Минимизация функционалов со слабой нормой на решениях вырожденного линейного уравнения

Пусть X, У, U — гильбертовы пространства, L € £^Х;УУ kerZ ^ {0}, В € £(К-,У') (линейные непрерывные операторы), М € СЦХ-.У) (линейный, замкнутый и плотно определенный в X). При некоторых предположениях на операторы L и М, гарантирующих существование сильно непрерывной разрешающей полугруппы уравнения Lx(t) = Mx(t), будем исследовать задачу оптимального управления для системы, в которой управляющее воздействие производится посредством выбора начального значения v и выбора функции и в уравнении состояния

Lx^t) = Mx(t) + y(t) + Bu(t),  Px(0)=v,(1)

(и, v) e На,(2)

Jo(^)->inf.(3)

Здесь P - проектор, являющийся единицей упомянутой полугруппы операторов, На — непу стое выпуклое замкнутое подмножество пространства управлений Н, которое будет определено далее, у : (0, Т) —> У — заданная вектор-функция. Поскольку в явном виде функционал

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ стоимости не зависит от управления, задачу (1) - (3) называют задачей с жестким управлением [1].

Система (1) является абстрактной формой многих начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, встречающихся в естествознании и технике. К примеру, к уравнению такого вида сводятся линеаризованная система Навье - Стокса, система и уравнение Соболева, уравнение ионно-звуковых волн, уравнение волн Россби, уравнение свободной эволюции поверхности фильтрующейся жидкости и др. (см., например, [2, 3]). Заметим, что выбранное в качестве начального обобщенное условие Шоуолтера для уравнений Соболевского типа в приложениях часто оказывается более естественным, чем условие Коши.

При исследовании задачи (1) - (3) будем пользоваться результатами о разрешимости начальных задач для уравнений, не разрешенных относительно производной по времени, так называемых уравнений Соболевского типа, полученных в своих работах Г.А. Свиридюком и В.Е. Федоровым [3, 4].

Задачи оптимального управления для уравнений Соболевского типа исследовались Г.А. Свиридюком и его учениками. В работах [5, 6] доказаны существование и единственность решения задач с распределенным управлением в случае линейных уравнений Соболевского типа, а в [7, 8] - для нелинейных уравнений.

Задача со смешанным управлением вида (1) - (3) рассматривается впервые. Общие результаты о задаче с функционалом качества Jo (ж) используются при рассмотрении задач с функционалом в виде квадрата нормы функции состояния в пространстве Лебега (в отличие от более ранних результатов, в которых используется норма в пространстве Соболева) и с терминальным функционалом качества - квадратом нормы функции состояния в фиксированный момент времени. Абстрактные результаты работы проиллюстрированы на примере уравнения Соболевского типа с многочленами от эллиптических самосопряженных операторов высокого порядка.

1.    Относительно jp-радиальные операторы.Разрешимость задачи Шоуолтера

В данном параграфе приведены условия на операторы, достаточные для разрешимости задачи (1). Доказательства приведенных результатов можно найти в работах [3, 4].

Пусть А, У - банаховы пространства, операторы L € £(А;У), М € С/(А;У). Введем некоторые необходимые в дальнейшем обозначения: p^L(M) = ф G С : ^pL — Му^х е C^X)Y R^W = (pL - МуЧ, L^M) = ЦрЬ - M)”¹, R₊ = {a € R : a > 0}, R₊ = R₊U {0}, N_o = {O}UN.

Определение 1. Пусть p € No- Оператор M называется сильно (L,p)-радиальным, если

• (i)    3a € R (a, +00) C p^L(M};

• (ii)    3K > 0 Ур e (a, +00) Vn € N

тах{||(Л£(М))*+%,Д|(££(^^      <

• (iii)    существует плотный в У линеал У, такой, что

• \\M(pL - муЧ^ум^+Уъ <        >/у еу

при любом р € (а, +оо);

• (iv)    для любого р 6 (а, +оо)

II(^(m))»«(^-m)-4iw) < (#i~а)р+2

Замечание 1. Эквивалентность этого, более простого определения сильной (Ь,рУ радиальности и того, которое было использовано в [3, 4], доказана в [9].

Обозначим через Х° (У⁰) ядро кег(Д^(М))₽⁺¹ (кеДТ^М))^¹), а через X^х (У¹) - замыкание линеала im^R^(My^p+x (im(Z^(M))^p+1) в норме пространства X (У). Через М_к ^L^ будем обозначать сужение оператора М (L) на domM_k = Х^к OdomM (df^), к = 0,1.

Теорема 1. [3, 4]. Пусть оператор М сильно (Ь,рУрадиален. Тогда

• (i)    Х^Х^Х¹, У = У°ФУ¹;

• (ii)    L_k Е ЦХ^к; y^kY м_к Е СЦХ^к; У^к\ к = 0,1;

• (iii)    существуют операторы М$^х Е £(У^о;<Г°) и L^^x Е £(У^Х; X^х);

• (iv)    оператор G = Mq^XLq нильпотентен степени не больше р;

• (v)    существует сильно непрерывная полугруппа {X¹ Е £(Х) : t Е R+}, разрешающая уравнение Lx = Мх;

• (vi)    оператор S = L^My Е С1(Х^х) является инфинитезимальным генератором Со-

• непрерывной полугруппы {X* = X1

Е Г^¹) : t Е R₊}.

Замечание 2. Проектор вдоль Х° на X^х (вдоль У⁰ на У¹) имеет вид

P = s- lim (цН^МУ^ (Q = s- lim (pL^M^Y

При доказательстве утверждения (ii) используется тот факт, что в условиях теоремы 1 выполняются равенства QL = LP, QMx = МРх для х Е domM.

Для краткости пространства Соболева в дальнейшем будем обозначать: W^k(X) = W^k(0,T;X), Н^к^Х) = W^X) при к Е No, 1 <  q < оо. При этом L_q(X) = W°(XY L₂(X) = H°(XY

Рассмотрим задачу с обобщенным условием Шоуолтера

Lx(t) = Мх^ + y(tY                           (4)

Рх(0) = т₀,                                     (5)

Функция х Е W^x(X) называется сильным решением задачи (4), (5), если она удовлетворяет условию (5) и почти всюду на (0,Т) - уравнению (4).

Теорема 2. [10]. Пусть оператор М сильно (Ь,рУрадиален. Тогда при любых у Е kPf⁴"¹^) и xq Е domMi существует единственное сильное решение х задачи (4), (5). При этом оно имеет вид

р

J X^L^Qy^ds + Х¹х₀        (6)

x(t) = - £ G^kMy^x(I - Q)yW(t) + fc=0

и удовлетворяет условию

Н^Ищдл') ^ G ^ЦжоНл' + Н^оПл" + ||у||^,     )•                   (7)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

• 2.    Линейная задача управления

Результаты данного параграфа, необходимые для дальнейшего изложения, взяты из монографии А.В. Фурсикова [1]. Пусть 2), 21 - линейные нормированные пространства, 2Д, И - рефлексивные банаховы пространства, причем 2) i непрерывно вложено в 2).

Рассмотрим следующую абстрактную линейную задачу управления

£(у,и)+£о = 0,(8)

« е На-(9)

Ду,и) -^ inf,(Ю)

Здесь fig - замкнутое выпуклое подмножество пространства Н, функционал стоимости J(y,u) - выпуклый, определенный, полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости в 2) х Н и ограниченый снизу на 2) хНа, линейный оператор £ : 2)i х Н -> 21 непрерывен, 5о € 23 - заданный вектор.

Множеством 2D допустимых пар (у, и) задачи (8) - (10), называется множество пар (у,Д € 2Д х Я, удовлетворяющих соотношениям (8), (9), для которых J(y, и) < оо.

Предполагается также выполнение условий нетривиальности и коэрцитивности.

Нетривиальность: Множество 2D допустимых элементов непусто.

Коэрцитивность: Для любого R > 0 множество {(у, и) € 2D : Ду, и) < R^ ограничено в 2)1 хН.

Решением задачи (8) - (10) называется пара (у, й) € 2D, на которой достигается минимум функционала J:

J(y,^ = inf J(y, и).

(y,u)e2D

Теорема 3. Пусть выполнены все условия, сформулированные в данном параграфе. Тогда задача (8) - (10) имеет решение ^у,Д G 2Д х Я. Если функционал J строго выпуклый, то это решение единственно.

• 3.    Задачи жесткого управления

со слабой нормой функции состояния

Пусть U, А, У - гильбертовы пространства, L € £(А;У), kerb ^ {0}, В € £(£/;У), оператор М G П(А;У) сильно (Др)-радиален.

Введем обозначение Dg = ботЛф. В силу замкнутости оператора S = ЬДМу пространство T)g является гильбертовым со скалярным произведением {-, -)p_s = (-, -)a- + (5-, S^x- В качестве пространства управлений выберем Я =        х Dg.

Пусть Jq ~ ограниченный снизу на линейном нормированном пространстве 2), полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости в 2) функционал. Рассмотрим задачу оптимального управления

БДД = МхД + у(Д + Bu(t), tE(0,T),(11)

Рж(0) = и,(12)

(щи)€Яд.(13)

Jo (ж) -> inf,(14)

где непустое выпуклое замкнутое подмножество Я^ пространства Я - множество допустимых управлений, пара (u, и) 6 Я задает управление, у G Р^р+1(У) - заданная функция.

Решения уравнения (11) будем искать в гильбертовом пространстве Z = {г Е Н¹(Х) : Lz — Mz Е Н^р+1(У)}, наделенном нормой ^z^ = Н^ПяфЛ') + И^ ^— Мг^р^^у

Множество 2U троек (х,и, v) Е Z хИ, удовлетворяющих условиям (11) - (13), для которых J₀(x^ < +оо, назовем множеством допустимых троек задачи (11) - (14).

Решение задачи (11) - (14) состоит в нахождении троек (ж,й,и) Е 2П, минимизирующих функционал стоимости Jo (ж):

Мх^= inf J_o (ж).

(т,м,г>)е2П

Функционал Jo (ж) назовем коэрцитивным, если для любого R > 0 множество {(ж, и, v) Е 933 : Jo (ж) < Д} ограничено в пространстве 2 х И.

Введем в рассмотрение непрерывный оператор 70 : Н^Х) -» X, действующий по правилу 7о^ж = ^(О), ^и определим оператор 25 Е L^H^pJrl^(\, H^p*¹^y'^Y (23w)(t) = Bu(t\ t Е (0,Т).

Теорема 4. Пусти оператор М сильно (Д^рУрадиален, у Е Н^р+1(У), Jq - ограниченный снизу на линейном нормированном пространстве 2), полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости в 2) функционал, имеет место непрерывное вложение Z в ф, 11g -непустое, выпуклое, замкнутое и ограниченное в пространстве 11 = Н^р+1(П) х Dg множество. Тогда существует решение ^аци,^ Е Z хИ задачи (11) - (14).

Доказательство. Возьмем 2Д = Я, 2) = Н¹(У) х X, I Е {0,1,... ,р+1}, вектор Зц = (^— У, 0) Е 93. Очевидна линейность оператора £, : 9)1 х 11 —> 93, £.(х,и,Д = (Lx — Мх — Bu^qx — v). Докажем его непрерывность. В силу очевидного неравенства ||'Уож||аг < ^ЦжЦз имеем

||(Тж -Мх- Ви,у_ох - v)||^(y)_x;r = H^LA - ^Мх - ^Ви\\н*^ ⁺ И'?⁰® “ ^1*

2||Тж - Мх\\²_Нр+1(^ + 2||Вф|^_р+1(3?) + 2||7₀ж||^ + 2||v|& < СЩж^, у)|||_хщ

Для доказательства коэрцитивности функционала Jo воспользуемся оценкой (7) на решение обобщенной задачи Шоуолтера:

IHlz + ||«Пяр+1(М) + ll^vllp_s —

П^ПяфА-) + \\^Вп + У11яр+!(У) ⁺ П^Ияр+ЧЯ) + 1М1я -

Ci (|М1л- + Н^иЦд- + \\Ви + у||яр+1(у)) + П^Ияр+фя) + IM&s -

О2 (И^Няр+фЯ) + IMIlX, ⁺ 11у11яр+¹(У)) — Оз-

Здесь использована ограниченность 11g в пространстве Н^р+1(1Л") х Т>д. Таким образом, из теоремы 3 следует сущестовование решения задачи (11) - (14).

Рассмотрим частные случаи функционала Jo

М^ = |lk - ^111₂(л-) ->^inf>                           (¹⁵)

Л(ж) = |||ж(Т) - ш^ -4 inf,                          (16)

где w Е ЬДХ^ для (15) и w Е X для (16). Из теоремы 4 вытекают следующие утверждения. Следствие 1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, у Е Н^р+1(У), 11g - непустое, выпуклое, замкнутое и ограниченное в пространстве управлений 11 = №⁺¹(ZJ) х Т>д множество. Тогда существует решение (х,й,й^ Е Z х 11 задачи (11) - (13), (15). В случае инъективности оператора $ решение задачи единственно.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Доказательство. Поскольку функционал Д выпуклый в пространстве Ьз^ХУ то из его полунепрерывности снизу следует полунепрерывность снизу относительно слабой сходимости [11]. Таким образом, существование решения следует из теоремы 4, если положить 2) = ЬДХУ Непрерывное вложение 2Д в 2) следует из построения Z.

Докажем единственность решения при условии инъективности оператора 23 с учетом строгой выпуклости Д. Пусть существуют два решения (Ж1,й1,й1), (ж₂,й₂,й₂) задачи (11) -(13), (15). Тройка ( -i^2 , дпНа, а.±^ ) _в силу выпуклости множества 2D является допустимой. Пусть Ж1 т^ ж₂, тогда в силу строгой выпуклости функционала Д относительно одной переменной

Получили противоречие с тем, что Ji(Si) = ТДж2) = inf Д(ж). Следовательно, ж^ = ж2 и (®,u,v)G2D поэтому щ = «2- В силу (11) это означает, что ®(й1 — й2) = 0, т. е. Й1 — й2 G ker®. □

Следствие 2. Пусть оператор М сильно Д,рУрадиален, функция у Е Н^р+\УУ Яд - непустое, выпуклое, замкнутое и ограниченное в пространстве Н = Н^р+1(П^ х ТД мноаюество. Тогда существует решение (x,u,v) Е Z х 11 задачи (11) - (13), (16).

Доказательство. Положим 2) = jH^A) и пусть ж_п сходится к ж в Н^ (X). Имеем

^к(П - wft < 5 (^(Т) - ^(Т)^ + |ЫТ) - «,^+

2||жп(Т) - ж(Т)||Д'(||жп(Т)||л- + IMW) <

СДк - x_n^_lw + jlMT) - w\& + С^ж - T_n||_ffi_W ■ (|Ы|_Я1(л-) + |[w||^)-

С учетом ограниченности последовательности {|кп||я1(;г)}, переходя к пределу при п —> оо, получим полунепрерывность снизу функционала Д.

Покажем выпуклость функционала J₂ на пространстве Н^ху Для а Е [0,1] очевидны неравенства

а(1 — а)(а — 6)2 > 0;

о(1 — а)а² + а(1 — <ДЬ² — 2а(1 — a^ab > 0;

(а — а²)а² + ((1 — а) — (1 — а)²)?»² — 2а(1 — o^ab > 0;

(аа + (1 — а)Ь)²<  схо? + (1 — аУ².

Отсюда имеем при любых Жх, ж₂ G H^(X^

J^ax-v + (1 - а)ж₂) = ЦажДТ) + (1 - а)хДТ^ - ш^ <

(аЦжДТ) - ш||л- + (1 - а)||ж2(Т) - ш||л-)2 < аЦжДТ) - w^ + (1 - а)||ж2(Т) - ги^ = а72(ж1) + (1 - а)72(ж2).

Таким образом, получили выпуклость, а потому и полунепрерывность снизу относительно слабой сходимости функционала J2. В силу теоремы 4 получим требуемое.             □

4.    Задачи оптимального управления для уравнения с многочленами от эллиптическихсамосопряженных операторов п     .                т

Пусть многочлены Р_П(А) = 52 чА^г, Q_m^ = 52 d-j^ таковы, что cpdj G С, г = г=0                 j=0

0,1,..., п, з = 0,1,..., m, cn,dm / 0, п < т. Далее, П С R® - ограниченная область с границей 5Q класса С°°, набор операторов A, Bi,... Вг - регулярно эллиптический [12], где

(Аш)(ж) = 52 Qa^D^w^, а_а Е C°°(Q),

|а|<2г

(В!^^ = 52 b_la(^D^aw^, b_la^EC°°№, 1 = 1,2,.

|а|<Г;

Потребуем также самосопряженности оператора А^ Е 01(1,2(11)) с областью определения domAi = /T^j(n) [12], Арш = Aw, w Е domAi, и ограниченности справа его спектра.

Редуцируем начально-краевую задачу.

Рп(А)гу<(ж,#) = Qm(A)w(x,i)+у(жД), (жД) G Q х (0,Т),(17)

BiAkw(x,t) = 0, к = 0,1,... ,т — 1, Z = 1,2,. ..,г, (жД) G 912 х (0,Т),(18)

Рп(А)ш(ж,0) = Р„(Л)ио(ж), ж G П,(19)

к задаче (4), (5). Для этого возьмем'

A = №rn(Q), y = L2(Q), L = Pn(A), M = Qm(A), domM = {w G H2rm(^: BlAkw(x) = 0, к = 0,1,..., m - 1, I = 1,2,..., r, x E SQ}.

Через {уд, : к E N} обозначим ортонормированные в смысле скалярного произведения (•,•) в Р₂(П) собственные функции оператора Ai, занумерованные по невозрастанию собственных значений {А^ : к G N} с учетом их кратности. Здесь мы учли, что спектр оператора Ai вещественный и сгущается к — оо.

Теорема 5. Пусть (—l)^{m n}Re(c_n/d_m) < 0, спектр n(Ai) не содерэюит общих корней многочленов Р_П(А) и Q_m(X). Тогда оператор М сильно (Е,О)-радиален.

Доказательство. В условиях теоремы числа ц^ = Qm(Xk) / Рп(Хк) при тех к, при которых РДХк) + 0, составляют множество oL(M). Если т = п, то существует конечный предел lim УМ, к—>оа Р^Хк) - поэтому множество oL(M) = ^QmyXk) jРДХ^ : к Е N} ограничено в С и оператор М является сильно (L, 0)-радиальным в силу отсутствия у оператора L ^-присоединенных векторов (см. [3]).

Если т > п, то по условию на старшие коэффициенты многочленов г      Qm\Xk)          \

J1™ аг^-Д7ГТ eW2^)- к^с»    гДАк)

Поэтому можно выбрать такое а Е R, что все точки множества ^(М) лежат слева от прямой [ц G С : Вер = а}.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Проверим оценки из определения сильной (£, 0)-радиальности. При у, v > a, w Е А, у G Ег^)

(М)<_№= Е , “|₂ ^pn(AJ#0 Ц р„(\_к)

l2№

II^^MIh^) — УР

PnOO^o

(l + A^Kw^p

^ Pn(At)

WR^MKvL-MKMh^^ (1 + A£") |(у,^)|²

Рп(Х_к^о \Р_пуХк)\ |M--^f| |р-7^г|

Взяв у G domAT =У, получим

\\м^ь-мгуььдмХ2(п) =

у ______|ОтФ^10^^______ _<  ^{С 2}|IWlll₂(Q)

- »ДМ|2 L _ QmOOl2 - (д-а)2(^-а)2‘ Рп(А,)/0                              Рп(Аа |

Здесь мы использовали тот факт, что |Р_П(А&)| > с при тех к, по которым идет суммирование.

Это следует из отсутствия конечных предельных точек множества {Ад,}.               □

Замечание 3. Как уже было замечено, aL^ = < ц G С : д =

nA^k)             J

Поэтому, если т > п, R.e(c_n/d_m) = 0, относительный спектр является неограниченным множеством, но оператор М не является сильно (L, 0)-секториальным [3].

Имеем Р = Q =    22 (-, ур^ь А⁰ = span{y>_fc : Р^Х^ = 0}, А¹ = spanf^fc : РпМ ^

Р^Хк>0

0} - замыкание в норме пространства H2rn(Q,Y При этом сильно непрерывная полугруппа однородного уравнения (17) имеет вид а1 = у2 ехр ^(Ajfc^O

Qm(Afc) Р^

t

(•^к^к.

Из вида проектора Р следует, что для «о, «о € Я^2г”(П) условие Рио = Pvo выполняется тогда и только тогда, когда Рп^А^ио^ = Рп^А^ио^. В этом смысле начальное условие (19) эквивалентно обобщенному условию Шоуолтера.

Рассмотрим задачу оптимального управления

Pn(A)wt(x,t) = Qm(A)w(x,t) +y(x,t) +и(жД), (яД) G П х (0, Т),(20)

BiAkw(x,t?) = 0, к = 0,1,..., m — 1, Z = l,2,...,r, (ж, Z) 6 дП х (0,Т),(21)

Pn(A)w(x, 0) = «(ж), х Е П,(22)

(u, v) Glly,(23)

Ji(w) — 2||w ^11д2(о,Т;Н2гп(р)) —> inf,                         (24)

где w G T₂(0, T; H^⁷¹^)) - заданная функция, Яа - подмножество пространства управлений Я .

Выбрав пространство U = L^^, оператор В = I и

Pg = (w Е H^2rm^y.B_lA^kw(x) = 0, к = 0,1,..., т - 1, I = 1,2,..., г, х G 9П,

Ш = Е М^УТк)!^^ Рп(Х_к^0

с нормой пространства Н^2гт(О,у редуцируем задачу (20) - (24) к задаче (И) - (14). Тогда пространство управлений Я = Н^О,T^L^^iy х Pg и

Z = {г G Я¹(0,Т; Я^2г”(П)) : P^A^t - QmW ^ Я^Т; Z₂(Q))}.

Из следствия 1 вытекает                                                         -

Теорема 6. Пусть (—l)^m~”Re(c_n/d_m) < 0, спектр cr(Ai) не содержит общих корней многочленов Р_п(Х) и QmW, У € Я^г(0, Т; L₂(Q)), множество *Ag непустое, выпуклое, замкнутое и ограниченное в пространстве управлений Я = И¹(0, Т; L₂(^)) хРу- Тогда существует единственное решение (w,u,v) Е Z х Я^О, Т; Т₂(Я)) х Pg задачи (20) - (24).

Рассмотрим также задачу с терминальным функционалом стоимости

ЛИ = |||w(T) - wi||H2m(n) -4- inf,                       (25)

где wi Е Н^'Ч^Т), Из следствия 2 получим нижеприведенный результат.

Теорема 7. Пусть (—l)^m~ⁿRe(cn/ d_m) < 0, спектр о (АД не содержит общих корней многочленов Р_п(Х) и QmW, У 6 Я¹(0,Т; L₂(Q)) и пусть Яу - непустое, выпуклое, замкнутое и ограниченное в пространстве управлений Я = Я¹(0,Т; L₂(Q)) х Pg. Тогда существует решение (w,u,v) Е Z х Н¹(0₁Т*₁Ь2^У х Pg задачи (20) - (23), (25).

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (код проекта 10-01-96007-р_урал_а).