Моделирование динамики установления цены на рынке одного товара в условиях неопределенности

DOI:

Цитирование. Бизянов Е. Е., Подгорная Н. А. Моделирование динамики установления цены на рынке одного товара в условиях неопределенности // Вестник Волгоградского государственного университета. Экономика. – 2020. – Т. 22, № 4. – С. 41–49. – DOI:

Проблема и ее связь с научными и практическими задачами

Модель Эванса позволяет получить равновесную цену и время ее установления при наличии параметров функций спроса и предложения [Колемаев, 2012, с. 197–198]. Как правило, коэффициенты уравнений спроса и предложения получают из статистических данных. Однако существует возможность возникновения ситуации, когда такая статистика отсутствует, либо необходимо оценить динамику установления цены для нового товара на рынке. В таких случаях возможным вариантом решения задачи может быть использование данных о спросе и предложении для товара-аналога или товара-субститута. Однако такой подход позволит получить единичное и не всегда точное значение установившейся цены, а также приблизительные параметры переходного процесса ее установления.

В классической модели Эванса реакция рынка (спрос) и производства (предложение) приняты мгновенными [Колемаев, 2012, с. 197]. В реальности же сведения о цене на рынке поступают с запаздыванием (лагом). Если лаг в спросе может отсутствовать или стремиться к нулю, то лаг в предложении всегда имеет место, так как вызван наличием времени на реализацию и обеспечение заказов оптовой и розничной торговли.

В статье [Пегат, 2011, с. 127–131] исследуется модель Эванса с учетом дискретного запаздывания скорости изменения цены товара. Запаздывание учитывается в предложении. Показано, что устойчивость достигается при определенных значениях цены и запаздывания.

В работе [Недосекин, 2003, с. 28–31] введение оператора дробного дифференцирова- ния позволило выяснить причины замедления динамики цены в момент времени, когда спрос и предложение равны.

Кусочно-постоянное запаздывание цены в предложении с введением функции подстройки цены предложения в модели Эванса позволило [Соколов и др., 2013, с. 33–36] сформулировать проблему в виде краевой задачи и найти условие существования решения уравнения с запаздыванием при различных значениях лага в цене.

В работах [Соколов и др., 2010; Шпиль-ко и др., 2012] модель Эванса послужила основой для моделирования потребительского рынка, причем в [Соколов и др., 2010] введено запаздывание в процесс производства товара, а в [Шпилько и др., 2012] – в спрос на товар.

Следует отметить, что в [Колема-ев, 2012; Пегат, 2011; Недосекин, 2003; Соколов и др., 2010; Соколов и др., 2013; Шпилько и др., 2012] анализируется модель Эванса с четкими значениями коэффициентов кривых спроса и предложения, что позволяет получить точечное решение. Для получения полной картины в условиях неопределенности при таком подходе необходимо выполнить множество расчетов (прогонов) модели, на основании которых можно будет принимать обоснованные решения.

Другой способ решения поставленной задачи – это использование теории нечетких множеств [Пшунетлев; Поддубный, 2006], позволяющей представить кривые спроса и предложения в виде некоторых множеств возможных значений.

Постановка задачи. Задачей моделирования является получение значений равновесной цены и времени ее установления на рынке одного товара в условиях неопределенности.

Изложение материала и его результаты

Уравнение модели Эванса имеет следующий вид [Колемаев, 2012, с. 197]:

p ( t ⁾⁼ dp ⁼ Y d ( p ) - ⁵ ( p »’ (1) где у - коэффициент пропорциональности; D ( p ) -функции спроса, S ( p ) - функции предложения.

При линейном представлении функций спроса D ( p ) и предложения S ( p ) их уравнения имеют вид [Колемаев, 2012, с. 197]:

D ⁽ p ) = a - b • p , ^{S (} p ) = ^{а -} P • p .

Представим коэффициенты a, b, а, в в уравнениях нечеткими треугольными числами (рис. 1), которые можно интерпретировать как «примерно равно» [Пегат, 2011, с. 81].

Функция принадлежности нечеткого треугольного числа, приведенная на рисунке 1, определяется тремя параметрами: модой X_C и границами носителя X_R и X_L .

Обычно уровень принадлежности ц_тах для X = X_C равен единице. Значение переменной X определяется так называемым уровнем возможности - а -уровнем [Пегат, 2011, с. 39].

Часто нечеткие треугольные числа записывают в виде [Пегат, 2011, с. 29]:

X~ = ( X l , X c , X r ) . (3)

Рис. 1. Функция принадлежности нечеткого числа « X примерно равен X_C » Примечание. Составлено автором.

Рис. 2. Кривые спроса и предложения с нечеткими параметрами

Примечание. Составлено автором.

Все последующие расчеты и моделирование будем производить, используя для коэффициентов уравнений спроса и предложения следующие значения:

a = ( 300; 400; 500 ) ; b = ( 3; 5; 7 ); a = ( 50; 100; 150); p = ( 3; 5; 7).

Графики кривых спроса и предложения, построенные с использованием принятых нечетких значений параметров (4), приведены на рисунке 2.

Здесь средние по положению кривые соответствуют модам нечетких параметров, а нижние и верхние кривые отображают спрос и предложение для границ носителей параметров. При изменении a -уровня с малым шагом от 0 до 1 таких кривых можно построить бесконечное множество.

Таким образом, вместо одной кривой спроса и одной кривой предложения мы получаем множество кривых, разброс параметров которых лежит в заданной области, а разнообразие значений указанных параметров позволяет получить множество сценариев динамики установления цены.

Для того чтобы разграничить параметры нечетких чисел и кривой предложения, a -уровень для нечеткого числа будем обозначать как A .

Графики установления цены, построенные для уровней возможности A = 1 (средняя кривая) и A = 0 (верхняя кривая - при a m _Qx, ^Ь_тш и O nin , P mm ; нижняя кривая ^- при a™, Ь _тах и a_mQx, в max ) показаны на рисунке 3. Начальная цена принята равной p(0) = 5 .

Как следует из рисунка 3, при изменении уровня возможности A от 0 до 1 меняется как значение равновесной (установившейся) цены от 10 до 75, так и время ее установления меняется от 0,22 до 0,67.

Теперь перейдем к рассмотрению модели Эванса с нечеткими коэффициентами кривых спроса и предложения и с лагом в предложении. Лаг также примем нечетким: т = (0; 0,5; 1) .

На рисунке 4 показана реализация модели Эванса с лагом в предложении, реализованная в программе Simulink пакета Matlab [Дьяконов, 2005]. Здесь блоки-константы задают значения коэффициентов а и а для кривых спроса и предложения, p(0) – начальную

Рис. 3. Графики установления цены на рынке одного товара при различных уровнях возможности

Примечание. Составлено автором.

цену, блоки-усилители – значения коэффициентов b и в для кривых спроса и предложения.

В модели, представленной на рисунке 4, лаг реализован в блоке чистого запаздывания Transport Delay . Решение дифференциального уравнения (1) производится с помощью блока интегрирования Integrator .

Результаты моделирования выводятся в блоки Scope : p – цена, W – выручка. Выручка рассчитывается в блоке Product как произведение текущей цены на величину спроса. Таблица меток времени и соответствующих им значений цены выводится в рабочее пространство Matlab с помощью блока To Workspace .

Результаты моделирования, полученные автором, приведены в таблице и на рисунке 5. В таблице равновесная цена обозначена как p* , время установления цены – как t_уст , а превышение амплитуды текущей цены над ее равновесным (установившимся) значением – как у Графики на рисунке 5 обозначены цифрами, соответствующими вариантам расчета таблицы. Время установления цены определялось по правилу, принятому в теории регулирования [Бесекерский, 2003, с. 209]: переходный процесс считается завершенным, если наблюдаемая величина вошла в 5 %-й «коридор», построенный относительно установившегося значения, и больше не вышла из него.

Рис. 4. Модель Эванса с лагом – реализация в Simulink

Примечание. Составлено автором.

Таблица

Результаты моделирования

Параметр	Вариант
	1	2	3	4	5
Ц	0	0	0,5	0,5	1
a	300	500	350	450	400
b	3	7	4	6	5
а	50	150	75	125	100
в	3	7	4	6	5
т	0	1	0,25	0,75	0,5
p ∗	41,6	25	34,3	27,1	30
t уст	0,45	36	1,5	13	3,5
у , %	0	79,7	31,9	78,9	65,2

Примечание. Составлено автором.

На рисунке 6 показаны области изменения времени установления цены t уст и превышения амплитуды текущей цены над ее равновесным значением σ как функций от уровня возможности µ .

На рисунке 7 приведен график динамики изменения выручки от времени в нечеткой модели Эванса для варианта 2 таблицы (соответствует уровню возможности µ = 0). Как можно видеть из полученной зависимости,

Рис. 5. Графики динамики изменения цены от времени в нечеткой модели Эванса при различных уровнях возможности

Примечание. Составлено автором.

b

Рис. 6. Зависимости времени установления цены (а) и превышения амплитуды цены (б) от уровня возможности в нечеткой модели Эванса с лагом

Примечание. Составлено автором.

Рис. 7. График динамики изменения выручки от времени в нечеткой модели Эванса для варианта 2 таблицы 1

Примечание. Составлено автором.

наличие лага приводит к существенным колебаниям выручки.

Данное явление может привести не только к нарушению баланса на рынке, но и проблемам с управлением оборотными средствами у производителя, что в конечном счете приведет к дестабилизации производственного процесса.

Выводы и направление дальнейших исследований

Проведенное моделирование установления цены на рынке одного товара с помощью модели Эванса с нечеткими коэффициентами показало, что при изменении уровня возможности для параметров спроса и предложения изменяется равновесная цена и время ее установления. Введение в модель Эванса нечеткого лага при определенном соотношении параметров спроса и предложения приводит к существенным колебаниям цены, что может нарушить равновесие на рынке, а также вызвать проблемы у производителя, что в конечном счете приведет к дестабилизации производственного процесса.

В дальнейших исследованиях необходимо произвести учет ограничений предельных величин спроса (объем рынка не бесконечен) и предложения (возможности производства также не бесконечны), а также исследовать случаи, когда уровень возможности для спроса, предложения и величины лага будет различным.