Многоточечная начально-конечная задача для линейной модели Хоффа

Пусть Q С R m — ограниченная область с границей dQ класса C “ . Рассмотрим уравнение Хоффа [1]

(А + A)u t = au + ви ³ + f,                            (0-1)

которое моделирует выпучивание двутавровой балки, находящейся под постоянной нагрузкой при высоких температурах. Функция и = u(x,t), (x,t) G Q x R, характеризует отклонение балки от положения и = 0; параметры а, в G R характеризуют свойства материала балки, а параметр А G R ₊ характеризует нагрузку. Начально-краевые задачи для уравнения (0.1) в области Q x R впервые были изучены Н.А. Сидоровым [2] и его учениками [3, 4], причем в [3, 4] был отмечен феномен несуществования решений этих задач при произвольных начальных данных. Изучение множества начальных значений, обеспечивающих существование и единственность решения начально-краевой задачи для уравнения (0.1), было проведено в [5]. В [6] показано, что это множество, понимаемое как фазовое пространство уравнения (0.1), является простым банаховым C “ -многообразием, если а • в >  0. В [7] показано, что если а • в < 0, то фазовое пространство уравнения (0.1) уже не будет простым - оно лежит на сборке Уитни. Первым уравнения Хоффа на графе начал изучать Г.А. Свиридюк совместно с В.В. Шеметовой [8]. Им удалось дать полное описание фазового пространства на геометрическом графе. В дальнейшем на графах была решена обратная задача для уравнения Хоффа [9]. Кроме того, были проведены исследования устойчивости уравнений Хоффа на графе и получены достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости решений уравнений Хоффа в области и на геометрическом графе [10].

В настоящее время внимание многих исследователей привлекает линейная модель Хоффа

(А + A)u _t = au + f.                                 (0-2)

Интерес к линейным уравнениям соболевского типа (к которым безусловно относится уравнение (0.2)) инспирирован новым классом задач, к обсуждению которых мы переходим. Прежде всего в подходящих функциональных пространствах редуцируем (0.2) к абстрактному линейному уравнению соболевского типа вида

^U = Mu + f,                                (0.3)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ как это делается, например, в [11]. Затем в предположении, что свободный член f = f (t) определен на интервале (a, b), -от < a < b < +от, будем искать (классическое) решение уравнения (0.3), удовлетворяющее следующим условиям

P j (u(T j ) — u j ) = 0, j = 0, n, (0.4)

a < τ 0 < τ 1 < τ 2 < . . . < τ _n < b , P j – относительно спектральные проекторы (речь о них пойдет в п.1 настоящей статьи), а u j – произвольные векторы из банахова пространства U. Заметим, что если n = 1, то (0.4) превратится в более простую задачу

Р о (и(т о ) - u o ) = P i ( u ( t i ) - u i ) = 0, (0.5)

которая в [12] названа начально-конечной . Задача (0.3), (0.5) в последнее время весьма активно изучается в различных аспектах [13 - 16]. Если же в (0.4) положить n = 0, то задача (0.4) редуцируется к обобщенной задаче Шоуолтера – Сидорова

Р о (и(т о ) - u o ) = 0, (0.6)

которая уже сыграла важную роль в численных исследованиях экономических [17] и технических [18] моделей. Отметим еще, что задача (0.6) является обобщением классической задачи Коши и(т о ) = u o . Сказанное выше позволяет задачу (0.4) для уравнения (0.3) назвать многоточечной начально-конечной задачей и считать ее последовательным (через (0.5) и (0.6)) обобщением задачи Коши.

Данная статья посвящена изучению разрешимости задачи (0.3), (0.4) при любом n ∈ N и приложению полученных абстрактных результатов к многоточечной начально-конечной задаче для линейной модели Хоффа (0.2). Кроме введения и списка литературы статья содержит три части. В первой обсуждаются относительно спектральные проекторы, вторая посвящена задаче (0.3), (0.4), а третья часть содержит приложения к уравнению (0.2). Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь вкусы и пристрастия автора.

Наконец, заметим, что все рассмотрения проводятся в вещественных банаховых пространствах, однако, при рассмотрении ≪ спектральных вопросов ≫ вводится их естественная комплексификация. Все контуры ориентированны движением против часовой стрелки и ограничивают области, лежащие слева при таком движении. Символами O и I обозначены соответственно ≪ нулевой ≫ и ≪ единичный ≫ операторы, области определения которых ясны из контекста.

1.    Относительно спектральные прoекторы

Пусть U и F — банаховы пространства, операторы L G L(U; F) (т.е. линеен и непрерывен) и M G Cl(U; F) (т.е. линеен, замкнут и плотно определен). Введем в рассмотрение L-резольвентное множество pL(M) = {^ G C : (^L - M)-1 G L(F;U)} и L-спектр aL(M) = C \ pL(M) оператора M ([11], п.2.1). Пусть aL(M) = aL(M) U aL(M), причем aL(M) = 0, существует замкнутый контур Г С C, ограничивающий область D D aL(M), такой, что D П aL (M) = 0.

(1 . 1)

(1.2)

Построим интегралы типа Ф. Рисса (понимаемые в смысле Римана)

P = Л / R ^LL (M)d^ Q = Л [L L (M)d^ 2ni J    ^                2пг J ^

Γ

Γ где RL(M) = (^L — M) 1L — правая, a LL(M) = L(^L — M) 1— левая L-резольвенты оператора M.

Лемма 1. Пусть a ^L (M ) = a L (M ) U a L (M ) , причем выполнено (1.1). Тогда операторы P : U ^ U и Q : F ^ F - проекторы.

Положим U 0 (F 0 ) = ker P (ker Q), U 1 (F 1 ) = imP(imQ) и через L k (M k ) обозначим сужение оператора L (M ) на U k (domM П U k ), k = 0, 1.

Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда

• (i)    L k G L U; F k ) , k = 0, 1;

• (ii)    M o G Cl(U ⁰ ; F ⁰ ) , M i G L (U 1 ; F ¹ ) ;

• (iii)    существуют операторы L ^¹ G L (F 1 ;U 1 ) и M ^— G L (F ⁰ ;U ⁰ ) .

Как известно, оба этих утверждения первым сформулировал и доказал Г.А. Свиридюк, правда, при более ограничительном условии, а именно:

a ^L (M ) = 0 , существует замкнутый контур Г С C, ограничивающий область D D a ^L (M ).

}

(1.3)

Однако внимательный анализ его доказательств (см. [11], лемма 4.1.1 и теорема 4.1.1) показывает, что они годятся и в нашем случае.

Пусть a ^L (M ) = Q a ^L (M ), n G N, причем a ^L (M ) = 0 , j =0

существует замкнутый контур Г у С C, ограничивающий область D j D a L (M ), такой, что

(1.4)

D j П a L (M ) = 0 и D k П D i = 0 при всех j, k,l = 1,n,k = l.

Аналогично (1.2) построим интегралы

P j =i 4 *№ ^

Q j

= ^ I ^LL ^{( M ) d}^ ^j = 1,n.

^{2 ni} JT.j

(1.5)

Лемма 2. Пусть выполнено условие (1.4). Тогда оп ераторы

• (i)    P j : U ^ U и Q j : F ^ F - проекторы, j = 1, n;

• (ii)    P k P l = O , Q k Q l = O , k, l = 1^, k = l.

Доказательство. Утверждение (i) справедливо в силу леммы 1. Докажем (ii).

= (2ni) - 2

P k P i = (2ni) - 2 j I

Γk Γl

R^L L (M)R L (M)d^dX =

[/ д^ j R L (M )dM + Γ k           Γ l

IЯЦМ )dA / Д

=O

Γk

Γl

в силу теоремы о вычетах и правого L-резольвентного тождества

R L (M) — R ^LL (M ) = (^ — A)R L (M ) R ^l ( M )

(1.6)

(тождество (2.1.4) [11]).

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

n

Лемма 3. Пусть выполнены условия (1.3) и (1.4). n

Q o = Q - ^ Q j - проекторы.

j =1

Тогда операторы P o = P — ^^ P j

j =1

и

(Заметим, что здесь ради экономии места проекторы P j и Q j , j = 1,n, из (1.5), а проекторы P и Q из (1.2), но с заменой условия (1.1) на условие (1.3)).

Доказательство. Достаточно показать, что P j P = PP j = P j и Q j Q = QQ j = Q j при всех j = 1,n. Действительно, в силу (1.6)

P j P =

(2ni)-2//

Γj Γ

R L (M)R L (M)d^dX

= (2ni) ^{- 2} I t      / RfcM)dp + / RL(M)dX         I .

λ - µ                         µ - λ

Γ j          Γ                 Γ j               Γ

Отсюда, в силу теоремы о вычетах, PjP = Pj. Остальные равенства доказываются анало- гично.

□

Положим U 0 (F 0 ) = ker P (ker Q), U 1 (F 1 ) = imP j (imQ j ), j = 0,n, через L o (M o ) обозначим сужение оператора L (M ) на U ⁰ (domM A U ⁰ ), а через L 1 j (M 1 j ) обозначим сужение оператора L (M ) на U i (domM A U i ), j = 0,n.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (1 .3) , (1.4). Тогда

• (i)    Lo G L(U⁰;F⁰), Lij G L(U1;Fj¹), j = 0,n;

• (ii)    Mo G Cl(U^o;F^o), Mij GL(Ui;Fj¹), j = 0,n;     ___

• (iii)    существуют операторы L— G L(F1;Ui), j = 0,n, и M^— G L(F^o;U^o).

2.    Многоточечная начально-конечная задача

Доказательство ввиду теоремы 1 и лемм 2, 3 очевидно.

Пусть U и F - банаховы пространства, оператор L G L (U; F), а оператор M G C l(U; F). Рассмотрим линейное уравнение соболевского типа

Lui = Mu.                                      (2.1)

Решением u = u(t) уравнения (2.1) назовем вектор-функцию u G C “ (R;U), удовлетворяющую этому уравнению.

Определение 1. Отображение U • G C “ (R; L (U)) назовем группой разрешающих операторов уравнения (2.1) , если

• (i)    U t U s = U t + s при всех s, t G R;

• (ii)    при всех v G U вектор-функция u = U t v есть решение уравнения (2.1).

В дальнейшем, следуя традиции, будем отождествлять группу разрешающих операторов уравнения (2.1) с ее графиком { U t : t G R } и в дальнейшем называть просто группой уравнения (2.1). Группу { U t : t G R } уравнения (2.1) будем называть аналитической, если она аналитически продолжима во всю комплексную плоскость с сохранением свойства (i).

Теорема 3. Пусть выполнены условия (1.3), (1.4). Тогда существуют аналитические группы уравнения (2.1).

Доказательство.

Римана)

U ^t

Построим интегралы типа Данфорда – Тейлора (понимаемые в смысле

= 71 [ R L (M№tdp, U j =     [ R L (MWtd^j = 1n.

2ni J ^               j    2ni J ^

^r j

г

Затем, рассуждая аналогично теореме 4.4.1 [11], получим требуемое.

Следствие 1. Пусть выполнены условия теорем ы 3 . Тогда

• (i)    U t U s = U s U t = U ^{t + s} при всех s, t G R , j = 1,П;

• (ii)    Uk_kU s = U s U kt = O при всех s, t G R , k, l = 1П, k = l.

Доказательство. (i)

U ^t U _j ^s

=^! I ^{г r}j

r L ( M )R L (M)e ^^{t + Xs} d^dX =

= (2ni) ^{- 2}

( j d j R L (M■ - + j R ^LL (M)e^ J    )

= U s ^{+ t}

\ г rj                  г               rj        / в силу теоремы о вычетах и тождества (1.6). Второе равенство в (i) и равенства (ii) доказы- ваются аналогично.

□

n

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда U0 = Ut — £ Uj — аналити-j=i ческая группа уравнения (2.1).

Доказательство вытекает из следствия 1.

Далее возьмем вектор-функцию f G C ^ ((a,b); F) и рассмотрим линейное неоднородое уравнение соболевского типа

Lu = Mu + f.                               (2.2)

Вектор-функцию u G C ^ ((a,b); U ), удовлетворяющую уравнению (2.2), назовем решением уравнения (2.2). Решение u = u(t), t G (a,b) уравнения (2.2), удовлетворяющее условиям

(2.3)

Pj (u(Tj) — uj )=0, j = 0,n, назовем решением многоточечной начально-конечной задачи для уравнения (2.2) (см. (0.4)).

Определение 2. Оператор M называется спектрально ограниченным относительно оператора L (короче, (L,p)-ограниченным ), если выполнено условие (1.3), и точка С5О является либо устранимой особой точкой (р = 0), либо полюсом порядка p (p G N) L-резольвенты (^L — M ) ^{- 1} оператора M .

Теорема 4. Пусть оператор M (L,p)-ограничен, причем выполнено условие (1.4). Тогда для любых f G C ^ ((a^b); F)) , U j G U , j = 0,n существует единственное решение задачи (2.2), (2.3), которое к тому же имеет вид

u(t) = — £ (M_o ^{- 1} L o ) q M₀ ^{- 1} (I — Q)f ^{( q )} (t) + 52 U jt ^{T j}U j + 52 Г U jt — s L - Q j f (s)ds. q =0                                             j o                 . o ^T:

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Доказательство. Уравнение (2.2) посредством теоремы 2 сведем к системе

M^-1L o u ⁰ = u ⁰ + M ₀ ^{- 1} (I - Q)f,

_                   (2.4)

u1j = L-Mij u1j + L-Qj f, j = 0, n, где каждое уравнение определено на ≪своем≫ подпространстве. Из первого уравнения (2.4) получим

p u0(t) = — E(Mo-1Lo)qMo-1(I — Q)f (q)(t).

q =0

Заметив, что проекторы P j являются единичными операторами на U 1 , j = 0, n, в силу (2.3)

поставим задачи Коши для остальных уравнений (2.4)

u ^1j = L ^- _j ¹ M 1 j u ^1j + L - Q j f, u ^{1 j} (T j ) = P j и , , j = 0n.               (2.5)

Последовательно решая задачи (2.5), получим утверждение теоремы.

Замечание 1. Из доказательства теоремы 4 видно, что требование гладкости на функцию f можно понизить. Однако при этом понизится гладкость решения (2.2), (2.3).

3.    Линейная модель Хоффа

Пусть Q C R m , m G N, — ограниченная область с границей dQ класса C “ . Через U и F обозначим функциональные пространства, определенные на Q, в которых оператор Лапласа А фредгольмов. Например, это могут быть пространства Соболева

U = {u g Wpk+2(Q) : u(x) = 0,x G dQ} и F = Wpk(Q), где k G {0} U N, p G [1, +^); или пространства Гельдера

U = { u G C ^{k +2+ s} (Q) : — ( x) = 0,x G dQ } и F = C k ^{+ s} (Q),

∂x где k G {0} U N, 6 G (0,1); или еще какие-нибудь пространства, скажем, с третьим краевым условием. Выбор краевого условия здесь не важен, важно требование его однородности. Другими словами, пусть на границе dQ будет задано краевое условие

Au(x) = 0, x G dQ.

(3.1)

Обозначим через { A k } последовательность собственных значений задачи (3.1) для оператора Лапласа А в области Q, занумерованную по невозрастанию и с учетом кратности. Обозначим через { ^ k } ортонормированную (в смысле L 2 (Q)) последовательность соответствующих собственных функций, ^ k G C “ (Q), k G N. Фиксируем пространства U и F, причем пространство U с условием (3.1), и формулами

L = A + А, M = al

(3.2)

зададим операторы L,M G L(U; F). Как известно (см. например [6]), L-спектр оператора M имеет вид

a ^{L (}M ) = /^ k = - ! — ^: k ^G N \ ^{ l ^{: A} i = ^{- A}}I . I A + A k                        J

Выполнение условия (1.3) очевидно, выберем ^ L (M ), j = 0,n, так, чтобы выполнялось условие (1.4) (понятно, что это можно сделать не одним способом). Построим проекторы

P j =   ^2   ^k ^ k ,j = 0,n.                       (3-3)

^ k ^ ^ ^l ( m )

Возьмем —то <  a < т о < т 1 < т ₂ < ... < T n < b <  + to , U j G U, j = 0, n, f 6 C ^ ((a, b); F) и рассмотрим задачу (2.2), (2.3), где U – функциональное банахо во пространство с краевым условием (3.1), операторы L и M из (3.2), а проекторы P j , j = 0,n, из (3.3).

Лемма 4. При любых A G R , a G R \ { 0 } оператор M (L, 0)-ограничен.

Как и в [5, 6] доказательство основано на теореме 4.6.1 [11].

Отсюда и из теоремы 4 вытекает

Теорема 5. При любых A G R, a G R \ {0}, Uj G U, j = 0,n, f G C^((a,b); F) многоточечная начально-конечная задача для уравнения (0.2) с краевым условием (3.1) имеет единственное решение u G C^((a,b);U), которое к тому же имеет вид n                                      nt

u(t) = (Q - I)f (t) + £ £   e№'t '"j,^krk + £   £ I e^k(t-s)(f (s),^kЫds- j=0 ^kEaL(M)                        j=0 ^kEaL(M) Tj

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить свою искреннюю признательность профессору Г.А. Свиридюку за постановку задачи и интерес к работе и поздравить его с шестидесятилетием.