Методы решений некоторых экономических задач с математическими моделями

Математика играет большую роль во многих и разных областях науки. Благодаря математическим моделям эти области развиваются и совершенствуются. Многие экономические проблемы успешно решаются с помощью математических моделей. Необходимость знаний математических методов при решении задач по экономике, бухгалтерии, экономической статистике, налоговых обложениях и т.д. признают ведущие специалисты в этих областях. А также кроме ведущих экономистов математическими моделями пользуются работники производств в сфере своей деятельности.

В экономических расчетах основополагающую роль играет матричная алгебра. Матричная алгебра применяется в ряде задач, таких, как составление балансов производства и валовой продукции, определение совокупных затрат труда, определение цен. Матричная алгебра широко используется при решении задач с использованием компьютеров, при составлении алгоритмов и программ к решаемым задачам. Также важны такие разделы математики, как математический анализ, дифференциальное уравнение, линейное программирование, геометрия, оптимизация и моделирование, теория вероятностей и математическая статистика. Каждый из этих разделов математики используется в исследовании и решении экономических задач.

В практике экономического планирования на любом его уровне возникает необходимость выбора оптимального варианта среди множества вариантов плана с учетом принятого критерия оптимальности. Опыт показывает, что здесь недостаточно иметь интуицию. В планировании необходимы точные методы, которые дают возможность сопоставлять и выбирать оптимальный вариант. Один из методов, облегчающих нахождения оптимальных вариантов плана - линейное программирование. Линейное программирование - решение задач в определении оптимальных планов, в математическом выражении этих задач фигурируют только линейные уравнения и линейные неравенства. Сущность линейного программирования можно сформулировать следующим видом. Имеется n переменных x1,x2,...,xn . Определить максимум или минимум следующий линейной формы, называемой целевой функцией [см.2]:

z = Р1 x + Р 2 x2 + •.• + Pnxn c n переменными, удовлетворяющие балансовые условия anx + anx2 +... + alnxn

a xx + a .x +... + a x < b n1  1      n 2  2             nn n      n и граничные условия:

x >  0( i = 1,2,..., n )

С экономической точки зрения задачи линейного программирования-это задачи оптимального использования ресурсов. Ресурсами экономики являются рабочая сила, капитал, сырье, материалы, орудия производства. В каждой экономической задачи они могут быть с разными критериями оптимальности. Критериями производства могут быть, например, максимум выпуска продукции, минимум издержек производства, максимум прибыли и т.д. С помощью линейного программирования решаются задачи капиталовложений, транспортные задачи, задачи рациона питания, оптимизация плана предприятия, задач государственного плана на сельскохозяйственную продукцию (например: пшеница, ячмень, хлопок, мясо, птицы и т.д.). Приведем пример задачи: Рацион солдата складывается из двух продуктов питания, например, из хлеба и мяса, содержащих два элемента питания: калории и протеины. А весовая единица мяса содержит 5 единиц протеина и 15 единицу калорий, а весовая единица хлеба содержит 1 единицу протеина и 5 единиц калорий. Солдат должен ежедневно получать минимум 20 единиц протеина и 20 единиц калорий. Решаем проблему: при каком рационе его стоимость будет минимальной, если цена хлеба 1600 сум, а цена мяса (55000 сум говядина, 20000 сум птица, 21000 сум рыба ) –в среднем получаем 32000 сум. Предположим, что спортсмен ежедневно получает x единиц хлеба и x единиц мяса. Суточная затрата на питания целевая функция с двумя переменными:

z = 1600 x + 32000 x₂

причем переменные x и x должны удовлетворять следующим условиям:

x >  0, x ₂ >  0, x_{ + 5 x ₂ >  20, 5 x + 15 x ₂ >  20

Нужно найти решение ( x , x ) , для которых функция принимает минимальное значение. Решаем систему методом графиков, получаем:

xx = 6

3 x. = — 2₂

это означает, что самый минимальный рацион должен состоять из 6 весовых единиц хлеба и 1,5 весовых единиц мяса. А целевая функция принимает значение

z = 1600 X 6 + 32000 X 1,5 = 57600.