Модель и анализ контактного взаимодействия с биотканями одномерных полимерных имплантатов

В медицине широко используются методы и средства для протезирования, фиксации и диагностики органов, а также инъекций, основанные на введении в организм тонких и гибких сплошных или полых элементов (катетеров, игл, зондов, микрокабелей, шовного материала в виде нитей или проволоки и т.п.). С учетом весьма малого отношения радиуса поперечного сечения и длины указанные элементы можно рассматривать как одномерные имплантаты, обозначая в дальнейшем этим термином достаточно большую группу медицинских изделий. Помимо обеспечения ряда деформационно-прочностных показателей имплантатов, включая прочность, эластичность и формостабильность, необходимо минимизировать вызываемую их использованием травму и сроки заживления раны в целях быстрой и полной послеоперационной реабилитации пациентов. В результате иногда приходится выполнять противоречивые требования к физико-механическим свойствам материалов для изготовления указанных изделий. Поскольку практически все способы имплантации связаны с интенсивным контактным взаимодействием с биотканями, актуален также учет трения, оказывающего существенное влияние на манипуляционные показатели и травматичность изучаемых одномерных имплантатов.

Можно заметить, что имплантация (например введение зонда или формирование хирургического шва) представляет собой однократный либо повторяющийся акт перфорации биоткани и протягивания имплантата через образовавшееся отверстие. Теоретический анализ данного взаимодействия позволяет исходя из достаточно просто

Шилько Сергей Владимирович, к.т.н., завлабораторией механики адаптивных материалов и биомеханики ИММС НАН Беларуси, Гомель

Панин Сергей Викторович, д.т.н., завлабораторией ИФПМ СО РАН, Томск определяемых фрикционно-механических и геометрических параметров одномерного имплантата прогнозировать его манипуляционные свойства и травматичность. Целью настоящего исследования является построение механико-математической модели протягивания одномерного имплантата через фрагмент биоткани в виде мембраны.

Формулировка задачи и построение модели

В ходе обзора литературных источников [1–3, 5–7, 9, 11, 12] авторами не обнаружены публикации, содержащие подробное теоретическое описание процесса протягивания одномерного имплантата через перфорированную биоткань. Вместе с тем в механике композитов известны работы, в которых анализируется сходный процесс вытягивания волокна из объема материала матрицы, в частности, при экспериментальном определении сдвиговой прочности адгезионной связи «волокно – матрица» посредством « pull–out »-теста [13, 14]. Однако имеются существенные различия контактного взаимодействия одномерного имплантата с биотканями и армирующего волокна с матричным материалом в композитах:

• 1)    из-за отсутствия сильной адгезии имплантата к биоткани предельное сдвиговое напряжение определяется законом Кулона, т.е. произведением контактного давления и коэффициента трения;

• 2)    практикуемое изготовление имплантатов из низкомодульных полимеров и эластомеров делает необходимым учет изменения поперечного сечения имплантата в зоне контакта при натяжении;

• 3)    толщина фрагмента биоткани, через который осуществляется протягивание, мала в сравнении с другими размерами фрагмента. В этом случае сила сопротивления при протягивании в основном определяется не упругими свойствами биоткани, а ее предварительным натяжением, как это имеет место в мембранах конечной толщины.

Отмеченные особенности не позволяют использовать известные методики, разработанные для оценки адгезионной прочности соединения жесткого волокна с эластичной матрицей в армированных композитах.

Схемы, представленные на рис. 1, иллюстрируют взаимодействие имплантата I и биоткани II. Принимается, что исходный радиус отверстия r 0 меньше радиуса нити R n . Элемент биоткани, через который осуществляется «протягивание», представляет собой мембрану толщиной h . Размеры мембраны в плоскости, перпендикулярной нити, существенно больше толщины h и радиуса R n .

Для описания напряженно-деформированного состояния мембраны введем цилиндрические координаты r , ϕ , z . Ось z перпендикулярна плоскости мембраны и проходит через центр отверстия. Координату z будем отсчитывать от свободного поперечного сечения нити. Элемент ткани находится в плоском напряженном состоянии: σ zz = σ rz = σ z ϕ = 0. Начальное натяжение биоткани будем характеризовать заданной компонентой тензора напряжений σ rr = σ 0 . При протягивании имплантата радиус отверстия становится равным r 1 .

С целью упрощения дальнейших выкладок введем допущение о независимости конечного радиуса отверстия r 1 от координаты z . Изменение радиуса отверстия по толщине мембраны обусловлено неоднородностью распределения осевого напряжения σ zz на участке имплантата, контактирующего с биотканью. Допущение о постоянстве радиуса r 1 не является принципиальным, но позволяет существенно упростить преобразования и получить аналитическое решение задачи. Увеличение размеров отверстия при протягивании вызывает дополнительные напряжения и деформации, для определения которых следует решить задачу теории упругости в осесимметричной постановке для плоского напряженного состояния. Также следует обеспечить отсутствие дополнительных напряжений на большом удалении от отверстия

F 0

Рис. 1. Расчетные схемы взаимодействия фрагмента биоткани (мембраны) и имплантата в поперечном ( а ) и продольном сечении ( б ). Пунктирной линией 1 показано исходное отверстие в биоткани; пунктирной линией 2 показано сечение имплантата в недеформированном состоянии; p n , p τ – нормальное и касательное контактные напряжения; h – толщина мембраны; L – длина имплантата между точкой приложения силы и мембраной

(при r → ∞). Решение поставленной задачи в перемещениях имеет вид [4] (r - r )r ur = 1   0 0 , uz = u = 0. На имплантат со стороны биоткани будет действовать rϕ нормальное давление pn, значение которого определяется по формуле p = Et(r1 -r0)-σ .

ⁿ    r ₀ (1 + ν _t )     ⁰

Представим имплантат в виде круглого стержня из упругого материала с модулем Юнга E n и коэффициентом Пуассона ν n . Для расчетной оценки конечного радиуса r 1 необходимо учесть уменьшение радиуса относительно исходного значения R n . Пренебрежение зависимостью радиуса r 1 от координаты z позволяет рассматривать поперечное сжатие независимо от процесса протягивания, т.е. предполагается, что осевое напряжение σ zz равно нулю. Соответствующее решение имеет вид [8]

R - r          2 ν ( R - r )

u = - ^{n 1} r , u = ^{n n 1} z , u = 0. Приравняв   на границе контакта

• ^r       R n         ^z    R n (1 -ν n )        ^ϕ

радиальные напряжения в стержне и биоткани, для определения радиуса r1 получим уравнение, решение которого имеет вид r =----

¹   1 + Z

ZR n + r

1 + к

°0(1 + V t))

E t

Л

.

Здесь для краткости записи введено обозначение

Z = Е п Г о (1 + v t )

E t R n (1 -v n )

.

Тангенциальное контактное напряжение p _T при наличии сцепления прямо пропорционально упругому смещению u z точек поверхности

p T = ku_z .

Для определения коэффициента k рассмотрим прогиб мембраны элементарной толщины dz с отверстием радиуса r 1 . В мембране действует радиальное напряжение с ₀. Периметр отверстия смещается на величину u z . Поскольку радиус мембраны много больше смещения u z , можно пренебречь изменением радиального напряжения при прогибе. Тогда сила сопротивления, действующая со стороны мембраны, будет определяться по формуле T_z = 2 лс ₀ u z dz . Представляя эту силу как результирующую равномерно распределенного по внутренней поверхности отверстия тангенциального напряжения, получим выражение для коэффициента пропорциональности в (3)

k = ^0-r1

.

Далее рассмотрим равновесие участка имплантата в области контакта с биотканью. Этот участок представляет собой цилиндр длиной h и радиусом r1. На одной из торцевых поверхностей цилиндра действует продольная сила F0. Противоположная торцевая поверхность свободна от нагрузок. Уравнение равновесия элементарного участка цилиндра длины dz можно записать в виде dF

— = 2 ⁿ rp t . dz

Здесь F z – продольная сила, для которой выполняются граничные условия F z (0) = 0, F z ( h ) = F 0 . Сила F z связана с продольной деформацией стержня следующим образом:

F z

du

= ^Zn ^П r 1 ^ zz = ^Zn ^{П r} 1 -Г . dz

Здесь Z n =

E n (1 -V n )

(1 + v n )(1 - 2 v n )

. Подставив выражения для продольной силы и

напряжения pT в выражение (5), получим d u 2k 2

—z- =--- u_z = D U .

dz ²      Z n r 1 ^{z z}

Здесь для краткости дальнейших выкладок введен коэффициент

D =

2 k 1

Z n r 1

.^0-. Равенство (7) представляет собой дифференциальное уравнение r 1 Z n

, - Dz

.

для функции u z ( z ). Общее решение этого уравнения имеет вид u_z = C 1 e^Dz + C ₂ e

Значения констант C1 и С2 определяются из граничных условий для продольной силы с учетом равенства (6). После преобразований получим uz

F o ( e Dz + e - Dz ) DZ „ п r . ( e^D h - e - Dh )'

Функция (8) при увеличении координаты z возрастает. Следовательно, тангенциальное напряжение при z = h достигает максимума, значение которого вычисляется по формуле

p

max

T

F

= kuz (h) = —0- п гЛ2 Z.

° 0

_e Dh

+ e

- Dh

n

_e Dh

-

e

- Dh

Сцепление с биотканью сохраняется до тех пор, пока напряжение p _T не достигнет предельного значения, определяемого по закону Кулона p k = f p_n . Здесь f сц – коэффициент трения покоя для данной пары «нить – ткань». Используя соотношение (9), можно определить значение продольной силы F ₀ ^kr , при которой начнется проскальзывание нити:

_ Dh     - Dh \

2 Z „ ⁽ e ^- e )

F = f сц P_n п r 2

V _   / Dh .  -Dh V

\ ° o ( e + e )

Если продольная сила превышает значение F0, область контакта нити с биотканью разделяется на два участка длиной l1 и l2 соответственно (l1 + l2 = h). На участке от z = 0 до z = h выполняется условие сцепления (3), и для смещения выполняется уравнение (7). Граничное условие на свободной поверхности имеет вид Fz(0) = 0. На границе раздела участков (при z = l1) напряжение pT принимает значение pkr. Следовательно, u(1)(lx) = :цР" . С учетом данных граничных условий решение 1                                z             k уравнения (7) примет вид uz(1)

f сц P n ( e Dz + e"Dz ) k ( e D + e Dl )

На втором участке длиной 12 выполняется равенство pT = f,кpn и реализуется проскальзывание. Здесь fск – коэффициент трения. Для упругого смещения справедливо уравнение d2U^ = 2nrLf „ =н

7 2 Г7 2 f ск p n     H .

dz      Z_n п r* i

2 f p

Здесь введен коэффициент H = —с^- "- . На решение уравнения (12) Z n r 1

накладывается граничное условие F z ( h ) = F 0 при z = h . Также следует обеспечить неразрывность смещений u Z ¹^( 1 1 ) = u Z ²⁾ ( 1 ₂) при z = 1 1 . С учетом указанных граничных условий решение уравнения (12) имеет вид

U (2) _ ^f сц p " z_k

+

_FL_ I Z" п Г 1 ²

- Hh (z -11)

+H (--2 -1.2).

Условие неразрывности первой производной от упругого смещения при переходе от одного участка к другому приводит к уравнению

Dfсц Pn ( eDl - e"Dl1 ) k   (eD + eD )

F 0

Z n ^П ri

- H (h - lx).

В результате решения данного нелинейного уравнения при заданной силе F 0 определяется длина участка сцепления l 1 . В момент начала проскальзывания l 1 = h значение силы F ₀ совпадает с F ₀ ^kr . При распространении проскальзывания на всю толщину мембраны длина участка сцепления l 1 = 0. Значение приложенной силы F ₀^ск , при которой l 1 = 0, определяется из уравнения (14) следующим образом

F T = Z n п r ² Hh = 2 п r hf ск P n .

Таким образом, при действии продольной силы F_o <  F 0 ^k удлинение имплантата согласно соотношению (8) определяется по формуле

и =

F 0 L +    F o ( e Dh + e" Dh )

En пRn2 + Zn пr D (eDh - e"Dh)"

Здесь L – длина имплантата между точкой приложения силы и мембраной. Для значений силы в диапазоне [ F ₀ ^kr , F ₀ ^ск ] удлинение имплантата вычисляется по формуле

и = FL + F^ + f^ - H (h -1 )2.

E„ nRn2     Z„ nr2       k 2V 17

n n            n 1

Длина l 1 в выражении (17) определяется из решения уравнения (14).

Соотношения (16) и (17) позволяют установить расчетную зависимость удлинения нити от продольной силы F 0 . Кроме того, разработанная методика может быть использована для оценки максимального значения интенсивности тензора напряжений о max , которое характеризует предельное состояние и вычисляется по известным зависимостям [8, 10]: • для биоткани

• для имплантата

о

о U m ," = V P n + 3 ( P .- ) ^;;

max un

+ P n ⁺ P n ° zz ⁺ 3 ⁽ P max ^{) 2} .

В этих выражениях давление p n определяется согласно (1) с учетом (2). В диапазоне значений продольной силы F 0 <  F 0k величина p max вычисляется по формуле

F

• (9)    и о _zz = —0- . Интенсивность тензора напряжений принимает максимальное значение п r , ²

в области контакта ( r = r 1 ) вблизи поверхности биоткани z = h . Если значение продольной силы лежит в диапазоне от F ₀ ^kr до F ₀^ск , в формулах (18) и (19) следует принять

P / = f „P n . о== -°т - Z . H ( h - 1 1 ) .                    (20)

п r,

Максимальная интенсивность напряжений достигается на границе раздела участков сцепления и проскальзывания.

Пример использования математической модели

Разработанная механико-математическая модель протягивания одномерного имплантата позволяет установить зависимость его удлинения от приложенной продольной силы и получить расчетную оценку максимальной интенсивности напряжений в имплантате и биоткани. Исходными параметрами являются упругие характеристики биоткани ( E t , v t ) и имплантата ( E n , v n ), исходные значения радиусов отверстия ( r 0 ) и имплантата ( R n ), толщина ( h ) и начальное натяжение ( о ₀) биоткани, коэффициенты трения покоя ( f сц ) и скольжения ( f ск ) для пары «имплантат – биоткань». Предварительно по формуле (2) определяется радиус отверстия после деформации r 1 . Затем по формуле (1) вычисляется давление биоткани на имплантат p n . Согласно равенствам (4), (7) и (12) вычисляются введенные коэффициенты k , D и H соответственно. После этого с использованием соотношений (10) и (15) определяются значения силы F ₀ ^kr и F ₀^ск . В результате решения уравнения (14) для заданного значения силы F 0 вычисляется длина участка сцепления l 1 . При подставлении полученных значений в формулы (16)–(19) при заданной продольной силе определяются удлинение имплантата и и максимальные значения тензора напряжений в имплантате о m^ax и биоткани о m^ax .

В качестве примера использования разработанной методики рассмотрим процесс протягивания полиэфирной нити с параметрами E n = 25 МПа; v n = 0,4; R n = 0,2 мм через отверстие в биологической мембране, свойства которой соответствуют упругим характеристикам кожи человека в области живота E t = 1,1 МПа; v t = 0,48, приведенным в работе [3]. Значения остальных исходных параметров были приняты следующими: r ₀ = 0,13 мм; h = 6 мм; о ₀ = 0,1 МПа; f _;ц = 0,6; f _;к = 0,5; L = 0.

Согласно полученным расчетным данным (рис. 2) до начала проскальзывания ( F₀ <  F 0k ) зависимость удлинения нити от приложенной силы практически линейна. Для сил F ₀ >  F k условная жесткость нити, равная производной от силы по удлинению, по мере удлинения плавно уменьшается.

Из зависимостей, приведенных на рис. 3, следует, что для использованных исходных данных интенсивность напряжений в нити существенно (на порядок) превышает интенсивность напряжений в коже. До начала проскальзывания интенсивность напряжений в имплантате растет практически линейно с увеличением приложенной силы. На этой стадии максимальная интенсивность напряжений в биоткани при увеличении силы F 0 возрастает нелинейно. После начала проскальзывания максимальная интенсивность напряжений в нити плавно снижается, а в коже остается неизменной.

Рис. 2. Зависимость «сила – удлинение»

σ ^u m ⁿ ax , МПа

σ ^u m ^t ax , МПа

Рис. 3. Зависимость максимальной интенсивности тензора напряжений в нити (сплошная кривая) и коже (пунктирная) от приложенной силы

Заключение

Разработана механико-математическая модель, описывающая процесс протягивания одномерного эластичного имплантата через фрагмент биоткани в виде мембраны с отверстием. Установлено, что при превышении определенного порогового значения усилия протягивания наблюдается снижение жесткости исследуемой системы с ростом удлинения имплантата, причем характер зависимости максимальных значений интенсивности напряжений от приложенной силы различен для имплантата и биоткани. Разработанная методика и установленные закономерности могут быть использованы для прогнозирования манипуляционных характеристик и травматичности одномерных имплантатов на основании данных о фрикционно-механических свойствах используемых материалов.

Благодарности

Работа выполнена при поддержке БРФФИ-РФФИ: проекты Ф10-240 (10-08-90011-Бел_а), Т10СО-033, а также 09-08-00752-а.