Модель оптимального управления надежностью системы электронного документооборота органа исполнительной власти

Система управления электронным документооборотом специального назначения – важнейшая составляющая деятельности учреждений и органов уголовно-исполнительной системы (далее – УИС) [9; 11]. Документооборот, применяемый в служебной деятельности ведомства, представляет собой сложный многоэтапный процесс, от эффективности организации которого во многом зависит оперативность принятия должностными лицами управленческих решений [2; 3]. Прохождение документа через систему делопроизводства учреждения может рассматриваться как многоэтапный процесс, включающий стадию создания

Царькова Евгения Геннадьевна кандидат физико-математических наук, научный сотрудник НИЦ-1. Научно-исследовательский институт Федеральной службы исполнения наказаний, Москва; доцент кафедры информационных систем и методов искусственного интеллекта. Тверской государственный университет, город Тверь. Сфера научных интересов: методы оптимизации, математическое моделирование, оптимальное управление, нейросетевые технологии. Автор более 100 опубликованных научных работ.

(поступления) документа, регистрации, а также этапы назначения исполнителя и исполнения документа, передачи в архив. Система управления электронным документооборотом учреждений УИС (далее – СУЭД УИС) служит обеспечению возможности обмена информацией на всех уровнях управления ведомства, что является важнейшим звеном управленческой деятельности органов и учреждений УИС. В связи с этим задача моделирования СУЭД, анализа и оптимизации работы системы в целях обеспечения надежности обмена информацией между субъектами управления УИС является актуальной и практически значимой.

Общая схема организации документооборота учреждения приведена на Рисунке 1.

Рисунок 1. Схема организации документооборота учреждения

Система документооборота как многофазная система массового обслуживания

Систему документооборота учреждения будем рассматривать как многофазную систему массового обслуживания (далее – СМО). На Рисунке 2 приведена общая схема многофазной СМО, включающая три фазы работы с документом: поступление, рассмотрение, исполнение.

Фазы в трехфазной СМО в каждый момент времени находятся в одном из состояний: «свободна» (символ 0), «занята» (символ 1), «заблокирована» (символ b ) [5; 6; 10]. Пусть состояние первой фазы обозначается индексом i , второй фазы – j , третьей фазы – k . Получаем следующую совокупность возможных состояний рассматриваемой трехфазной СМО [4]:

Модель оптимального управления надежностью системы электронного документооборота ...

(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1) (1,1,0),( b ,1,0),(1, b ,1),( b , b ,1),( b ,1,1),(0, b ,1)

Рисунок 2. Модель процесса движения документа в СУЭД

Полагаем, что входной поток требований имеет пуассоновское распределение, а обслуживание в фазах осуществляется по экспоненциальному закону.

Введем следующие обозначения: p_ijk ( t ) – вероятность нахождения системы в состоянии ( i , j , k ) в момент времени t . Получаем следующую систему дифференциальных уравнений, описывающую работу трехфазной СМО:

dp0^ =-Xp000(t) + mp001(t),dp100(t) = Xp00„(t)-MF1m(t) + MpM1(t), dt                                dt dp0\0(t) = Mp100(t)-(X + M)p010(t)+ Mp011(t), dp001(t) = Mp010(t)-(X + M)p001(t)+ Mp0b 1(t), dt                                                dt

dp ₁₀₁( t )

dt dp ₀₁₁( t )

dt

= ^ p 001 ^(t ) - ² M p 101 ^(t ) + M F 110 ^(t ) + M p 1b 1 ^(t ) ,

= ^{X p}101 ^(t ) - ( ^X + ² M ) p 011 ^(t ) + M P b 10 ^(t ) + M p b,1 ^(t ) ,

dp1 yU) = Xp011 (t)-3MpU1 (t), dpn0(t) = Xp010(t) + Mpm(t)-2Mp110(t), dtdt

^b10    = Mp110 (t) - Mpb 10 (t) + Mpb11(t) , “~b1   = Xp111(t) - 2Mp1 b1 (t) + Xp0b 1(t) , dtdt dpbb 1(t) = Mp1b 1(t) -Mpbb 1(t) + Mpb 11(t), dpb\\(t) = MF111(t) -2Mpb 11(t), dtdt dp0b1(t) = mp011(t)-(X + m)p0b1(t),te[0,T]. dt

Построим компьютерную модель работы рассматриваемой многофазной системы массового обслуживания с применением дискретной аппроксимации полученных соотношений. Вводим на отрезке [0, T ] равномерную сетку c шагом A t = Tq : { t l = A t • l ,0 <  l <  q } . Обозначим ее как p jk ( t i ) = p j , l = 0, q . Для получения соотношений, аппроксимирующих . i + 1      . i

производные с точностью O ( A t ) , используем формулы Эйлера: p ijk ( t^l )«— jk

-

A t

p ijk

,

^l = ⁰ , q - 1 , p 000 = 1, p j = ⁰ , ijk * 111 .

На Рисунке 3 приведены графики, построенные с использованием полученных дискретных соотношений, отражающие зависимость вероятностей состояний системы от времени. Вычисления проведены в среде Lazarus при следующих значениях параметров: X = 0,67, m = 0,7, T = 30 .

Рисунок 3. Графики p_ijk ( t )

Получены следующие значения финальных вероятностей:

Р ооо = P ooo (T ) = 0,102, P 100 = P ioo ( T ) = 0,201, P o_W = P oio( T ) = 0,145, P 101 = P ioi( T ) = 0,107, P 011 = ^p 011^{( T} ) = ⁰ , ⁰⁸⁴ , P 111 = ^p 111^{( T} ) = ⁰ , ⁰²⁷ , P 110 = ^p 110^{( T} ) = ⁰ , ¹⁰²⁰⁸ 3, P b 10 = ^pb 10^{( T} ) = ⁰ , ⁰⁹ 6,

P b 1 = P i b 1 ( T ) = 0,034, P b 11 = P b 11 ( T ) = 0,013, P o b 1 = p 0 b 1 ( T ) = 0,043 .

Обеспечение эффективности работы СУЭД

Задача обеспечения требуемой эффективности работы СУЭД за счет повышения оперативности и надежности обработки документов требует разработки специальных алгоритмов, методов оптимизации системы за счет осуществления управляющих воздействий [8]. В работе [7] исследуется класс управляемых систем массового обслуживания, в которых управление СМО реализуется, например, за счет управления дисциплиной обслуживания заявок, изменения интенсивностей обслуживания очередей, осуществления управляющих воздействий на поступающий поток заявок и др. В рассматриваемом случае полагаем, что оптимизация работы СМО будет осуществляться за счет управления дисциплиной обслуживания заявок. Поскольку для увеличения интенсивности обслуживания требуется привлечение дополнительных ресурсов, приходим к необходимости рассмотрения парето-оптимальной задачи определения стратегии управления прохождением документов через СУЭД УИС при наличии ограничений на величину используемых ресурсов [1]. Указанная постановка проблемы приводит к возможности применения методов оптимального управления и нелинейного программирования. Полагая интенсивность обслуживания заявок изменяющейся во времени за счет возможности привлечения дополнительных ресурсов, считаем величину д = д ( t) управляющим параметром ( u(t ) = д ( t ), t g [0, T ]) .

С учетом обозначений x/ t ) = p ооо⁽ t ) , x 2⁽ t ) = P 1oo^{( t} ) , x 3^{( t} ) = P 010^{( t} ) , x 4^{( t} ) = P 001^{( t} ) , x 5⁽ t ) = P 101⁽ t ) , x 6⁽ t ) = P 011⁽ t ) , x 7⁽ t ) = P 111⁽ t ) , x 8^{( t} ) = P 110⁽ t ) , x 9⁽ t ) = P b 10 ⁽ t ) , ^x 10⁽ t ) = P 1b 1⁽ t ) , X 11 ( t ) = P bb 1 ( t), x 12 ( t ) = P b 11 ( t), Х 1з( t ) = P 0 b 1 ( t ), t ^£ [0, T ] получаем систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику работы СУЭД:

Модель оптимального управления надежностью системы электронного документооборота ...

x1(t) = -Xx1 (t) + u(t)x4 (t),x2(t) = Xx1 (t)-u(t)(x2(t)-x5(t)), •• x3 (t) = u(t)x2 (t) -(X + u(t)) x3 (t) + u(t)x6 (t) , x4 (t) = u(t)x3 (t) -(X + u(t)) x4 (t) + u(t)x 13 (t) ,

• x5 (t) = Xx4 (t) - u(t) (2x5 (t) - x8 (t) - x10(t) ) , x6 (t) = Xx5 (t) - (X + 2u(t))x6 (t) + u(t)(x9 (t) + xn(t)),

•• x7(t) = Xx6(t)-3u(t)x7(t) , x8(t) = Xx3(t) + u(t)(x7(t)-2x8(t)) ,(3)

x9 (t) = u(t) (x8 (t) -x9 (t) + xi2 (t)) , x 10 (t) = X(x7 (t) + x 13 (t)) - 2u(t)xw (t) , xn(t) = u(t) (xw(t) - xn (t) + x12(t) ) , x12 (t) = u (t) (x7 (t) - 2xn(t)) , x 13 (t) = u(t)x6 (t) -(X + u(t))x 13(t), t e [0,T], x1(0) = 1, xk (0) = 0, k = 2,13 .

На величину управляющего воздействия наложены естественные ограничения, связанные с ограниченностью используемого ресурса:

0 < u ( t ) < U , t e [0, T ] .

Целью управления является минимизация затрат на обслуживание заявок при условии сохранения значений показателя готовности системы к приему новых заявок не ниже заданного уровня a : x 1 ( t ) >  a , t e [0, T ] . Данное условие может быть учтено в задаче путем ввода штрафного коэффициента М . Таким образом, целевой функционал в рассматриваемой задаче примет вид

I ( u ) = J ( Nx 1 ( t ) - M max² { a - x 1 ( t );0} - a u ( t ) ) dt ^ max ,                 (4)

где a , N - нормировочные коэффициенты.

В результате получаем задачу оптимального управления следующего вида. Требуется минимизировать функционал

T

I(u) = J(au(t) - Nx1 (t) + M max2 {a -x1 (t);0})dt ^ min при динамических ограничениях:

•i x1(t) = -Xx1 (t) + u(t)x4(t),x2(t) = Xx1 (t)-u(t)(x2(t)-x5(t)), x 3 (t) = u (t) x 2 (t) -( X + u (t)) x 3 (t) + u (t) x 6 (t) , x 4 (t) = u (t) x 3 (t) -( X + u (t)) x 4 (t) + u (t) x 13 (t) ,

•• x5(t) = Xx4 (t) - u (t) (2 x5(t) - x8(t) - x 10(t) ) , x6(t) = Xx5 (t) - ( X + 2 u (t) ) x6(t) + u (t) (x9(t) + xn(t) ) ,

•• x7(t) = Xx6 (t) - 3u(t)x7 (t) , x8 (t) = Xx3 (t) + u(t) (x7(t) - 2x8 (t)) ,(6)

•• x9 (t) = u(t)(x8(t) -x9(t) + x 12 (t)) , x10 (t) = X(x7 (t) + x13 (t))-2u(t)x10 (t) ,

•• x11(t) = u(t) (x10 (t) - x11 (t) + x12(t)) , x12 (t) = u(t) (x7 (t) - 2x12(t)) ,

• x 13(t) = u(t)x6(t)-(X + u(t))x 13(t), te[0,T], ограничениях на управление:

0 < u(1) < U , 1 e[0,T], начальных условиях:

^ 1 (0) = 1, x k (0) = 0, k = 2,13 .

На Рисунке 4 приведены результаты численного эксперимента при изменении u ( t ) на отрезке [ 1 ₀, 1 1 ] до величины д = 1 с последующим возвращением к исходному значению д = 0,7 , что обеспечило увеличение значения финальной вероятности Р ₀₀₀ на 7,5 %.

Рисунок 4. Графики x_k ( t ) с динамической дисциплиной обслуживания заявок

Заключение

Постановка задачи оптимизации работы СУЭД в форме задачи оптимального управления позволяет управлять работой системы электронного документооборота в каждый момент времени, обеспечивая возможность увеличения скорости обработки поступающих документов при заданных ограничениях на имеющиеся ресурсы. Полученные при такой постановке задачи могут быть решены численно с использованием метода быстрого автоматического дифференцирования [1].

Дискретная задача, соответствующая рассмотренной выше непрерывной задаче оптимального управления, примет вид

Модель оптимального управления надежностью системы электронного документооборота ...

x ₁

q - 1

I ([ x ],[ u ]) = ^/ ^ u i - Nx 1 i + M max 2 { a - x 1 i ;0} ) A t ^ min ,

i + 1

i = 0

= x 1 i - I A x 1 i - ux 4' ) A t , x 2' ^{+ 1}

= x 2 i ^{+ 1} + ( A x 1 i - u ( x 2 i

-

i x ₅

A t ,

x 3 i+1 = x 3 i +(ux 2' -(A + u ) x 3 i + u x 6' )a t , x 4'+1 = x 4 i +(ux 3' -(A + u ) x 4 i + u x13 i )a t, x5

i + i

= x 5 i + ( A x 4 i

- u ( 2 x 5 i

i      i.                          i+i x8    xio ) I ^ *t , x6

= x6i +(Ax5i -(A + 2u )x6i + u (x9i + xni))At,

x 7 i ^{+ 1} = x 7 i + ( A x 6 i - 3 u x 7 i ) A t , x 8 i ⁺ 1 = x 8 i + ( A x 3 i + u ( x 7 i - 2 x 8 i ) ) A t ,

x ₉

i + 1

i

= x 9

⁺ ( ^ui ( ^x 8 i

i

- x 9

. i                       i + 1

+ x i2 ) I ^ * t , x io

= x ₁₀ i + ( A ( x 7 i + x ₁₃ i ) - 2 u x ₁₀ i ) a t ,

x 11

i + 1

ii i

= x 11 + u I x ₁₀

i . i                     i + 1

^x 11 ^{+ x} 12 ) ^A t , ^x 12

= x ₂ i + u ( x 7 i - 2 x ₁₂ i ) A t ,

x 13

i + 1

= x13i + (u'x6i - (A + u )x13i )

A t , i = 0, q - 1 ,

x 1 (0) = 1, x k ⁰ = 0, k = 2,13,

0 <  u <  U , i = 0, q - 1 .

Применение необходимых условий оптимальности позволяет строить приближенное численное решение полученной дискретной задачи оптимального управления при различных значениях параметров задачи, обеспечивая возможность оперативной корректировки управляющих воздействий.

Выводы

Таким образом, предложенная модель, основанная на рассмотрении работы СУЭД в форме многофазной системы массового обслуживания с дальнейшей оптимизацией полученной СМО численными методами, может быть использована для обеспечения возможности совершенствования СУЭД УИС как на этапе проектирования системы, так и в процессе ее эксплуатации.