Модель индивидуализированной подготовки специалистов в инфокоммуникационной среде вуза

В статье рассматривается методика повышения качества образования путем индивидуализации рабочих графиков. Общий поток обучаемых дифференцируется по уровню свой начальной готовности на два потока. Рабочие графики для каждого из потоков формируются на основе оптимизационной модели по критерию максимальной начальной готовности потоков. Для оптимизационной модели предложена математическая постановка задачи линейного программирования.

Проблема индивидуализации обучения – одна из центральных в эволюции образовательной системы. Двумя ее крайними полюсами являются система гувернеров и классно-урочная система. Очевидно, что ни одна из крайних систем не оптимальна: кроме явно завышенной стоимости обучения, система гувернеров еще более важный недостаток – обучаемый не получает опыта группового общения и опыта социализации. Следо- вательно, стоит задача – найти точку оптимума между двумя крайними полюсами.

Современные тенденции информатизации открывают такую возможность [1-2]. Наиболее оптимален подход, предусматривающий трех уровневую индивидуализацию на уровнях:

• -    рабочих графиков;

• -    технологических карт;

• -    непосредственного освоения отдельных дисциплин.

В настоящей статье рассматривается первый уровень индивидуализации обучения. Технология индивидуализированного обучения в виде схемы, представлено на рис. 1.

Согласно представленной схеме поток обучаемых в начале учебного года подвергается тестированию по всем дисциплинам,изучение которых намечено на текущий учебный год. По результатам тестирования формируются матрицы начальной готовности. В процессе формирования матрицы учитываются и оценки за предыдущие семестры. Это обеспечивается введением дерева междисциплинарных свя- зей между дисциплинами по дидактическим единицам. Далее, на основе сформированных матриц начальной готовности для потока обучаемых формируется оптимальный семестровый рабочий график на основе плана обучения на весь год, максимально учитывающий особенности подготовки обучаемых. После сдачи первой (зимней) сессии обучаемые посещают краткосрочные подготовительные курсы. Целью этих курсов является дополнительная подготовка обучаемых к дисциплинам, изучаемым во втором (весеннем) семестре. Далее обучаемые учатся по рабочему графику, содержащему оставшиеся дисциплины и сдают летнюю сессию. Необходимым условием для применения описанной выше технологии является наличие предварительно разработанной матрицы требований к изучаемым дисциплинам по уровню усвоения отдельных дидактических единиц предшествующих дисциплин, а также матрицы связи дисциплин учебного плана, определяющей логический порядок изучения этих дисциплин.

Рис. 1. Схема индивидуализированного обучения в гибких потоках

Приведем математические модели, позволяющие оптимальным образом распределить дисциплины по семестрам внутри учебного года. Более подробно с данной информацией можно ознакомиться в [3].

Идея задачи оптимизации рабочего графика с учетом начальной готовности обучаемых по отдельным дисциплинам по критерию максимальной готовности всей группы обучаемых заключается в следующем:

• -    определяется начальная готовность обучаемых по отдельным дисциплинам;

• -    разрабатывается семестровый рабочий график, включающий только те дисциплины, по которым готовность обучаемых максимальна.

Пусть есть перечень из М дисциплин, изучение которых намечено на текущий курс указанной группы обучаемых. Нумерацию дисциплин также произведем от 1 до М . Введем матрицу трудоемкости изучения дисциплин. При этом будем различать дисциплины по группам, например, естественно-научный, гуманитарно-социальный, общепрофессиональный циклы и дисциплины специализации.

Пусть всего имеется w циклов. Тогда общая трудоемкость изучения j -ой дисциплины G _j определяется выражением:

W

G j = Z G w , где G w — трудоемкость по циклу w . w=1

Дисциплины являются взаимосвязанными и их взаимосвязи определяются матрицей связей L _jk , где j и k меняются от 1 до М.

• L    J1, требуется знание дисциплины к ;

^jk [ 0, нет предварительных уссовий .

Элементы матрицы L _jk определяются экспертами путем анализа отдельных разделов учебных планов по соответствующим дисциплинам.

Введем двоичный вектор S _j , где j меняется от 1 до М:

• | 1, дисциплина изучается в семестре ;

S _j =⎨

• ^ 0, дисциплина не изучается в семестре .

Исходя из существования матрицы связей и вектора трудоемкости изучения отдельных дисциплин, очевидно, что не всякий рабочий график будет допустим – требуется соблюдение трех условий, а именно:

• -    соблюдение междисциплинарных связей;

• -    соблюдение равномерного распределения часов по семестрам;

• -    обеспечение равной нагрузки по всем циклам дисциплин.

Условиесоблюдениямеждисциплинарныхсвя-зей удобно записать в виде величины, характеризующей количество нарушений этих связей. Для этого вначале введем вектор U _j числа нару^ше-

M ний связей по j -ой дисциплине U = L S . j             jk k

Суммарное количество нарушений буде ^k т ^{= 1} равно:

M

U = Z U j .

j=1

Введем ограничение на отклонение рабочего графика от рекомендуемого по специальности. Пусть есть рекомендованный по специальности график вектор R _j , где j меняется от 1 до М :

r J1, Дисциплина изучается в семестре 2; j [0, Дисциплина изучается в семестре 1.

Тогда выражение (Rj — Sj )2 будетпринимать значение 0, если дисциплина j изучается по оптимизированному графику в том же семестре, что и по примерному графику по специальности и 1 в противном случае (то есть дисциплина перенесена в другой семестр по сравнению с примерным графиком). Значит, суммарное число пере- несенных дисциплин определится выражением

Z ( R j

- S j ) 2 , где имеется нелинейность в виде

j =1

квадрата. Для построения задачи линейного про- граммирования от этой нелинейности необходимо уйти. Представим S j в следующем виде: S = R - T + Q . Значения величин T и Q j jj j j j определяются по правилу:

Rj=0 Rj=1

S =0	T j =0	T j =1
j	Q j =0	Q j =0
S =1	T j =0	T j =0
j	Q j =1	Q j =0.

С учетом значений, указанных в таблице и в рамках целочисленной задачи:

MM

Z(rj -Sj)2=Z(T/+Qd. j=1                        j=1

Теперь величины S _j перестают быть переменными оптимизации и становятся функциями. Взамен вводятся два вектора переменных с рядом ограничений:

S, = R, - Tj + Qj;

'^-;

T. , Q - двоичные.

⎩

Число часов по дисциплинам, изучаемым в се-

M     WM местре, есть H = ∑GjSj = ∑∑Gwj Sj .

• j =1               w j

Кроме общего числа часов введем ограничение на минимальное количество часов по каждо-

M му из циклов ∑Gwj Sj ≥ H mwin, где H mwin – ми-j =1

нимальная трудоемкость по w -му циклу. Таким образом, обеспечивается требуемая сложность, а также профессиональная ориентированность рабочего графика.

Итак, условия допустимости рабочего графика сформулированы. Теперь перейдем к оптимизации рабочего графика с учетом начальной готовности обучаемых по отдельным дисциплинам.

Пусть имеется группа из N обучаемых с номерами от 1 до N . Введем матрицу начальной готовности обучаемых к изучению цикла дисциплин учебного года – двух семестров. Обозначим эти величины через матрицу A _ij , где индекс i – обозначает обучаемого, j – дисциплину.

Очевидно,что по готовность обучаемых к изучению дисциплин не однородна.Очевидно также,что в первую очередь должны изучаться те дисциплины, к которым эта готовность наибольшая.Изучение дисциплин, к которым готовность ниже должна быть перенесена на другой семестр в сочетании с дополнительными подготовительными курсами по ним.

Рассмотрим модель, предусматривающую оптимальное распределение дисциплин по учебным семестрам. Условимся рассматривать замкнутую модель – рассматривается замкнутая система дисциплин; все дисциплины должны быть изучены в течение двух семестров (одного учебного года). Тогда немного меняется смысл компонент вектора S _j . Тут компоненты данного вектора определяют семестр изучения дисциплины:

• 1, дисциплина изучается в семестре 2;

Sj =⎨

• 0, дисциплина изучается в семестре 1.

Ввиду замкнутости системы дисциплин ограничивать нагрузку на обучаемых будем только во втором семестре.

Для любых w справедливо:

WM         M

^H min ^≤ ∑∑ ^{G w}j ^S j ^≤H max ^; ∑ ^{G w}j ^S j ^≥H m^win ^.

w j                           j =1

Описанный подход имеет недостаток – требуется точное знание количества часов. В данном случае, используя допущение о замкнутости задачи в пределах семестра – этот недостаток можно преодолеть, перейдя к безразмерным величинам, выраженным в процентах. Введем понятие коэффициента неравномерности как отношения суммарной нагрузки в семестре по w -му циклу к общему количеству часов на цикле.

Zero - s,) H 0 = 100 • -ti-M------ ∑Gw

j =1

∑ G ^wj S j

H1 = 100-jM----

∑Gwj j=1

В случае идеального баланса часов обе эти величины примут значение 50%. Общий коэффициент неравномерности определяется выражением

H = 100 •

WM

ZZ g w (1 - Sj)

w=1j =1

WM

∑∑Gw w=1j =1

Допустим, что эффект от дополнительной подготовки по j-ой дисциплине для i-го обучаемого пропорционален количеству часов, отведенных на эту подготовку и определяется выражением

5 B _ij

AA = — -г где B - число часов, отведенных

Gj i-му обучаемому на подготовку к j-ой дисципли- не.

Очевидно, что эффект от дополнительной подготовки будет только для дисциплин, изучаемых во втором семестре. Ясно также, что готовность обучаемого с учетом дополнительного эффекта не может превосходить пяти баллов, тогда итоговая готовность обучаемых будет A * = min(A j + S j AA j. ,5) . Множитель S j. здесь необходим, так как эффект от дополнительной подготовки будет только для дисциплин, изучаемых во втором семестре.

В выражении имеются две нелинейности. Одна из них, заключающаяся в использовании функции минимума, обеспечивает корректное решение и позволяет исключить тривиальное решение – бесконечно высокая готовность обучаемых по одной из дисциплин в ущерб остальным. Вторая нелинейность заключается в наличии произведения SjΔAij. От нелинейностей можно уйти: дополнив данное выражение дополнительным ограничением, получим

*

^A ij ^{= A} ij

+ S _j ΔA _ij

⎪⎩Aij +SjΔAij ≤5

Таким образом, мы ушли от использования функции минимума. Вторая нелинейность также преодолевается введением системы ограничений.

*

Пусть величина B _ij определяется выражением B j = S j * G j , для любых i .

Это выражение определяет максимально допустимое количество часов дополнительной подготовки по j -ой дисциплине с учетом в целесообразности дополнительной подготовки. Действительно, для дисциплин, которые будут изучаться во втором семестре B _i ^* _j соответствует полной трудоемкости дисциплины, а для всех остальных дисциплин, принимает значение равное нулю. Тогда систему:

NM

∑∑A*ij

* _ i = 1 j

N*M

Очевидно, что значение этой величины лежит в пределах от 0 до 5 балов и является средней готовностью по всем дисциплинам. Теперь введем среднюю готовность по j -ой дисциплине:

Y j

N

∑A*ij i=1

M

Значение этой величины лежит в пределах от 0 до 5 балов. Тогда отклонение готовности по j -ой дисциплине от средней готовности, выраженное в процентах будет равняться

Y, C = ^j j Y

N

M ∑ A * ij i = i

NM

∑∑ A * ij i = i j

*

^A ij

= A _ij

+ S j AA j ;

[Aj ^ 5,

можно заменить линейной системой, дополнив ограничением

A' = A +

_⎪⎪ ij ij _{G j}

-A' < 5;

⎪ ij             **

B„ <  B„ , где B_: = S„ * G для любых i .

ij           ij                 ij           ijj

Итоговая готовность группы по всем дисциплинам (первого и второго семестра), с учетом дополнительной подготовки будет

NM

Y = ∑∑ A* ij . i=1 j

Однако слепая оптимизация функции Y на максимум может привести к тому, что начальная готовность по какой-либо дисциплине достигнет предельного уровня – 5 баллов, а по другим дисциплинам будет крайне низкой. Для преодоления этого введем ограничение на неравномерность готовностей по различным дисциплинам. Введем величину средней готовности, которая определится выражением:

Неравномерность начальных готовностей по дисциплинам будем регулировать системой ограничений:

C _j ≥ C _min для любых j

При C _min = 100% получим абсолютно равномерную готовность по всем дисциплинам, а например, значение C _min , равное 75%, гарантирует, что подготовка ни по одной из дисциплин не будет на 25% ниже, чем средней по всему комплексу дисциплин.

Дополнительным условием выступает ограничение по удорожанию обучения. Удорожание происходит за счет введения часов дополнительной подготовки, при этом суммарное удорожание в процентах определится выражением:

NM

∑∑ B ij

B = 100. -2= 12 = 1---- .

M

∑Gj j=1

Подводя итоги, получим формальную постановку задачи линейного программирования.

Целевая функция:

NM ∑∑ _⎜⎜^⎛A ij i=1 j ⎝

Ограничения:

₊ 5 B ij _⎟⎞

G _j ⎟_⎠

→ max .

NM

ZZ Bj

_{100 ⋅} i= 1 _Mj = 1

Z Gj j=1

≤ B

max ^;

MM

ZZ LjSk = 0 ;

j = 1 k = 1

Z j Qj) < R max ; R-Tj + Qj< 1; j=1

M

Z Gw SJ ^ Hmwin для любых w ; j=1

M

ZGW(1-Sj)           Z G wSj

100 -j4----- ^ -; ¹⁰⁰ • ""M— ^ ^H m w in ;

ZGw          Z GW

j = 1                                         j = 1

100 •

WM

ZZGw (1 - Sj)

w=1j =1

WM

ZZGW w=1j =1

>H • min ^;

Bj < Sj * Gj, Дия любых i; Bij > 0 ;

N

MZA +

⎝      ^G j ⎠

i= 1

NM

⎜⎛A + 5Bij ⎟⎞⎜ ij ⎟ i=1  j ⎝       Gj ⎠

≤ C ; S T , Q - двоичные . max      j , j j

В таблице 1 для примера приведены исходные данные по готовности студентов 4-го курса специальности 2300201 – «Информационные системы и технологии» на ФИСТ СГАСУ.

Ограничение: отклонение по модулю по общему числу в семестрах не более 20 (1-2 часа в неделю), отклонение по модулю по каждой группе дисциплин (легкие и сложные) не более 10 часов. Разрешенное отклонение от ранее существовавшего рабочего графика – не более трех дисциплин.

Таблица 1. Начальная готовность

Дисциплина	Готовность
Моделирование систем	3,89
Надежность	3,87
Интернет-технологии	4,27
Автоматизация техпроцессов	3,99

В результаты модернизации рабочего графика занятий на учебный год получилось, что для достижения максимального результата необходимо дисциплину «Автоматизации техпроцессов» перенести с 7-го на 8-ой семестр в сочетании с дополнительными подготовительными курсами по ней. Это позволило повысить готовность потока по данной дисциплине на 25% или до 4,97 баллов. Время индивидуальной дополнительной подготовки – 6-7 часов на студента. Для сохранения баланса по часам в семестрах дисциплина «Экономика» перенесена с 8-го на 7-ой семестр.