _о е М „

Таким образом, интегрируя систему (14) при условии корректно выбранного алгоритма, мы обязательно попадаем в точку множества М. Выпишем вычислительное предписание Рунге — Кутты четвертого порядка

X , ₊ 1 = X_k + - ( К , + 2 ( К + К ₃ ) + К ₄ ) ,

К = -Xk + Х/-1АА*К2 = хк + j КL (...)-1 АА*,

К з =- ^ X_k + 2 К J + (...)¹ АА * К 4 =

• = - ( X k + 2К з ) + (,..) ^{- 1} АА * .

Корректность метода будет обеспечиваться надлежащим выбором шага 2, который должен удовлетворять условию

• || ^x2 +i ^- ^*|| <  ||^{x 2 -} ^*|.

Критерием окончания будет близость к нулю норм в последнем неравенстве. Пусть матрица Ф е М найдена; приведем Ф к каноническому виду Жордана

Ф = 5 ^{- 1} Д _Ф 5 .

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2

В силу определения Ф матрица /ф диагональная: Jф = diag(Хц ..., Xn). Построим матрицу Jp по правилу JF = diag (|Х1 , ..., | Хи |). Тогда F определится по формуле F = S'JFS. Поскольку справедливы соотношения Ф2 = ЛИ*, F2 = Ф2, матрица F и является матрицей полярного разложения в силу своей положительной определенности.

Как было отмечено выше, матрица U находится по формуле

U = /- Л