Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для обобщенно звездных функций в пространстве cn, n> = 2
Автор: Султыгов Магомет Джабраилович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.19, 2017 года.
Бесплатный доступ
Для построения математической модели распространения пульсовой "волны давления" в артериальных сосудах, стенки которых обладают винтовой анизотропией, дается описание метода расчета радиальной жесткости сосуда и фазовой скорости данной волны.
Однолистная функция, многомерный аналог гипотезы бибербаха, эффективность коэффициентов тейлора, радиус параметризации
Короткий адрес: https://sciup.org/14318567
IDR: 14318567
Текст научной статьи Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для обобщенно звездных функций в пространстве cn, n> = 2
В 1916 г. Л. Бибербахом [1] была высказана знаменитая гипотеза: |cn| 6 n, n = 2, 3,... , имеет место для всех регулярных и однолистных в единичном круге |z| < 1 функций f (z) = z + P^=2 C n Z n.
Гипотеза, привлекала, внимание многих математиков, и при попытке доказать ее были развиты многие методы геометрической теории функций комплексного переменного [2], однако доказательство гипотезы было получено лишь в 1985 г. французским математиком Л. де Бранжем [3].
Цель статьи — построить эффективные достаточные условия для обобщенно-звездных функций в виде многомерного аналога, гипотезы Бибербаха, для областей Рейнхарта. Результаты статьи дополняют многочисленные точные оценки тейлоровых коэффициентов в различных подклассах изучаемого класса. Исследуемый класс содержит ранее известные класс звездных функций M d [4], класс M d (a, b) [5] и др.
История вопроса. В работе И. И. Баврина (см., например, [4]) введены и изучаются класс обобщенно однолистных функций Qd, и различные его подклассы Md, N d и другие с точки зрения оценок тейлоровых коэффициентов разложения функций этих классов в двойные степенные ряды. Используя решение Л. де Бранжем проблемы Бибербаха, для функций S одной комплексной переменной, И. И. Баврин решил в положительном смысле для функций класса Q d [4] многомерный аналог проблемы Л. Бибербаха.
В оценки коэффициентов Тейлора класса Q d входит величина d mn (D~) = sup(|w|m |z|n) для всех (w, z) E D C C 2. Для конкретно го вида, области D важно уметь вычислить d mn (D) С целью получения эффективных оценок коэффициентов Тейлора возникает вопрос о выделении специальных классов областей D, для которых можно эффективно вычислить dmn(D). Пусть D1 — та область D, граница которой дважды непрерывно дифференцируема, и аналитически выпукла, извне. Как доказал А. А. Темляков [7], границу этой области можно представить в следующем параметрическом виде:
|w| = Г1(т ), |z| = Г2(т ), 0 6 т 6 1,
где гд(0) = 0. ri(1) < то. г0(т) > 0.0 < т 6 1, и г2(т) = R2 exp [ — JT Ду d lnг1(т)]. R2 — положительная постоянная, r2(1) = 0. Такое параметрическое представление области Di позволяет эффективно вычислить dmn (D1 ) [6]:
dmn(D1) = r1m
m m + n
n r2
m
----- , m + n > 0, m + n
считая 0° = 1.
Заметим также, что если область D — бицилиндр {|w| < Ri, |z| < R2}, то, очевидно, что dmn(D) = Rm • Rn Итак, в случае тех областей Di и бицилиндра оценки коэффициентов Тейлора являются эффективными.
Остановимся более подробно на самом аналоге проблемы Бибербаха в случае двух комплексных переменных для класса Q d [4]. Случай многих комплексных переменных рассматривается аналогично.
Приведем определение класса Qd. Пусть D — ограниченная полная двоякокруговая область с центром в начале координат. Пусть в области D функция f (w, z), f (0, 0) = 1 голоморфна. Возьмем множество D n{z = kgw}, г де kg — фиксированное конечное число из всего множества комплексных чисел, т. е. множество, представляющее собой сечение области D аналитической плоскостью z = kgw.
Скажем, что в сечении D П {z = kgw} фушсиня wf (w, z) однолистна. если функция wf (w, kgw) как функция одного комп.тсксного переменного w однолистна в соответствующем круге. Здесь под соответствующим кругом понимается проекция сечения D П {z = kgw} на плоскость z = 0; если kg = 0, то это будет круг, который вырезает область D из плоскости z = 0.
Обозначим через; Q d [4] класс голомо}зфпых в области D функций f (w, z), f (0, 0) = 1. обладающих следующими свойствами:
-
1) в сечении области D каждой плоскостью из всевозможных аналитических плоскостей z = kw функция wf (w,z) однолистна:
-
2) в сечении D П {w = 0} фушсиня zf (0, z) однолистна.
Теорема 1 (аналог гипотезы Бибербаха) [4, теорема 14.1]. Для функций f (w,z) = Pk^gCPkLg ak-l,l wk-1 zl ) G QD имеют место следующие оценки:
k
Ak (D) = sup X |ak-i,i|2|w|2(k-l)|z|2l 6 (k + 1)2, k> 0, (1)
(w^eD l=g
Bk (D) = sup (w,z)eD |
k X ak-i,iwk-zl 6 k + 1, k> 0. (2) l =0 |
Следствие 1 [4, теорема 14.1]. Для функций f (w, z) = 52^ n=g amnwmzn G QD имеют место оценки
| a mn
m + n + 1 d mn ( D )
m + n > 0.
Заметим, что при переходе к однолистным функциям одного комплексного переменного оценка (3) с учетом веса [8, 9] переходит в оценку, фигурирующую в гипотезе Бибербаха.
Представим результаты автора.
Определение. Обобщенным классом звездных функций Md (A, B), —1 6 B 6 A 6 1, назовем множество всех голоморфных в области D С Cn функций f (z1,..., zn) = f (z), представимых рядом f (z) = 1 + ^^=1 ak zk ■ г,ту |k| = Pn=1 ki. k!= 0=1 ki!• 11 Удовлетворяющих условию [4, 11]
Rif (z) f (z)
1 + A©(z)
1 + B ©(z),
где S d (0) — класс ronoMoj)фиых в области D функций Шура, f (z1,z2),f (0, 0) = 0. для которых |f (zi, z2)| < 1b D [4]. 3доев Ry [f (z)] = Yf (z) + ^”=1 zjf) t11]- Обратным к оператору RY [f (z)] является оператор R-1f (z) = /01 eY-1f (ez1,..., ez n ) de.
Интересным является класс голоморфных функций Md ( b 2-^ + a , 1-a), a + b > 1, b 6 a 6 b + 1, для которого приведен и доказан критерий принадлежности:
^ 2 2,
E k л г (b — a + a a k z k ∈ M D b
|k|=0
b
a
Теорема 2 [12]. Функция f (z) e Md ( b2 a+a, 1-a) тогда и только тогда, когда dε
, ε
ch(ez1 ,ez2 )
f (z1,z2) = exp ——---— ------- b + (1 - a)h(ez1 ,ez2)
где c = b2 — (a — 1)2 11 h(z1 , z2) e SD (0). для in порах |h(z1, z2)| 6 1 в D.
Приведем достаточное условие принадлежности f (z1, z2) e M d (A, B), —16 B 6 A 6 1 в виде многомерного аналога, гипотезы Бибербаха. [1] и укажем эффективность.
Как было ранее установлено [13], в классе функций f (z1,z2) e M d (A, B) оценки коэффициентов Тейлора |ak1,k2(f : D)| имеют вид
|ak!,k2 (f : D)| 6 * |
A - B |
d4 ,k 2 ( f : D ) , QjJ^A-Cj'-^B] |
|
|k|!dkbk2 (f :D) , A - B |
|
|k|!dkbk2 ( f : D ) , Qj=+1[A-(j-1)B] |
|
L |k|(|k|-2)!dk1,k2 ( f : D ) |
|k| > 0, —1 6 B 6 A 6 1;
A — |k|B > |k| — 1, |k| > 2;
A — 2B 6 1, |k| 6 2;
A — |k|B < |k| — 1, |k| 6 3.
Теорема 3. Для функций f (z1, z2) e M u R R, (A, B ) в бицилиндре эффективные оценки коэффициентов Тейлора имеют вид
aki,k2 (f : UR i,R2 ) 1 6 * |
A - B |
Rk1 Rk2 , Qj=+1[A-(j-1)B] |
|
|k|!Rk1 Rk2 A - B |
|
|k|!Rk1 Rk2 , Qj=+1[A-(j-1)B] |
|
I |k|(|k|-2)!Rk1 Rk2 |
|k| > 0, —1 6 B 6 A 6 1;
A — |k|B > |k| — 1, |k| > 2;
A — 2B 6 1, |k| 6 2;
A — |k|B < |k| — 1, |k| 6 3.
Теорема 4. Для функций f (zi,z2) G Mki (A, B) в гипе^жонусе Ki = {(zi, z2) G C2 : |zi | + |z2| < 1} гДе граница этой области представима в параметрическом виде dKi = {(zi, Z2) G C2 : |zi| = t, |z2| = 1 - т, 0 6 т 6 1} ,
k ki k2
ki + k2 ki + k2
эффективные оценки коэффициентов Тейлора, имеют вид
' |k|l"l(A-B) kk1kk2 , |
|k| > 0, -1 6 B 6 A 6 1; |
|||
|ak",k2 (f : Ki)| 6 * |
Lkiynjk^jA-^j, |k|!kk" k""2 |
-i)B]} , |
A- |
|k|B > |k| - 1, |k| > 2; |
|k||k|(A-B) ikitkk1 k""2, |
A- |
2B 6 1, |k| 6 2; |
||
Lkiynjk^jA-^j, _ |к|(|к|-2)!кк" k |
-i)B]} "2 , 2 |
A- |
|k|B < |k| - 1, |k| 6 3. |
В качестве последнего примера приведем аналог гипотезы Бибербаха в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области
D p,q = {(zi,Z2) G C2 : |zi|p + |z2|q < 1; p = mn, m,n,q G n| .
Отметим, что Dp,q G (T) тогда и только тогда, когда p > 1.
Теорема 5. Для функций f (zi, z2) G Mdp q (A, B) в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области Dp,q эффективные оценки коэффициентов Тейлора имеют вид k^q+k^p
(kiq+k2p) pq ( A - B )
(kiq) 'p (k2p) "52
|ak ,k2 (f : Dp,q)| 6 |
kq q+"2 p r (kiq+k2P) pq 1 {QjkJ+^A-O'-BB]} |
|k|!(kiq) " (k2p)"q2 "iq+k2 p (kiq+k2p) pq (A-B) |
|
|k|!(kiq) "p" (k2p) "q2 |
" i q + k ^ p
(kiq+k2P) pq {Qjfc=+1[A-(j-i)B]}
|k|(|k|-2)!(kiq) p ( k 2 p ) "q
-1 6 B 6 A 6 1;
A - |k|B > |k| - 1, |k| > 2;
A - 2B 6 1, |k| 6 2;
A -|k|B < |k| - 1, |k| 6 3.
Доказательство теорем 3-5 проводится по схеме теоремы 1 из [4] с использованием соответствующих оценок работы [14].
Список литературы Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для обобщенно звездных функций в пространстве cn, n> = 2
- Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildug des Einheitskreises vermitteln//S.-B. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. Kl. 1916. P. 940-955.
- Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.
- De Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture//Acta Math. 1985. № 154. P. 137-152.
- Баврин И. И. Операторный метод в комплексном анализе. М.: Прометей, 1991. 200 с.
- Султыгов М. Д. Об одном подклассе класса MD функций двух комплексных переменных//МОПИ им. Н. К. Крупской. М., 1982. 14 с. Деп. В ВИНИТИ, № 828-82.
- Баврин И. И. Оценки коэффициентов Тейлора функций двух комплексных переменных//Докл. АН СССР. 1960. Т. 131, № 6. С. 1231-1233.
- Темляков А. А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных//Докл. АН СССР. 1958. Т. 120, № 5. С. 976-979.
- Баврин И. И. Функции, однолистные с весом//Докл. АН. 1996. Т. 349, № 6. С. 727-728.
- Баврин И. И. Классы функций, однолистных с весом//Докл. АН. 2000. Т. 371, № 6. С. 727-729.
- Султыгов М. Д. Звездно-выпуклые функции многих комплексных переменных в пространстве Рейнхарта//Сб. науч. тр. Ингушского гос. ун-та. Нальчик, 2004. № 2. C. 333-362.
- Баврин И. И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы для этих классов функций. М.: Изд-во МОПИ, 1976. 99 с.
- Султыгов М. Д. Интегральные представления некоторых классов голоморфных функций в пространстве многих комплексных переменных. Сер. 1.//Изв. Чеченского гос. пед. ин-та. 2015. № 2(10). С. 19-23.
- Султыгов М. Д. Коэффициенты Тейлора для некоторых классов голоморфных функций многих комплексных переменных//Сб. науч. тр. ИнгГУ. Магас, 2008. № 6. C. 165-173.
- Goel R. M., Mehrok B. S. On the coefficients of a subclass of starlike functions//Indian J. Pure Appl. Math. 1981. Vol. 12(5). P. 634-647.