Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для обобщенно звездных функций в пространстве cn, n> = 2

Автор: Султыгов Магомет Джабраилович

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 1 т.19, 2017 года.

Бесплатный доступ

Для построения математической модели распространения пульсовой "волны давления" в артериальных сосудах, стенки которых обладают винтовой анизотропией, дается описание метода расчета радиальной жесткости сосуда и фазовой скорости данной волны.

Однолистная функция, многомерный аналог гипотезы бибербаха, эффективность коэффициентов тейлора, радиус параметризации

Короткий адрес: https://sciup.org/14318567

IDR: 14318567

Текст научной статьи Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для обобщенно звездных функций в пространстве cn, n> = 2

В 1916 г. Л. Бибербахом [1] была высказана знаменитая гипотеза: |cn| 6 n, n = 2, 3,... , имеет место для всех регулярных и однолистных в единичном круге |z| < 1 функций f (z) = z + P^=2 C n Z n.

Гипотеза, привлекала, внимание многих математиков, и при попытке доказать ее были развиты многие методы геометрической теории функций комплексного переменного [2], однако доказательство гипотезы было получено лишь в 1985 г. французским математиком Л. де Бранжем [3].

Цель статьи — построить эффективные достаточные условия для обобщенно-звездных функций в виде многомерного аналога, гипотезы Бибербаха, для областей Рейнхарта. Результаты статьи дополняют многочисленные точные оценки тейлоровых коэффициентов в различных подклассах изучаемого класса. Исследуемый класс содержит ранее известные класс звездных функций M d [4], класс M d (a, b) [5] и др.

История вопроса. В работе И. И. Баврина (см., например, [4]) введены и изучаются класс обобщенно однолистных функций Qd, и различные его подклассы Md, N d и другие с точки зрения оценок тейлоровых коэффициентов разложения функций этих классов в двойные степенные ряды. Используя решение Л. де Бранжем проблемы Бибербаха, для функций S одной комплексной переменной, И. И. Баврин решил в положительном смысле для функций класса Q d [4] многомерный аналог проблемы Л. Бибербаха.

В оценки коэффициентов Тейлора класса Q d входит величина d mn (D~) = sup(|w|m |z|n) для всех (w, z) E D C C 2. Для конкретно го вида, области D важно уметь вычислить d mn (D) С целью получения эффективных оценок коэффициентов Тейлора возникает вопрос о выделении специальных классов областей D, для которых можно эффективно вычислить dmn(D). Пусть D1 — та область D, граница которой дважды непрерывно дифференцируема, и аналитически выпукла, извне. Как доказал А. А. Темляков [7], границу этой области можно представить в следующем параметрическом виде:

|w| = Г1(т ), |z| = Г2(т ), 0 6 т 6 1,

где гд(0) = 0. ri(1) < то. г0(т) > 0.0 < т 6 1, и г2(т) = R2 exp [ — JT Ду d lnг1(т)]. R2 — положительная постоянная, r2(1) = 0. Такое параметрическое представление области Di позволяет эффективно вычислить dmn (D1 ) [6]:

dmn(D1) = r1m

m m + n

n r2

m

----- , m + n >  0, m + n

считая 0° = 1.

Заметим также, что если область D — бицилиндр {|w| <  Ri, |z| < R2}, то, очевидно, что dmn(D) = Rm • Rn Итак, в случае тех областей Di и бицилиндра оценки коэффициентов Тейлора являются эффективными.

Остановимся более подробно на самом аналоге проблемы Бибербаха в случае двух комплексных переменных для класса Q d [4]. Случай многих комплексных переменных рассматривается аналогично.

Приведем определение класса Qd. Пусть D — ограниченная полная двоякокруговая область с центром в начале координат. Пусть в области D функция f (w, z), f (0, 0) = 1 голоморфна. Возьмем множество D n{z = kgw}, г де kg — фиксированное конечное число из всего множества комплексных чисел, т. е. множество, представляющее собой сечение области D аналитической плоскостью z = kgw.

Скажем, что в сечении D П {z = kgw} фушсиня wf (w, z) однолистна. если функция wf (w, kgw) как функция одного комп.тсксного переменного w однолистна в соответствующем круге. Здесь под соответствующим кругом понимается проекция сечения D П {z = kgw} на плоскость z = 0; если kg = 0, то это будет круг, который вырезает область D из плоскости z = 0.

Обозначим через; Q d [4] класс голомо}зфпых в области D функций f (w, z), f (0, 0) = 1. обладающих следующими свойствами:

  • 1)    в сечении области D каждой плоскостью из всевозможных аналитических плоскостей z = kw функция wf (w,z) однолистна:

  • 2)    в сечении D П {w = 0} фушсиня zf (0, z) однолистна.

Теорема 1 (аналог гипотезы Бибербаха) [4, теорема 14.1]. Для функций f (w,z) = Pk^gCPkLg ak-l,l wk-1 zl ) G QD имеют место следующие оценки:

k

Ak (D) = sup X |ak-i,i|2|w|2(k-l)|z|2l 6 (k + 1)2,    k> 0,               (1)

(w^eD l=g

Bk (D) = sup (w,z)eD

k

X ak-i,iwk-zl 6 k + 1,  k> 0.                 (2)

l =0

Следствие 1 [4, теорема 14.1]. Для функций f (w, z) = 52^ n=g amnwmzn G QD имеют место оценки

| a mn

m + n + 1 d mn ( D )

m + n >  0.

Заметим, что при переходе к однолистным функциям одного комплексного переменного оценка (3) с учетом веса [8, 9] переходит в оценку, фигурирующую в гипотезе Бибербаха.

Представим результаты автора.

Определение. Обобщенным классом звездных функций Md (A, B), —1 6 B 6 A 6 1, назовем множество всех голоморфных в области D С Cn функций f (z1,..., zn) = f (z), представимых рядом f (z) = 1 + ^^=1 ak zk ■ г,ту |k| = Pn=1 ki. k!= 0=1 ki!• 11 Удовлетворяющих условию [4, 11]

Rif (z) f (z)

1 + A©(z)

1 + B ©(z),

где S d (0) — класс ronoMoj)фиых в области D функций Шура, f (z1,z2),f (0, 0) = 0. для которых |f (zi, z2)| <  1b D [4]. 3доев Ry [f (z)] = Yf (z) + ^”=1 zjf) t11]- Обратным к оператору RY [f (z)] является оператор R-1f (z) = /01 eY-1f (ez1,..., ez n ) de.

Интересным является класс голоморфных функций Md ( b 2-^ + a , 1-a), a + b >  1, b 6 a 6 b + 1, для которого приведен и доказан критерий принадлежности:

^                     2     2,

E k л г (b a + a a k z k M D      b

|k|=0

b

a

Теорема 2 [12]. Функция f (z) e Md ( b2 a+a, 1-a) тогда и только тогда, когда dε

, ε

ch(ez1 ,ez2 )

f (z1,z2) = exp  ——---— ------- b + (1 - a)h(ez1 ,ez2)

где c = b2 — (a — 1)2 11 h(z1 , z2) e SD (0). для in порах |h(z1, z2)| 6 1 в D.

Приведем достаточное условие принадлежности f (z1, z2) e M d (A, B), —16 B 6 A 6 1 в виде многомерного аналога, гипотезы Бибербаха. [1] и укажем эффективность.

Как было ранее установлено [13], в классе функций f (z1,z2) e M d (A, B) оценки коэффициентов Тейлора |ak1,k2(f : D)| имеют вид

|ak!,k2 (f : D)| 6 *

A - B

d4 ,k 2 ( f : D ) , QjJ^A-Cj'-^B]

|k|!dkbk2 (f :D) ,

A - B

|k|!dkbk2 ( f : D ) , Qj=+1[A-(j-1)B]

L |k|(|k|-2)!dk1,k2 ( f : D )

|k| > 0, —1 6 B 6 A 6 1;

A — |k|B > |k| — 1, |k| > 2;

A — 2B 6 1, |k| 6 2;

A — |k|B < |k| — 1, |k| 6 3.

Теорема 3. Для функций f (z1, z2) e M u R R, (A, B ) в бицилиндре эффективные оценки коэффициентов Тейлора имеют вид

aki,k2 (f : UR i,R2 ) 1 6 *

A - B

Rk1 Rk2 ,

Qj=+1[A-(j-1)B]

|k|!Rk1 Rk2

A - B

|k|!Rk1 Rk2 , Qj=+1[A-(j-1)B]

I |k|(|k|-2)!Rk1 Rk2

|k| > 0, —1 6 B 6 A 6 1;

A — |k|B > |k| — 1, |k| > 2;

A — 2B 6 1, |k| 6 2;

A — |k|B < |k| — 1, |k| 6 3.

Теорема 4. Для функций f (zi,z2) G Mki (A, B) в гипе^жонусе Ki = {(zi, z2) G C2 : |zi | + |z2| < 1} гДе граница этой области представима в параметрическом виде dKi = {(zi, Z2) G C2 : |zi| = t, |z2| = 1 - т, 0 6 т 6 1} ,

k ki             k2

ki + k2      ki + k2

эффективные оценки коэффициентов Тейлора, имеют вид

' |k|l"l(A-B) kk1kk2    ,

|k| > 0, -1 6 B 6 A 6 1;

|ak",k2 (f : Ki)| 6 *

Lkiynjk^jA-^j, |k|!kk" k""2

-i)B]}

,

A-

|k|B > |k| - 1, |k| > 2;

|k||k|(A-B) ikitkk1 k""2,

A-

2B 6 1, |k| 6 2;

Lkiynjk^jA-^j, _        |к|(|к|-2)!кк" k

-i)B]} "2         ,

2

A-

|k|B < |k| - 1, |k| 6 3.

В качестве последнего примера приведем аналог гипотезы Бибербаха в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области

D p,q = {(zi,Z2) G C2 : |zi|p + |z2|q < 1; p = mn, m,n,q G n| .

Отметим, что Dp,q G (T) тогда и только тогда, когда p > 1.

Теорема 5. Для функций f (zi, z2) G Mdp q (A, B) в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области Dp,q эффективные оценки коэффициентов Тейлора имеют вид k^q+k^p

(kiq+k2p)    pq    ( A - B )

(kiq) 'p (k2p) "52

|ak ,k2 (f : Dp,q)| 6

kq q+"2 p r

(kiq+k2P)    pq 1 {QjkJ+^A-O'-BB]}

|k|!(kiq) " (k2p)"q2

"iq+k2 p

(kiq+k2p)   pq   (A-B)

|k|!(kiq) "p" (k2p) "q2

" i q + k ^ p

(kiq+k2P)    pq   {Qjfc=+1[A-(j-i)B]}

|k|(|k|-2)!(kiq) p ( k 2 p ) "q

-1 6 B 6 A 6 1;

A - |k|B > |k| - 1, |k| > 2;

A - 2B 6 1, |k| 6 2;

A -|k|B < |k| - 1, |k| 6 3.

Доказательство теорем 3-5 проводится по схеме теоремы 1 из [4] с использованием соответствующих оценок работы [14].

Список литературы Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для обобщенно звездных функций в пространстве cn, n> = 2

  • Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildug des Einheitskreises vermitteln//S.-B. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. Kl. 1916. P. 940-955.
  • Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.
  • De Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture//Acta Math. 1985. № 154. P. 137-152.
  • Баврин И. И. Операторный метод в комплексном анализе. М.: Прометей, 1991. 200 с.
  • Султыгов М. Д. Об одном подклассе класса MD функций двух комплексных переменных//МОПИ им. Н. К. Крупской. М., 1982. 14 с. Деп. В ВИНИТИ, № 828-82.
  • Баврин И. И. Оценки коэффициентов Тейлора функций двух комплексных переменных//Докл. АН СССР. 1960. Т. 131, № 6. С. 1231-1233.
  • Темляков А. А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных//Докл. АН СССР. 1958. Т. 120, № 5. С. 976-979.
  • Баврин И. И. Функции, однолистные с весом//Докл. АН. 1996. Т. 349, № 6. С. 727-728.
  • Баврин И. И. Классы функций, однолистных с весом//Докл. АН. 2000. Т. 371, № 6. С. 727-729.
  • Султыгов М. Д. Звездно-выпуклые функции многих комплексных переменных в пространстве Рейнхарта//Сб. науч. тр. Ингушского гос. ун-та. Нальчик, 2004. № 2. C. 333-362.
  • Баврин И. И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы для этих классов функций. М.: Изд-во МОПИ, 1976. 99 с.
  • Султыгов М. Д. Интегральные представления некоторых классов голоморфных функций в пространстве многих комплексных переменных. Сер. 1.//Изв. Чеченского гос. пед. ин-та. 2015. № 2(10). С. 19-23.
  • Султыгов М. Д. Коэффициенты Тейлора для некоторых классов голоморфных функций многих комплексных переменных//Сб. науч. тр. ИнгГУ. Магас, 2008. № 6. C. 165-173.
  • Goel R. M., Mehrok B. S. On the coefficients of a subclass of starlike functions//Indian J. Pure Appl. Math. 1981. Vol. 12(5). P. 634-647.
Еще
Статья научная