Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для обобщенно звездных функций в пространстве cn, n> = 2

В 1916 г. Л. Бибербахом [1] была высказана знаменитая гипотеза: |cn| 6 n, n = 2, 3,... , имеет место для всех регулярных и однолистных в единичном круге |z| < 1 функций f (z) = z + P^=2 C n Z n.

Гипотеза, привлекала, внимание многих математиков, и при попытке доказать ее были развиты многие методы геометрической теории функций комплексного переменного [2], однако доказательство гипотезы было получено лишь в 1985 г. французским математиком Л. де Бранжем [3].

Цель статьи — построить эффективные достаточные условия для обобщенно-звездных функций в виде многомерного аналога, гипотезы Бибербаха, для областей Рейнхарта. Результаты статьи дополняют многочисленные точные оценки тейлоровых коэффициентов в различных подклассах изучаемого класса. Исследуемый класс содержит ранее известные класс звездных функций M d [4], класс M d (a, b) [5] и др.

История вопроса. В работе И. И. Баврина (см., например, [4]) введены и изучаются класс обобщенно однолистных функций Qd, и различные его подклассы Md, N d и другие с точки зрения оценок тейлоровых коэффициентов разложения функций этих классов в двойные степенные ряды. Используя решение Л. де Бранжем проблемы Бибербаха, для функций S одной комплексной переменной, И. И. Баврин решил в положительном смысле для функций класса Q d [4] многомерный аналог проблемы Л. Бибербаха.

В оценки коэффициентов Тейлора класса Q d входит величина d mn (D~) = sup(|w|m |z|n) для всех (w, z) E D C C 2. Для конкретно го вида, области D важно уметь вычислить d mn (D) С целью получения эффективных оценок коэффициентов Тейлора возникает вопрос о выделении специальных классов областей D, для которых можно эффективно вычислить d_mn(D). Пусть D1 — та область D, граница которой дважды непрерывно дифференцируема, и аналитически выпукла, извне. Как доказал А. А. Темляков [7], границу этой области можно представить в следующем параметрическом виде:

|w| = Г1(т ), |z| = Г2(т ), 0 6 т 6 1,

где гд(0) = 0. ri(1) < то. г0(т) > 0.0 < т 6 1, и г₂(т) = R₂ exp [ — JT Ду d lnг1(т)]. R₂ — положительная постоянная, r₂(1) = 0. Такое параметрическое представление области Di позволяет эффективно вычислить dmn (D1 ) [6]:

dmn(D1) = r1m

m m + n

n r2

m

----- , m + n >  0, m + n

считая 0° = 1.

Заметим также, что если область D — бицилиндр {|w| <  Ri, |z| < R₂}, то, очевидно, что dmn(D) = Rm • Rn Итак, в случае тех областей Di и бицилиндра оценки коэффициентов Тейлора являются эффективными.

Остановимся более подробно на самом аналоге проблемы Бибербаха в случае двух комплексных переменных для класса Q d [4]. Случай многих комплексных переменных рассматривается аналогично.

Приведем определение класса Qd. Пусть D — ограниченная полная двоякокруговая область с центром в начале координат. Пусть в области D функция f (w, z), f (0, 0) = 1 голоморфна. Возьмем множество D n{z = k_gw}, г де kg — фиксированное конечное число из всего множества комплексных чисел, т. е. множество, представляющее собой сечение области D аналитической плоскостью z = k_gw.

Скажем, что в сечении D П {z = k_gw} фушсиня wf (w, z) однолистна. если функция wf (w, k_gw) как функция одного комп.тсксного переменного w однолистна в соответствующем круге. Здесь под соответствующим кругом понимается проекция сечения D П {z = kgw} на плоскость z = 0; если kg = 0, то это будет круг, который вырезает область D из плоскости z = 0.

Обозначим через; Q d [4] класс голомо}зфпых в области D функций f (w, z), f (0, 0) = 1. обладающих следующими свойствами:

• 1)    в сечении области D каждой плоскостью из всевозможных аналитических плоскостей z = kw функция wf (w,z) однолистна:

• 2)    в сечении D П {w = 0} фушсиня zf (0, z) однолистна.

Теорема 1 (аналог гипотезы Бибербаха) [4, теорема 14.1]. Для функций f (w,z) = Pk^gCPkLg a_k-l,l wk^-1 z^l ) G QD имеют место следующие оценки:

k

Ak (D) = sup X |ak-i,i|²|w|^2(k-l)|z|2^l 6 (k + 1)²,    k> 0,               (1)

(w^eD l=g

Bk (D) = sup (w,z)eD

k X ak-i,iwk-zl 6 k + 1,  k> 0.                 (2) l =0

Следствие 1 [4, теорема 14.1]. Для функций f (w, z) = 52^ n=g amnwmzn G QD имеют место оценки

| a _mn

m + n + 1 d mn ( D )

m + n >  0.

Заметим, что при переходе к однолистным функциям одного комплексного переменного оценка (3) с учетом веса [8, 9] переходит в оценку, фигурирующую в гипотезе Бибербаха.

Представим результаты автора.

Определение. Обобщенным классом звездных функций Md (A, B), —1 6 B 6 A 6 1, назовем множество всех голоморфных в области D С Cn функций f (z1,..., zn) = f (z), представимых рядом f (z) = 1 + ^^=1 ak zk ■ г,ту |k| = Pn=1 ki. k!= 0=1 ki!• 11 Удовлетворяющих условию [4, 11]

Rif (z) f (z)

1 + A©(z)

1 + B ©(z)^,

где S d (0) — класс ronoMoj)фиых в области D функций Шура, f (z₁,z₂),f (0, 0) = 0. для которых |f (zi, z2)| <  1b D [4]. 3доев Ry [f (z)] = Yf (z) + ^”=1 zjf) t¹¹]- Обратным к оператору R_Y [f (z)] является оператор R^-1f (z) = /0¹ e^Y-1f (ez₁,..., ez n ) de.

Интересным является класс голоморфных функций Md ( b ^2-^ ^{+ a} , 1-a), a + b >  1, b 6 a 6 b + 1, для которого приведен и доказан критерий принадлежности:

^                     2     2,

E k л г (b — a + a a k z ^k ∈ M D      _b

|k|=0

b

a

Теорема 2 [12]. Функция f (z) e Md ( b2 a+a, 1-a) тогда и только тогда, когда dε

, ε

ch(ez1 ,ez2 )

f (z1,z2) = exp  ——---— ------- b + (1 - a)h(ez1 ,ez2)

где c = b² — (a — 1)² 11 h(z1 , z₂) e SD (0). для in порах |h(z1, z₂)| 6 1 в D.

Приведем достаточное условие принадлежности f (z1, z₂) e M d (A, B), —16 B 6 A 6 1 в виде многомерного аналога, гипотезы Бибербаха. [1] и укажем эффективность.

Как было ранее установлено [13], в классе функций f (z₁,z₂) e M d (A, B) оценки коэффициентов Тейлора |ak1,k₂(f : D)| имеют вид

|ak!,k2 (f : D)| 6 *	A - B
	d4 ,k 2 ( f : D ) , QjJ^A-Cj'-^B]
	|k|!dkbk2 (f :D) , A - B
	|k|!dkbk2 ( f : D ) , Qj=+1[A-(j-1)B]
	L |k|(|k|-2)!dk1,k2 ( f : D )

|k| > 0, —1 6 B 6 A 6 1;

A — |k|B > |k| — 1, |k| > 2;

A — 2B 6 1, |k| 6 2;

A — |k|B < |k| — 1, |k| 6 3.

Теорема 3. Для функций f (z1, z₂) e M u R _R, (A, B ) ^в бицилиндре эффективные оценки коэффициентов Тейлора имеют вид

aki,k2 (f : UR i,R2 ) 1 6 *	A - B
	Rk1 Rk2 , Qj=+1[A-(j-1)B]
	|k|!Rk1 Rk2 A - B
	|k|!Rk1 Rk2 , Qj=+1[A-(j-1)B]
	I |k|(|k|-2)!Rk1 Rk2

|k| > 0, —1 6 B 6 A 6 1;

A — |k|B > |k| — 1, |k| > 2;

A — 2B 6 1, |k| 6 2;

A — |k|B < |k| — 1, |k| 6 3.

Теорема 4. Для функций f (zi,z2) G Mki (A, B) в гипе^жонусе Ki = {(zi, z2) G C2 : |zi | + |z2| < 1} гДе граница этой области представима в параметрическом виде dKi = {(zi, Z2) G C2 : |zi| = t, |z2| = 1 - т, 0 6 т 6 1} ,

k ki             k2

ki + k2      ki + k2

эффективные оценки коэффициентов Тейлора, имеют вид

	' |k|l"l(A-B) kk1kk2    ,		|k| > 0, -1 6 B 6 A 6 1;
|ak",k2 (f : Ki)| 6 *	Lkiynjk^jA-^j, |k|!kk" k""2	-i)B]} ,	A-	|k|B > |k| - 1, |k| > 2;
	|k||k|(A-B) ikitkk1 k""2,		A-	2B 6 1, |k| 6 2;
	Lkiynjk^jA-^j, _        |к|(|к|-2)!кк" k	-i)B]} "2         , 2	A-	|k|B < |k| - 1, |k| 6 3.

В качестве последнего примера приведем аналог гипотезы Бибербаха в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области

D p,q = {(zi,Z2) G C² : |zi|p + |z2|q < 1; p = mn, m,n,q G n| .

Отметим, что D_p,_q G (T) тогда и только тогда, когда p > 1.

Теорема 5. Для функций f (zi, z2) G Mdp q (A, B) в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области Dp,q эффективные оценки коэффициентов Тейлора имеют вид k^q+k^p

(kiq+k2p)    ^pq    ( A - B )

(kiq) 'p (k2p) "52

|ak ,k2 (f : Dp,q)| 6	kq q+"2 p r (kiq+k2P)    pq 1 {QjkJ+^A-O'-BB]}
	|k|!(kiq) " (k2p)"q2 "iq+k2 p (kiq+k2p)   pq   (A-B)
	|k|!(kiq) "p" (k2p) "q2

" i q + k ^ p

(kiq+k2P)    pq   {Qj^fc=+¹[A-(j-i)B]}

|k|(|k|-2)!(kiq) ^p ( k 2 p ) "q

-1 6 B 6 A 6 1;

A - |k|B > |k| - 1, |k| > 2;

A - 2B 6 1, |k| 6 2;

A -|k|B < |k| - 1, |k| 6 3.

Доказательство теорем 3-5 проводится по схеме теоремы 1 из [4] с использованием соответствующих оценок работы [14].