Минимальные абсолютно представляющие системы экспонент в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью
Автор: Абанин Александр Васильевич, Петров Сергей Владимирович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.14, 2012 года.
Бесплатный доступ
Рассматриваются пространства функций, аналитических в выпуклой области и бесконечно дифференцируемых вплоть до ее границы, с заданными оценками всех производных. Для пространств, порожденных одним весом, получены необходимые и достаточные условия, при которых минимальные в определенном смысле системы экспонент являются в них абсолютно представляющими. С помощью этих результатов установлено, что абсолютно представляющие системы экспонент в пространствах такого типа не обладают устойчивостью относительно предельного перехода по области.
Абсолютно представляющие системы, пространства аналитических функций, граничная гладкость.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318386
IDR: 14318386
Текст научной статьи Минимальные абсолютно представляющие системы экспонент в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью
Пусть G — ограниченная односвязная область комплексной плоскости C, для которой int G = G. Через A ^ (G) обозначим пространство всех функций, аналитических в G и бесконечно дифференцируемых вплоть до ее границы ∂G.
Весом будем называть произвольную неубывающую выпуклую на [0, го) функцию у, для которой t = o(y(t)) при t ^ го. (1)
Семейство всех весов обозначим символом V . Без ограничения общности будем считать, что у(0) = 0 для любого у G V.
Для ϕ из V образуем банахово пространство
A ^ (G) := ff G A ^ (G): k f k ^
=sup sup z e G k e z +
I f (k) (z)l k! e *(k)
< ∞
Возьмем произвольную последовательность Ф = {yn}П=1 функций из V, для которой существуют такие Cn > 0, что yn+i(t + 1) + t 6 yn(t) + Cn (t > 0, n G N),
и образуем пространство A ф (G) = P|n =i A ^ n (G), наделенное топологией, задаваемой набором норм ( k • k ^ n ) П=1 . Заметим, что в силу (2) оно является пространством Фреше — Шварца (коротко, (FS)-пространством).
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь выпуклые ограниченные области G комплексной плоскости, что естественно при изучении представления функций рядами из экспонент. В [1] (см. также [2]) было доказано, что в тех случаях, когда сопряженное к A ф (G) пространство допускает так называемое экспоненциальное описание, существуют последовательности экспонент, являющиеся абсолютно представляющими системами (АПС) в A ф (G). Поскольку в пространствах такого типа ни одна АПС экспонент не может составлять базиса (см. [3]; в терминологии монографии [4] такие системы называются свободными), то любая АПС экспонент в A ф (G) заведомо переполнена. В связи с этим традиционно ставится вопрос о минимальных в определенном смысле АПС [5–8]. В настоящей работе этот вопрос изучается для пространств функций с заданной граничной гладкостью, задаваемых с помощью весовых последовательностей, порождаемых одной весовой функцией. Именно, пусть ϕ ∈ V и последовательность положительных чисел (р п ) П=1 такова, что p n f p Е (0, го ]. Для пространства A ф (G), образованного по последовательности Ф = (p n ^(t/p n )) П=1 , будем использовать специальное обозначение A p^) (G). Нетрудно видеть, что оно не зависит от выбора последовательности (р п ) П=1 , лишь бы p n ↑ p.
В первой части работы при дополнительных ограничениях на ϕ приводится более простое по сравнению с известным представление сопряженного с A p^ (G) пространства. Затем из него выводятся новые по форме и более удобные для приложений критерии для АПС экспонент в A p^) (G) и дается описание всех мультипликаторов и достаточные условия для делителей полученной реализации сопряженного пространства. На их основании и с помощью общих результатов из [8] во второй части доказывается существование АПС минимального типа в A p^) (G) при p < го . Наконец, в заключительной третьей части работы АПС минимального типа используются для того, чтобы показать, что для пространств аналитических функций с заданной граничной гладкостью, в отличие от пространств всех аналитических функций, невозможны теоремы о предельном переходе по области.
1. Пространства, порождаемые одним весом, и их сопряженные
Всюду далее предполагаем без ограничения общности, что выпуклая ограниченная область G содержит начало.
Напомним описание сильного сопряженного с A ф (G) пространства из работы [1, следствие 1].
Свяжем с каждым весом у Е V выпуклую функцию ^(r) = ^(r) + r ln + e , r > 0. Очевидно, что ψ — вес из V . Через ψ ∗ обозначим функцию, сопряженную с ψ ∈ V по Юнгу — Фенхелю, т. е. ^ * (s) := sup t>g (ts — ^(t)), s > 0. Ясно, что функция ^ * принимает лишь конечные значения. По ψ ∗ образуем банахово пространство целых функций
E^. (G) := (f Е H(C) : |F|^* = sup |F(A)’ + < го} , l лес exp(HG(A) + ^*(ln+ |A|)) J где Hg(A) = supzeG Re(Az) — опорная функция компакта G. Для весовой последовательности Ф = {^n}^=i рассмотрим образованную по вышеуказанному правилу последовательность Ф* = {^П}]]=i и соответствующее ей пространство целых функций E^* (G) := и^=1 E^n (G), которое наделим топологией индуктивного предела последовательности пространств (E^n(G))n=1. В силу (2) пространство E^* (G) относится к классу (DFS). В [1] установлена справедливость следующей теоремы.
Теорема A. Пусть G — ограниченная выпуклая область комплексной плоскости. Пусть, далее, Ф = (у п ) П=1 — последовательность функций из V , для которой выполнено (2) , и известно, что p n (t) = O(t 2 ) при t ^ го для каждого n Е N . Тогда преобразование Лапласа функционалов T ^ T (А) := T(e Xz ) , Л Е C, устанавливает топологический изоморфизм между сильно сопряженным к А ф (О) пространством (Л ф (О')Уь и пространством Е ф » (G).
Следствие. Пусть G — ограниченная выпуклая область комплексной плоскости, а у Е V такова, что у (t) = O(t2) при t ^ го. Предположим дополнительно, что для любого q > 1 существует Cq > 0 такое, что qϕ
t
q
+ t 6 у (t) + C q
( V t > 0).
Определим последовательность Ф * , состоящую из функций, образованных по правилу
^ n (s) := SU P i ts — P n y f—) - t ln + г , n Е N. t> 0 I pnn^ e J
Тогда преобразование Лапласа функционалов устанавливает топологич 0 еский изоморфизм между сильно сопряженным к A^ (G) пространством (A p^ (G)) и Е ф » (G) при любом p Е (0, го ] .
<1 В соответствии с теоремой А нам достаточно проверить, что весовая последовательность p n y(t/p n ) удовлетворяет условию (2).
Из выпуклости у и того, что у(!) = O(t 2 ) при t ^ го , для произвольного фиксированного r > 0 имеем
( (t 'И (tW A (2 t/r ) - y ( t/r ) y (2 t/r )
At
6 — r
44“/ у w)6 t/r 6
при всех t > 1, где постоянная A зависит только лишь от у. Поэтому найдется такое B = B (r) > 0, что у ft) > у^1^) - N • t - B (Vt > 0), (4)
rrr где N : = [A/r] + 1.
Далее, положив r := p n+i и применив N + 1 раз условие (3) при q = N+1 p n+l > 1, p n получим
ϕ
t pn
> q N +1 y

+ (N±^ - D = P n+1 • y(A_ ) + ( N + 1)t - d, p n p n p n+i p n
где D — некоторая положительная постоянная, зависящая лишь от n. Поэтому из неравенства (4), примененного к r = pn+i, следует у (_L) > pn+1. (у (t+1) - nA_ - B) + (N±2)t - D pn pn pn+i pn+i pn
-
> p n+1 . у ( 1+1 ) + L - Bp n+ - D. p n p n+i p n p n
Таким образом, при C n := Bp n+i + Dp n имеем
Pn+1y(--±-)+ t 6 pnP ( — )+ Cn, t > 0, pn+i pn что доказывает следствие. B
Заметим, что при p = го вместо (3) можно было потребовать выполнения более мягкого условия
( 3 q> 1) ( 3 C> 0) qy(^ + t 6 y(t) + C ( V t > 0).
Обозначим через W — подкласс тех весов ϕ ∈ V , для которых преобразование Лапласа функционалов устанавливает топологический изоморфизм между сильно сопряженным к A p^) (G) пространством (A p^) (G)) b и пространством E ^ * (G), где Ф * образована по правилу, указанному в следствии, для любой ограниченной выпуклой области G.
Наша ближайшая цель — выделить подкласс тех ϕ ∈ W , для которых сопряженное можно описать в более простой форме, чем в следствии. В связи с этим рассмотрим те веса ϕ, для которых
y ( t ) - qy^t/q)
lim ----— ---- = + го ( V q> 1). (5)
t^^ t ln t
Примерами весов, удовлетворяющих (5), являются
-
1) t a , a > 1;
-
2) t ln e (1 + t), в > 2;
-
3) t(lnt) lnlnt .
Ясно, что условие (5) влечет выполнение (3). Далее, из (5), очевидно, следует, что t ln t = o(y(t)) при t ^ го. (6)
Установим некоторые свойства весов, удовлетворяющие условию (5) или (6), и ассоциированных с ними весовых последовательностей.
Лемма 1. Пусть вес у удовлетворяет условию (6). Тогда ln у* (s) = o(s) при s ^ го и существует такая постоянная A > 0, что у*(ln+(s + 1)) — у*(1п+ s) 6 A, s > 0. (7)
<1 В силу условия (6) на вес у для любого C > 1 найдется такая постоянная D =
D(y, C ) > 0, что при всех t > 0
y(t) > Ct ln + t — D.
Поэтому для любого s > 0
У * (s)
= sup(ts — y(t)) 6 sup(ts — Ct ln + t) + D 6 max
t>0
t>0
{ s, sup(ts — Ct ln t) I + D.
I t>i >
Так как
C es/C sup(ts — Ct ln t) = < e t>i s
при s > C, при 0 6 s < C,
и Ce s/C
> s при любом s > 0, то окончательно имеем, что y * (s) 6 se^ s/C + D ( V s > 0).
Отсюда в силу произвольности C > 1 получаем, что ln у * (s) = o(s) при s ^ го , и тем более y * (s) = o(e s ) при s ^ го .
Таким образом, для ϕ ∗ выполнены все условия леммы 6.1.2 из [9], в соответствии с которой у * удовлетворяет (7). B
Лемма 2. Пусть вес у удовлетворяет условию (5) , p n f p Е (0, го ] , ^ n (t) := p n y(t/p n ) + t ln + (t/e) (n Е N) . Тогда весовые последовательности Ф * := (^ n (s)) n=1 и Ф * := (pny* (s)) n=i удовлетворяют при некоторых постоянных C n > 0 неравенствам
^ n (s) 6 P n ^ * (s) 6 C+i (s) + C n , S > 0, n Е N.
-
<1 Левая часть неравенства следует без каких-либо ограничений из определения функций ψ n ∗ :
С(s) 6 P n sup((t/p n )s — ^(t/p n )) = P n ^ * (s).
t>0
С другой стороны, из условия (5) имеем, что для произвольных q > 1 и A > 0 найдется постоянная C(q, A) > 0 такая, что y(t) > qy(t/q) + tln+(At) — C(q, A) (Vt > 0).
Поэтому для q = p n+i /p n > 1 и A = p n /e> 0 найдется такая постоянная C n > 0, что
P n ^ * (s) = p nit up (tS — y(t)) = 8 > p (tS — p n ^(t/p n ))
6 sup ( ts — p n ( qy(t/(qp n )) + (t/p n )ln + (At/p n ) — C (q, A) )) tU0
= sup ( ts — ( p n+i ^(t/p n+i ) + t ln + (t/e) )) + C n = C+i (s) + C n (s > 0, n Е N). ▻ tU0
Отметим еще один полезный факт, вытекающий из более слабого, чем (5), условия.
Лемма 3. Пусть вес ϕ удовлетворяет условию lim '' ’' +го (V q> 1).
t→∞
Тогда для любого q > 1 существует Cq > 0 такое, что y* (s + 1) 6 q^* (s) + Cq (V s > 0).(8)
-
< По условию для любого q> 1 найдется постоянная C q > 0 такая, что
- qy* (s) = sup (ts — qy ( - > sup (t(s + 1) — y(t)) — Cq = y* (s + 1) — Cq.
t>0 V kq/ /
Для веса y и последовательности p n f p Е (0, го ] определим весовую последовательность Ф * := (p n y * (t)) n=i , а по ней весовое пространство целых функций Е ф * (G), представляющее собой внутренний индуктивный предел последовательности банаховых пространств
E p n V * (G) := (f Е H (C) : | FU* = sup | F ( Л ) | + < го} .
( де с exp(H G (A) + p n y * (ln + | А | )) J
Будем использовать для этого пространства специальное обозначение Е p^ , ) (G). Ясно, что это пространство не зависит от выбора последовательности (p n ) n=i , лишь бы p n f p.
Обозначим через W семейство всех весов из W , для которых имеет место условие (5). Из леммы 2 и следствия из теоремы А получаем такой результат
Теорема 1. Для веса ϕ ∈ W преобразование Лапласа функционалов устанавливает топологический изоморфизм между пространством (A p,) (G)) b , сильно сопряженным к A p, (G) , и E( , * ) (G') Для любой ограниченной выпуклой области G и любого p Е (0, го ] .
C Действительно, в силу леммы 2 для каждого n ∈ N справедливы вложения
E(G) ^ E(G) ^ E (G), n Е N, где vn те же, что и в лемме 2. Отсюда следует топологическое равенство Ep,*) (G) = E^* (G). Остается применить следствие из теоремы A, чтобы получить нужное. B
В дальнейшем нам потребуется описание всех мультипликаторов пространства E p, * ) (G), которое мы сейчас приведем. Напомним, что целая функция ц называется мультипликатором множества E целых функций, если ц • E С E. Так как E p, * ) (G) является (DFS)-пространством, то всякий его мультипликатор ц непрерывен, т. е. соответствующий оператор умножения Л ^ : f ^ цf действует из E p, * ) (G) в E p, * ) (G) непрерывно (см. по этому поводу [10]). Это обстоятельство позволяет нам воспользоваться общими результатами из [11] об описании непрерывных мультипликаторов и установить следующий результат, имеющий самостоятельное значение.
Предложение 1. Пусть вес р удовлетворяет условию (5) . Класс M p, * ) (G) всех мультипликаторов пространства E p, * ) (G) допускает следующее описание
M p, * ) (G) = | ц Е H (C) : V е> 0 3 С е > 0 : | ц(А) | 6 C e e e, * (ln + | A | ) , А Е с } при 0 < p < го ;
M (, * ) (G) = | ц Е H (C) : 3 C > 0 : | ц(А) | 6 Ce C, * (ln + | A | ) , А Е с } .
C Положим hn(A) = exp (Hg(A) + pn^*(ln+ |А|)) (А Е C, n Е N).
Так как у * не убывает и выпукла на [0, го ), то y * (ln + | А | ), а следовательно, и H g (А) + p n ^ * (ln + | А |) — субгармоническая в C функция. Далее, для каждого n Е N и любого λ ∈ C
(1 + | А | 2 ) 3 sup h n (0 6 exp sup Hg« ) + P n sup y * (ln + | ^ | )+3ln(1 + | А | 2 ) k- a | 6 i U-A | 6i i e - A | 6i
6 exp ^Hg(A) + Ag + Рпф*(ln(|A| + 1)) + 6ln+ |A| + 3ln2^, где Ag = supzGG |z| — радиус наименьшего круга с центром в начале, содержащего G. Применив лемму 1 и использовав то, что s = o(y*(s)) при s ^ го, получим, что
Pn^*(ln+(|A| + 1)) + 6ln+ |А| 6 Pn+iy*(ln+ |А|) + An (А Е C), где An > 0 — некоторые постоянные. Тогда для n Е N и А Е с
( 1 + | А | 2 ) 3 sup hn(0 6 B n e H G (A)+P n +1 ^(^ | A | ) = B n h n+1 (А), | € - A | 61
где B n : = 8exp(A G + A n ). Таким образом, для весовой системы { h n (A) } n=i выполнены все условия предложения 5 из работы [11], в соответствии с которым E pp * ) (G) является так называемым густым пространством. А тогда по предложению 3 из той же работы Mp’*) (G) совпадает с семейством тех целых функций р, которые удовлетворяют для всех λ ∈ C условию
( V n Е N) ( 3 m Е N) (C n > 0) | ^(А) | 6 C n \ / 6 C n е (Р т - Р п )’ * (ln + | Л | ) .
h n ( А )
Отсюда, очевидно, следует описание пространств мультипликаторов в обоих случаях — p Е (0, го ) и p = го . B
Из предложения 1 следует, что класс M p, * ) (G) мультипликаторов не зависит от области и одинаков для всех конечных p. Поэтому в дальнейшем, если не возникнет недоразумений, мы будем применять сокращенные обозначения М (, * ) := M p, * ) (G), 0 < p < го , и M~ := M ~ .(G).
(, * ) (₽ • )'
Нетривиальный мультипликатор µ множества E целых функций называется делителем E, если справедлива импликация (теорема деления):
( f Е E, f Е H (C) ) = ^ f Е E.
µµ
Приведем достаточные условия того, что p Е M (, * ) является делителем E p, * ) (G), где 0 < p < го .
Предложение 2. Пусть вес ^ удовлетворяет (4) и функция р : (0, го) ^ (0, го) такова, что p(t) = o(^*(lnt)), t ^ го. (9)
Предположим, что для мультипликатора p Е M (, * ) имеет место условие (A) :
( V е > 0) ( 3 R e > 1)( V А Е C, | А | > R e )( 3 Z Е C) | Z - А | < р( | А | ), | p(Z) | > e - ep * (ln + | z | ) .
Тогда p является делителем пространства E pp * ) (G) для любого p Е (0, го ) и любой выпуклой ограниченной области G.
C Пусть f Е Ep,*)(G) такова, что f/p Е H(C). Из принадлежности f пространству Ep,*)(G) имеем, что при некоторых постоянных q Е (0,p) и Ci ln |f «)| 6 Hg(^)+ q^*(ln+ |e|)+ Ci, e Е C. (10)
Возьмем е Е (0,1) так, чтобы q + 6е < p. Так как p Е M(,*), то найдется C2 > 0 такое, что in|p(e)| 6 е^*(in+ |e|) + C2, e е c. (11)
Из (7) следует, что y*(ln+(t + 4p(t))) 6 y*(ln+ t) + 4A(p(t) + 1), t > 0.
Кроме того,
Hg(0 6 H g (A)+4A g p( | A | ), | e - A | 6 4р( | А | ); A,e Е C.
Тогда, применив в последних двух неравенствах условие (9), получим, что имеется такое R > 1, что
-
y * (ln(t + 4p(t))) 6 (1 + s i )y * (Int), t > R, E i := min(s, s/q); (12)
Hg«) 6 H g (A) + sy * (In | A | ), | e - A | 6 4p( | A | ), | A | > R. (13)
Из условия (А) найдем соответствующее Re. Без ограничения общности можно считать, что Re > R. Рассмотрим произвольное A G C с |A| > Re. Учитывая неравенства (10)–(13), имеем lnmaxmn |f(^6 hg(a)+Ey*(ln |A|) + q(1+Ei)y*(ln |A|)+Ci |$-A|64p(|A|)
6 H G (A) + (q + 2s)y * (ln | A | ) + C i ;
ln max | д(£) | 6 e(1 + E i ) y * (ln | A | ) + C 2 6 2sy * (ln | A | ) + C 2 .
| § - A | 64p( | A | )
С другой стороны, из оценки НС) | снизу, фигурирующей в условии (А), и (12) получаем
Ь max НО > ln |^ (z ) | > - E^* (ln | z | ) > - e(1 + E i )y * (ln | A | ) > -2e^* (ln | A | ) . | § - A | 6p( | A | )
Как известно (см. [12]), ln
f (A) OA )
6 ln max | f (£) | + ln max
| § - A | 64p( | A | ) | § - A | 64p( | A | )
HO- 2lnlt maH,J^(O- | § - A | 6p( | A | )
Использовав в этом неравенстве полученные выше оценки, приходим к следующему неравенству, справедливому при всех |A| > Re, ln
f (A) ^ ( A )
6 H G ( A ) + ( q + 6e) y * (ln | A | ) + C i + C 2 .
Так как в соответствии с выбором E у нас q + 6e < p, то отсюда следует, что f/^ при надлежит пространству Epp* )(G). B
2. Минимальные АПС экспонент в App)(G). Общие результаты
Всюду ниже, если не оговорено дополнительно, p G (0, го ) и у — вес из W.
Как уже отмечалось во введении, АПС экспонент в пространстве A pp) (G) заведомо переполнены. В таких случаях возникает задача о построении минимальных в определенном смысле АПС экспонент. Мы будем исходить из общего понятия минимальности АПС, введенного в [8] на основании классических результатов А. Ф. Леонтьева о представлении аналитических в выпуклой области комплексной плоскости функций рядами Дирихле, показатели которых являются нулями целых функций минимально возможного роста. План изложения в текущем параграфе заключается в конкретизации и проверке основных определений и результатов из [8] для систем экспонент и пространств A pp) (G) и E pp , ) (G). Для удобства читателя мы согласуем некоторые наши обозначения с [8] и при необходимости приведем нужные нам понятия из этой работы.
Положим H := A p^) (G), e(A) := exp Az (A G C) и E := E p^ * ) (G). Для краткости будем использовать обозначение || • ||q := || • ||qpk /q) , q G (0, го ). В рассматриваемом случае справедливо следующее уточнение леммы 1 из [1].
Лемма 4. Пусть вес у G V удовлетворяет условию (5). Тогда для любых 0 < r < q < го существует такая постоянная c = c(q, r) > 0, что ceHGW+r^*(ln+ H) ^ |e(A)|q 6 eHG(A)+q^(ln+ |A|), A G C. (14)
<1 Правая часть (14) верна без каких-либо ограничений на у:
| e λz |·| λ | k
|e(A)|q = SUP sup -----—— zeGkez+ k!eq^ q)
k
6 exp H g (A) + sup I k ln + | A | — In k! — qy I — L k e z + V Vq
6 exp
H g (A) + sup t>0
t ln + | A |
-
t qϕ
q
= exp [Hg(A) + qy * (ln + | A |>] ( V A G C).
Докажем теперь левую часть (14). При | A | 6 1 имеем
| e(A) | q > sup | e Az | = e H G (A) .
z ∈ G
Пусть теперь | A | > 1. Тогда
|e(A)|q = sup sup zeGkez+
| e λz | · | λ | k
k!ew
= exp
k
H g (A) + sup I k In | A | — In k! — qy I — k e z + V \q
> exp
H G (A) + sup k e z +
k ln | A |
— k ln + k — qy
Возьмем E o > 0 так, что r + E o < q. Из условия (5) следует, что при некотором B > 0
(r + E o ) у ^—+— J > qy + t ln + t — B, t > 0.
Продолжив оценку | e(A) | q , получим отсюда
| e ( A ) | q > exp
Hg(A) + sup k ln |A| — (r + Eo)y —•--- — B k€Z+\ Vr + Eo//
> exp
H g (A) + sup (t ln | A | — (r + E o )y ( t>o
—— ) ) — ln | A | — B r + Eo))
= exp [Hg(A) + (r + E o )y * (ln | A | ) — ln | A | — B].
Учитывая еще, что x = o(y * (x)) при x ^ + го , заключаем, что при некотором C > B , не зависящем от λ,
||e(A) | q > exp [ H g (A) + ry * (ln | A | ) — C ] .
Объединив эту оценку с (15) и положив c := e - C , получаем левую часть (14). B
Из леммы 4 следует, что для любого p G (0, го) и pn f p весовые системы (exp(HG(A) + pny*(ln+ |A|)))n=1 и (|e(A)|pn)П=1 эквивалентны в том смысле, что для каждого n G N и любого λ ∈ C при некоторых положительных постоянных cn и Cn г Р HG(A)+Pn ^*(ln+ |A|) cn e
6 IHA)!^
6 C n e H G (A)+P n +1 ^ * (ln + | A | )
Отсюда следует, что во всех определениях, результатах, оценках и т. п. из работы [8], касающихся пространств A pp) (G) и E pp » ) (G), мы можем использовать exp(H G (A) + P n ^ * (ln + |A| )) вместо ||e ( A ) k p n .
Отметим следующие три момента:
-
1) Экспоненты e(A) являются собственными функциями оператора дифференцирования D : f ^ f 0 , причем совокупность всех решений уравнения Df = Af образует в H одномерное подпространство, натянутое на элемент e(A). Заметим также, что оператор дифференцирования действует непрерывно из H в H (см. [3, лемма 1]).
-
2) Так как по предположению вес ϕ входит в класс W , то преобразование Лапласа F : v ^ z>(A) = v(e(A)) устанавливает топологический изоморфизм между H 0 и пространством E , которое в силу (16) совпадает с ind E n , где
E n := gg £ H (C) : | g | n := sup ^(^ < го) (n G N).
I л е с lle ( A ) k P n J
-
3) Из условия (7) имеем, что
- sup(Hg(A + £) + pn^*(ln+ |A + £|)) 6 Hg(A) + pn^*(ln+ |A|) + A + Ag, (17)
I € I 61
где, как и прежде, A g = sup {| z | : z G G } . Отсюда, как известно, следует, что пространство E инвариантно относительно деления на полиномы. Впрочем, тот же самый вывод можно, очевидно, сделать с помощью предложения 2.
Таким образом, для пространств H = A pp) (G) и E = E p^ , ) (G) и системы экспонент E := { e(A) := exp Az, A G C } выполнены все предварительные условия работы [8].
Пусть Л = (A k ) ^ 1 — последовательность попарно различных комплексных чисел с единственной предельной точкой на бесконечности и E (Л) := (exp A k z) ^ 1 — соответствующая ей система экспонент. Из леммы 4 следует, что в рассматриваемом нами случае общее понятие минимальной системы элементов, введенное в [8], интерпретируется следующим образом.
Система E (Л) называется минимальной для A p^) (G), если существует такая нетривиальная целая функция L, которая удовлетворяет следующим условиям:
-
(a) ( V e> 0)( 3 R e > 1) ln | L(A) | 6 H g (A) + (p + e) y * (In | A | ), | A | > Ry
-
(b) L имеет в точках A k простые нули (она может иметь нули произвольной кратности в других точках).
Совокупность всех функций L, удовлетворяющих условиям (a) и (b), обозначим символом L P (G;Л).
Для дальнейшего изложения нам потребуется следующий вспомогательный результат, касающийся, так называемых, правильных пар. Определение таких пар технически громоздко и само по себе в данной статье не используется. Поэтому мы его приводить не будем, отослав читателя за подробностями к работе [8].
Лемма 5. Пусть вес y G V удовлетворяет условию (5) и E (Л) — минимальная для A p^) (G) система. Тогда пара (E (Л),А р^) (G)) является правильной.
-
<1 Положим k n (A) := exp (Hg(A) + p n y * (ln + | A | )), A G C, n G N, и отметим, что условие (14) означает, что весовые системы ( | e(A) k p n : n G N) и (k n (A) : n G N) эквивалентны между собой. Значит, мы можем использовать в наших рассуждениях одну вместо другой. Положим еще k n,m (A) := k m (A)/k n (A), m > n, n G N, A G C.
В соответствии с [8, с. 492–493] (см. пп. а), б)) для доказательства правильности пары (E (Л), A p^) (G)) достаточно проверить следующие условия:
-
(i) функции из L p (G) имеют конечный порядок;
-
(ii) ( V n )( 3 m )( 3 C> 0) sup | € | 6! ||e ( A + ^) k P n 6 C||e ( A ) k p m , A G C;
-
(iii) функции k n,m (A) радиальны, а In k n,m (A) субгармоничны в C (m > n, n G N);
-
(iv) ( V n) ( V s > n) ( 3 m > n) ( 3 a > 1) k n,s (aA) 6 Ak n,m (A), A G C.
-
(i) Из условия (a), участвующего в определении класса Lp * (G), и того, что lny(s) = o(s) при s ^ го (см. лемму 1), следует, что элементы из Lp * (G) являются целыми функциями порядка не выше первого (более того, если их порядок равен 1, то они имеют конечный тип и индикатор, не превосходящий H G (e i )).
-
(ii) Перепишем (17) в виде
sup k n (A + £) 6 e A+A G k n (A), A G C, n G N.
I € I 61
Отсюда, в силу отмеченной выше эквивалентности весовых систем ( | e(A) | p n : n G N) и (k n (A) : n G N), получаем справедливость (ii).
-
(iii) Имеем k n,m (A) = e (P m - p n )p * (ln + | А | ) , A G C, откуда следует, что функции k n,m (A) радиальны в C. Далее, так как у * не убывает и выпукла на [0, го ), то функции ln k n,m (A) = (p m — p n )y * (ln + | A | ) субгармоничны в C при всех m> n.
-
(iv) Возьмем произвольные n,s G N, s > n. Положим m := s + 1, a := e. Тогда в силу (8) для q := Рр + --Р п > 1 имеется A > 0 такое, что при всех A G C
k ns (aA) = e (P = - P n )p * (ln + e | A | ) 6 e (P s - P n )p , (ln + W+i) 6 e (P s +i - P n )^ * (ln + | A | )+A = e A k n m (A).
Таким образом, выполнены все требуемые условия (i)–(iv), что обеспечивает правильность пары ( E (Л), A p^) (G)). B
Теорема 2. Пусть p G (0, го ) , у — вес из W, E (Л) — минимальная для A pp) (G) система и L G L p * (G;Л) . Для того чтобы E (Л) была АПС в A p^) (G) , необходимо, чтобы для некоторого нетривиального мультипликатора µ из M ϕ ∗ выполнялись условия:
A)
B)
3 Г п t + го :
^ ( A ) L(A)
6 e - H G (A) - p n p * (ln | А | ) , | A | = r n , n G N;
r 1
lim sup —-, T- k x y*(ln |Ak |)
ln
y(A k )
L 0 (A k )
+ H G (A k )
6 - p.
Эти же условия достаточны для того, чтобы E (Л) была АПС в A p^) (G) , если они выполняются для некоторого делителя пространства E p^ , ) (G) .
С Из того, что класс L p (G; Л) состоит из функций экспоненциального типа и леммы 5 следует, что выполнены все условия теоремы 3 работы [8]. Поэтому достаточно проверить эквивалентность приведенных условий A) и B) с соответствующими им из [8]. Напомним их, отметив как условия A 0 ) и B 0 ), так как символы A) и B) уже используются:
A 0 )
B 0 )
3 Г п t + го :
y(A) 1
L(A) 6 k e(A) | p n
| A | = Г п , n G N;
X j LP k j| k e(A k ) k p n < го ( V n G N).
Эквивалентность условий A) и A 0 ) получаем непосредственно из леммы 4.
Далее, предположим, что для некоторого нетривиального мультипликатора µ из Mϕ∗ ряд Pk=i ILTXkJi l|e(Ak)kpn сходится при каждом n E N. Отсюда следует, что последовательность общих членов ряда ограничена (при каждом n). Учитывая (14), получаем, что тогда для каждого n E N найдется такая постоянная Cn > 0, что у*(ln A|)
ln
^(A k ) L(A k )
+ H G (A k ) 6 - p n +
C n у * (In | A k | )
( V k E N).
Переходя здесь сначала к верхнему пределу по k, а затем к пределу по n, получаем B).
Таким образом, B 0 ) ^ B).
Пусть теперь имеет место условие B). Тогда для каждого n E N при некоторой положительной постоянной C = C(n) выполняется неравенство
( V k E N).
exp[H G (A k ) + P n+i y * (ln | A k | )] 6 C | L(A k ) |
Учитывая (16) и то, что x = o(y * (x)) при x ^ + го , получим
MA-) k p n 6 A ( V k E N).
I L (A k ) | | A k | 2
где постоянная A > 0 не зависит от k. Поскольку L является целой функцией экспоненциального типа, то, учитывая связь между порядком целой функции и показателем сходимости последовательности ее нулей, заключаем, что ^2^ =1 1/ | A k | 2 < го , откуда получаем B 0 ). B
Так как y(A) = 1 является делителем пространства E pp * ) (G), то из теоремы 2 получаем такой результат.
Следствие 1. Пусть p E (0, го ) , у — вес из W, E (Л) — минимальная для A p^ ) (G) система и L E L p (G; Л) . Если выполнены условия
-
(I) ( 3 r n t + го ) ln | L(A) | > H g (A) + P n y * (ln | A | ), | A | = r n , n E N;
limi. ln jL 0 (Xk)I-H G (Xk ) — „
-
(II) llm k ^^ ^ « (in j A k j ) = p _
то система E (Л) является АПС в A^ (G) .
Перейдем к рассмотрению вопроса о существовании функции L, удовлетворяющей всем условиям следствия 1. Исследование основывается на работе [13], в которой получены общие результаты о приближении субгармонических функций, и [14], в которой приводится схема, использованная нами при доказательстве следующей теоремы.
Теорема 3. Пусть p E (0, го ) и вес у E V удовлетворяет условию (6) . Положим u(A) := H G (A)+py * (ln + | A | ) , A E C . Тогда существует целая функция экспоненциального типа L , обладающая свойствами:
-
1) все нули Л := (A k ) k =i функции L(A) простые;
-
2) L(A) E L p (G;Л);
-
3) для L(A) выполняются условия (I) и (II) следствия 1 .
C Обозначим D(^,r) := { A E C : | A — £ | 6 r } , £ E C, r > 0. По теореме 4 из [13]
для субгармонической в C функции u(A) найдется целая функция L(A), все нули (A k ) k =i которой простые и при некотором 6 > 0 круги D k := D(A k ,5) попарно не пересекаются, причем вне множества E = Ufc =i D k выполняется асимптотическое соотношение
| u(A) — ln | L(A) | | = O(ln | A | ), | A | ^ го . (18)
Отсюда, с учетом условия (1), следует, что L(A) E L1^ * (G;Л).
Положим Dk := Dk, если к 6 1/V^, и Dk := D(Ak, 1/к2) — в противном случае. Тогда круги Dk попарно не пересекаются и при этом имееют конечную сумму радиусов. Учитывая (18) и (1), получаем, что для каждого е G (0,р) при достаточно больших к на границе круга ∂Dk имеет место оценка ln
L(A) λ - λ k
> Hg ( A ) + (р - е) y * (ln + | А | ) - ln 6.
Далее, функция ln
L(A) λ - λ k
гармонична в некоторой окрестности круга D k (к G N). По-
этому из принципа гармонической мажоранты следует, что всюду на D k \ D k выполняется
ln | L(A) | > H g (A) + (р — е) у * (ln + | А | ) — 2ln к — ln 6.
Так как L(A) — функция экспоненциального типа, то limsup k ? ^ |jj < го . Тогда для достаточно больших k имеем
к 6 C | A k | 6 (C + 1) | А | ( V A G D k ),
где постоянная C не зависит от к. Учитывая все вышесказанное и то, что t = o(y(t)) при t ^ го, заключаем, что для любого е > 0 при всех достаточно больших к имеет место оценка на Dk \Dk ln |L(A)| > Hg(A) + (р — 2е) у*(ln+ |А|).
Тогда из последнего неравенства и соотношения (19), учитывая, что круги D k имеют конечную сумму радиусов, получаем (I).
Для доказательства выполнения (II) снова воспользуемся гармоничностью функции ln I x — x k I в некоторой окрестности круга D k . С учетом этого свойства из (7) и (19) имеем для достаточно больших k
ln \L' (A k ) | > min ln λ ∈ ∂D k
L(A) λ - λ k
> min ( H g (A) + (р — е)у* (ln + | A | ) ) — ln 6 λ ∈ ∂D k
> H G (A k ) + (р — Е)у * (ln + | A k | )
- A,
где A — некоторая постоянная, зависящая только от δ,
ε и G. Таким образом,
г „ ln | L 0 (A k ) |— H G (A k )
lim inf------—— --- k^^ y * (ln | A k | )
> р.
Аналогично с помощью (18) показывается, что
r ln | L 0 (A k ) |— H G (A k )
lim sup-------—------- k^^ У * (ln | A k | )
6 р.
Откуда и следует нужное. B
Объединяя следствие 1 и получаем
Следствие 2. Пусть p ∈
теорему 3 и используя определение минимальной системы,
существует минимальная АПС экспонент.
(0, го ) , у — вес из W. Тогда в пространстве A p^) (G) всегда
3. Неустойчивость АПС экспонент в Ap^ (G) относительно предельного перехода по области
Для систем экспонент в пространствах H(G) всех функций, аналитических в выпуклой ограниченной области комплексной плоскости, известен следующий результат, принадлежащий А. В. Абанину (см. [6, гл. 2, § 3, теорема 9]).
Пусть (G n ) n=i — произвольная последовательность выпуклых областей, исчерпывающая G изнутри, т. е. G n С G n+i (n > 1) и |Jn =i G n = G- Тогда всякая система экспонент, являющаяся АПС в H(G n ) при всех n > 1 , будет АПС и в H(G) .
Результаты подобного характера называют теоремами об устойчивости АПС относительно предельного перехода по области.
В [3] нами было установлено, что для пространств вида А ф (G) имеют место теоремы об устойчивости АПС экспонент относительно предельного перехода по весовым последовательностям при фиксированной области, и высказано предположение, что АПС экспонент в этих пространствах не обладают устойчивостью относительно предельного перехода по области. В текущем параграфе с помощью теоремы 2 и ее следствия доказывается справедливость этого предположения.
Нам потребуются следующие известные свойства целой функции g o (А) := sin nA (см., например, [15, с. 51–52]):
-
1) go — целая функция экспоненциального типа с простыми нулями в точках А = k, причем | g 0 (k) | = п (k G Z);
-
2) ln | g o (A) | 6 п | А || sin(arg A) | , A G C;
-
3) для любого 6 G (0,1/2) имеется такая постоянная C g > 0, что
- ln |g0 (A) | > п| A|| sin(arg А) | — Cg, AG [ {A G C : |A — k| < 6}.
В качестве G возьмем квадрат П : = { z : | Im z | 6 п, | Re z | 6 п } . Рассмотрим функцию L(A) := sin nA • sin inA. Из свойств g o следует, что выполнены следующие условия:
-
(a) L — целая функция экспоненциального типа с простыми нулями в точках k и ik (k G Z, k = 0; A = 0 является нулем L второй кратности) и индикатором H n (A) = п( | Im A | + | Re A | ), причем In | L(A) | 6 H n (A), A G C;
-
(b) Пусть 6 G (0,1/2) и U z,g := { A G C : | A — Z | <6 } (Z G C). Имеет место асимптотическое равенство
In | L(A) | = H n (A) + O(1) при A ^ ro , A G [ ( U k,g U U^g k ∈ Z
В частности, это асимптотическое равенство имеет место на системе концентрических окружностей | A | = k + 1/2 (k G N);
-
(c) ln | L 0 (k) | = H n (k) + O(1) = n | k | + O(1) при | k | ^ ro .
Из свойств функции L следует, что множество ее простых нулей Л := { k, ik : k G Z, k = 0 } образует последовательность показателей минимальной для A p^) (П) системы E (Л) при любых фиксированных p G (0, го ) и у из W. В то же время, по теореме 2 E (Л) не может быть АПС в A p^) (П) ни при каких p G (0, го ) и у из W, поскольку условие А) этой теоремы не может быть выполнено ни для одного нетривиального мультипликатора µ из М ^ * . В самом деле, если найдется последовательность радиусов r n f + го такая, что
^ ( A ) L(A)
6 exp [ — Hn(A) — pn^*(ln |A|)j, |A| = rn n G N, то отсюда немедленно следует, что
HA) | 6 exp( - p i ^ * (ln | A | )), | A | = r n n Е N.
Последнее же возможно лишь для ^ = 0.
Далее, образуем подпоследовательности Лп : = (Ank)kGz вещественных нулей функции L, где Ank = 2nk + 2n—1 — 1 (n Е N). Как нетрудно видеть, любые две такие подпоследовательности не имеют одинаковых элементов. Заметим также, что Лп является последовательностью всех нулей функции gn(A) := sinп^^П + 2П — ^j. Положим Ln(A) := nm=i gm(A)f (A) и Щ := (1 — 2)п (n Е N), где gm (A) := sin ni( — +
-
m 2 m 2 m
Тогда из свойств функции L следует, что при каждом n ∈ N:
-
(I) Существует такая последовательность (R nm ) “ =1 , R nm t го при m ^ го , что In | L n (A) | = Hr „ (A) + O(1), | A | = R nm , m -го ;
-
(II) In | L n (A nk ) | = H n n (A nk ) + O(1) при k ^ го .
Следует отметить, что в последовательность Л п (n Е N) заведомо не попали точки A s := 2 s — 1 (s Е N, s > n), являющиеся нулями функции L.
Для каждого n ∈ N образуем целую функцию
∞
L 0 (A) :=П(1 —
λ
,
2 s — 1
имеющую нулевой порядок. Положим
T s := {A Е C : || A | — A s | 6 1}, s Е N; ∞
T := JT; s(A):=[log 2 ( | A | + 1)], A Е C, s=1
и рассмотрим произвольное A, лежащее вне T . Ясно, что 2 s(A) < | A | < 2 s(A)+1 — 2. Тогда при достаточно большом A / T (например, при | A | > 2 n+2 — 1) имеют место следующие оценки
s(A) X ln |L0(A)| = £ln 1 — —- n 2s — 1
∞
λ
2 s — 1
s(A)
> X ln

+ X ln s=s(A)+1

∞
+ X ln 1 — s=s(A)+1 \
-

2 s(^)+1 — 2
2 s — 1
s(A)
> X ln

— 1
Отметим, что ln ( 2^—1 — 1) > (s(A) — s) ln2 — 1 при s 6 s(A) — 1, и ряд
∞
X ln 1 — s=s(A)+3
∞
v /
= / ln 1
s=1
-
2 s
сходится, причем его сумма не зависит от λ. Поэтому, учитывая очевидные соотношения In | А | /ln 2 — 1 6 s(A) 6 In | A | / ln 2 + 1, | A | > 1, получаем
s(A)-1 ( 2sW \ ln Ln(A)| > У ((s(A) — s)ln2 — 1) + ln f 2s ( 2-'Л" — 2\ ( 2s(x)+i — 2\ “ / 1 \ + lnI 1 —2s(^)+1 — 1 ) + ln ( 1 —2sW+2 — 1 J + X ln ( 1 —2s-sto-2 ) s=s(A)+3 = --(—ln2 ■ O(s(A)) = ^ + O(ln |A|). 2 2 ln 2 Кроме того, аналогичные оценки, проведенные для A с |A — As| = 1, показывают, что ln |(УПУ > + O(ln |AsD при s ^^- n 2 ln 2 С другой стороны, для любого достаточно большого A G C (например, |A| > 2n+1— 1) S(A) ln |L0(A)| 6 Vln(1 + U У ln(1 + n 2s— 1 2s— 1 s=n ' ' s=s(X)+1 ' s(A) +c / 1 \s
Список литературы Минимальные абсолютно представляющие системы экспонент в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью
- Петров С. В. Существование абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах аналитических функций//Изв. вузов. Северо-Кавк. рег. Естеств. науки.-2010.-№ 5.-С. 25-31.
- Петров С. В. Существование абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью//Исследования по математическому анализу.-Владикавказ: ВНЦ РАН, 2009.-С. 190-199.-(Итоги науки. ЮФО. Мат. форум. Т. 3).
- Абанин А. В., Петров С. В. Свойства абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью//Изв. вузов. Северо-Кавк. рег. Естеств. науки.-2011.-№ 4.-С. 5-11.
- Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы: теория и приложения.-Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2009.-336 с.
- Коробейник Ю. Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и представляющие системы//Изв. АН СССР. Сер. мат.-1980.-Т. 44, № 5.-С. 1066-1114.
- Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы//Успехи мат. наук.-1981.-Т. 36, вып. 1.-С. 73-126.
- Абанин А. В. Характеризация минимальных систем показателей представляющих систем обобщенных экспонент//Изв. вузов. Математика.-1991.-№ 2.-С. 3-12.
- Абанин А. В. Нетривиальные разложения нуля и абсолютно представляющие системы//Мат. заметки.-1995.-Т. 57, № 4.-С. 483-497.
- Абанин А. В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения.-М.: Наука, 2007.-223 с.
- Абанин А. В. О мультипликаторах пространства целых функций, задаваемого нерадиальным двучленным весом//Владикавк. мат. журн.-2008.-Т. 10, вып. 4.-С. 10-16.
- Коробейник Ю. Ф. О мультипликаторах весовых функциональных пространств//Anal. Math.-1989.-Vol. 15, № 2.-P. 105-114.
- Hormander L. On the range of convolution operators//Ann. of Math.-1962.-Vol. 76.-P. 148-170.
- Юлмухаметов Р. С. Приближение субгармонических функций//Мат. сб.-1984.-Т. 124 (166), № 3 (7).-С. 393-415.
- Abanin A. V., Le Hai Khoi, Nalbandyan Yu. S. Minimal absolutely representing systems of exponentials for $A^{-\infty}(\Omega)$//J. Approx. Theory.-2011.-Vol. 163, № 10.-P. 1534-1545.
- Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент.-М.: Наука, 1983.-176 с.