Модель стимулирующей заработной платы как задача оптимального управления

Экономическая теория стимулирующей (эффективной) заработной платы (efficiency wage models) объясняет взаимосвязь между величиной заработной платы и производительностью труда, работника, а. также влияние изменения заработной платы на. усердие и интенсивность труда, работников. Объяснить, почему выгодно выплачивать неравновесную заработную плату различным категориям работников на. внутреннем рынке труда, можно с помощью ряда, моделей: модели текучести, модели неблагоприятного отбора, и модели « отлынивания от труда » . Отдельным вопросам построения методологии исследований контрактных отношений между работником и работодателем в экономической организации посвящены работы как зарубежных [1-4], так и российских ученых [5-8].

В статье рассматривается модель « отлынивания от труда » в ситуации постконтрактного оппортунизма, со стороны работника, которая возникает в условиях несовпадения интересов между работником и работодателем, а. также вследствие отсутствия возможности контроля за. соблюдением условий контракта, со стороны работодателя. Задача, нахождения эффективной заработной платы сводится к неклассической вариационной задаче [9]. Неклассический характер задачи возникает в связи с включением в модель ограничения на. рост заработной платы.

Впервые проведено доказательство существования и единственности решения задачи « отлынивания от труда » , которая оправдывает анализ сравнительной статики. Численные симуляции показывают, что свойства, установленные ранее в предположении существования решения [4], являются оправданными и позволяют установить единственно возможный профиль стимулирующей заработной платы.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

1.    Постановка задачи

В основе модели построения стимулирующего трудового контракта между работником и работодателем лежит обоснование выбора эмпирического профиля заработной платы, который определяет зависимость уровня вознаграждения работника от опыта (стажа) работы: иными словами, в начале трудовой деятельности работник получает заработную плату ниже стоимости произведенного им предельного продукта, а с увеличением стажа работы у одного работодателя заработная плата растет. Следует отметить, что растущий положительный профиль заработной платы может считаться стимулирующим фактором для увеличения производительности труда и продолжительности занятости работников на предприятии [4].

Кроме того, другим основным положением модели является установление продолжительности занятости работника на предприятии в предположении, что максимальная длительность трудовых отношений ограничена институциональными условиями — пенсионным возрастом работника (в соответствии с отраслевыми нормативами или трудовым кодексом) или особенностями трудового соглашения между работником и работодателем.

Установив длительность трудового контракта работника, возникает проблема выбора наклона профиля стимулирующей заработной платы. Из того, что работники стали агентами фирмы, еще не следует, что во все время трудовых отношений интересы работника и работодателя совпадают. Возможна такая ситуация, когда работник, уклоняясь от выполнения своих обязанностей и снижая при этом производительность своего труда, не наблюдает уменьшения размера заработной платы, выплачиваемой ему работодателем. Тогда работодатель несет издержки контроля за выполнением работы и не предпринимает попыток до определенного момента действий по предотвращению отлынивания работника до тех пор, пока издержки найма и увольнения превышают издержки соответствующего контроля. В данной работе для простоты предполагается, что работник, уклоняющийся от своих обязанностей, увольняется работодателем в момент отлынивания.

Перейдем к конкретному построению описанной модели и введем следующие обозначения:

• T — эффективный момент прекращения трудовых отношений с работником (длительность трудового контракта работника);

• w ( t ) — заработная плата, рабеуттшка в момент времени t;

w ( t ) — резервная заработная плата (минимальная зарплата, при которой человек принимает положительное решение об участии в организованной трудовой деятельности) в момент времени t [1]:

• 9 ( t,w ( t )) — функция полезности, которую работник получает от отлынивания, начинающегося в момент времени t (ценность свободного времени, зависящая, вообще говоря, от профиля w ( • )):

v ( t ) — предельный продукт, произведенный работником в момент времени t:

с ( t ) — издержки, которые песет компания в связи с досрочным (в момент времени t) прекращением трудовых отношений с работником.

• а — момент времени, в который работник может быть уволен, в т.ч. по причине отлынивания (случайная величина, зависящая от профиля w ( • ));

f ( t, w ( t )) — плотность jраспределения а.

Предполагается, что все введенные выше функции непрерывны на отрезке [0, T]. Кроме того. функцию w (•) будем считать элементом Соболевского пространства, H 1. г,те H1 — пополнение по норме т                          1 / 2

l l ^{w (} • ) ¹ = (/о [ w ²⁽ t ) ⁺ w ²⁽ t^ dt)

пространства непрерывно дифференцируемых на отрезке [0 , T ] функций [10]. Известно, что

Е.А. Александрова, С.А. Аникин всякая функция w (•) G H1 абсолютно не прерывна на [0, T ] и ее производная w( •), понимаемая как производная в смысле Соболева, есть элемент L2 [10]. Здесь и далее L2 — пространство функций, интегрируемых по Лебегу с квадратом на отрезке [0, T]. Пространству H 1, в частности, принадлежат кусочно-гладкие на [0, T] функции (непрерывные функции, производная которых кусочно-непрерывна).

Стимулирующий контракт между работником и работодателем, ориентированный на максимизацию полезности для обеих сторон в долгосрочной перспективе, можно построить с помощью игровой модели. В данной работе, на первом этапе, ограничимся решением следующей оптимизационной задачи.

Требуется найти профиль заработной платы работника w ( • ) G H 1, максимизирующий доход работника, дополненный средним значением (математическим ожиданием) полезности от досрочного прекращения трудовых отношений в момент а, за вычетом среднего значения недополученной, начиная с того же момента, суммы заработной платы:

max w ( • ) е н ¹

{ J ( w ( t )

— w ( t )) e rt dt +

+ E [ 9 ( a,w ( а )) . ^ra ] — E

^{e ra} J ⁽ w ⁽ t )

— го ( t )) e ^{r (} t ^a ) dt

α

где E — символ математического ожидания, e r(t T) — дисконтирующий множитель, позволяющий определить современную (на момент т) стоимость будущей (на момент t) денежной суммы, r — процентная ставка.

Вычисляя математические ожидания

E

^e r^a J ^{( w (} t ) ^—

α

TT

w ( t )) e ^{r (} t ^a ) dт

= E

T

J ( w ( т ) — w ( т )) e - ^rT dт α

= J f ( t, w ( t )) J ( w ( т ) — го ( т )) e ^rT drdt, . t

T

E [ 9 ( а,w ( а )) e- ^ra ] = J f ( t, w ( t )) 9 ( t, w ( t )) e- rt dt,

получим задачу

J T max

w ⁽ • ) ^{e H 1} I 0

( w ( t ) — го ( t )) e

+ J f ( tw ( t )) 9 ( tw ( t )) e ^-

^{rt —} f ^{( t,w (} t )) J ^{( w ( т} ) t

— го ( т )) e ^rT dт

dt +

rtdt .

Ограничения на заработную плату возникают из следующих соображений.

Во-первых, работодатель за период [0 , T ] выплачивает суммарно заработную плату, равную стоимости предельного продукта, произведенного работником за тот же период, за вычетом издержек, которые несет работодатель в связи с увольнением работника в момент времени а:

T j w (t) e-rtdt — E 0

T jw(т)e-rTdт

α

T j v (t) e-rtdt — E 0

T j v (т) e-rTdт

α

— E[c ( а ) e ^{- r}a .

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В результате, вычисляя входящие в последнее равенство математические ожидания, имеем

T

J о

w ( t ) e ^{- rt}

-

T f (t,w(t)) J w (т) e rTdT dt =

"

v ( t ) e ^{- rt}

t

T

^{— f (} t, w ⁽ t )) J ^{v ( T} ) e ^{- rT} d^{T —}

t

f ( t,w ( t )) c ( t ) e rt j dt.

Во-вторых, будем предполагать, что момент T прекращения взаимоотношений между работником и работодателем задан эффективно так, чтобы резервная заработная плата была равна стоимости предельного продукта [2] за вычетом возможных издержек:

w ( T ) = v ( T ) - f ( T,w ( T )) c ( T ) .

Если воспринимать резервную заработную плату как трансакционные издержки, связанные с увольнением имеющегося работника и поиском/наймом нового, то работодатель в момент наступления времени T безразличен к тому, чтобы нанимать нового или же сохранять прежнего работника, но в дальнейшем ему предпочтительнее разрыв имеющихся отношений с данным работником [7].

В-третьих, накладываются естественные ограничения на плотность распределения а и функцию w ( t ):

T j f (t,w(t)) dt = 1, о

f (t,w(t)) > 0 vt e [0, t], w (t) > 0 vt e [0 ,T].

Упрощая с помощью (2) целевую функцию задачи (1), получаем задачу max J J f (t,w(t)) J (w (т) w (•) eH1 о               t

T

— v ( т )) e r^T dTdt +

+ J ^{( f (} t, w ⁽ t ))^{( 9 (} t, w ⁽ t )) ^{— c (} t )) + ^{v (} t ) ^—

w ( t )) e rt dt^

.

В результате имеем оптимизационную задачу (7) с ограничениями (3) - (6). Различные постановки оптимизационных задач в Соболевских пространствах можно найти в работах [11,12].

2.    Метод решения

Для решения задачи (3) - (7) потребуется ввести ряд уточняющих предположений.

Полезность от отлынивания для работника может зависеть от размера заработной платы в предположении, что с ростом заработной платы растет мотивация к увеличению производительности труда и снижению вероятности отлынивания. Однако отлынивание, как психологическая категория, может являться и внутренне присущей характеристикой индивида. Поэтому разумным является следующее

Предположение 1. Функция полезности 9 ( t,w ( t )) = 9 ( t ) не зависит от заработной платы w ( t ).

Е.А. Александрова, С.А. Аникин

С ростом заработной платы вероятность прекращения трудовых отношений снижается, что обусловлено преодолением информационной асимметрии между работником и работодателем, адаптацией работника к условиям труда, а также осознанием и принятием того факта, что суммарная величина заработной платы еще не покрыла предельный продукт, произведенный работником. В данной работе рассматривается простейший случай зависимости плотности f ( t, w ( t )) от w ( t ).

Предположение 2. Плотность случайной величины а имеет вид f (t, w(t)) = ai - biw (t),

где a ₁ и b 1 — известные положительные константы.

И, наконец, довольно естественным является

Предположение 3. Заработная плата w ( t ) является неубывающей функцией с ограниченным ростом, т. е. для почти всех t Е [0 , T ]

0 6 W (t) 6 в, где в - положительная константа.

С учетом этих предположений приведем целевую функцию и ограничения задачи (3) -(7) к более простому виду.

Подставляя (8) в ограничения (3) и (4), имеем v ( T ) — ( a ₁ — b ₁ w ( T )) c ( T ) = w ( T ),

T j (a 1 — b 1 w (t)) dt = 1.

Следовательно, w ( T ) = 7 . где y = a 1/ b 1+ ( w ( T ) — v ( T ))/( b 1 c ( T ))• и

T w (t) dt = b, где b = (Ta 1 — 1)/b 1. Кроме того, поскольку функция w (t) является пел "бывающей и w (T) — v (T) 6 0, то для всех t Е [0, T] имеем w (t) 6 w (T) = Y 6 a 1 /b 1, что с учетом (8) обеспечивает выполнение условия (5). И, наконец, вследствие того, что w (t) > w (0) для всех t Е [0,T], условие (6) равносильно w (0) > 0.

Далее, с учетом (8) задача (7) приобретает вид max w (•) EH1

I J*

— b 1 w ( t ))

T

J ( w ( t ) — v ( t )) e-r^TdT + ( 9 ( t ) — c ( t )) e^-rt t

dt +

+ ^J ( v ( t ) 0

— to ( t )) e ^rtdt

В итоге получаем задачу с ограничениями

min w ( • ) EH ¹

T w (t) a (t)

dt + A 0

w (0) > 0 ,

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ где

a ( t ) = b 1

T

T

A 0

= j I a 1 j ( w ( т )

t

0 6 r w ( t ) 6 в Для п-в. t E [0 , T ] ,	(И)
T j w ( t ) dt = b, 0	(12)
w ( T ) = Y,	(13)

T

У⁽ w ^{( т} ) t

— v ( т )) e r^T dт + ( 9 ( t )

— c ( t )) e ^{- rt}

— v ( т )) e ^{- rT} dT + ( 9 ( t ) — c ( t )) e ^{- rt}

+ ( v ( t ) — го ( t )) e rt dt.

Такие задачи относятся к классу неклассических задач вариационного исчисления. Неклассический характер задачи возникает в связи с ограничением (11). Если ввести обо значения

t x1(t)=

w ( т ) dт,

x 2( t ) = w ( t )

и в (9) отбросить константу A о, то задача (9)-(13) сводится к линейной задаче оптимального управления со свободным левым концом, закрепленными временем и правым концом:

T min u(·)∈L2

x2 (t) a (t) dt, x1 = x 2, x 2 = U (t), x 1(0) = 0, X2(0) > о, x 1( T )= b,  x 2( T )= Y,

0 6 u ( t ) 6 в ДДЯ ⁿ-^B- 1 E [0 , T ] .

Для решения этой задачи можно было воспользоваться принципом максимума Понтрягина. Авторам все же показалось удобнее свести задачу (9) - (13) к линейной оптимизационной задаче, для которой с помощью теоремы Куна-Таккера можно получить не только необходимые, но и достаточные условия оптимальности.

Далее всегда предполагаем, что T >  0, в >  0, b >  0, y >  0. Выполним преобразования, позволяющие с учетом

w ( t )= u ( t )                                        (15)

исключить из задачи (9) - (13) функцию w ( t ). Интегрирование по частям приводит целевую функцию задачи к виду

T        T    Tt

J w ( t ) a ( t ) dt = w ( T ) J a ( т ) dт — J w‘ ( t ) J a ( т ) dт dt =

0 _{T           T} 0             0       0

= Y J a ( t ) dt — J g ( t ) u ( t ) dt,

Е.А. Александрова, С.А. Аникин где

t

g

⁽ t )=/ 0

a ( т ) dт.

Из соотношений (13) и (15) имеем w (t) = Y —

T j u ( т ) dT. t

Поэтому условие (10) приводится к виду

w (0) = Y

T j u (t) dt > 0, 0

а. условие (12) — к виду

TT b = / ^{w (} t ) dt = /

Tτ

T

Y - / u ( т ) dT dt = yT - t

T

TT f f u (т) dтdt =

= yT - J / u ( т ) dtdт = yT - / т u ( т ) dт.

В резулвтате задача (9) - (13) оказывается равносильной линейной оптимизационной задаче с линейными ограничениями

T max и (•) EL 2

j g ( t ) u ( t ) dt,                                       (Id

T j u (t) dt 6 y,(18)

0 6 u (t) 6 в Для n-B-1 € [0, T] ,(19)

T j tu (t) dt = yT - b-(20)

Теорема 1. Если допустимое мномсество задачи (17) — (20) не пусто, то ее решение существует.

Доказательство. Допустимое множество задачи выпукло, замкнуто, ограничено, а целевая функция выпукла и непрерывна в гильбертовом пространстве L 2. Следовательно, по теореме Вейерштрасса [13] решение задачи (17) - (20) существует. □

Предложение 1. Допустимое мномсество задачи (17) - (20) не пусто тогда и только тогда, когда

' 0 6 YT - b 6 0 , 5 eT ² ,

* [ Y >  eT,                                              (21)

[ Y ² 6 2 0b.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ w (t)

= Y -

T j u ⁽ T ) t

dT > Y

T j u ( t ) dT > 0,

w ( t ) = Y -

T j u ( t ) dT > y -t

T j edT = y - в (T - t) • t

Следовательно, для любого t € [0 , T ]

w (t) > max {0 ,Y в (T t)} = { 'a(T_t\ т1^В<1<Т i P (±     t) , ^     11 P 6 t 6 •

Поэтому

b =

T w (t)

dt >

T j max {0, y — в (T — t)} dt

T

= /

T - γ / β

[ Y — в ( T — t )] dt = 0 , 5 y ² / в^

Доказательство. Необходимость. Пусть допустимое множество задачи (17) - (20) не пусто.

Тогда

TT yT — b = j tu ( t ) dt 6 j tPdt = 0 , 5 PT 2 ,                      ( 22 ) T YT — b = У tu ( t ) dt >  0 •                             (23) 0

Далее, если y >  вТ. то необходимость доказана. Пусть y < PT. Тогда в силу (1G). (18). (19) для всех t € [0; Т ] имеют место неравенства

Окончательно получим y ² 6 2 вЬ. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть выполняется (21). Докажем, что в случае y > PT, функция u ( t ) = 2 ( yT — b )/ Т ² удовлетворяет ограничениям (18) - (20). Действительно, во-первых. Vt € [0 ,Т ] выполняется 0 6 u ( t ) 6 2 • 0 , 5 вТ ² /Т ² = в и. во-вторых.

TT

( tu ( t ) dt = ²< Y _T 2 - b >  у tdt = YT — b ;

Пусть теперь y < в Т. Тогда с учетом что функция

(21) 0 < T —

T j u (t) dt 6 Pt 6 Y^

Y / в < T ii b >  0 , 5 y ²/ в- Покажем.

u ⁽ t ⁾⁼{ p:

0 6 t <Т — Y / в, T — y / в 6 t 6 T,

где p = 2в2 (yT — b)/(2yTP — Y2), удовлетворяет (18) - (20). Действительно, поскольку 0 6 p 6 2в2 (yT — Y2/(2в))/(2yTP — Y2) = в, то 0 6 u (t) 6 в- Кроме того.

TT

J u ( t ) dt = J pdt = py / в 6 Y ;

0            T - γ / β

TT

J tu ( t ) dt = p J tdt = 0 , 5 p (t ² — ( T — y / в )2) = 2 g 2 [2 YTP — Y 2] = YT — b^

0               T - γ / β

Е.А. Александрова, С.А. Аникин

Замечание 1. Если при выполнении условия (21) имеет место равенство yT — b = 0, то допустимое множество задачи (17) - (20), состоит из единственной функции u ( t ) = 0.

Действительно, из соотношений (19), (23) при условии yT — b = 0 имеем u ( t ) = 0.

Замечание 2. Если при выполнении условия (21) имеет место равенство yT — b = 0 , 5 вT 2, то допустимое множество задачи (17) - (20) состоит из единственной функции u ( t ) = в-

Действительно, из соотношений (19), (22) при условии yT — b = 0 , 5 вТ ² имеем u ( t ) = в.

Замечание 3. Если при выполнении условия (21) имеет место равенство y ² = 2 в^ то допустимое множество задачи (17) - (20) состоит из единственной функции

= { ⁰ ’ ⁰ 6 ty / в,                        р_С)

^{u (} t )   1 в, T — y / в 616 T, .

Действительно, из соотношений (24), (25) при условии y 2 = 2 вb имеем w ( t ) = max { 0 , y — в ( T — t ) } . дифференцированне которой для п.в. t E [0 , T ] дает (2G).

Случаи, рассмотренные в замечаниях 1-3, являются вырожденными и не представляют исследовательского интереса. Перейдем к рассмотрению условий оптимальности.

Теорема 2. Пусть

' 0 — b< 0 , 5 вT ² ,

* [ y > вT,

[7 ² <  2 вb.

Тогда для того чтобы функция u* ( • ) E L 2 была решен нем задачи (17) - (20), необходимо и достаточно, чтобы существовали не равные одновременно нулю множители Лагранжа X 1 > 0 с I X 2 такие, что

L ( u* ( • ) , X 1 , X 2) = min {L ( u ( • ) , X 1 , X 2) : u ( • ) E L 2 , 0 6 u ( t ) 6 в Для п.в. t E [0 , T ] } ,    (28)

λ 1

T

/ u. ( t )

dt

-

γ

= 0 ,

где

TT

L ⁽ u ⁽ • ) ^,X 1 ^,X 2) = ^—j g ( t ) u ( t ) dt + X 1 I j u ( t ) dt 00

-

T

1 Г                                 1

+ X ₂     tu ( t ) dt — yT + b =

T j (X1 + X21 — g (t)) u (t) dt — X1 y + X2 (b — yT).

Доказательство теоремы сразу следует из теоремы Куна-Таккера [9, Теорема 5, стр. 83] с учетом лемм 1 и 2, доказанных ниже.

Лемма 1. Если выполнено (27), то образ мномсества

D = {u ( • ) E L2 : 0 6 u ( t ) 6 в Л^ля п.в. t E [0 , T ] }

содержит окрестность нуля при отображении

T

u ( • ) ^ F

^{( u )}= 1 0

tu ( t ) dt — ( yT — b ) .

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Доказательство. Возьмем е = min YtT — b, 0 , 5 вТ ² — ( yT — b )}. В силу (27) е >  0. Для произвольного p Е ( —е,е ) поло жим u ( t ) = 2 ( yT — b + p )/ Т 2. To гда u ( • ) E D ввиду

u ( t ) = 2( yT — b + p )/ Т ² >  2( yT — b — е ) / Т ² > 0 , u ( t ) = 2 ( yT — b + p ) /T ² <  2 ( yT — b + е ) /T ² 6 в-

Кроме того,

T

F ( u ) = [tu ( t ) dt — ( yT — b ) = 2M —b ± p ) •   — ( yT — b ) = p.

T²        2

Лемма 2. Если выполнено (27), то найдется функция u ( • ) Е D такая, что

TT j tu (t) dt = yT — b, u и (t) dt < y-

Доказательство леммы аналогично доказательству достаточности в предложении 1 с заменой соответствующих нестрогих неравенств на строгие.

3. Алгоритм решения

Согласно теореме 2 для решения задачи (17) - (20) требуется решить задачу

min u ( · ) ∈ L 2

T j (А 1 + А21 — g (t)) u (t) dt : 0 6 u (t) 6 в Для п.в. t E [0, T] > .

Очевидно, что решение этой задачи имеет

вид:

0, u (t) =    в, e (t),

λ 1

λ 1

λ 1

^{+ А} 2 t ^— g ⁽ t ) >  ⁰ 1

^{+ А} 2 t ^— g ⁽ t ) <  ⁰ ,

^{+ А} 2 t ^— g ⁽ t ) = ⁰ ,

где u ( t ) - произвольная измеримая функция

такая, что 0 6 u ( t ) 6 в Для п.в. t

∈

[0 ,Т ].

Множители Лагранжа А 1, А 2 и функция e ( t ) в (31) должны быть выбраны так, чтобы u ( • ) Е L 2[0 ,Т ]и

А 1 > 0 , ( А 1 ,А 2) = 0 ,

T u (t) dt

T j u ( t ) dt 0

T

-

Y = ⁰ ,

⁶ Y,

j tu ( t ) dt = yT — b. 0

Е.А. Александрова, С.А. Аникин

Замечание 4. Если функция a ( t ) ни на каком промежутке из [0 , T ] не является постоянной, то функция, решающая задачу (17) - (20), имеет вид:

{ ⁰ ,      ^{А 1 + А 2} t — ^{9 (} t ) > ⁰ ,                            (36)

u ⁽ t )    I в,      А 1 + А 2 t — g ( t ) <  0 ,                              ^{( ob )}

где А 1, А 2 определяются из условий (32) - (35).

t

Действительно, в этом случае функция g ( t ) = J a ( т ) dT не может быть линейной ни на 0

каком промежутке из [0 , T ]. Следователь но, равенство А 1 + А 2 t — g ( t ) = 0 возможно только для значений t из множества меры ноль. Поэтому функция вида (31) эквивалентна функции (36).

4. Результаты численного моделирования

Численное решение задачи (9) - (13) выполнено в соответствии с алгоритмом, представленным в пункте 3, с учетом замечания 4 для следующих входных параметров и функций:

T = 20; r = 0 , 12; в = 10; v ( t ) = — 0 , 0025 t ² + 0 , 125 t + 3 , 5;

f ( t, w ( t )) = 1 — 0 , 5 w ( t ) /v ( T ) = 1 — 0 , 1 w ( t ) , т.е. a 1 = 1 , b 1 = 0 , 1;

w ( t ) = — 0 , 01 t ² + 0 , 4 t + 1; c ( t ) = 1 + 0 , 001 ( T — t )

и различных функций полезности от отлынивания 9 ( t ). Вычисляем константы у = 10 и b = 19 и убеждаемся, что условия (27) выполнены.

Пример 1. Рассмотрим функцию

9 ( t ) = T sin² (2 nt/T ) + 0 , 5 .

Результаты расчетов:

А 1 = 0; А 2 = 0 , 2797; w (0) = 8 , 6768;

^{w (} t ) = |

0 ,

0 < t <  7 , 4913 пли 7 , 62362 < t <  20;

в, 7 , 4913 7 , 62362 .

Откуда

8 , 6768;          0 < t <  7 , 4913;

w ( t ) = < 10 1 — 66 , 2362; 7 , 4913 7 , 62362;

10;              7 , 62362 < t <  20 .

График функции w ( t ) (профиль заработной платы) представлен

на

рис. 1.

Пример 2. Во втором примере в качестве функции полезности рена функция вида

от

отлынивания рассмот-

9 ( t ) = 1 , 7 • T sin⁴ (20 nt/T ) .

Результаты расчетов:

А 1 = 0; А 2 = 0 , 4011; w (0) = 3 , 3973 .

График функции w ( t ) (профиль заработной платы) представлен

на

рис. 2.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

0               5               10              15              20

t

Рис. 1. График функции w ( t )

0               5               10              15              20

t

Рис. 2. График функции w ( t )