Модель мемристоров Бернулли в виде полинома расщепленных сигналов

Область применения математических моделей, описывающих соотношение вход-выход (или поведенческих моделей) нелинейных динамических систем (НДС) неуклонно расширяется в результате появления новых форм моделей, разработки новых элементов, устройств, систем, а также технологий и материалов их реализации [1, 2]. Активно развивающимися динамическими системами являются мемристив-ные системы, построенные на мемристорах. Мемристор (memory resistor, резистор с памятью) – четвертый электрический элемент (три другие: резистор, емкость, индуктивность), сопротивление которого нелинейно зависит от истории тока, протекающего через него. Область применения мемристивных систем обширна [1–3]: аналоговые устройства различного назначения; нейронные сети; преобразователи изображений; нейроморфные системы; самонастраивающиеся аналого-цифровые устройства управления; энергонезависимые запоминающие устройства; системы программируемой логики. С развитием мемристоров связана разработка моделей, описывающих разнообразные физические и технологические механизмы построения мемристивных систем [3].

Актуальной остается задача получения простых математических моделей. Такую возможность дают модели, рассматриваемые в рамках теории расщепления сигналов [4,5]. Согласно теории расщепления оператор нелинейного устройства представляется композицией двух операторов: оператора расщепителя и оператора нелинейного безынерционного преобразователя. Оператор-расщепитель преобразует скалярные входные сигналы в векторные так, чтобы фазовые портреты векторных сигналов не пересекались, не касались и не проходили через ноль. Полученные векторные сигналы называются расщепленными. Оператор нелинейного безынерционного преобразователя отображает векторные сигналы в скалярные выходные сигналы. Математические формы преобразователя различны, например, полиномы, дроби, нейронные сети [4,5].

1. Математическое моделирование мемристоров Бернулли методом расщепления

Рассмотрим построение поведенческой модели в виде многочленов расщепленных сигналов для мемристоров Бернулли. Данные мемристоры, управляемые зарядом и возбуждаемые напряжением, описываются парой уравнений [6]:

dq ^{( t )} ₌    v^{( t )}            ₌ dq^{( t )}

dt M (q(t)), i ^{( t )}       dt

где q(t) - заряд (управляющий сигнал или переменная состояния мемристора); v(t), i(t) - напряжение (входной) и ток (выходной) сигналы соответственно; M(q(t)) -мемристанс.

Мемристор Бернулли получил свое название в силу того, что динамика тока мемристора определяется из дифференциального уравнения Бернулли [6–8]:

di(t)    dv(t)/dt            k 2 ,_a+2

dt v(t) i^{( t )} = v(t) i

где a = — 1, — 2 - целое число, k ₂ =

dM (q(t)') dq(t)

переменная, связанная с физической

структурой мемристора. Динамика мемристанса описывается уравнением [7, 8]:

5“^ = k_2i a _{( i} ) = -   ' , a _{( < )} .

dt 2 v !        dq(t)        ’

Частотные характеристики мемристоров определяются при гармонических воздействиях, записанных, например, в виде

v(t) = x(A,t) = A sin(t),

где t E [0, 2п) - нормированное непрерывное время.

Известно решение уравнения (1) при воздействии (2) в аналитической форме [7,8]:

i ( t ) =

v ( t )

Г            t            l^1/(a + ¹⁾ ’

M o 1 + в 2 J v ^a (T)dT\

где M o = v(0)/i(0), в 2 = (a + 1)k 2 A/M ₀ ^a+1 .

Для формирования множества выходных сигналов мемристора используем выражение (3) с заданными переменными. Например, при a = 1 и воздействии (2) преобразуем равенство (3) к виду [7, 8]:

i ( t ) =

v^

^M 0 ^[1 + ^в 2 ^{(1 —} CO^tD)] ¹ / ²

далее при Mg = 2, k2 = 2 получим в2 = A и перейдем от выражения (4) к формуле ад =-----v®—.

2[1 + A (1 - cos®)] ¹ / ²

Таким образом, выходной сигнал i(t) мемристора при воздействии v(t) формируется из выражения (5) и применяется для поведенческого моделирования мемристора Бернулли.

По соотношению вход-выход (5) мемристора построена поведенческая модель в виде многочлена расщепленных сигналов. В процессе моделирования выполнены следующие операции:

– сформированы три векторных сигнала:

X si (A, t) = [x(A, t)] = [A sin(t)],                              (6)

X s 2 (A,t) = [x si (A,t), X s2 (A,t)] T = [A sin(t), A sin(t - t o )] T ,             (7)

X sa (A,t) = [x si (A,t), X s2 (A,t), X sa (A,t)] T =

= [A sin(t), A sin(t — t0), A sin(t — 2t0)] , где tg - смещение в нормированном времени;

– на базе указанных векторов записаны следующие формы многомерных полиномов:

J 1

У1№ = Е C” [x (A,'01 j1 ■(9)

J 1 J 2

y2

j1=o j2=0

J1 J2 J3

ya(t) = 52 52 52Cjij2j3 [xsi (a,/)] j1 [xs2 (a,/)] j2 [xs3 (a^ j3.

j1=0 j2=0 j3=0

степеней J = J1, J = ^ Jr, J = 5УJr соответственно;

r=1

– в результате решения задачи аппроксимации:

||i^{(t) -}у/y(t)^ ^ min _?Y = ^1-2-3, te[0,2n)

где i(t) - выходной сигнал мемристора из формулы (5), в среднеквадратичной метрике определены параметры полиномов (9) – (11).

Для оценки точности построенных моделей (9) – (11) вычислены: равномерная погрешность

Ay (tn)= i(tn) - yY (tn),   n = 1, 2-..., 628,   Y = 1, 2, 3,              (12)

где tn - значения нормированного времени в интервале tn G [0, 2п), меняющиеся с временным шагом 0, 01; максимальная абсолютная и среднеквадратичная погрешности соответственно:

^y = _max (|i(tn) - yY(tn)|), n = 1, 2,..., 628, y = 1, 2, 3, tn e[0,2n)

Q

= А 1Е( i(tq) - yY(tq)) 2, q=1

Q = 628, y = 1, 2, 3.

Результаты моделирования мемристора представлены при входном сигнале (2) с амплитудой A = 1. Анализируя результаты моделирования, проиллюстрируем необходимость расщепления входных сигналов. На рис. 1, а), б) представлены зависимости максимальной абсолютной (5₇) и среднеквадратичной (e_y ) погрешностей от степени J многомерных полиномов (9) – (11).

а)                                 б)

Рис. 1. Зависимости максимальной абсолютной (а) и среднеквадратичной (б) погрешностей от степени J полиномиальных моделей мерности γ

Из анализа рис. 1 а) и 1 б) следует:

• - линейные модели (J = 1) разной мерности (y = 1, 2, 3) дают одинаковые погрешности моделирования, наибольшие по сравнению с нелинейными моделями;

  – двумерный и трехмерный полиномы обеспечивают одинаковые погрешности моделирования мемристора, погрешности уменьшаются с увеличением степени моделей. Следовательно, входной сигнал (2) с амплитудой A = 1 расщепляется при формировании векторных векторов (7) и (8). Отметим, что этот факт доказывается аналитически на основе условий расщепленности сигналов из теории расщепления.

Очевидно, что сложность модели возрастает не только с увеличением степени полинома, но и с ростом ее мерности в пространстве. Для простоты модели следует выбирать минимальную мерность полинома, т. е. минимальное число каналов расщепления. В рассматриваемом примере при воздействии (2) в качестве расщепленного сигнала целесообразно использовать вектор (7) и модель – двумерный полином расщепленных сигналов (10). Наглядно результаты математического моделирования мемристора Бернулли показаны на рис. 2 и рис. 3.

На рис. 2 а), 2 б), 2 в) изображен выходной сигнал мемристора i(t_n) из формулы (5), выходные сигналы y₂(t_n) модели - двумерного полинома расщепленных сигналов (10) и равномерные погрешности моделирования Л₂(tn), вычисленные по формуле (12) при 1-й, 2-й и 3-й степенях (J = 1, 2, 3) модели (10) соответственно. На рис. 3 а), 3 б), 3 в) показаны гистерезисные передаточные характеристики, построенные в виде зависимостей сигнала i(t_n) (выходного сигнала мемристора из формулы (5)) и сигналов y₂(t_n) (выходных сигналов модели (10) при 1-й, 2-й и 3-й степенях двумерной

а)                                 б)                                 в)

Рис. 2. Выходные сигналы мемристора Бернулли и его двумерной полиномиальной модели 1-й (а), 2-й (б) и 3-й (в) степени, а также соответствующие равномерные погрешности моделирования

а)

б)

в)

Рис. 3. Графики передаточных характеристик мемристора Бернулли при моделировании двумерным полиномом 1-й (а), 2-й (б) и 3-й (в) степеней нелинейности соответственно) от воздействия v(tn) из выражения (2) при A = 1. Из рис. 2 и рис. 3 следует, что двумерный полином расщепленных сигналов (10) 3-й степени дает наибольшую точность моделирования мемристора Бернулли при воздействии (2) с амплитудой A = 1.

Заключение

Математические модели мемристоров предложено строить в виде полиномов расщепленных сигналов. Свойство расщепления обеспечивает однозначное соответствие между множеством входных и выходных сигналов динамических систем. Сложность модели зависит не только от степени ее нелинейности, но и от формируемого вектора расщепленных сигналов. Действительно, операция расщепления класса входных сигналов позволяет адаптировать модель к заданному воздействию, в результате чего можно построить более простую модель по сравнению с универсальными формами, например, полиномом Вольтерры. Параметры модели находятся в результате аппроксимации нелинейных операторов устройств с использованием множеств входных и выходных сигналов. В качестве примера построена полиномиальная модель мемристора, динамика тока которого описывается дифференциальным уравнением Бернулли. Выполнено расщепление гармонического входного сигнала в области его определения с помощью линии задержки и построена модель в виде двумерного полинома расщепленных сигналов. Согласно оценкам погрешностей, полученным в равномерной и среднеквадратичной метриках, двумерный полином третьей степени обеспечивает высокую точность моделирования мемристора Бернулли.