Методы решения логарифмических неравенств

Рис. 1. Графики функций /(%) = logз(2% — 4) и у (%) = logз(14 — %)

По рисунку 1 видно, что абсциссой точки пересечения двух графиков является 6. Так как имеем неравенство /(%) > у (%), тогда выбираем интервал, где график функции / (%) выше графика функции у (%). Получаем интервал (6; 14).

Ответ: х G (6; 14).

Пример 4. Решить неравенство log 5(12% + 1) < 2.

Решение. Рассмотрим две функции: f (%) = log ₅(12% + 1) и у (%) =2. Построим графики данных функций в одной прямоугольной системе координат (рис. 2).

Рис. 2. Графики функций /(%) = log 5(12% + 1) и у (%) =2

Абсцисса точки пересечения двух графиков равна 2. Так как в рассматриваемом примере f(X)≤9(x), тогда решением неравенства являются интервалы, где график функции У(X) не выше графика функции 9(x). По рисунку 2 видно, что промежуток (- ;2] является приближенным решением данного неравенства, так как по рисунку невозможно точно определить к какому значению слева стремиться функция у(x).

Ответ: X∈(- ;2].

• ^v 10 ^J

• 3)    Метод интервалов принято считать универсальным для решения неравенств. Часто этот метод также называют методом промежутков. Суть метода в определении ОДЗ и знака сомножителей. Следующая

задача решается с помощью метода интервалов.

Пример 5. Решить неравенство logI^v9≥-1.

Решение. Всегда решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. Выражение под знаком логарифма должно быть положи-2 — 3% тельным, то есть     >0. Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

log3      ≥-1. Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

log3(2-3^

≥log33⇔

X 1

2-3X^≥3^.

2 — 3%

Видим, что условие     >0, то есть ОДЗ, теперь выполняется автоматически. Это уп- рощает решение неравенства.

2-3X-₃

≥0⇔

3X-1

≥0

2-3X

Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ: X∈

Пример 6. Решить неравенство

log0,2(X² +6X+8)>log0,2 (5X + 10).

Решение. Найдем ОДЗ:

%² +6X+8>0, 5X+10>0.

⇔X∈(-2;+∞).

Поскольку основание у нас 0,2<1, то знак неравенства меняем. Получим:

X² +6X+8<5X+10. Упростим полученное неравенство: X² +X-2<0. Применим метод интервалов. Корни уравнения X² +X-2=0: X1=-2; X2=1.

Наносим найденные точки на числовую ось и вычисляем знаки на каждом интервале:

2          1

х∈(-2;1).

Окончательное решение неравенства – пересечение ОДЗ с только что полученным множеством. Получим:

X

---------о--------о---------*--2        1

Ответ: х∈(-2;1).

• 4)    Метод рационализации заключается в замене сложного выражения на более простое выражение.

Неравенство вида logf( ) ^9 (х))V logj( )(ℎ(X)) , в области его допустимых значений, можно заменить равносильным неравенством

(f(X)-1)(g (X)-ℎ(X))V0.

Здесь знак V означает любой из знаков <, >, ≤ или ≥.

Пример 7. Решите неравенство logx+1 (X-1)≥0.

Решение. Найдем область допустимых значений:

X+1>0

X+1≠1 ⇔X>1.

a-1>0

По методу рационализации: на ОДЗ logx+1 (X-1)≥0⇔(X+1-1)·(X-1-1)≥0⇔X·(X-2)≥0.

Так как на ОДЗ X>1, то на ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству:

(X-2)≥0⇔X≥2. С учетом ОДЗ, получим:X∈[2;+∞).

Ответ: X∈[2;+∞).

Рассмотри более сложное неравенство.

Пример 8. Решите неравенство

(X²+3X-10)∙log0,5(X² -1) log₍x²-l)⁽X+2)≤0.

Решение.

Выпишем ОДЗ неравенства:

(x²-1>0,

I ^x+2>0, ⇒X∈(-2;-√2) ∪ -√2;-1)∪(1;√2)∪(√2; +∞ .

[%2-1≠1;

Решим неравенство на ОДЗ.

Заметим, что по формуле log a b ∙logb ^=loga ^c неравенство можно переписать в виде:

(X² +3X-10)∙log ,(X+2)≤0.

По методу рационализации данное равенство равносильно:

(X²+3X-10)∙(0,5-1)(X+2-1)≤0,

(X+5)(X-2)(X+1)≥0.

Решая данное неравенство методом интервалов, получим:

X∈[-5;-1] ∪[2;+∞).

Пересечем ответ с ОДЗ и получим окончательный ответ

X∈-2; -√2) ∪ -√2; -1)∪[2;+∞).

Ответ: X∈ -2; -√2)∪(-√2;-1) ∪ [2; +∞).

На наш взгляд, данный метод является экономичным по времени, так как легко преобразовать логарифмическое неравенство к нужному рациональному неравенству.

5) Перейдем к методу замены переменных. Суть метода в том, чтобы от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные логарифмические выражения, перейти к равносильному ему более простому рациональному неравенству. Данный метод чаще применяется при решении неравенств, содержащих квадрат логарифма и квадрат выражения, в котором содержится логарифм.

Пример 8. Решите неравенство:

(log2^-2log2 Х)2 < 11log2^ -

22 log₂X-24.

Решение. Перепишем данное неравенство в виде:

(log2*-2log2 Х)2 - 11(log2^ -2log2^)+24<0.

Применим метод замены переменных. Пусть log2Х-2log2 ^= , тогда имеем равносильное неравенство (равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают):

с²-11t+24<0 ⇔ (t-3)(t-8)<

0, с решением 3<t<8.

Вернемся к переменной :

3

2log₂X<8 ⇔

log2%-2log₂X-3>0, log2^X-2log₂X-8<0.

В результаты замены log2 *^ = приходим к системе неравенств у2 -2У-3>0,

■у2 -2у-8<0,

⇔

(У+1)(У-3)

(У+2)(У-4)

>0,

<0,

⇔

( [у<-1, У>3, -2<у<4.

Обратная замена приводит к системе log2 х<-1,           log2Х3,   ⇔       log 2 Х>log2 8,     ⇔ - L х>8,

-21.

Ответ. X∈   ;   ∪(8;16).

\4 2/ v J

5) Рассмотрим метод мажорант (другое название – метод оценок).

Метод мажорант основан на том, что множество значений некоторых функций ограничено. При использовании данного метода нужно выявить точки ограниченности функции, то есть в каких пределах изменяется данная функция, а затем ис-

пользовать эту информацию для решения неравенства.

Основной признак неравенств, в которых нужно применить метод мажорант: имеется смешанное неравенство, то есть в задании присутствуют разнородные функции, например, линейная и логарифмическая.

Пример 9. Решить неравенство: 7 ^|X 3^|∙log2 (6X- X²-7)≥1.

Решение. Преобразуем данное неравенство:

log₂ (6X- X²-7)≥ 7^|X 3 .

Рассмотрим левую часть получившегося неравенства log2 (6X- X² -7). Преобразуем подлогарифмическое выражение:

6X- X²-7= -(X² -6X+9)+2=-(X-3)² +2.

Получаем, что подлогарифмическое выражение 6X- X²-7≤2. Так как "У =log2 t возрастает при t>0, то:

log2 (6X- X²-7)≤log22⇔ log2 (6X- X²-7)≤1.

Рассмотрим правую часть 7^|X 3 ^| . Известно, что у= 7 ^f возрастает. Так как | X-3|≥0, то 7^|X 3| _≥7⁰⇔ 7^|X 3^| ≥1.

Получаем, что левая и правая части равны 1. Следовательно, неравенство log2 (6X-л 2-7)≥ 7 t-3 равносильно системе:

log₂ (6X- X²-7)=1, 7^|X 3^|=1.

Решив первое уравнение системы, получаем X=3. Проверим первое уравнение, подставив значение X=3. Получаем верное равенство log2(6∙3-3²-7)=1.

Значит, X=3 является решением неравен ства 7 ^|X 3^|∙log2 (6X- X²-7)≥1.

Ответ: X=3.

Пример 10. Решить неравенство:

X² +16log4 X≤4-12X.

Решение.

1. Упростим первый корень неравенства:

4|3X-1|+  log    +16log4 X≤4-12X.

2. Заметим, что оба слагаемых в левой части неравенства неотрицательны, следовательно, правая часть также должна быть неотрицательна, то есть 4-12X≥0 ⇔

X < -

.

При этих значениях X подмодульное выражение отрицательно, следовательно, раскрываем модуль с противоположным знаком:

-4(3X-1)+ log22 X2+16log4 X≤4-12X, log22 X2 +16log4 X≤0.

Так как квадратный корень – величина неотрицательная, следовательно, неравенство выполняется, если только левая часть равна нулю [10].

3. Решим уравнение:    log2 _х2 +

16 log4 X=0. Приведем второй логарифм к основанию 2: log 2 _х2 +8log2  =0

Преобразуем первое слагаемое:

log 2 _%2 = (log2^)²=(2log2|X|) ₌

(2 log2 )2 – раскрыли модуль с тем же знаком, так как X>0 по ОДЗ исходного неравенства.

Теперь введем замену переменной: log2 X= (метод замены рассматривался выше). Получим уравнение: 4t2 +8t=0. Решая данное уравнение, получим: t=0 или t=-2. Вернемся к исходной переменной: log2 X=0 или log2 X=-2. От- v 1      „   1

сюда X=1 илиX=.

Легко проверить, что только число 1

X = является решением исходного неравенства. Так как мы не находили ОДЗ, проверку нужно сделать обязательно.

Ответ: X=.

В работе представлены нестандартные методы решения логарифмических неравенств. Рассмотренные на конкретных примерах способы позволяют значительно облегчить, а в некоторых случаях и ускорить процесс решения неравенств. Примеры подобраны из работ [1-10].

Данная статья может быть использована обучающимися для повторения и систематизации материала по теме «Логарифмические неравенства», а также учителями математики для элективных курсов.