Многокритериальная модель процесса дробления горных пород

DOI:

Установлено, что на процесс дробления ежегодно тратится около 5% всей вырабатываемой на Земле энергии, в том числе энергия двигателей внутреннего сгорания. Этот большой процент в общем энергетическом балансе показывает значимость использования процедур дробления [5]. Наибольшая сложность в процессе измельчения, например, мела –увеличенные затраты на электроэнергию.

Помимо затрат на электричество, довольно большие расходы идут на ремонт оборудования. Дробилки и мельницы не являются быстросменяемыми машинами. Наибольшие замены приходятся на основные рабочие части машин. В ходе замен тратится много времени. Для того чтобы не расходовать этот довольно важный ресурс, необходимо к данной процедуре подходить с научной точки зрения [6-11].

Организация и проведение исследований по замене основных рабочих частей дробилок и мельниц позволит увеличить производительность основного оборудования, улучшить качество готового продукта и уменьшить затраты на производство в плане энергосбережения. Модернизация и наладка технологического оборудование в целях усовершенствования процесса производства тонкодисперсного мела значительно увеличить срок службы основного оборудования. Для этого предлагается провести активный эксперимент. Перед проведением эксперимента необходимо задать модель.

Основная часть

Классический регрессионный анализ основан на предположении, что вид модели априори задан с точностью до параметров, а также что уже реализован эксперимент, поставляющий исходные данные для построения регрессии. Отсюда проблема сводится к выбору наилучшего метода обработки данных. Однако камнем преткновения, является неопределённость в выборе структуры регрессионной модели. Обычно в качестве аппроксимирующей используются функции либо легко вычисляемые, либо подходящие по физическому смыслу задачи. Например, если описывается некоторый периодический процесс (звуковые колебания или иные схожие явления), то естественно искать модель среди тригонометрических функций. Часто при аппроксимации используется многочлен. Вторая проблема состоит в репрезентативном выборе множества независимых переменных. В итоге существуют две противоположные тенденции для выбора окончательного уравнения.

• 1.    Желание сделать уравнение максимально полезным и надёжным для прогноза принуждает нас включать в него как можно больше переменных.

• 2.    Ограничения, связанные с затратами при получении и контроле информации, а также нежелательные эффекты, связанные с «перепараметризацией» модели, заставляют нас максимально упростить модель.

Приведённые соображения свидетельствуют о том, что окончательный выбор структуры уравнения регрессии является весьма непростой и трудоёмкой задачей. Большинство эффективных методов, подтверждённых многолетней практикой построения наилучшей модели, описано в классической монографии Н. Дрейпера и Н. Смита [1].

• 1.    Метод К-подмножества [2]. Рассчитываются три критерия качества модели: коэффициент детерминации R ², остаточный средний квадрат s ², и C p –статистика Маллоуза, но выбор наилучшего варианта производится на основе какого-то одного показателя.

• 2.    Метод исключения. Исключение производится на основе минимального значения критерия Стьюдента для соответствующего члена модели.

• 3.    Шаговый регрессионный метод. Шаги производятся в обратном направлении по отношению к методу исключения, т. е. последовательно включая члены.

• 4.    Комбинации перечисленных методов.

• 5.    ПРЕСС-процедура Д.М. Аллена [3], представляющая собой вариант метода всех регрессий.

В качестве оценки эффективности методов можно высказать следующее.

Метод 1 перебирает значительное число вариантов, и, видимо, является наиболее надёжным, но его недостаток в том, что выбор основан на одном показателе, который в любом случае лишь частично характеризует модель. Прочие методы используют ручной перебор, а значит – сокращённый. Поэтому нет гарантии, что был рассмотрен лучший вариант. Кроме того, высока их трудоёмкость.

Выбор наилучшей модели затруднён тем, что её эффективность можно оценивать по многим критериям, число которых может доходить до нескольких десятков. Весьма типичным является случай, когда эти показатели находятся в конфликте, иными словами, модель, лучшая по одним показателям, не является таковой по другим.

Обсуждение

В данной работе нами предлагается принципиально новый подход – автоматическое оценивание вариантов модели по комплексу показателей, в результате расчёта которого строится множество Парето-оптимальных вариантов модели.

Рассмотрим этот подход на примере построения модели, оценивающей качество работы дробилки мела, широко используемой в производстве строительных материалов.

В качестве выходного параметра используем производительность дробилки, в качестве входных факторов:

• 1)    X 1 – зазор между бронью и молотком (5–15 мм);

• 2)    Х 2 –   число оборотов двигателя

  (1500–2000 об/мин);

• 3)    Х 3 – твердость материала лопаток в зависимости от марки сплава (40–60);

• 4)    Х 4 – средний размер исходного сырья (40–200 мм).

Априори была выбрана квадратичная модель. Вопрос вызывает только присутствие в ней того или иного парного произведения факторов. В качестве плана эксперимента был взят модифицированный план B 4 [4], в котором добавили одну экспериментальную точку в центре плана. Это было сделано для улучшения характеристики по величине дисперсии МНК-прогноза в центральной части области планирования. В безразмерном виде матрица плана имела вид:

№	Х 1	Х 2	Х 3	Х 4	Y 1	Y 2	Y 3
1	-1	-1	-1	-1	24,6	22,4	23,1
2	1	-1	-1	-1	25,8	24,5	25
3	-1	1	-1	-1	14,2	14	14,7
4	1	1	-1	-1	22,7	22,7	22,1
5	-1	-1	1	-1	25,1	23,1	23,8
6	1	-1	1	-1	25,2	24,8	25
7	-1	1	1	-1	14,8	15,7	13,8
8	1	1	1	-1	22,7	23,6	23,2
9	-1	-1	-1	1	23	22,4	23
10	1	-1	-1	1	24,4	22,7	22,1
11	-1	1	-1	1	16,4	17	15,6
12	1	1	-1	1	24,5	22,4	23,8
13	-1	-1	1	1	23	22,5	23,3
14	1	-1	1	1	23,4	23	24,8
15	-1	1	1	1	16,4	15,9	15,9
16	1	1	1	1	23,4	24	24,2
17	-1	0	0	0	22,7	22,3	22,4
18	1	0	0	0	28,4	27,4	27,3
19	0	-1	0	0	26,6	28,1	27,2
20	0	1	0	0	23,7	22,6	22,7
21	0	0	-1	0	25,4	25	25,3
22	0	0	1	0	24,7	24,7	24,9
23	0	0	0	-1	26,3	25,4	26
24	0	0	0	1	26,1	25,7	25,3
25	0	0	0	0	25,8	26,4	26,1

В качестве исходных параметров модели задавалось m – максимальное число предикторных (независимых) переменных и n – максимальная степень многочлена, соответствующего уравнению регрессии. При таких данных максимальное количество коэффициентов модели, включая свободный член, определяется числом n-сочетаний с повторениями из (m + 1) предметов и равно K = Cmm+n. Соответственно общее число рассматриваемых моделей при условии присутствия в каждой формуле свободного члена равно M = 2K –1. Для рассматриваемого примера K = 15, а M = 16384.

Каждый вариант модели оценивался по следующим критериям:

• •    дисперсия             адекватности

5АДЕКВ = "^ ^ Е (yi — y i ) , оценивающая среднее отклонение расчётных значений откликов от средних по параллельным опытам;

• •    расчётное значение критерия Фишера р ВЫЧ _ ^Q РЕГР / ( k ^— 1)

ЭФФ   Qoctat /(N - к) , оценивающее эффективность модели;

ВЫЧ

F

• •    величина отношения к =   Эфф^ ,

КРИТ показывающая превышение расчётного значения критерия Фишера над его граничным значением;

• •    коэффициент адекватности, равный 0, если модель статистически адекватна согласно критерию Фишера и 1 в противном случае;

• •    U- доля значимых по Стьюденту коэффициентов среди присутствующих в данном варианте модели.

Кроме того, для поддержки окончательного выбора наилучшего варианта рассчитывались следующие вспомогательные показатели:

• •    расчётные значения критерия Стьюдента для каждого коэффициента для оценки его значимости;

• •    расчётное значение критерия Фишера 2™

ВЫЧ    s АДЕКВ

F АДЕКВ = "1---- для оценки статистической

8ВОСПР адекватности модели;

• •    расчётное значение критерия Кохрена для проверки однородности точечных дисперсий

• ⁵ 2 = ^ Е ⁽ у у^^г;

• • величина дисперсии воспроизводимости 2      _ ¹ Х^ 2

⁵ ВОСПР = _м Е ⁵i .

Ni

На основании анализа каждого уравнения программа оптимизации по Парето выбрала два

• Y 1 =

• Y 2 =

  26.42486 + 2.259259 X1 - 2.207407 X 2 -1.395669 X1 + 1.739583 X1X 2 - 0.2020833 X1X 4 -1.329002 X 2² + 0.6270833 X 2 X 4 -1.479002 X 3² - 0.6790019 X 4²,

  26.42486 + 2.259259 X 1 - 2.207407 X 2 + 0.1129629 X 3 -1.395669 X 1² + 1.739583 X 1 X 2 - 0.2020833 X 1 X 4 -1.329002 X 2² + 0.6270833 X 2 X 4 -1.479002 X 3² - 0.6790019 X 4².

  
  

нехудших варианта, которые в безразмерных переменных имеют вид:

Заключение

Таким образом, предложенный метод позволил выделить из 16 384 альтернативных вариантов два наилучших. Очевидно, данный