МКЭ-реализация метода геометрического погружения в напряжениях на примере плоских задач теории упругости
Автор: Кузнецова Юлия Сергеевна, Труфанов Николай Александрович
Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm
Статья в выпуске: 4 т.7, 2014 года.
Бесплатный доступ
Изложены особенности численной реализации метода геометрического погружения в напряжениях применительно к решению плоских задач теории упругости изотропного однородного тела с произвольной формой границы. Суть метода геометрического погружения заключается в сведении исходной задачи для линейно упругого тела произвольной формы к итерационной последовательности задач теории упругости на некоторой канонической области. Сформулирована итерационная процедура для решения вариационного уравнения метода геометрического погружения, а также процедура построения его дискретного аналога с помощью метода конечных элементов в напряжениях для плоской задачи теории упругости в декартовой системе координат. Использован вариант конечного элемента, в котором аппроксимации напряжений, удовлетворяющие уравнениям равновесия, введены через функцию напряжений Эри. Продемонстрировано практическое применение метода на примере решения плоской задачи для упругой пластины с круговым вырезом. Получено достаточно хорошее соответствие результатов определения полей напряжений в сравнении с точным аналитическим решением и численным решением традиционным методом конечных элементов в перемещениях. Уделено внимание способам задания статических граничных условий, являющихся главными для данной вариационной формулировки, с использованием процедуры модификации матрицы податливости системы конечных элементов и метода множителей Лагранжа. Приведен пример численного решения задачи для несжимаемого упругого материала.
Вариационный принцип кастильяно, метод геометрического погружения, метод конечных элементов, теория упругости
Короткий адрес: https://sciup.org/14320745
IDR: 14320745 | УДК: 539.3 | DOI: 10.7242/1999-6691/2014.7.4.44
Fem implementation of a stress-based geometrical immersion method by example of the solution of plane elastic problems
The features specific to numerical implementation of a stress-based geometrical immersion method used to solve the boundary value elastic problem for an isotropic homogeneous body with a complex spatial configuration are discussed. The essence of the geometrical immersion method consists in constructing a convergent iterative procedure to find a solution for the area of complex spatial configuration as a sequence of problem solutions for some area of a more simple (canonical) form. An iterative procedure for the solution of the variational equation of the geometrical immersion method and a procedure for constructing its discrete analogue using the stress-based finite element method for the plane elastic problem in a Cartesian coordinate system are formulated. A variant of the stress function finite element is used to determine stress approximations that satisfy equilibrium equations. The application of the method is demonstrated by example of the solution of the plane problem for an elastic plate with a circular cutout. A good coincidence between the results for stress fields and the exact analytical and numerical solutions found by the traditional displacement-based finite element method is obtained. Particular emphasis is placed upon the ways to specify static boundary conditions, which are of primary value for this variational formulation using the procedure of modifying a compliance matrix of the finite element system and the Lagrange multipliers method. An example of the numerical solution for the problem of incompressible elastic material is presented.
Список литературы МКЭ-реализация метода геометрического погружения в напряжениях на примере плоских задач теории упругости
- Бате К.-Ю. Методы конечных элементов. -М.: Физматлит, 2010. -1024 с.
- Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983. -448 с.
- Галлагер Р. Метод конечных элементов: Основы. -М.: Мир, 1984. -428 с.
- Girija Vallabhan C.V., Muluneh Azene. A finite element model for plane elasticity problems using the complementary energy theorem//Int. J. Numer. Meth. Eng. -1982. -Vol. 18, no. 2. -P. 291-309.
- Sarigul N., Gallagher R.H. Assumed stress function finite element method: Two-dimensional elasticity//Int. J. Numer. Meth. Eng. -1989. -Vol. 28, no. 7. -P. 1577-1598.
- Тюкалов Ю.Я. Решение задач строительной механики методом конечных элементов в напряжениях на основе функционала дополнительной энергии и принципа возможных перемещений/Дисс… докт. техн. наук: 05.23.17. -Киров, ВятГУ, 2006. -314 с.
- Watwood V.B. Jr., Hartz B.J. An equilibrium stress field model for finite element solutions of two-dimensional elastostatic problems//Int. J. Solids Struct. -1968. -Vol. 4, no. 9. -P. 857-873.
- Fraeijs de Veubeke B. Displacement and equilibrium models in the finite element method//Int. J. Numer. Meth. Eng. -2001. -Vol. 52, no. 3. -P. 287-342.
- Pin Tong, Pian Theodore H.H. A variational principle and the convergence of a finite-element method based on assumed stress distribution//Int. J. Solids Struct. -1969. -Vol. 5, no. 5. -P. 463-472.
- Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1980. -536 с.
- Коновалов А.Н. Метод фиктивных областей в задачах кручения//Численные методы механики сплошной среды. -1973. -Т. 4, № 2. -Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО АН СССР. -С. 109-115.
- Шардаков И.Н., Труфанов Н.А., Матвеенко В.П. Метод геометрического погружения в теории упругости. -Екатеринбург: Уро РАН, 1999. -298 с.
- Деревянкина П.О., Кузнецова Ю.С., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Теоретические положения метода геометрического погружения в напряжениях//Вычисл. мех. сплош. сред. -2014. -Т. 7, № 3. -С. 317-330.
- Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Применение метода геометрического погружения для численного расчета пространственных конструкций//Расчеты на прочность. -1990. -№ 31. -C. 127-134.
- Шардаков И.Н. Численная реализация дифференциальной постановки метода геометрического погружения для двумерных задач теории упругости//Модели и методы исследования упругого и неупругого поведения материалов и конструкций. -Свердловск: УНЦ АН СССР. -1987. -C. 7-11.
- Булавин П.В., Шардаков И.Н. Гранично-элементный подход к решению трехмерных задач теории упругости методом геометрического погружения//ПММ. -1995. -Т. 59, № 2. -С. 252-258.
- Матвеенко В.П., Осипанов А.А. Конечно-элементная реализация метода геометрического погружения применительно к плоской задаче теории упругости в напряжениях//Модели и методы исследования упругого и неупругого поведения материалов и конструкций. -Свердловск: УНЦ АН СССР.-1987. -C. 11-16.
- Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. -М.: Мир, 1981. -304 с.
- Лурье А.И. Теория упругости. -М.: Наука, 1970. -940 с.
- Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособие. -М.: Наука, 1989. -432 с.
- Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука 1966. -708 с.
