Минимальный спутник τ-замкнутого n-кратно Ω-расслоенного класса Фиттинга

Рассматриваются только конечные группы. Для удобства чтения статьи приведем необходимые определения и обозначения из работ [1-5]. В частности, G - класс всех конечных групп; Q - непустой подкласс класса всех конечных простых групп I ; U - класс всех конечных абелевых групп; Q‘ = I \ Q ; K ( G ) - класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы G ; K ( X ) - объединение классов K ( G ) для всех G е X , где X - класс конечных групп; ( G ) - класс всех групп, изоморфных группе G ; G _Q - класс всех конечных Q -групп, т. е. таких групп G , для которых K ( G ) с Q , причем 1 е G _Q ; для A е I полагают G A = G ( A ) , A' = I \ ( A ).

Класс групп F называется формацией Фиттинга, если F является формацией и классом Фиттинга одновременно. Все рассматриваемые функции принимают одинаковые значения на изоморфных группах из их области определения. Функция f , отображающая множество Q и { Q’ } в множество классов Фиттинга, называется Q R -функцией; функция ф , отображающая множество I в множество непустых формаций Фиттинга, называется FR -функцией. Через O ^Q ( G ) обозначается G _Q -корадикал группы G , G ^{ф (} A ) - ф ( A ) -корадикал группы G . Класс Фиттинга F = Q R ( f , ф ) = ( G : O ^Q ( G ) е f ( Q‘ ) и G ^{ф (} A ) е f ( A ) для любой A eQn K ( G )) называется Q -расслоенным с Q -спутником f и направлением ф . Направление ф является r -направлением, если ф ( A ) = ф ( A ) G A - для любой A е I . Класс Фиттинга F = Q R ( f , ф) называется Q -свободным ( F = Q FrR ( f ) ), если ф ( A ) = G A ‘ для любой A е I ; Q -биканоническим ( F = Q BR ( f ) ), если ф ( A ) = G A ‘ для любой неабелевой A е I и ф ( A ) = G A G A ‘ для любой абелевой A е I ; Q -каноническим ( F = Q KR ( f ) ), если ф ( A ) = G A G A ‘ для любой A е I . Направления Q -

Камозина О.В.                                          Минимальный спутник τ-замкнутого n-кратно Ω-расслоенного класса Фиттинга свободного, П -биканонического и П -канонического классов Фиттинга обозначаются через ф0, у2 и у2 соответственно.

Пусть n е N , N - множество всех натуральных чисел. При n >  1 класс Фиттинга F называется n -кратно П -расслоенным c направлением ф ( П ф " -расслоенным классом Фиттинга), если F имеет хотя бы один П -спутник, все непустые значения которого являются ( n - 1) -кратно П -расслоенными классами Фиттинга с тем же направлением ф ( П.ф^{п - 1} -спутник); произвольный класс Фиттинга считается 0-кратно П -расслоенным с направлением ф .

Через т обозначается отображение, сопоставляющее каждой группе G некоторую систему ее подгрупп т ( G ). Если т ( G ) ^ф = т ( G ^ф ) для любого изоморфизма ф группы G , то т называется подгрупповым функтором. Если K ( N ) с K ( G ) для любой подгруппы N е т ( G ), то говорят, что подгрупповой функтор т замкнут относительно композиционных факторов. Класс групп F называется т -замкнутым, если 7 ( G ) е F для любой группы G е F .

Перейдем к изложению полученных результатов.

В леммах 1, 2 изучаются свойства кратности и пересечения т - замкнутых n -кратно П -расслоенных классов Фиттинга.

Лемма 1. Если F является т -замкнутым Пф " -расслоенным классом Фиттинга, то F является т -замкнутым Пф " ^{- 1} -расслоенным классом Фиттинга, n е N .

Доказательство.

Покажем, что F является П ф " ^{- 1} -расслоенным классом Фиттинга.

Используем метод математической индукции.

Пусть n = 1. Тогда F - П -расслоенный класс Фиттинга с направлением ф , а значит F -класс Фиттинга. В этом случае по определению кратности F является 0-кратно П -расслоенным с направлением ф .

Предположим, что утверждение леммы верно при n = k .

Докажем справедливость утверждения леммы при n = k + 1. Пусть F - П ф ( ^{k + 1)} -расслоенный класс Фиттинга. Тогда по определению кратности F имеет П -спутник f , все непустые значения которого являются П ф ^к -расслоенными классами Фиттинга. Используя предположение индукции, получаем, что все непустые значения f являются П ф*^{k - 1)} -расслоенными классами Фиттинга, т. е. f является П ф*^{k - 1)} -спутником. Следовательно, по определению кратности F является П ф ^к -расслоенным классом Фиттинга.

Таким образом, утверждение леммы выполняется для любого n е N .

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть ф - П R -функция, т - подгрупповой функтор. Тогда пересечение любой совокупности τ - замкнутых Ω ϕ n -расслоенных классов Фиттинга является τ - замкнутым Ω ϕ n -расслоенным классом Фиттинга, n е N .

Доказательство. Пусть F = п F , где F - т-замкнутый Пф" -расслоенный класс Фиттин-i∈I ii га, i е I. Покажем, что F - т-замкнутый Пф" -расслоенный класс Фиттинга.

• 1.    Докажем, что F является т -замкнутым классом Фиттинга.

• 2.    По лемме 1 [6] F является П ф " -расслоенным классом Фиттинга.

Пусть G е F = п F . Тогда G е F для всех i е I. Так как F - т-замкнутый класс Фиттинга, i∈I i                                 ii то из N е т(G) следует N е F для всех i е I. Следовательно, N еп F = F и F - т -замкнутый ii класс Фиттинга.

Лемма доказана.

По аналогии с определениями работы [7] введем следующие определения.

Математика

Подгрупповой функтор т назовем корегулярным, если из N <  G , M е т ( G ) следует N n M ет ( N ).

Подгрупповой функтор т назовем Q -корадикальным, если для любой группы G и для любой N ет (G ) выполняется равенство O ^Q ( G ) n N = O ^Q ( N ); ф -корадикальным, если для любой группы G и для любой N е т ( G ) выполняется равенство G ^ ) n N = N ^ ⁽ ) для всех А е I ; Q ф -корадикальным, если т является Q -корадикальным и ф -корадикальным.

В лемме 3 устанавливается связь между т -замкнутостью n -кратно Q -расслоенного класса Фиттинга с направлением ф и т -замкнутостью его Q ф ( ^{n - 1)} -спутника.

Лемма 3. Пусть F - Q -расслоенный класс Фиттинга с направлением ф , т - корегулярный Ω ϕ -корадикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов, n е N . Если F обладает хотя бы одним т -замкнутым Q ф ^{( n - 1)} - спутником, то F является т - замкнутым Qф ⁿ -расслоенным классом Фиттинга.

Доказательство.

Пусть f - т -замкнутый Q ф ( ^{n - 1)} -спутник класса Фиттинга F , G е F , N е т ( G ). Покажем, что N е F .

Из G е F = QR(f, ф) следует, что OQ (G) е f (Q‘) . В силу корегулярности подгруппового функтора т из OQ (G) < G , N ет(G) имеем OQ (G) n N е т(OQ (G)). Так как f (Q‘)

т -

замкнутый класс Фиттинга, то O ^Q ( G ) n N е f ( Q‘ ). Так как т - Q -корадикальный подгрупповой функтор, то O ^Q ( G ) n N = O ^Q ( N ). Тогда O ^Q ( N ) е f ( Q‘ ) .

Кроме того, из G е F = Q R ( f , ф) следует, что G ^ A ) е f ( А ) для любой А еQn K ( G ) . Так как N е т (G ) и т - подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов, то K ( N ) с K ( G ) , а следовательно, G ^{Ф (} A ) е f ( А ) для любой А еQn K ( N ) . Пусть А е Qn K ( N ) . В ф ( А )

силу корегулярности подгруппового функтора т из G <  G , N е т (G ) получаем

ф ^{( А} )         _/^ф ^{( А}                                                                  /ф'^А

G n N е т (G   ). Так как f ( А ) - т -замкнутый класс Фиттинга, то G   n N е f ( А ). Так как

ф ( ^А )           _лтф ( ^А )            л ф ^{( А} )

т - ф -корадикальный подгрупповой функтор, то G   n N = N . Тогда N    е f ( А ) .

Следовательно, N е Q R ( f , ф ) = F и класс Фиттинга F является т -замкнутым.

Учитывая определение кратности, получаем, что F - Q ф ⁿ -расслоенный класс Фиттинга.

Лемма доказана.

Пример. Согласно лемме 1 [6] класс всех конечных групп G еQ ф ⁿ для любого Qc G , n е N , причем G = Q R ( m , ф ), где m ( А ) = G для всех А еQu { Q’ } , ф - произвольное направление.

Так как G и система подгрупп т ( G ) являются конечными группами, то G является т -замкнутым классом Фиттинга.

Через т Q ⁿR ( Х , ф ) обозначим пересечение всех т -замкнутых Qф ⁿ -расслоенных классов Фиттинга, содержащих класс групп X .

Теорема 1. Пусть X – непустой класс групп, F – Ω -расслоенный класс Фиттинга с направлением ф, фй < ф, обладающий хотя бы одним т-замкнутым Qф(n-1) -спутником, т - коре-гулярный Ωϕ -корадикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов, n е N. Если F = TQ.nR(X,ф), то F имеет единственный минимальный т-замкнутый Qф(n-1) -спутник f вида f (Q‘) = 7Q(n-1)R ((OQ (G) | G е X), ф), f (A) = тО- n-1) R ((Gф( A) |G e X),ф) для любой A eQn K (X), f (A) = 0 для любой A e Q \ K (X).

Доказательство. Поскольку X c G , то ввиду рассмотренного выше примера класс Фиттинга TQ ⁿR ( X , ф ) существует. Так как F обладает хотя бы одним т -замкнутым Q ф ( ^{n - 1)} -спутником, то множество L всех т -замкнутых Q ф ( ^{n - 1)} -спутников класса Фиттинга F не является пустым. Обозначим через f _ пересечение всех элементов из L . По лемме 12 [4] f _ является Q -спутником класса Фиттинга F , по лемме 2 все значения f 1 - т -замкнутые Q ф ^{( n - 1)} -расслоенные классы Фиттинга. Кроме того, из f 1 <  f для любого f i e L следует, что f _ - единственный минимальный т -замкнутый Qф^ ^{n - 1)} -спутник класса Фиттинга F .

Пусть f - Q R -функция, описание которой приведено в заключении теоремы.

Покажем, что F cQ R ( f , ф ). Если M e X , то из строения f получаем O ^Q ( M ) e f ( Q‘ ) и M ^{ф (} A ) e f ( A ) для всех A eQn K ( M ) cQn K ( X ) . Следовательно, M eQ R ( f , ф ) и X cQ R ( f , ф ). Поскольку все значения f являются т -замкнутыми Q ф ^{( n - 1)} -классами Фиттинга, то по лемме 3 класс Фиттинга Q R ( f , ф ) является т -замкнутым Qф ⁿ -расслоенным классом Фиттинга, и значит F = т Q ⁿR ( X ,ф) cQ R ( f ,ф) .

Покажем, что QR(f ,ф) c F. Пусть Ge X. Так как X cF = QR(^,ф), то OQ(G)e f1(Q‘) . В силу того, что f _ - т-замкнутый Qф^n-1)-спутник, получаем f (Q‘) = Щn-1)R((OQ (G) G e X), ф) c f. (Q‘).

Пусть A eQn K ( X ) . Тогда существует такая группа Н e X , что A eQn K ( H ) . Так как X c F = Q R ( f₁, ф ), то Н ^{ф (} A ) e f 1 ( A ) и f 1 ( A ) + 0 . Пусть G e X c F . Если A eQn K ( G ) , то из F = Q R ( f₁ ,ф)     получаем      G ^{ф (} A ) e f 1 ( A ).    Пусть A e ( Qn K ( X ))\ K ( G ) .    Тогда

G e GA• = ф0(A) c ф(A), а следовательно, Gф(A) = 1e f1(A) . Таким образом, f (A) = Щn-1)R((Gф(A) Ge X),ф) c f.(A).

Пусть A e Q \ K (X). Тогда из строения f следует f (A) = 0c fX A).

Получаем f <  f 1 и Q R ( f , ф ) c F . Следовательно, F = Q R ( f , ф ), и значит f e L . Так как f 1 -единственный минимальный т -замкнутый Q ф ^{( n - 1)} -спутник класса Фиттинга F , то из f <  f 1 получаем, что f = f ₁ .

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть X - непустой класс групп, F - Q -расслоенный класс Фиттинга с r -направлением ф, обладающий хотя бы одним т -замкнутым Qф(n-1) -спутником, т - корегуляр-ный Ωϕ -корадикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов, n e N. Если F = TQnR(X, ф), то F имеет единственный минимальный т -замкнутый Qф(n-1) -спутник f вида f (Q‘) = 7Q(n-1)R((OQ(G)|Ge X),ф), f (A) = tQ(n-1) R ((Gф( A) |G e X),ф) для любой A eQn K (X), f (A) = 0 для любой A e Q \ K (X).

Доказательство аналогично доказательству теоремы 2 с учетом того, что если A e ( Q n K ( X )) \ K ( G ) , то G e G _A ‘ c ф ( A) G _A ‘ = ф ( A ).

Следствие 1. Пусть X – непустой класс групп, F – Ω -свободный класс Фиттинга, обладающий хотя бы одним т -замкнутым Q Fr ^{( n - l1} -спутником, т - корегулярный Q Fr -