Модель движения крови в артериальном сосуде во время систолы и анализ напряженного состояния стенки с учетом винтовой анизотропии
Автор: Богаченко С.Е., Устинов Ю.А.
Журнал: Российский журнал биомеханики @journal-biomech
Статья в выпуске: 1 (43) т.13, 2009 года.
Бесплатный доступ
В середине 90-х годов прошлого века было анонсировано открытие винтового движения крови в артериальных сосудах. До этого большинство математических моделей учитывало продольную составляющую скорости в предположении, что движение частиц крови является поступательным вдоль оси сосуда. В настоящей работе на основе математической модели, в которой сосуд рассматривается как полубесконечная упругая оболочка с винтовой анизотропией, а кровь как вязкая несжимаемая жидкость, исследуется движение всей системы и напряженно-деформированное состояние стенки, порождаемые систолой. Динамические уравнения цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией получены на основе гипотез Кирхгофа-Лява и учитывают наличие предварительного напряженного состояния, которое присуще многим сосудам. Движение крови описывается линейными уравнениями Навье-Стокса. На основании построенной модели проводился ряд численных экспериментов, сравнительный анализ результатов которых с экспериментальными данными показал, что она с достаточной степенью точности отражает поведение основных гидродинамических характеристик при развитии движения.
Биомеханика кровообращения, винтовой поток крови, цилиндрическая ортотропная оболочка, винтовая анизотропия, мышечные волокна, медиа, адвентиция, интима
Короткий адрес: https://sciup.org/146215946
IDR: 146215946
Текст научной статьи Модель движения крови в артериальном сосуде во время систолы и анализ напряженного состояния стенки с учетом винтовой анизотропии
В работах [9, 11] содержатся обзоры публикаций, в которых рассматриваются различные математические модели, предназначенные для описания гидродинамики кровообращения в крупных артериальных сосудах. Значительное внимание в этих обзорах уделено описанию модели, в которой стенка артериального сосуда рассматривается как ортотропная цилиндрическая оболочка (безмоментная теория), а кровь – как вязкая жидкость, движение которой описывается линейными уравнениями Навье–Стокса. В рамках этих моделей движение частиц крови является поступательным вдоль оси сосуда. В середине 90-х годов прошлого века было анонсировано открытие винтового движения крови в артериальных сосудах [19–21]. Суть этого открытия была сформулирована в статье [1]: « Теоретически и экспериментально обнаружено неизвестное ранее универсальное явление образования закрученного потока биологических сред в транспортных каналах человека и животных на примере сердечно-сосудистой, пищеварительной и мочевыделительной
Устинов Юрий Анатольевич, профессор кафедры теории упругости, Ростов-на-Дону систем..., обусловленное возникновением за счет трения соответствующих этому движению двух составляющих касательных напряжений при взаимодействии среды с волной скручивания, возбуждаемой в стенке канала сокращением спирально ориентированных мышечных и эластических элементов».
Анализ текста статьи показал, что теоретическая ее часть не содержит математической модели, объясняющей это явление, и, как следствие, не дается описания характера гидродинамического течения крови, а приводятся только интегральные характеристики течения, отражающие основные законы сохранения количества движения, момента количества движения и т.п., которые могут иметь место только для течений идеальной жидкости.
В работах [4, 12–14] описывается математическая модель и приведены некоторые результаты исследований особенностей движения крови, связанные с винтовой анизотропией механических свойств стенки сосуда, вызванной распределением мышечных волокон в виде винтовых спиралей [9, 10]. В частности, показано, что при пульсовом движении крови в силу винтовой анизотропии появляется вращательная составляющая скорости стенки сосуда, придающая движению частиц крови вблизи стенки сосуда винтовой характер в силу условия прилипания.
Следует обратить внимание на статьи [2, 3], в которых на основе нелинейных уравнений Навье–Стокса исследовалась задача течения жидкости в полуограниченной цилиндрической трубе, вызванного вихревыми возмущениями на входе. В этих работах показано, что спиральные возмущения проникают в трубу на конечное расстояние, зависящее от числа Рейнольдса, причем ниже по потоку формируется решение Пуазейля. На основе проведенных расчетов дается оценка этого расстояния и показывается, что результаты расчета достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными [8].
В работе [18] авторы, используя метод магнитно-резонансной томографии, исследовали движение крови на различных участках сердечно-сосудистой системы. Исследования группы добровольцев подтвердили возникновение и распространение винтового движения крови в артериальных сосудах в зависимости от ряда факторов, в том числе от кривизны и строения аорты. В работе [17] приводятся результаты экспериментальных исследований винтового движения крови на различных участках сонной артерии и связи винтового движения крови с определенными патологиями данной артерии.
В настоящей работе на основе математической модели, в которой сосуд рассматривается как полубесконечная упругая оболочка с винтовой анизотропией, а кровь как вязкая несжимаемая жидкость, исследуется движение всей системы и напряженно-деформированное состояние (НДС) стенки, порождаемые систолой. Проводится сравнительный анализ результатов расчетов с некоторыми экспериментальными данными, приведенными в работе [9].
О структуре стенки артериального кровеносного сосуда
Накопленный обширный экспериментальный материал позволяет рассматривать стенки артериальных сосудов как многослойные анизотропные оболочки [9, 10]. Согласно этим работам стенки всех артерий имеют сходное строение и состоят из одних и тех же материалов. Соотношения между материалами в стенках сосудов разных отделов системы кровообращения различны. В работе [10] выделены три основных типа артериальных сосудов: эластический, смешанный и мышечный. Традиционно стенка делится на три слоя: внутреннюю (интима), среднюю (медиа) и наружную (адвентиция) оболочки. Принято считать, что влияние интимы и адвентиции на механические свойства стенки незначительно, в силу чего упругие свойства оболочки определяются медией. Медиа состоит из множества концентрических слоев упругой ткани: эластина и мышечной ткани, оплетенных тончайшими волокнами коллагена. Полости между слоями заполнены различными губчатыми тканями и жидкостью. Относительная концентрация мышечной ткани и эластина определяет тип сосуда. Все мелкие артериальные сосуды относятся к мышечному типу [9]. Средний слой этих сосудов почти полностью состоит из спирально расположенных гладкомышечных клеток, размещенных также в виде слоев с незначительным количеством коллагена и эластина.
К этому же типу относятся все артерии головного мозга, а также подвздошная, поверхностная височная, плечевая и ряд других артерий [10]. В работе [7] отмечается, что угол между направлением волокон и продольной осью сосуда равен примерно 30°–50°.
На эластин, коллаген и мышечную ткань приходится около 50% материала стенки. Таким образом, материал стенки можно рассматривать как композит, упругие свойства которого определяются его компонентами: эластином, коллагеном, мышечной тканью, их взаимной концентрацией и геометрией распределения. Приведем некоторые сведения об упругих свойствах отдельных компонентов [9].
Эластин – нелинейно-упругий материал с модулем Юнга примерно E = 300 кН/м2 для деформаций до 40%. Коллаген – более жесткий материал с модулем Юнга, равным примерно 106 кН/м2. Модуль Юнга гладких мышц существенно зависит от физиологического состояния и может меняться в пределах 100–1200 кН/м2. Согласно экспериментальным данным, приведенным в книге [10], упругие свойства сосудов изменяются с возрастом.
Основные соотношения для оболочки с винтовой анизотропией
Стенку сосуда будем рассматривать как тонкую цилиндрическую оболочку. У сосудов мышечного типа упругие свойства стенки должны обладать винтовой анизотропией. Динамические уравнения цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией приведены в работах [4, 12–14]. Чтобы не обременять заинтересованного читателя поиском этих работ, эти уравнения приводим ниже. Подчеркнем, что они получены на основе гипотез Кирхгофа–Лява и учитывают наличие предварительного напряженного состояния, которое присуще многим сосудам.
Артериальный сосуд будем рассматривать как полубесконечную цилиндрическую оболочку толщиной h и радиусом срединной поверхности a. С центром торца оболочки свяжем декартову систему координат Ox1x2x3 и введем винтовую систему координат r, 6, z , которая связана с декартовой соотношениями x1 = r cos(6 + T z), x2 = r cos(6 + T z), x3 = z, (1)
где a т = tg a , a - угол между касательной к винтовой мышечной спирали, расположенной на срединной поверхности стенки, и осью сосуда.
Предположим, что материал стенки ортотропный, и в базисе Френе винтовой спирали выполняется следующее условие:
e1 = n, e 2 = b, e3 = t, где n, b, t – орты главной нормали, бинормали и касательной соответственно, его свойства определены техническими константами E1,E2,E3,G12,G13,G23,v12,v13,v23 [5], которые удовлетворяют дополнительным условиям, вытекающим из условия положительной определенности удельной энергии деформации:
ν 12 E 2 =ν 21 E 1, ν 13 E 3 =ν 31 E 1, ν 23 E 3 =ν 32 E 2.
После перехода к базису винтовой системы координат в предположении, что
σ rr =σ r θ =σ rz = 0 и x = a τ , получаем
σθθ |
= g 11 e θθ |
+ g 12 e zz |
+ g 13 e θ z , |
σ zz |
= g 12 e θθ |
+ g 22 ezz |
+ g 23 e θ z , |
σ θ z |
= g 13 e θθ |
+ g 23 e zz |
+ g 33 e θ z |
Здесь g11=[E2+x2(2ν32E2+4G23-4G23ν23ν32)+x4E3]/g0, g12 = [ν32E2 +x(E2 + 4G23 -4G23ν23ν32)+xν23E3]/g0, g22 =[E3 +x(4G23 - 4G23ν23 +2ν23E2ν32 )+xE2 ]/g0 , g13=x[E2(1-ν32)-2G23(1-ν23ν32)+x2(E3-E2ν32-2G23+2G23ν32ν23)]/g0, g23 = x[-2G23 (1- ν23ν32) + E3 (1-ν23 )+x(-E2 - E2ν32 - 2G23 + 2G23 -2G23ν23ν32)] /g0 , g33 =[(1 - ν23ν32)G23 (1 -x) +x(E2 -ν23E2 +E3 - E3ν32)] / g0, g0=(1 +x2)2(1 - ν32ν23).
Упрощения на основе гипотезы единой нормали приводят к выражениям eθθ =e1+α e1, ez z=e2+y e2, 2eθ z=e3+y e3, e10=ur/a, e20=∂zuz, e30=∂zuθ ,
e11=0, e1=-∂2zur, e31=∂zuθ / a, где ur,uθ,uz – смещения точек срединной поверхности, -h/2≤y≤h/2.
В принятых выше обозначениях выражения для усилий и моментов можно записать в следующем виде:
T i = hg ij e 0 j , M i = h 3 g ij e 1 j /12, где T 1 = T θθ , T 2 = T zz , T 3 = T θ z , M 1 = M θθ , M 2 = M zz , M 3 = M θ z .
Замыкают цепочку основных соотношений уравнения движения
∂ 2 M 2 T 1 T θ 0 z ∂ 2 u θ 0 |
∂ 2 ur ∂ z 2 |
- h ρ |
∂ 2 ur 0 ∂ t 2 + q r = 0, |
∂ z 2 aa ∂ zz |
|||
∂ T ∂ 2 u 2 - h ρ 0 z + qz = 0, ∂ z ∂ t 2 1 ∂ M 3 ∂ T 3 T θ 0 z ∂ ur |
u |
∂ 2 u θ+ q = 0. ∂ t 2 θ |
|
1 2 a 2 |
- h ρ 0 |
||
a ∂ z ∂ z a ∂ z θ |
Здесь ρ0 = 0 – плотность материала оболочки, T θ 0, Tz 0, T θ 0 z – усилия предварительно напряженного состояния.
Математическая модель пульсового движения крови В АРТЕРИАЛЬНЫХ СОСУДАХ
В предлагаемой математической модели колебания стенки сосуда описываются уравнениями предыдущего параграфа в предположении, что M i = 0 (безмоментная теория), а движение крови – линейными уравнениями вязкой несжимаемой жидкости [6].
Будем считать, что на стенке сосуда выполняются кинематические условия прилипания
∂ tur = v r , ∂ tu θ = v θ , ∂ tuz = v z , (5)
а гидродинамическое воздействие на стенку сосуда выражается тем, что в уравнениях (4) имеют место соотношения qr=[p-2ρν ∂rvr]r=a, qz=-ρν[∂rvz+∂zvr]r=a, (6)
q θ =-ρν [ ∂ r v θ+ v θ / r ] r = a .
Здесь v r ,v z ,v θ – радиальная, осевая и тангенциальная компоненты вектора скорости, p – давление, ∂ r , ∂ z , ∂θ , ∂ t – частные производные по соответствующим переменным.
Решение совместного движения отыскивается в виде
(8)
J 1 ( β ) |
Здесь ν – кинематическая вязкость, X1 , X 2 , X 3 – произвольные постоянные, а амплитуды смещений Uj связаны с этими постоянными условиями прилипания
Ur = i ω- 1 Vr (1, k ), Uz = i ω- 1 Vz (1, k ), U θ = i ω- 1 V θ (1). (9)
Уравнения движения оболочки (4) совместно с соотношениями (5)–(9) позволяют свести задачу к однородной алгебраической системе уравнений dij(k,ω)Xj =0, i,j=1...3, (10)
определитель которой, приравненный нулю, является дисперсионным уравнением.
Исследования, проведенные в [4, 12–14], показали, что при малых значениях волнового числа k это уравнение имеет шесть комплексных корней:
k s ± , k s + = k s , k s - =- k s , Re k s > 0, s = 1,...,3.
Каждому корню отвечают элементарные волны (моды) давления, поля скоростей жидкости и смещений стенки:
ps±= X1±sei(±ksς-ωt), v±js =Vj(ξ,±ks)ei(±ksς-ωt), u±js =iUj(1,±ks)ei(±ksς-ωt).
Амплитуды скоростей получаются подстановкой X 2 = X 2 s , X 3 = X 3 s в выражения (8).
В приведенных выражениях X js – решения однородной системы (10), которые для каждого значения s определяются с точностью до произвольной постоянной Cs .
В работе [13] приведены результаты исследования зависимости фазовых скоростей cs ± =± a ω /Re ks , коэффициентов затухания Ks = Im ks , коэффициентов координат скоростей
V (1, k )
njs = js, Vs =V1(1,ks)+V2(1,ks)+V3(1,ks) s от параметра α на частоте пульса f = 2Гц (ω =4π). Ниже рассматривается задача, моделирующая распространение пучка гармонических волн в артериальном сосуде, порождаемое систолой.
Обратимся к постановке краевой задачи.
Обозначим через T = 2 π / ω 1 период сердечного цикла, где ω1 – круговая частота пульса. Зададим на входе следующие граничные условия:
z = 0: p 0 = ptm + p ( n ), V z (1,0, n ) = V (1,0, n ) = 0, (11)
где p m - давление на входе в сосуд при закрытом клапане; p ( n ) - избыточное давление, порождаемое систолой и открывающее клапан; η =ω 1 t – безразмерное время; граничные условия для скоростей отвечают условиям прилипания.
Обозначим через η c = 2 ε временной отрезок систолы и примем следующий закон изменения давления:
f =η 2( η-η c )2, 0 ≤η≤η c , (12)
f = 0, ηc ≤η≤2π.
Для построения решения представим выражение (12) в виде отрезка ряда Фурье. Имеем
N pN=pst+PRe[∑fne-in(η-ε)], po=ptm+Pf0, (13)
n = 1
где Pf 0 = p max - p 0 , p max – максимальное значение давления во время систолы, fn , n = 0,..., N коэффициенты Фурье функции f , которые с помощью замены переменной вычисляются по формуле
ε f0 = (ε2-η'2)2dη',
2π
ε fn = (ε2-η'2)2cosnη'dη'
π
-ε
Решение будем отыскивать в виде
N 3
p = p 0 + p 1 a ς+ Re[ ∑∑ CnsX 1 nsei φ ns ], n = 1 s = 1
N 3
v z = v0 z + Re[ ∑∑ C ns V zns ei φ ns ], (14)
n = 1 s = 1
N 3
v θ = v0 θ + Re[ ∑∑ C ns V θ ns ei φ ns ]. n = 1 s = 1
Здесь kns – корни дисперсионного уравнения, отвечающие значениям ω =nω1 , φns =knsζ-nη, Vzns , Vθns , получаются путем подстановки в выражения (8) k = kns , Xj = Xjns , где Xjns– частные решения однородной алгебраической системы (10), отвечающие значениям ω=nω1 , k = kns , Cns – произвольные постоянные, которые определяются при удовлетворении граничных условий (11); v0z , v0θ – скорость стационарного решения. Из [6] известно, что v0z=a2p1(1-ξ2) 4ρν есть решение Пуазейля, в котором p1 – градиент давления стационарного течения. Поскольку в момент открытия клапана среднее значение скорости vz равно нулю (расход равен нулю), значение p1 можно определить из условия
∫ 1 v z ξ d ξ= 0при z = 0, τ= 0. (15)
Решение линейных уравнений Навье–Стокса для v0θ , удовлетворяющее условиям прилипания, является сингулярным при ξ = 0 и имеет вид v0θ =C(ξ-1/ξ). (16)
Постоянная C выражается через удельный момент количества Mz движения следующей формулой:
Mz = 2 πρ a 3v0 ξ 2 d ξ=- πρ a 3 C .
Замечание 1. Результаты экспериментальных исследований [9] показывают, что в окрестности оси сосуда профиль скорости является практически плоским, что указывает на то, что если на входе в аорту в момент открытия клапана существует вихревое решение c v θ ≠ 0, то оно за счет нелинейных конвективных членов уравнений Навье–Стокса преобразуется в течение типа Пуазейля. Об этом же говорят исследования [2, 3, 8].
Поэтому при проведении расчетов принималось v θ = 0.
В работе [9] содержится обширный материал, иллюстрирующий нестационарное поведение различных полевых характеристик, таких как давление, градиент давления, максимальные и средние значения скоростей и др. Накопленный экспериментальный материал позволяет исследовать возможности той или иной математической модели. На основе этой концепции проводились исследования, о которых пойдет речь ниже. Однако полного набора параметров, содержащихся в данной модели, в известной авторам литературе не обнаружено (его, по-видимому, и не существует). Поэтому при проведении численных экспериментов значения некоторых параметров брались из работы [9] – a , h , E 3 , а вязкость ν рассчитывалась по приводимым значениям чисел Рейнольдса для различных сосудов. Для нахождения численных значений gij , аналитические выражения которых содержат три модуля упругости, один из модулей E 3 брался из работы [9], остальные параметры выбирались эвристически и варьировались. Подбор сопровождался контролем выполнения условий положительной определенности матрицы gij .
В качестве иллюстрации приведем некоторые результаты расчетов при следующих значениях параметров сосуда (аорта собаки) и крови: a = 0,73 ⋅ 10 - 2м , h = 0,6 ⋅ 10 - 3м , E 3 = 4,905 ⋅ 102кН/м2 (согласно данным из работы [9] измеренные значения E 3 = (3 - 7) ⋅ 102кН/м2), E 2 = 0,833 E 3, G = E 3/4, ν 32 = 0,45, ν 32 = 0,54,
ρ 0 = 115 кг/м3 , ν= 4 ⋅ 10 - 6м/с2, ρ 0 = 102 кг/м3 , α=π/6, круговая частота пульса ω 1 = 4 π c - 1(2Гц) .
Продолжительность систолы принималась равной 1/3 сердечного цикла, из чего следует, что η= 2 ε= 2 π /3. При разложении функции f вида (13) ряда Фурье бралось девять членов ряда ( N = 8). При этом максимальная погрешность в равномерной метрике на отрезке 0 ≤η≤ 2 π менее 0,01.
Согласно работе [9] были выбраны следующие значения: ptm = 10664, 47 Н/м2 , P = 6660, 99 Н/м2 или соответственно ptm = 80 тор (мм рт. ст.), P = 50 тор. При этом градиент давления стационарного течения, определенный из условия (15), принимает значение p 1 = 98,1 Н/м2 .
Как отмечалось выше, каждой фиксированной частоте отвечают три волны ( s = 1...3). Ниже будем пользоваться терминами из работы [13].

Рис. 1. Зависимость давления от времени: (1) z = 0; (2) z = 10, a = 7,3 см; (3) z = 50, а = 36,5 см grad p, кгс/м ’

Рис. 2. Зависимость давления от времени: ( 1 ) z = 0; ( 2 ) z = 10, a = 7,3 см; ( 3 ) z = 50, а = 36,5 см
Зав исим ости фазовых скорос тей и коэфф ицие нтов затухания от частоты
Затухание же в данной математической модели определяется только вязкостью жидкости. На рис. 1 приводятся графики, иллюстрирующие зависимость давления от времени на временном отрезке, равном одному циклу, в различных сечениях z = const. Кривая 1 отвечает z = 0, кривая 2 – z = 10 , a = 7,3 см, кривая 3 – z = 50, a = 36,5 см .
Замечание 2. Следует отметить, что длина прямолинейного участка аорты собаки равна примерно 3 см [9]. Поэтому выбор сечений z = const был продиктован следующими целями: наглядно проиллюстрировать отсутствие дисперсии и степень затухания.
Следует также отметить, что наблюдаемые в конце систолы всплески на экспериментально отснятых графиках давления («дикротический зубец»), как сказано в [9], указывают на закрытие клапана, что в данной модели не учитывается. Кроме того, всплеск может быть порожден отраженными волнами от границы перехода прямолинейного участка аорты в криволинейный. Действительно, если учесть, что выбранный временной отрезок систолы t s = 0,666 с , фазовая скорость самой медленной волны давления с3 = 4 м/с, то общее время пробега прямой и обратной волн прямолинейного участка аорты t p = 0,015 с. Следовательно, за отрезок времени t s может произойти 44 переотражения, которые даже при незначительном значении коэффициентов отражения могут явиться причиной появления «дикротического зубца».
На рис. 2 приводятся графики поведения градиента давления в указанных выше сечениях.
Рис. 3 отражает поведение во времени расхода Q в различных сечениях. Следует отметить, что расчетные графики достаточно хорошо отвечают экспериментально отснятым кривым расхода.
Рис. 4 иллюстрирует распределение скорости v z по сечению сосуда z = 3 a в моменты времени t1 = 1/ to , » 0,8 с . Кривая 1 отвечает трехмодовой теории, кривая 2 – одномодовой (волне давления).

Рис. 3. Зависимость расхода Q от времени t : ( 1 ) z = 0; ( 2 ) z = 10, a = 7,3 см; ( 3 ) z = 50, а = 36,5 см

Рис. 4. Распределение скорости Vz по сечению сосуда z = 3 a : 1 – результаты, полученные по трехмодовой теории; 2 – по одномодовой теории (волне давления)
V, м/с

Рис. 5. Распределение скоростей V zc и V θ c в сечении z = 3 a в зависимости от времени

Рис. 6. Зависимость распределения напряжений во времени при z = 10 а и а = 30 ° : 1 - ст zz ;
2 – σθθ ; 3 – σ z θ
Рис. 5 иллюстрирует поведение во времени скоростей стенки сосуда Vzc (кривая 1 ) и V θ c в сечении z = 3 a . Для выбранного значения α =π /6 отношение max Vzc /max V θ c ≈ 3 , для α=π /100 это отношение равно примерно 10.
Для сравнения с экспериментальными данными, приводимыми в работе [9], рассмотрим следующие результаты расчета: среднее по сечению и по времени значение скорости v z = 0,163 м/с попадает в вилку экспериментальных значений 0,1–0,4 м/с, рассчитанное пиковое значение скорости на оси, равное примерно 1,6 м/с, попадает в вилку 0,4–2,9 м/с.
Описанные результаты расчета опирались на трехмодовую теорию. Параллельно были проведены аналогичные расчеты основных гидродинамических характеристик движения крови (давления, градиента давления, расхода, распределения скоростей по сечению и др.) по одномодовой теории, согласно которой распространение давления и средней по сечению скорости вдоль оси сосуда описывается уравнениями
∂ 2 zp - c 0 - 2 ∂ t 2 p = 0, ρ∂ t v =-∂ zp .
Проведенный сравнительный анализ показал, что практически все гидродинамические характеристики с высокой степенью совпадения описываются одномодовой теорией. Отличие наблюдается только в распределении скоростей вблизи стенки сосуда.
Приведем некоторые результаты анализа напряженного состояния стенки. Такой анализ полезен, в частности, для понимания необходимости предварительного натяжения, которое присуще многим артериальным сосудам.
Кратко опишем схему, на основе которой проводились расчеты напряжений.
Представления для напряжений в виде отрезков рядов Фурье получались путем подстановок (14) → (5) → (3) → (2).
Рис. 6 иллюстрирует поведение во времени при z= 10 а и а = 30 ° напряжений ст zz (кривая 1 ), σθθ (кривая 2 ), σ z θ (кривая 3 ). Кривая 1 наглядно иллюстрирует, что при отсутствии предварительного натяжения в стенке сосуда во время систолы возникает продольное сжимающее напряжение. Может ли сжатие во время систолы привести к потере устойчивости стенки сосуда? Этот вопрос остается открытым и требует дополнительных исследований. Тем не менее предварительные растягивающие напряжения уменьшают вероятность возникновения этого явления. В рассмотренном случае, для того, чтобы на всем периоде сердечного цикла выполнялось условие σ zz >0 , достаточно, чтобы Tz 0 > 1,5 ⋅ 103кгс/м2.
Заключение
Рассмотренная модель пульсового движения крови в полубесконечном артериальном сосуде, учитывающая винтовую анизотропию его стенки, естественно, далека от совершенства. Вместе с тем проведенные на ее основе расчеты и сравнительный анализ с экспериментальными данными показали, что она с достаточной степенью точности отражает поведение основных гидродинамических характеристик при развитии движения. Следует подчеркнуть, что на входе в сосуд задавались только давление и условия жесткой заделки сосуда в стенку сердца, что в рассмотренной модели эквивалентно обращению в нуль продольной и крутильных скоростей на границе отверстия. Остальные характеристики, такие как расход, средняя и пиковая скорость, напряжения в стенке сосуда, определялись на основе построенного решения. Численные значения этих характеристик попали в вилку экспериментально измеренных значений [9]. Как показали расчеты, влияние винтовой анизотропии на эти параметры в выбранном для анализа сосуде оказалось незначительным. Это влияние на скорости существенно только в окрестности стенки сосуда. Однако функции артериальных сосудов сводятся не только к переносу крови. Они выполняют еще одну, не менее важную функцию – сквозь их стенки осуществляется доставка кислорода и лекарственных веществ. По-видимому, распределение мышечных волокон в виде винтовых спиралей оказывает существенное влияние на проницаемость и массоперенос при динамических процессах в стенке сосуда. Кроме того, мышечная ткань в стенке сосуда выполняет еще одну важную функцию – функцию «распределенного сердца» [1, 15, 16], осуществляя дополнительную «подкачку» в периферийной части кровеносной системы.
Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке Южного федерального университета и Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 07-01-00254а).
Список литературы Модель движения крови в артериальном сосуде во время систолы и анализ напряженного состояния стенки с учетом винтовой анизотропии
- Багаев, С.Н. О необходимости винтового движения крови/С.Н. Багаев, В.А. Захаров, В.А. Орлов//Российский журнал биомеханики. -2002. -Т. 6, № 4. -С. 30-51.
- Батищев, В.А. Спиральные течения Пузейля малой амплитуды/В.А. Батищев//Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: сб. тр. III Всеросс. школы-семинара, 2007. -С. 14-15.
- Батищев, В.А. Спиральные течения Пуазейля малой амплитуды/В.А. Батищев, Е.В. Хорошунова//Современные проблемы механики сплошной среды: сб. тр. XI Междунар. конф. -Ростов-н/Д, 2007. -С. 49-53.
- Богаченко, С.Е. Об одной модели, объясняющей причину винтового пульсового движения крови в кровеносных сосудах/С.Е. Богаченко, Ю.А. Устинов//III Всеросс. конф. по теории упругости: сб. тр. -Ростов-н/Д, 2003. -С. 376-378.
- Лехницкий, С.Г. Теория упругости анизотропного тела/С.Г. Лехницкий. -М.: Наука, 1977. -С. 415.
- Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа/Л.Г. Лойцянский. -М.: Наука, 1973. -С. 727.
- Махнач, Н.Н. Анализ усилий и деформации/Н.Н. Махнач. -Биофизическая морфология, 1997.
- Павельев, А.А. О нижнем критическом числе Рейнольдса для течения в круглой трубе/А.А. Павельев, А.И. Ремшин, С.Х. Тепловский, С.Г. Федосеев//Изв. РАН МЖГ. -2003. -№ 4. -С. 47-55.
- Педли, Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов/Т. Педли. -М.: Мир, 1983. -С. 400.
- Пуриня, Б.А. Биомеханика крупных кровеносных сосудов человека/Б.А. Пуриня, В.А. Касьянов. -Рига: Зинатне, -1980.
- Регирер, С.А. Гидродинамика кровообращения//Сб. переводов под ред. С.А. Регирера. -М.: Мир, 1971. -С. 270.
- Устинов, Ю.А. Модель винтового пульсового движения крови в артериальных сосудах/Ю.А. Устинов//Докл. РАН. -2004. -Т. 398, № 3. -С. 344-348.
- Устинов, Ю.А. Некоторые задачи для тел с винтовой анизотропией/Ю.А. Устинов//Успехи механики. -2003. -С. 37-62.
- Устинов, Ю.А. О винтовом пульсовом движении крови в артериальных сосудах/Ю.А. Устинов//Изв. ВУЗов: Математика и механика сплошной среды. Естеств. науки: Сев.-Кав. регион. -№ 1. -2004. -С. 220-223.
- Янковский, М.В. Клинические данные по вопросу о периферическом артериальном сердце/М.В. Янковский//Научная медицина. -1922. -№ 10. -С. 121-160.
- Янковский, М.В. О функциональной способности артериального периферического сердца/М.В. Янковский//Научная медицина. -1923. -№ 11. -С. 125-123.
- Houston, J.G. Spiral laminar flow in the abdominal aorta: a predictor of renal impairment deterioration in patients with renal artery stenosis/J.G. Houston, S.J. Gandy, W. Milne, J.B. Dick, J.F. Belch, P.A. Stonebridge//Nephrol. Dial. Transplant. -2004. -Vol. 19. -P. 1786-1791.
- Kilner, P.J. Helical and retrograde secondary flow patterns in the aortic arch studied by three-directional magnetic resonance velocity mapping/P.J. Kilner, G.Z. Yang, R.H. Mohiaddin, D.N. Firmin, D.B. Longmore//Journal of the American Heart Association. -1993 (on-line).
- Zakharov, V.N. The new conception of blood circulation mechanics/V.N. Zakharov//Cardiovascular Engineering. -1998. -Vol. 3, No. 2. -P. 100-104.
- Zakharov, V.N. New principles of circulation mechanics/V.N. Zakharov//European J. Cardiac Interventions. -1995. -Vol. 4, No. 1. -P. 3-13.
- Zakharov, V.N. Universal phenomenon of helical motion of the media in the transport canals of the living organism/V.N. Zakharov//Cardiovascular Engineering. -1998. -Vol. 3, No. 3-4. -P. 185-188.