Модель задержки на основе сдвинутых гиперэкспоненциального и эрланговского распределений
Автор: Тарасов В.Н., Бахарева Н.Ф.
Журнал: Физика волновых процессов и радиотехнические системы @journal-pwp
Статья в выпуске: 1 т.25, 2022 года.
Бесплатный доступ
Настоящая статья посвящена выводу результатов для средней задержки требований в очереди для системы массового обслуживания, образованной двумя потоками с законами распределения интервалов в виде сдвинутых вправо гиперэкспоненциального и эрланговского распределений второго порядка. В теории массового обслуживания исследования систем G/G/1 актуальны в связи с тем, что не существует решения в конечном виде для общего случая. Поэтому в качестве произвольного закона распределения G при исследовании таких систем используют различные частные законы распределений. В данном случае использование гиперэкспоненциального закона распределения обеспечивает коэффициент вариации интервалов входного потока больше единицы, а распределения Эрланга - меньше единицы. Для решения поставленной задачи использован метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли, который играет важную роль в теории массового обслуживания. Данный метод позволил получить решение для средней задержки требований в очереди для рассматриваемой системы в замкнутой форме. Как известно, остальные характеристики системы массового обслуживания являются производными от средней задержки требований.
Сдвинутые гиперэкспоненциальное и эрланговское распределения, интегральное уравнение линдли, метод спектрального разложения, преобразование лапласа
Короткий адрес: https://sciup.org/140290778
IDR: 140290778 | DOI: 10.18469/1810-3189.2022.25.1.21-26
Текст научной статьи Модель задержки на основе сдвинутых гиперэкспоненциального и эрланговского распределений
В теории массового обслуживания исследования систем G/G/1 актуальны в связи с тем, что они активно используются в современной теории телетрафика, к тому же нельзя получить решения для таких систем в конечном виде для общего случая.
Настоящая статья посвящена анализу СМО H2/ E 2 /1 со сдвинутыми вправо от нулевой точки гиперэкспоненциальными (H2) и эрланговскими (E2) входными распределениями второго порядка и является логическим продолжением исследований [1–3]. В результате этого будем иметь новую СМО с запаздыванием во времени, которую обозначим через H 2 IE - /1 в отличие от обычной системы H2/E2/1. Рассматриваемая СМО относится к типу G/G/1. Всего систем со сдвинутыми законами распределений в теории массового обслуживания можно составить шестнадцать (4 × 4 = 16), если рассматривать четыре основных закона распределения: экспоненциальный, Эрланга, гиперэкспоненциальный и гиперэрланговский.
В работе [1] показано, что средняя задержка требований в очереди в системе M/M/1 с запаздыванием во времени меньше, чем в классической системе M/M/1 при одинаковом коэффициенте загрузки за счет того, что коэффициенты вариации времен поступления с ^ и обслуживания с ^ становятся меньше единицы при параметре запаздывания
t 0 > 0. Это связано с квадратичной зависимостью средней задержки от указанных коэффициентов вариаций. В авторских работах [2; 3] и других этот факт также полностью подтвердился. Убедимся также в этом в случае рассматриваемой СМО, используя метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли, одна из форм которого дается в виде [4]:
W (у ) =
<
y
I
W ( у - u ) d C ( и ) ,
у > 0;
-да
0, у < 0.
Другой подход к решению интегрального уравнения Линдли использован в [5]. Здесь вместо термина «спектральное разложение» использована факторизация, а вместо функций V+ ( s ) и V_ ( s ) - компоненты факторизации to+ ( z, t) и to - ( z, t ) функции 1 - z x ( t ).
Такой подход для получения конечных результатов для рассматриваемых систем менее удобен, чем подход, описанный в [4] и проиллюстрированный многочисленными примерами для лучшего понимания. Метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли занимает важное место при исследовании систем G/G/1, и он широко используется.
Кроме этого метода в работе использован опыт аппроксимации законов распределений [6–9].
Полученные результаты хорошо согласуются с результатами экспериментальных исследований [10–12]. Результаты современных исследований по системам массового обслуживания приведены в работах [13–16].
валов входного потока и времени обслуживания задаются функциями плотности вида
p X 1 e ' t - t 0 ) +
1. Постановка задачи
f < ( t ) = < + ( 1 - p )X 2 e X 2 (“0 ) > t > t 0 ,
0, 0 < t < 1 0 ,
В работе ставится задача нахождения решения для задержки требований в очереди в СМО H - /E - /1. При кратком изложении метода спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли будем придерживаться подхода и символики автора классики теории массового обслуживания [4]. Суть решения методом спектрального разложения состоит в нахождении для выражения F ^ ( - s ) F ( s ) - 1 представления в виде произведения двух множителей, которое давало бы рациональную функцию от s . Здесь F ^ ( s ) и F ( s ) - преобразования Лапласа функций плотности распределения интервалов входного потока f ^ ( t ) и времени обслуживания f ц ( t ) соответственно. Следовательно, для нахождения закона распределения времени ожидания необходимо следующее спектральное разложение: F ^ ( - s ) F ( s ) - 1 = = V+ ( s ) / V- ( s ) , где v+ ( s ) и v ( s ) — некоторые рациональные функции от s , которые можно разложить на множители. Функции v+ ( s ) и v - ( s )
fД t ) =
4 ц 2 ( t - 1 0 ) e - 2 ц( t - t 0 ) , 0 0 < t < t 0 .
t > t 0 ,
Здесь 1 0 > 0 - параметр сдвига закона распределения. Заметим также, что функция (4) – функция плотности нормированного распределения Эрланга второго порядка.
Преобразования Лапласа функций (3) и (4) будут, соответственно:
F( s ) =
p 1
s + X ^
( 1 - p )
X 2
s + X 2
- t s e 0
;
- t s e 0
Тогда спектральное разложение решения интегрального уравнения Линдли для рассматриваемой системы F X ( - s ) F ^ ( s ) - 1 = V+ ( s ) / V- ( s ) примет вид:
должны удовлетворять следующим условиям гласно [4]:
- для Re ( s ) > 0 функция v+ ( s ) является аналитической без нулей в этой полуплоскости;
- для Re ( s ) < D функция v - ( s ) является аналитической без нулей в этой полуплоскости, где D – некоторая положительная константа, определяемая из условия:
a (t)
lim <« .
t ^» e - Dt
со-
Кроме того, функции v+ ( s ) и v - ( s ) должны удовлетворять следующим условиям:
lim
| s| ^® ,Re ( s ) > 0
lim
| s | ^® ,Re ( s ) < D
V+( s ) = 1 ; s
V-( s ) -------= - 1.
s
Для решения поставленной задачи необходимо вначале построить для рассматриваемой системы спектральное разложение вида F ( - s ) F ( s ) - 1 = = V+ ( s ) / V- ( s ) с учетом условий (1), (2). Так, для системы H - /E - /1 законы распределения интер-
F X ( - s ) Х( s ) - 1 =
X ^ - s
( 1 - p )
X 2
X 2
ts e 0
I 2Ц I - t«s x I--------I e 0 -1 =
( 2 ц + s J
" 2
= p>1 +( 1 - p x— I? + I - 1.
X 1 - s X 2 - s ^ 2 ц + s J
Выражение (5) получено на основании теоремы о запаздывании в теории преобразования Лапласа. Здесь показатели степени у экспонент в спектральном разложении обнуляются, и операция сдвига во времени нивелируется. Таким образом, спектральные разложения решения интегрального уравнения Линдли для системы со сдвинутыми распределениями Щ/E - /1 и для обычной системы H2/E2/1 будут идентичными. Это позволяет утверждать, что спектральное разложение будет инвариантным к операции сдвига в законах распределения.
Дальнейшее разложение выражения (5) даст окончательное спектральное разложение решения интегрального уравнения Линдли
V + ( s ) _ - s ( s + s 1 )( s + s 2 )( s - s 3 )
V - ( s ) < X 1 - s )( Х 2 - s )(2 ц + s ) 2 ’
т. к. многочлен 4-й степени в числителе выражения (5) можно представить в виде разложения - s ( s 3 + c 2 s 2 + c i s + c о ) с коэффициентами c 2 _ 4 ц--Х 1 -Х 2 , c 1 _ 4 ц ( ц-Х 1 -Х 2 ) + Х 1 Х 2 , c 0 _ 4 ц [ Х 1 Х 2 + + ц ( Х 1 p -Х ^ -Х 2 p )]. В свою очередь кубический многочлен s 3 + c 2 s 2 + c 1 s + c о с такими коэффициентами в стационарном режиме функционирования СМО при р _ Т ц / тХ < 1 имеет два действительных отрицательных корня - s 1 , - s 2 и один положительный корень s 3 . Здесь ТХ и Т ц - среднее значение интервалов поступления требований и среднее время обслуживания соответственно, а коэффициенты многочлена сформированы с помощью символьных операций Mathcad.
С учетом условий (1), (2) за функцию у + ( s ) примем
V+ (s) _ s(s + s 1)(s + s2)/(s + 2ц)2, т. к. нули кубического многочлена s _ 0, s _-s 1, s _-s2 и полюс s _-2 ц лежат в области Re(s) < 0, а за функцию
V - ( s ) _ - ( Х 1 - s )( Х 2 - s )/( s - s 3 )•
Теперь выполнение условий (1) и (2) для построенных функций у + ( s ) и у _ ( s ) очевидно. Далее по методике спектрального разложения найдем константу К :
V+( s ) ( s + s 1)( s + s 2) s^2
K _ lim + x ' _ lim----1----- — _ .
I s | >0 s |s | >0 ( s + 2 ц ) 2 4 ц 2
Построим функцию Ф + ( s ) _ K / v + ( s ), через которую найдем преобразование Лапласа функции плотности времени ожидания I V ( s ) _ s Ф + ( s ) .
Окончательно
где s 1 , s 2 абсолютные значения отрицательных корней - s 1 и - s 2 кубического многочлена s 3 + c 2 s 2 + c 1 s + c о с приведенными выше коэффициентами. Таким образом, среднее время для системы Щ/Е - /1 однозначно определено в виде замкнутой формы (8).
2. Методика использования расчетной формулы (8)
Теперь предстоит найти все параметры формулы (8). Для этого определяем числовые характеристики сдвинутых распределений H - (3) и Е 2 (4). Воспользуемся свойством преобразования Лапласа функции плотности воспроизводить моменты:
dF X ( s ) ds Uo _
d ds
Х p 1
s + X 1
+ (1 - p )Л2 e- t 0 s
V s + X9
_ p X 1 + (1 - p ) X 2 + 1 0 .
’ I s _ 0 _
Отсюда среднее значение интервала между поступлениями требований:
TX = p X - 1 + (1 - p ) X 2 1 + 1 0 . (9)
Найдя вторую производную от преобразования
F x < s ) при s = 0, определим 2-й начальный момент интервала между поступлениями:
* , . s-.s 9 ( s + 2 ц ) 2
W ( s ) _ 1-^
4 ц 2 ( s + s 1 )( s + s 2 )
.
ТХ _ 2 [ p Х 12 + ( 1 - p ) Х 22 ] + 1 0 +
+ 2 1 0 [ p X - 1 + (1 - p ) Х 2 1 ].
Тогда квадрат коэффициента вариации:
2 _ [( 1 - p 2 ) Х 2 - 2 Х 1 Х 2 p ( 1 - p ) + p ( 2 - p ) Х 2 ]
c Х _ о .
[ 1 0 Х 1 Х 2 + (1 - p ) Х 1 + p Х 2 ] 2
Положив
Х 1 _ 2 p /( Т Х - 1 0 ), Х 2 _ 2(1 - p )/( Т Х - 1 0 ) (12)
Производная от функции W ( s ) со знаком минус в точке s _ 0 и даст среднюю задержку требований в очереди:
и подставив (12) в (11), получим уравнение четвертой степени относительно параметра p. Решив его с учетом условия 0 < p < 1, определяем параметр p :
dW ( s ) _ d s 1 s 2 ( s + 2 ц ) 2
ds s ds 4 ц 2 ( s + s 1 )( s + s 2 )
111 _--1----.
s 1 s 2 ц
Тогда средняя задержка для системы H2/E 2 /1 будет равна:
-11
W _—+--
s 1 s 2
, ц
p _ 1 ± 1 1 ( ТХ- 1 0 ) 2
214 2[( Т Х - 1 0 ) 2 + c 2 г2 ].
Подставив выражение (13) в (12), находим неизвестные параметры распределения (3) Х 1 , Х 2 . При этом в качестве p можно выбрать любое из двух значений.
Остается определить числовые характеристики распределения (4). Среднее время обслуживания в системе H / Е 2 /1 равно
Таблица. Результаты экспериментов для СМО H2/E2 /1
Table. Experimental results for QS H - /E - /1
Отсюда параметр µ распределения (4) будет равен ц = 1 /( тц- 1 0 )•
А диапазон изменения параметра сдвига определится из условия 0 < t 0 < тц •
Второй начальный момент времени обслуживания равен
7 = 2 + 2 0 + •
-
ц 0 ц 2 ц 2
-
3. Результаты вычислительных экспериментов
Следовательно, коэффициент вариации времени обслуживания будет равен с ц = [V2 ( 1 + ц t 0 ) ] - 1 •
Таким образом, все параметры распределений (3) и (4) при задании значений Т у , Тц , с у , с ц , 1 0 в качестве входных данных для системы H - / E 2 /1 будут определены однозначно методом моментов.
Заметим, что коэффициенты вариации с у > 0 и с ц < 1 / V2 при параметре сдвига t 0 > 0^ Таким образом, очевидно, что система H - / E 2 /1 также относится к типу G/G/1.
В таблице приведены данные расчетов для системы H2 / E- /1 для случаев малой, средней и высокой нагрузки р = 0,1; 0,5; 0,9 при су = 2^ Заметим, что обычная система H2/E2/1 применима при с х> 1 и сц= 1 / 72, а система H2/E-/1 -при сх > 0 и сц< 1 / 72• Таким образом, система H2 / E— /1 применима для широкого диапазона изменения параметров, чем обычная система H2/E2/1 и расширяет ее возможности.
В правой колонке таблицы для сравнения приведены результаты для обычной системы H2/ E2/1. Коэффициент загрузки в данном случае определяется отношением средних интервалов р = Т ц / ту • Расчеты в таблице приведены для удобства для нормированного времени обслуживания тц = 1 _ _
Система H2 /E 2 /1 применима и в случае с у < 1, в частности при р = 0,9, с у = 0,2, t 0 = 0,9, с ц = 0,071, среднее время ожидания будет равно W = 0,072 единиц времени, снизившись в несколько десятков раз по сравнению с обычной системой.
Заключение
Таким образом, по результатам работы можно сделать следующие выводы.
Операция сдвига во времени уменьшает коэффициенты вариаций интервала между поступлениями и времени обслуживания требований. Так как среднее время ожидания в системе G/G/1 связано с коэффициентами вариаций интервалов поступления и обслуживания квадратичной зависимостью, среднее время ожидания в системе с запаздыванием будет меньше, чем в обычной системе при одинаковом коэффициенте загрузки. Например, для системы H - /E - /1 при загрузке р = 0,9 и параметре сдвига t 0 = 0,9 коэффициент вариации интервалов поступления с у уменьшается с 2 для обычной системы до 1,105, коэффициент вариации времени обслуживания с ц уменьшается с 1 / 72 до 0,071, а время ожидания уменьшается с 20,016 единицы времени для обычной системы до 0,748 единицы времени для системы с запаздыванием.
С уменьшением значения параметра t 0 среднее время ожидания в системе H - /E - /1 стремится к среднему времени ожидания в обычной системе H2/E2/1. Это полностью подтверждает адекватность построенной математической модели массового обслуживания.
Основным преимуществом системы со сдвинутыми распределениями является расширение диапазона применимости по сравнению с обычной СМО. Так, в данном случае диапазон для коэффициента вариации времени обслуживания 0 < с ц < 1 / 72 при параметре сдвига t 0 > 0^
Список литературы Модель задержки на основе сдвинутых гиперэкспоненциального и эрланговского распределений
- Тарасов В.Н., Бахарева Н.Ф., Блатов И.А. Анализ и расчет системы массового обслуживания с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2015. № 11. С. 51–59. DOI: https://doi.org/10.1134/S0005117915110041
- Тарасов В.Н. Расширение класса систем массового обслуживания с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2018. № 12. С. 57–70. DOI: https://doi.org/10.1134/S0005117918120056
- Тарасов В.Н. Анализ и сравнение двух систем массового обслуживания с гиперэрланговскими входными распределениями // Радіоелектроніка, інформатика, управління. 2018. № 4. С. 61–70. DOI: https://doi.org/10.15588/1607-3274-2018-4-6
- Клейнрок Л. Теория массового обслуживания / пер. с англ. под ред. В.И. Неймана. М.: Машиностроение, 1979. 432 с.
- Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания. М.: РУДН, 1995. 529 c.
- Алиев Т.И. Основы моделирования дискретных систем. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2009. 363 с.
- Алиев Т.И. Аппроксимация вероятностных распределений в моделях массового обслуживания // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2013. № 2 (84). С. 88–93. URL: https://ntv.ifmo.ru/ru/article/4127/approksimaciya_veroyatnostnyh_raspredeleniy_v_modelyah_massovogo_obsluzhivaniya.htm
- Myskja A. An improved heuristic approximation for the GI/GI/1 queue with bursty arrivals // Teletraffic and Datatraffic in a Period of Change, ITC-13: proc. of congress. Copenhagen, Denmark. 19–26 June 1991. P. 683–688. URL: https://gitlab2.informatik.uni-wuerzburg.de/itc-conference/itc-conference-public/-/raw/master/itc13/myskja911.pdf?inline=true
- Whitt W. Approximating a point process by a renewal process, I: Two basic methods // Operation Research. 1982. Vol. 30, no. 1. P. 125–147. DOI: https://doi.org/10.1287/opre.30.1.125
- Малахов С.В., Тарасов В.Н. Экспериментальные исследования производительности сегмента программно-конфигурируемой сети // Интеллект. Инновации. Инвестиции. 2013. № 2. С. 81–85.
- Тарасов В.Н., Липилина Л.В., Бахарева Н.Ф. Автоматизация расчета характеристик систем массового обслуживания для широкого диапазона изменения их параметров // Информационные технологии. 2016. Т. 22, № 12. С. 952–957. URL: http://novtex.ru/IT/it2016/it1216_web-952-957.pdf
- Проектирование и моделирование сетей ЭВМ в системе OPNET MODELER / В.Н. Тарасов [и др.]. Самара: ПГАТИ, 2008. 233 с.
- Jennings O.B., Pender J. Comparisons of ticket and standard queues // Queueing Systems. 2016. Vol. 84, no. 1–2. P. 145–202. DOI: https://doi.org/10.1007/s11134-016-9493-y
- Gromoll H.C., Terwilliger B., Zwart B. Heavy traffic limit for a tandem queue with identical service times // Queueing Systems. 2018. Vol. 89, no. 3–4. P. 213–241. DOI: https://doi.org/10.1007/s11134-017-9560-z
- Legros B. M/G/1 queue with event-dependent arrival rates // Queueing Systems. 2018. Vol. 89, no. 3–4. P. 269–301. DOI: https://doi.org/10.1007/s11134-017-9557-7
- Jacobovic R., Kella O. Asymptotic independence of regenerative processes with a special dependence structure // Queueing Systems. 2019. Vol. 93, no. 1–2. P. 139–152. DOI: https://doi.org/10.1007/s11134-019-09606-1